- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán sở GDĐT Kon Tum
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.65 MB, 25 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1.
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. y
C. y
Câu 2.
x 1
x 1
.
B. y
.
x 1
x 1
Họ nguyên hàm của hàm số f x e x sin x là
B. e x cos x C .
ex
cos x C .
D.
x
Câu 3.
A. e x cos x C .
1 x
e cos x C .
C.
x 1
Hàm số y sin x cos x có tập xác định là
A. D 1;1 .
C. D .
B. D 2; 2 .
x 1
.
x
D. y
D. \ k ; k .
2
Câu 4.
Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Câu 5.
Đồ thị hàm số và trục Ox có bao nhiêu điểm chung?
A. 0 .
B. 2 .
C. 1.
D. 3 .
Khối lập phương ABCD. AB C D có đường chéo AC 2 3 thì có thể tích bằng
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
A. 8 .
B. 1.
C. 3 3 .
D. 24 3 .
Cho số phức z 4 6i . Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy . Tung độ
của điểm M bằng
A. 4.
B. 6.
C. 4.
D. 6.
4
Khối cầu có thể tích bằng thì có bán kính bằng
3
A. 2.
D. 1.
B. 2.
C. 3.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
x
A. y .
12
Cho
1
x
1
B. y .
2
2
Câu 9.
2x 1
.
x3
x
e
C. y .
3
x
3
D. y .
2
2
f ( x)dx 3 . Giá trị của
3 f ( x) 2 xdx bằng
1
Trang 1/25 - WordToan
A. 12 .
C. 12 .
B. 3 .
5
D. 9 .
2
Câu 10. Cho a là số thực dương và khác 1 . Giá trị của log a3 a bằng
2
6
5
1
.
B. .
C. .
D. .
15
5
6
5
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;0;0 , B 0;3; 0 , C 0; 0;3 . Tọa độ trọng tâm của tam
A.
giác ABC là
A. 1;1;0 .
B. 1;0;1 .
C. 3;3;3 .
D. 1;1;1 .
Câu 12. Hàm số y x 3 x 2 có báo nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
2
2
2
Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 3 3 . Tâm I và bán kính R
4
2
của S là
A. I 1; 1; 3 và R 3 .
B. I 1; 1; 3 và R 3 .
C. I 1;1;3 và R 3 .
D. I 1;1;3 và R 3 .
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho a 2i 4k , với i , k là các vectơ đơn vị. Tọa độ của a là:
B. 2; 0; 4 .
C. 2;0; 4 .
D. 2; 4;0 .
A. 2; 4;0 .
Câu 15. Cho số phức z 2i 1 3 i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng
B. 1 .
C. 1.
D. 32 .
A. 21 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 3; 2;5 , N 1; 6; 3 . Phương trình nào sau đây là
2
2
phương trình mặt cầu đường kính MN ?
2
2
2
A. x 1 y 2 z 1 6 .
B. x 1 y 2 z 1 36 .
C. x 1 y 2 z 1 6 .
D. x 1 y 2 z 1 36 .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P :2 x y z 3 0 và điểm A 1; 2;1 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với P có phương trình là
x 1 2t
A. y 2 t .
z 1 t
x 1 2t
B. y 2 t
z 1 2t
x 1 2t
C. y 2 4t .
z 1 3t
x 2 t
D. y 1 2t .
z 1 t
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x x 1 x và trục hoành. Vật thể tròn xoay
sinh ra khi quay hình phẳng D quanh trục Ox có thể tích bằng
4
22
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
3
13
15
2
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 3 x . Hàm số đã cho đồng biến trong
khoảng nào dưới đây?
A. 3; .
B. 2; 1 .
C. 1;3 .
D. ; 2 .
Câu 20. Gọi m ( m ) là giá trị nhỏ nhất của hàm số y
x2 x 1
trên khoảng 1; , m là một
x 1
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x 2 x 2 0 .
B. 3x 2 8x 3 0 .
C. x 2 3x 4 0 .
Câu 21. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 4 x 7 log 2 x 1 là
A. 4 .
Câu 22. Cho hàm số f x
B. 1 .
C. 6 .
D. 2 x 2 5 x 2 0 .
D. 2 .
f x
2 3
x ln x . Giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; của hàm số g x
3
x
bằng
Trang 2/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
2
.
B. 1 .
C. 3 .
D. 3 3 4 .
3
Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có SA ABC , SA a 3 , G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách
A.
từ G đến ABC bằng
2a 3
a 3
a 6
a
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 24. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
A.
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 25. Cho khối trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng 4 a và chiều cao bằng bán kính của đường tròn
đáy. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
8 a 3
A. 2 a3 .
B. 8 a3 .
C. 4 a3 .
D.
.
3
3
Câu 26. Số phức z thỏa mãn z 1 4i 1 i thì có môđun bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 5 .
3
2
Câu 27. Hàm số y log x 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?
D.
