Giao anDS11 03 06

Tiết: 03+04+05+06

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Hiểu được khái niệm và tính tuần hoàn của hàm số lượng giác.
- Hiểu được sự biến thiên và đồ thị của hàm số y=sinx và y=cosx.
- Hiểu được tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kì, khoảng đồng biến,
nghịch biến, đồ thị của các hàm số lượng giác.
2. Kỹ năng:
- Xác định được tập xác định, tập giá trị, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác.
- Xác định được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y=sinx và y=cosx.
- Vẽ được đồ thị hàm số y=sinx và y=cosx.
- Xác định được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y=tanx và y=cotx.
- Vẽ được đồ thị hàm số y=tanx và y=cotx.
3. Thái độ:

II.

- Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận , chính xác.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.

III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.

IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, 2.2, luyện tập bài 1. Tiết 2: Nội dung 2.3 (a, b). Tiết 3: Nội
dung 2.3(c,d), luyện tập bài 2. Tiết 4: Luyện tập, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu
Ở lớp 10, chúng ta đã được làm quen đến khái niệm giá trị lượng giác. Và trong chương đầu
tiên của lớp 11, chúng ta sẽ đi giải các phương trình mà trong đó có chứa các giá trị lượng giác,
gọi là phương trình lượng giác. Bài đầu tiên sẽ giúp các em tìm hiểu về định nghĩa và các vấn
đề liên quan đến hàm số lượng giác.
2. Nội dung bài học


2.1.

Định nghĩa.
2.1.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt trang 4/SGK, hãy tính

π
π
π
sin ;cos ; tan 0;cot .
4
2
3
π
2
π
π
3
Gợi ý: sin =

;cos = 0; tan 0 = 0;cot =
.
4
2
2
3
3
2.1.2. Hình thành kiến thức:
a) Hàm số sin
sin: ¡ → ¡
x a y = sinx
- Tập xác định của hàm số sin là ¡
- Tập giá trị của hàm số sinx là [ -1;1]
b) Hàm số cos
cos: ¡ → ¡
x a y = cosx
- Tập xác định của hàm số là ¡
- Tập giá trị của hàm số là [-1;1]
c) Hàm số tang
- Là hàm số xác định bởi công thức y =
π
- Tập xác định D = R \{ + kπ , k ∈ Z}

sin x
(cosx ≠ 0)
cos x

2

- Tập giá trị ¡

d) Hàm số cotang
- Là hàm số xác định bởi công thức y =
- Tập xác định D = R \{kπ , k ∈ Z}
- Tập giá trị ¡

cos x
(sinx ≠ 0)
sin x

2.2.

Tính tuần hoàn, tính chẳn lẻ của hàm số lượng giác.
2.2.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào kiến thức về lượng giác ở lớp 10, trả lời các câu hỏi sau:
a. So sánh sinx và sin(-x); cosx và cos(-x)?
b. Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hsố f(x) = sinx?
c. Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hsố f(x) = tanx?
2.2.2. Hình thành kiến thức:
- Hàm số y = sinx; y = tanx; y = cotx là các hàm số lẻ.
- Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
- Hàm số sin và côsin tuần hoàn theo chu kì 2π.
- Hàm số tang và cotang tuần hoàn theo chu kì π.
2.3. Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác.


2.3.1. Hot ng khi to:
Da vo kin thc v lng giỏc lp 10, tr li cỏc cõu hi sau:
a. Nhc li tp xỏc nh, tp giỏ tr, tớnh chn, l v tớnh tun hon ca hm s y = sinx?
b. Nhc li tp xỏc nh, tp giỏ tr, tớnh chn, l v tớnh tun hon ca hm s y = cosx?
c. Nhc li tp xỏc nh, tp giỏ tr, tớnh chn, l v tớnh tun hon ca hm s y = tanx?

d. Nhc li tp xỏc nh, tp giỏ tr, tớnh chn, l v tớnh tun hon ca hm s y = cotx?
2.3.2. Hỡnh thnh kin thc:
a. Hm s y = sinx
Trờn on [ 0; ] hm s y = sinx ng bin trờn


-2
3
0; 2 v nghch bin trờn 2 ;

2
3 - 2

y
1

x

2

th ca hm s y = sinx
2 trờn R.
2
Tp giỏ tr ca hm s y = sinx l [ 1;1]

-1

b. Hm s y = cosx

y

y = sinx

1

y = cosx

th hm s y = cos x trờn R.

x

Hm s y = cosx ng bin trờn on [ ;0] v
nghch bin trờn on [ 0; ] .

-1

c. Hm s y = tanx


+ k , k Z ữ
2


y

- TX: D = R \
- L hm s l.

x

- L hm s tun hon vi chu kỡ .

- Hm s luụn ng bin vi mi x 0; ữ
2




d. Hm s y = cotx

y

- TX: D = R \ ( k , k Z ) . - L hm s l.
- L hm s tun hon chu kỡ .

x


- Hm s luụn nghch bin vi mi x 0; ữ.
2




3. Luyn tp:
Bi 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a/ y = cos 2 x

b/ y = sin 3 x

c/ y = sin

1
x

d/ y = cos x 2 4

Gi ý:
a/ Do 2 x Ă , x Ă nên hàm số đã cho có tập xác định là D = Ă .
b/ Hàm số y = sin 3 x xác định khi và chỉ khi 3 x 0 x 0 . Vậy tập xác
định của hàm số đã cho là D = [ 0; + ) .

1
1
xác định khi và chỉ khi Ă x 0. Vậy tập xác định
x
x
của hàm số đã cho là D = Ă \ { 0} .
c/ Hàm số y = sin

x 2
. Vậy
x 2

2
d/ Hàm số y = cos x 2 4 xác định khi và chỉ khi x 4 0

tập xác định của hàm số đã cho là D = ( ; 2] [ 2; + ) .

Bi 2: Hóy xỏc nh cỏc giỏ tr ca x trờn on ;
a)
b)
c)
d)

3
hm s y = tanx:
2

Nhn giỏ tr bng 0.
Nhn giỏ tr bng 1.
Nhn giỏ tr dng.
Nhn giỏ tr õm.



Gi ý: Cn c vo th ca hm s y = tanx trờn on ;

a) tanx = 0 ti x { ;0; } .
3 5
; ; .
4 4 4

b) tanx = 1 ti x

3

c) tanx > 0 ti x ; ữ 0; ữ ; ữ .
2
2
2












3
, ta thy:
2



d) tanx < 0 khi x ;0 ữ ; ữ.
2 2

.
Bi 3: Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s:

1 + cos x
sinx

c) y = tan( x )
3
a) y =

1 + cos x
1 cos x

d ) y = cot( x + )
6
b) y =

Gi ý:
a) sinx 0 x k , k Z. Vy D = R \ { k , k Z } .
b) Vỡ 1 + cosx 0 nờn iu kin l 1 cosx>0 hay cosx 1 x k2 , k Z.
Vy: D = R \ { k 2 , k Z } .
c) iu kin: x


5
+ k x
+ k , k Z
3 2
6

5

+ k , k Z .
6

Vy: D = R \

d) iu kin: x +



k x + k , k Z
6
6



+ k , k Z .
6


Vy: D = R \

.
Bi 4: Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc hm s: a ) y = 2 cos x + 1

b) y = 3 2sin x.

Gi ý:
a) cosx 1 cosx 1 y = 2 cosx + 1 2.1 + 1 = 3
Ti x = 0 thỡ y = 3.
Vy ymax = 3 .
b) s inx 1 2s inx ( 2).(1) = 2 y = 3 2s inx 3 + 2 = 5
3

thỡ y = 5.
2
Vy ymax = 5 .

Ti x =

4. Vn dng, tỡm tũi m rng:
a) Chứng minh rằng cos 2 ( x + k ) = cos 2 x k  . Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y =
cos2x.
b) Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = cos 2 x .


Gi ý:
a) Ta có cos 2 ( x + k ) = cos ( 2 x + k 2 ) = cos 2 x, k Â. Do đó hàm số
y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ . Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên
một đoạn có độ dài bằng , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có
độ dài ta đợc đồ thị hàm số. Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn,





nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số đó trên đoạn 0; sau đó lấy đối xứng
2



qua trục tung, ta đợc đồ thị hàm số trên đoạn ; .
2 2
Đồ thị hàm số y = cos2x:

y
1

x
-3/2

-5/4

-

-/2

-3/4

0

-/4

/4

/2

3/4



5/4

3/2

-1

cos2x nếu cos2x 0
. Vậy đồ thị hàm số y = cos 2 x

cos2
x
nế
u
cos2
x
<
0


b) Ta có y = cos2x =

(nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên
phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành
qua trục hoành.
y
1

x
-3/2

-5/4

-

-3/4

-/2

-/4

0

-1

V.

HNG DN HS T HC

/4

/2

3/4



5/4

3/2


Tiết 1:
- HS về nhà xem lại các kiến thức đã học.
-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm sin và cos?
2. Làm bài tập 2 trong SGK.
Tiết 2:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm tan và cot.
2. Làm bài tập 1 trong SGK.
Tiết 3:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Làm bài tập trong SGK.
Tiết 4:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Đọc trước SGK bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
2. Nghiên cứu bài toán sau: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x sao cho
sinx =

1
?
2


Ngày soạn: 19/09/2017
Tiết: 07 → 12

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Nắm được cách giải phương trình lượng giác cơ bản sinx=a; cosx=a; tanx=a; cotx=a.
- Nắm được điều kiện của a để phương trình sinx = a; cosx=a có nghiệm.
- Nắm được điều kiện xác định của phương trình tanx=a; cotx=a.
- Nắm được cách giải các phương trình lượng giác cơ bản.
2. Kỹ năng:
- Biết viết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trong các trường hợp số đo
được cho bằng radian và số đo được cho bằng độ.
- Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsina; arccosa; arctana; arccota khi viết công thức nghiệm
của các phương trình lượng giác cơ bản.
- Kĩ năng vận dụng phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản vào việc giải các

phương trình lượng giác khác.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác khoa học, chú ý tập trung trong giờ.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, luyện tập bài 1. Tiết 2: Nội dung 2.2, luyện tập bài 2. Tiết 3:
Nội dung 2.3, luyện tập bài 3. Tiết 4: Nội dung 2.4, luyện tập bài 4. Tiết 5: Nội dung 2.5, luyện
tập bài 5,6. Tiết 6: Nội dung 2.6, luyện tập, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
3. Giới thiệu
Ở lớp 10, chúng ta đã được làm quen đến khái niệm giá trị lượng giác. Và trong chương đầu
tiên của lớp 11, chúng ta sẽ đi giải các phương trình mà trong đó có chứa các giá trị lượng giác,
gọi là phương trình lượng giác. Bài đầu tiên sẽ giúp các em tìm hiểu về định nghĩa và các vấn
đề liên quan đến hàm số lượng giác.
4. Nội dung bài học
2.1. Phương trình sinx=a(1).
2.1.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x sao cho sinx = 0 ?
Gợi ý: x = ....; −2π ; −π ;0;π ;2π ;.....


y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.1.2. Hình thành kiến thức:
+ a > 1 : PT (1) VN.
+ a £ 1 : PT (1) có nghiệm x = a + k2p, x = p - a + k2p, k Î Z .
p
p
£ a£
và sin a = a thì ta viết a = arcsina . Khi đó nghiệm PT
2

2
(1) là : x = arcsina + k2p, k Î Z và x = p - arcsin x + k2p, k Î Z .

* Nếu a thoả mãn điều kiện ✽ Chú ý :

éx = a + k2p,
kÎ Z
.
ëx = p - a + k2p, k Î Z

+ sin x = sina Û ê
ê
+ sin f (x) = sin g(x) Û

éf (x) = g(x) + k2p, k Î Z
ê
êf (x) = p - g(x) + k2p, k Î Z
ë

éx = b0 + k3600

0
+ sin x = sin b Û ê
êx = 1800 - b0 + k3600 , k Î Z
ê
ë

p
+ k2p, k Î Z .
2

p
+ sin x = - 1Û x = - + k2p, k Î Z
2
+ sin x = 0 Û x = kp, k Î Z

+ sin x = 1 Û x =

Ví dụ: Giải phương trình:
1
2

a) sin x= .

1
3

b) sin x= .

Gợi ý:
é p
êx = + k2p, k Î Z
ê 6
1
p
1
p
a) Vì = sin nên sin x = Û sin x = sin Û ê
2
6
2

6
ê 5p
+ k2p, k Î Z
êx =
ê
6
ë
é
1
êx = arcsin + k2p
1 ê
3
,k Î Z
b) sin x = Û ê
3 ê
1
êx = p - arcsin + k2p
ê
3
ë

2.2.

Phương trình cosx=a(2).
2.2.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x sao cho cosx = 0 ?


Gợi ý: x = .....; −

3π π π 3π
; − ; ; ;....
2
2 2 2

y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.2.2. Hình thành kiến thức:

+ a > 1 : PT (2) VN.
+ a £ 1 : PT (2) có nghiệm: x = ±a + k2p, k Î Z .
✽

+

Chú ý : + cos x = cosa Û x = ±a + k2p,

kÎ Z .

cos f ( x) = cosg( x) ⇔ f ( x) = ± g( x) + k2π , k ∈ Z .

+ cos x = cosb0 Û x = ±b0 + k3600 k Î Z
+ Nếu a thoả mãn điều kiện 0 £ a £ p và cos a = a thì ta viết a = arccosa . Khi đó nghiệm PT (2) là :
x = ±arccosa + k2p, k Î Z
+ cos x = 1 Û x = k2p, k Î Z .
+ cos x = - 1 Û x = p + k2p, k Î Z
p
+ cos x = 0 Û x = + kp, k Î Z
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
p
1
a) cos x = cos ;
b) cos x = - ;
4
2

Gợi ý:
p

p
a) cos x = cos Û x = ± + 2kp;k Î ¢.
4
4
b)
1
2p
Û cosx = cos( )
2
3
2p
Û x = ± + 2kp;k Î ¢.
3
cos x =-

2.3.

Phương trình tanx=a.
2.3.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = tan x, tìm các giá trị của x sao cho tanx = 0 ?
Gợi ý: x = ....; −π ;0;π ;....


y
1

x
-3π/2

-π

-π/2

-π/4

π/4

π/2

π

3π/2

-1

2.3.2. Hình thành kiến thức:
• ĐK: x ≠

π
+ kπ (k∈ ¢ )
2

• PT tanx=a có nghiệm x = arctana + kπ, k ∈ ¢ ;
Chú ý:
a) tan f(x) = tan g(x) ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ ¢
b) tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800, k ∈ ¢
c) Các trường hợp đặc biệt:
tanx = 1 ⇔ x =

π

+ kπ, k ∈ ¢
4

π
+ kπ, k ∈ ¢
4
tanx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ¢

tanx = –1 ⇔ x = –

Ví dụ: Giải phương trình:
a) tanx = tan π

b) tanx = -

5

1
3

c) tanx = 5

Gợi ý:
a) x =

π
+ kπ, k ∈ ¢
5

b) x = -

π
+ kπ, k ∈ ¢
6

c) x = arctan5 + kπ, k ∈ ¢
2.4.

Phương trình cotx=a.
2.4.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = cot x, tìm các giá trị của x sao cho cotx = 0 ?
Gợi ý: x = .....; −

3π π π 3π
; − ; ; ;....
2
2 2 2


y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2 -π/4

π/4

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.4.2. Hình thành kiến thức:
• ĐK: x ≠ kπ (k∈ ¢ )
• PT cotx=a có nghiệm x = arccota + kπ, k ∈ ¢ ;
Chú ý:
a) cot f(x) = cot g(x) ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ ¢
b) tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800, k ∈ ¢
c) Các trường hợp đặc biệt:
π
+ kπ, k ∈ ¢
4
π
cotx = –1 ⇔ x = – + kπ, k ∈ ¢
4
π
cotx = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢

2

cotx = 1 ⇔ x =

Ví dụ: Giải các phương trình:
a) cotx = cot π

b) cotx = -

5

1
3

c) cotx = 5

Gợi ý:
a) x =

π
+ kπ, k ∈ ¢
5

b) x = -

π
+ kπ, k ∈ ¢
3

c) x = arccot5 + kπ, k ∈ ¢

2.5. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác cơ bản.
2.5.1. Hoạt động khởi tạo:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx=0.3?
2.5.2. Hình thành kiến thức:
- Để có kết quả là độ, ta bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D.
- Để có kết quả là radian, ta bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 2 để hiện màn hình ra chữ R.
Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arcsina ta làm như sau:
- Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin a = o’’’ màn hình sẽ xuất hiện kết quả dưới đơn vị độ.


- Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 2 để hiện màn hình ra chữ R. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin a = màn hình sẽ xuất hiện kết quả dưới đơn vị radian.
Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arccosa; arctana ta làm tương tự.
Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arccota ta đi tìm arctan1/a.
Ví dụ: Dùng MTCT CASIO fx-500MS, giải phương trình lượng giác sau:
a) sinx=0,5
b) cos x = −

1
3

Gợi ý:
a) Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin 0 . 5 = o’’’ . Kết quả 30o0o0
 x = 300 + k3600
,k∈ ¢
Vậy phương trình sinx=0,5 có các nghiệm là: 
0
0

 x = 150 + k360

(-) 1 ab/c 3

= o’’’ . Kết quả 109o28o16.3

b) Bấm liên tiếp SHIFT

cos

Vậy phương trình cos x = −

1
có các nghiệm là: x ≈ ±109028'16''+ k3600 , k ∈ ¢
3

2.6.

Kiểm tra 15 phút

Đề bài:
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a. sin x =

1
2

b. cos ( x + 20° ) =
c. tan 3 x =

2
2

3
3

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a. sin 2 x − sin x = 0
b. sin 3 x cot x + sin 3 x = 0
3. Luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình

a)sin 3 x = 1
c)sin(2 x + 200 ) = −
Gợi ý:

b)sin(
3
2

2x π
− )=0
3 3

d )sin 3 x = sinx.

π
π
2π
+ k 2π ⇔ x = + k

,k ∈ Z
2
6
3
2x π
π
2π
 2x π 
b) sin  − ÷ = 0 ⇔ − = kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z
3 3
2
3
 3 3

a) sin 3x = 1 ⇔ 3x =


3
⇔ sin ( 2 x + 20 0 ) = sin ( − 600 )
2
0
 x = −40 + k1800
⇔
,k ∈Z
0
0
x
=
110
+

k
180


c) sin ( 2 x + 200 ) = −

 x = kπ
⇔ π
π ,k ∈ Z

3
x
=
π
−
x
+
k
2
π
x
=
+
k


2

d) sin 3x = sin x ⇔  3x = x + k 2π


Bài 2: Giải phương trình:

a)cos( x − 1) =

2
3

b)cos(

3x π
1
− )=−
2 4
2

c)cos 2 2 x =

1
4

Gợi ý:
2
2
⇔ x = 1 ± arccos + k 2π , k ∈ Z
3
3
11π
4π

x=

+k

1
 3x π 
18
3
b) cos  − ÷ = − ⇔ 
2
 2 4
 x = −5π + k 4π

18
3
π
π
1



cos
2
x
=
cos
x
=
±
+ kπ
cos
2

x
=



1
3
6
2
2
⇔
⇔
,k ∈Z
c) cos 2 x = ⇔ 
1
2π
π
4 


cos 2 x = −
cos 2 x = cos
x = ± + kπ



2
3
3

a) cos ( x − 1) =

Bài 3: Giải phương trình:

a) 3 tan(3 x +
Gợi ý:

3π
)=0
5

b) tan(3 x − 1) = − 3

3π
)=0
5

⇔ 3x +

3π
π kπ
= kπ ⇔ x = − +
5
5 3

b) tan(3 x − 1) = − 3

⇔ 3x +

3π

π
14
14
1
= − + k π ⇔ 3 x = − π + k π ⇔ x = − π + k π ; k ∈ ¢.
5
3
15
45
3

a) 3 tan(3 x +

Bài 4: Giải phương trình:

π
a) 2 cot(5 x − ) = 0
8

b)cot(3 x − 1) = − 3

Gợi ý:
a)

π
π π
2 cot(5 x − ) = 0 ⇔ 5 x − = + kπ
8
8 2

π
6

⇔

x =π +

1 π
π
+ k ,k ∈Z
3 18
3

b) cot(3x − 1) = − 3 ⇔ cot(3 x − 1) = cot( − ) ⇔ x = −
Bài 5: Giải phương trình:

kπ
5


a)cos 2 x.tanx = 0

b)cot(3 x − 1) = − 3

c) tan 2 x = tan(

π
− x)
4

Gợi ý:

π
π

x= +k
 cos 2 x = 0

⇔
4
2
a) cos 2 x.tan x = 0 ⇔ 

 tan x = 0
 x = kπ
π
b) cot(3x − 1) = − 3 ⇔ cot(3 x −1) = cot( − )
6
1 π
π
⇔ x = − + k ,k ∈Z
3 18
3
π 
π

c) tan 2 x = tan  − x ÷. Đk: co2 x ≠ 0,cos  − x ÷ ≠ 0
4

4 

π
π
π
⇔ 2 x = − x + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z
4
12
3

Bài 6: Giải phương trình

a)sin 3 x − cos5 x = 0

b) tan 3 x.tanx = 1

Gợi ý:
π
π

x = +k

π
4
a) sin 3x − cos 5 x = 0 ⇔ cos 5 x = sin 3 x ⇔ cos 5 x = cos  − 3 x ÷ ⇔  16
,k ∈Z
2

 x = − π + kπ

4
b) tan3x.tanx=1. Đk: cos 3 x ≠ 0, cos x ≠ 0

PT ⇔ tan 3x =

1
π
π
π
π

⇔ tan 3 x = tan  − x ÷ ⇔ 3 x = − x + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z
tan x
2
8
4
2


4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1: Giải phương trình

a)2cos 2 x + 3 cos x = 0

b)3sin x + sin 2 x = 0

Gợi ý:
π

 cos x = 0
x = + kπ


2
,k ∈¢
a) 2 cos 2 x + 3 cos x = 0 ⇔ 
3⇔
5π
cos x = −

x=±
+ k 2π

2

6

b)

3sin x + sin 2 x = 0 ⇔ 3sin x + 2sin x.cos x = 0 ⇔ sin x(3 + 2cos x) = 0
sinx = 0
⇔
⇔ x = kπ ; k ∈ ¢.
cosx = − 3

2


Bài 2: Giải phương trình
tan

4

( 2 − sin
x +1 =

2

2x ) sin 3x

cos 4 x

(1)

Gợi ý:
a) Điều kiện : cos x ≠ 0
(1) ⇔ sin 4 x + cos 4 x = (2 − sin 2 2 x) sin 3 x ⇔ 1 −

sin 2 2 x
= (2 − sin 2 2 x)sin 3 x
2

⇔ 2 − sin 2 2 x = (2 − sin 2 2 x)2sin 3 x ⇔ (2 − sin 2 2 x)(1 − 2sin 3 x) = 0
⇔ 1 − 2sin 3 x = 0 ⇔ sin 3 x =

1
π
⇔ sin 3 x = sin
6
2

π
π k 2π



3 x = 6 + k 2π
 x = 18 + 3
⇔
⇔
; k ∈ ¢.
3 x = 5π + k 2π
 x = 5π + k 2π

6
18
3


V.

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC

Tiết 1:
- HS về nhà xem lại các kiến thức đã học.
-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
3. Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x sao cho cosx = 0 ?
4. Phương trình cosx=a.
Tiết 2:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
3. Dựa vào đồ thị của hàm số y = tan x, tìm các giá trị của x sao cho tanx = 0 ?.
4. Phương trình tanx=a.
Tiết 3:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
2. Dựa vào đồ thị của hàm số y = cot x, tìm các giá trị của x sao cho cotx = 0 ?


3. Phương trình cotx=a.
Tiết 4:
-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
3. Máy tính bỏ túi.
4. Bài tập trong SGK.

Tiết 5:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Bài tập trong SGK.
2. Chuẩn bị tiết sau kiểm tra 15p.
Tiết 6:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Đọc trước SGK bài MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
2. Nghiệm của phương trình bậc nhất, bậc hai?


Ngày soạn: 19/09/2017
Tiết: 13 → 17

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức:
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
2. Kỹ năng:
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác khoa học, chú ý tập trung trong giờ.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, luyện tập bài 1. Tiết 2: Nội dung 2.2, luyện tập bài 2. Tiết 3:
Nội dung 2.3, luyện tập bài 3. Tiết 4: Luyện tập bài 4,5. Tiết 5: Luyện tập bài 6, vận dụng và
tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu
Quan sát những phương trình dưới đây, cho biết nó thuộc dạng phương trình nào?

a)2 x − 1 = 0

b) − x 2 + 3 x − 5 = 0

c)2sin x + 2 = 0

d ) tan 2 x − 3tan x + 7 = 0

Gợi ý:
a) Phương trình bậc nhất đối với ẩn x.
b) Phương trình bậc hai đối với ẩn x.
c) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
d) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Ở cấp 2, các em đã biết cách giải phương trình dạng a và b. Những tiết tiếp theo chúng ta sẽ tìm
phương pháp giải các phương trình dạng c, d và một số phương trình lượng giác thường gặp
khác.


2. Nội dung bài học
2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
2.1.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào cách giải phương trình 2x-1=0; hãy giải phương trình 2sinx -1 = 0 ?
Gợi ý:

π

x
=
+ 2 kπ

1

6
2sin x − 1 = 0 ⇔ sinx = ⇔ 
;k ∈¢
5
π
2
x =
+ 2 kπ

6
2.1.2. Hình thành kiến thức:

a) Định nghĩa: (SGK)Phương trình có dạng : at + b = 0; a≠0 ( t là một trong các hàm số lượng
giác).
b) Cách giải : (SGK) at + b = 0 ⇔ t =

−b
a

Ví dụ:
1. Các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?
a) 4sinx + 2 = 0.
b) 3 tanx + 1 = 0.
c) 3 tan2x + 1 = 0
d) 3 x + 1 = 0
2) Giải các phương trình sau :
a )3cosx + 7 = 0

b) cot x + 3 = 0

Gợi ý:
1. Phương trình a, b.
2.
7
a )3cosx + 7 = 0 ⇔ cos x = − ( PTVN )
3
b) cot x + 3 = 0 ⇔ cot x = −3 ⇔ x = arctan(−3) + kπ ; k ∈ ¢.

2.2.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
2.2.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào cách giải phương trình 3 x 2 + 2x − 5 = 0 ; hãy nêu cách giải phương trình
3 tan 2 x + 2 t anx −5 = 0 ?
Gợi ý:
Đặt t=tanx để đưa phương trình sau về phương trình đầu.
2.2.2. Hình thành kiến thức:
a) Định nghĩa: (SGK)
Phương trình có dạng : at 2 + bt + c = 0 ; a≠0 ( t là một trong các hàm số lượng giác).
b) Cách giải : (SGK)
B1 : Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ t và đặt điều kiện t (nếu có) .
B2 : Giải phương trình bậc hai theo t và kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm t .
B3 : Giải phương trình lượng giác theo nghiệm t nhận được.
Ví dụ:
1. Các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?
b)2sin 2 x − sin x − 3 = 0
c)3cot 2 x − 2 3 cot x + 3 = 0
a) 4sinx + 2 = 0.
d) 3 x + 1 = 0
2

2) Giải phương trình 3 tan x + 2 t anx −5 = 0
Gợi ý:


1. Phương trình b, c.
t = 1
2. Đặt t = t anx phương trình trở thành 3 t + 2t − 5 = 0 ⇔ 
5
t=−
3

π
Với t = 1 ta có t anx = 1 ⇔ x = + kπ ; k ∈ ¢
4
5
5
Với t = 1 ta có t anx = − ⇔ x = arctan(− ) + kπ ; k ∈ ¢
3
3
2

2.3.

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
2.3.1. Hoạt động khởi tạo:
1. Nhắc lại công thức cộng sin(a + b) ?
2. Áp dụng vào chứng minh công thức asinx + bcosx = a2 + b2 sin( x + α ) với cosα =
sinα =

b

a
a2 + b2

và

(1).

a + b2
2

Gợi ý:
1. sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa.
2
2
2. asinx + bcosx  =   a + b (

với cosα =

a
a2 + b2

a
a +b

và sinα =

2

2

b

a2 + b2

sinx +

b
a +b
2

2

cosx  ) = a 2 + b 2 sin( x + α );

.

2.3.2. Hình thành kiến thức:
a) Định nghĩa: (SGK)
Phương trình có dạng : asinx + bcosx = c(2).
b) Cách giải : (SGK)
Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc b = 0, a ≠ 0 phương trình (2) có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 ta áp dụng công thức (1)
Ví dụ: Giải phương trình sin x + 3cos x = 1
Gợi ý:
Áp dụng công thức (1) ta có sin x + 3cos x = 1+

( 3)

2

sin( x + α ) = 2 sin( x + α )

π
1
π

3
, cos α = . Từ đó ta lấy α = ta có sin x + 3cos x =2 sin x + ÷ .
3
2
3

2
π

x
=
−
+ k2π

π 1
π
π


6
( k∈ ¢ )
Khi đó : sin x + 3cos x = 1 ⇔ sin x + ÷ = ⇔ sin x + ÷ = sin ⇔ 
3 2

3
6


 x = π + k2π

2

với sin α =

3. Luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:


π
a )2sin( x + ) − 1 = 0
2
c) cot(x+200 ) − 1 = 0

b) 3 t an2x + 1 = 0
d ) cot 2 x − cot x = 0

Gợi ý:
π
 π π

x + = + 2 kπ
x = − + 2 kπ



π
π
1
2 6
3
a )2sin( x + ) − 1 = 0 ⇔ sin( x + ) = ⇔ 
⇔
;k ∈ ¢
π
5
π
π
2
2
2
x + =

+ 2kπ
x = + 2 kπ


2
6
3
1
π
π
π
b) 3 t an2x + 1 = 0 ⇔ tan 2x = −
⇔ 2x = − + kπ ⇔ x = − + k ;k ∈ ¢

6
12
2
3
0
0
0
0
0
c) cot(x+20 ) − 1 = 0 ⇔ cot(x+20 ) = 1 ⇔ x + 20 =45 +k180 ⇔ x=250 +k1800 ;k ∈ ¢

π

x = + kπ

cot
x
=
0
cot
x
=
0


2
⇔
⇔
; k ∈ ¢.
d ) cot 2 x − cot x = 0 ⇔ cot x(cotx −1) = 0 ⇔ 

cot x − 1 = 0
cot x=1
 x = π + kπ

4
x
2 x
Bài 2: Giải phương trình cos + 2cos − (1 + 2) = 0
2
2

Gợi ý:
t = 1

x
2

2
Đặt t = cos ( −1 ≤ t ≤ 1) ta có: t + 2t − (1 + 2) = 0 ⇔ 

t = 1 + 2 (loai)

x
2

x
= 2kπ ⇔ x = 4kπ
2
Bài 3: Giải phương trình cos x − 3 sin x = 2

Với t = 1 ta có cos = 1 ⇔
Gợi ý:

π
π
π

− x = + k2π
x = − + k2π


4
12
1
3
2⇔ 6
⇔
; k∈ ¢.

cos x − 3 sin x = 2 ⇔ cos x −
sin x =
2
2
2
 π − x = 3π + k2π
 x = − 7π + k2π
 6

4
12

Bài 4: Giải phương trình:
a. 2 s in3x − 1 = 0 ;
b. sin 2 x − sin x = 0 ;

c. 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 .

Gợi ý:
a.

π 2
π


x = + kπ
3x = + 2kπ


1
12 3
4
2 s in3x − 1 = 0 ⇔ s in3x =
⇔
⇔
; k ∈ ¢¢.
2
 x = π + 2 kπ
3x = 3π + 2kπ

4

4 3


 x = kπ
sin x = 0
⇔
( k∈ ¢ )
b. sin x − sin x = 0 ⇔ sin x( sin x − 1) = 0 ⇔ 
 x = π + k2π
sin
x
=
1


2
2


x

x
cos = 1
 x = k4π

 2 = k2π
x
2
2 x
⇔

⇔
( k∈ ¢ )
c. 2 cos − 3cos + 1 = 0 ⇔ 
 x = ± 2π + k4π
x
1
x
π
2
2
cos =
 = ± + k2π

3

 2
2 2
3

Bài 5: Giải phương trình:
a. 3 tan 3x − 1 = 0
b. cos x − 3 sin x = 2 ;

c. 3sin 3 x − 4 cos 3x = 5 .

Gợi ý:
a. x =

π
π

+k
18
3

π
π
π

− x = + k2π
x = − + k2π


4
12
1
3
2 ⇔ 6
⇔

b. cos x − 3 sin x = 2 ⇔ cos x −
sin x =
2
2
2
 π − x = 3π + k2π
 x = − 7π + k2π
 6

4
12

α π
2π
3
4
b. x = + + k (với cosα = ,sinα = )
3 6
3
5
5

Bài 6: Giải phương trình
a. 2sin x + 2 cos x − 2 = 0 ;

b. 2sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x = 0

Gợi ý:
a ) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 2sin x + 2cos x = 2

⇔

π
 π π

x + = + k2π
x = − + k2π


1
π 1


4 6
12
sin x +
cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ 
⇔
; k ∈ ¢.
2
4 2
π
5
π
7
π
2
2

 x+ =
x=
+ k2π
+ k2π


4 6
12

1

1

b) Ta thấy cosx = 0 không thoã mãn phương trình (vì VT = 2 , VP = 0). Chia hai vế của phương

trình cho cos2x, ta được 2tan2 x + tan x − 3 = 0
π

 tan x = 1
 x = + kπ
4

( k∈ ¢ )
 x = arctan − 3  + kπ
 2÷



π
 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ ; x = arctan − ÷+ kπ ;( k ∈ ¢ ) .
4
 2
⇔
⇔
 tan x = − 3

2

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1: Giải phương trình 3sin 3x − 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x
Gợi ý:
3
3sin 3x − 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x ⇔ (3sin 3 x − 4sin 3 x) − 3 cos9 x = 1

π
2π

x
=
+
k

π
π
18
9
⇔
⇔
sin(9
x
−
)
=
sin

⇔ sin 9 x − 3 cos9 x = 1
3
6
 x = 7π + k 2π

54
9
Bài 2: Giải phương trình tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2(2cos x −

Gợi ý:
Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

(1) ⇔

1
) = 0 (1)
cos x

π
+ kπ
2

sin x
2
− sin 2 x − cos 2 x + 4cos x −
=0
cos x
cos x

⇔ sin x − 2sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2(2cos 2 x − 1) = 0
⇔ sin x(1 − 2cos 2 x) − cos 2 x cos x + 2cos 2 x = 0
⇔ − sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2cos 2 x = 0
cos 2 x = 0

π
π
⇔ cos 2 x(sin x + cos x − 2) = 0 ⇔ 
⇔ x = + k ; k ∈ ¢.
4

2
sin x + cos x = 2(vn)
Bài 3: Giải phương trình 8sin x =

3
1
(1)
+
cos x sin x

Gợi ý:
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

π
2

(1) ⇔ 8sin 2 x cos x = 3 sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos 2 x)cos x = 3 sin x + cos x

⇔ −4cos 2 x cos x = 3 sin x − 3cos x ⇔ −2(cos3 x + cos x) = 3 sin x − 3cos x

π

x
=
+ kπ

π
6
1
3

; k ∈ ¢.
⇔ cos3x = cos x −
sin x ⇔ cos3 x = cos( x + ) ⇔ 
π
π
3
2
2
x = − + k

12
2
V.
Tiết 1:

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC


- HS về nhà xem lại các kiến thức đã học.
-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Cách giải phương trình bậc hai đối với ẩn x?
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Tiết 2:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Công thức cộng?.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Tiết 3:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Bài tập trong SGK.
2. Máy tính bỏ túi
Tiết 4:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Máy tính bỏ túi.
2. Bài tập trong SGK.
Tiết 5:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Xem lại kiến thức toàn chương, tiết sau ôn tập chương.


Ngày soạn: 1/10/2017
Tiết: 18,19

ÔN TẬP CHƯƠNG I

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: Hiểu được cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc
nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Biết được cách giải phương trình thuần nhấ bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương
trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
2. Kỹ năng: Giải được các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai
đối với một hàm số lượng giác.
Giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất
đối với sinx và cosx.

II.

3. Thái độ: Cẩn thận, chính xác.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.

III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung, luyện tập bài 1, bài 2. Tiết 2: Luyện tập bài 3, 4, vận dụng và tìm
tòi mở rộng.
1. Giới thiệu
a. Viết công thức nghiệm PTLG cơ bản?
b. Nêu cách giải PTLG a sin x+bcosx=c?
c. Nêu cách giải PT bậc hai đối với 1 HSLG?
Để ôn tập lại kiến thức của Chương 1, chúng ta có tiết ôn tập sau.
2. Nội dung bài học
2.1. Hàm số lượng giác.
2.2. Phương trình lượng giác cơ bản.
a. Phương trình sinx = a.