A. 1.
B. 5 .
C. 2 .
Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ.
D. 0 .
x
-∞
_
y'
y
0
+∞
1
0
-1
+
0
_
0
1
29 .
+∞
+
+∞
-2
-2
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 1;100 của tham số m để phương trình f x m 0
có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 1 .
B. 97 .
C. 2 .
D. 96 .
Câu 29. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua ba điểm A 2; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0; 3 có
phương trình là
A. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
B. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
C. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
D. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 và w 2 z 1 i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng
A. 16 74 .
B. 4 74 .
C. 2 130 .
D. 4 130 .
Câu 31. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với ABC . Góc giữa hai
mặt phẳng SBC và ABC bằng 300 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
8
C.
a3 3
.
6
D.
a3 3
.
12
Trang 3/25 - WordToan
Câu 32. Cho hàm số y x 3 1 2m x 2 2 m x 2 m , Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham
số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng 0; 2 . Số tập hợp con của S là
A. 1.
B. 4 .
C. 16 .
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
D. 0 .
5;5
để phương trình
9 x 2.3x 1 2m 1 0 có duy nhất một nghiệm?
A. 11 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 6 .
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 3 x . Hàm số f 2 x 1 đạt cực đại tại
A. x 2 .
B. x 0 .
C. x 1 .
D. x 3 .
3
sin
Câu 35. Cho biết
2
x tan xdx ln a
0
bằng
A. 12 .
b
với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức M 3a 2b
8
C. 1 .
B. 0 .
Câu 36. Giá trị của lim
x 3
D. 3 .
8
bằng
x2
8
8
.
D. .
6
5
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là các số
nguyên có trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 5, các điểm cùng có xác suất được chọn như nhau. Xác
suất để chọn được một điểm mà khoảng cách từ điểm được chọn đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng
3.
36
13
15
29
A.
B. .
C. .
D.
.
.
121
81
81
121
Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho điểm A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c trong đó a, b, c là các số thực
A. 8 .
B. 8 .
C.
1 2 3
7 . Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu
a b c
72
2
2
2
S : x 1 y 2 x 3 . Thể tích khối tứ diện OABC bằng.
7
2
1
5
B. .
C. .
A. .
9
6
6
thỏa mãn
2
Câu 39.
Cho biết
D.
3
.
8
8
x f x dx 12 . Giá trị của f x dx bằng
2
3
1
1
A. 3.
B. 36.
C. 24.
D. 15.
Câu 40. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng
1
1
1
B. 2a 2 .
C. 3a 2 .
D.
A. 3a 2 .
3a 2 .
3
3
27
6
ln 3
2 x 1 f x dx 3 .
x
Câu 41. Cho hàm số f x liên tục trên tập hợp và thỏa mãn f e 3 dx 1 ,
x3
0
4
6
Giá trị của
f x dx bằng
4
A. 10 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 12 .
Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng 60o . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC . Mặt phẳng BMN chia
Trang 4/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi V1 là thể tích khối đa
V
diện có chứa đỉnh S , V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Giá trị của 1 bằng
V2
A.
1
.
7
B.
7
.
5
C.
6
.
5
D.
7
.
3
1
3
1
3
i, z2
i . Gọi z là số phức thỏa mãn 3z 3i 3 . Giá trị
2 2
2 2
nhỏ nhất của biểu thức T z z z1 z z2 bằng
Câu 43. Cho hai số phức z1
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 2 .
D. 3 2 .
Câu 44. Cho các số thực a , b, x, y thỏa mãn điều kiện ax by 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 2 b 2 x 2 y 2 bx ay bằng
A. 3 .
B. 4 .
C. 3 3 .
D. 4 3 .
Câu 45. Cho ham số y f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiên giá trị nguyên của
tham số m để phương trình f
4 x x 2 1 m 5 có 4 nghiệm phân biệt.
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 1.
Câu 46. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên âm của giá trị tham số m để đồ thị hàm số y 2 x3 mx 2 6 x
đồng biến trên khoảng ( 2; 0) . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 15 .
B. 10 .
C. 3 .
D. 21 .
2
2
2
a
Câu 47. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a 3 b 3 c 3 18 và 2 6b 12 c . Giá trị biểu
thức M a b c bằng
A. 7.
B. 11 .
C. 3.
D. 1 .
Câu 48. Cho hàm số f x xác định, có đạo hàm trên và thỏa mãn f 2 x 1 8 x f 1 x
x . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại x 1 có phương trình là
3
A. y 2 x 1 .
B. y x 3 .
C. y x 2 .
2
D. y 3 x 11 .
Trang 5/25 - WordToan
Câu 49. Cho hàm số f x liên tục trên và có đạo hàm f x x 2 x 3 x 2 4 x m 1 với mọi x .
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2019; 2019 để hàm số g x f 3 2 x nghịch biến
trên khoảng ; 2 ?
A. 1010 .
B. 2015 .
C. 4029 .
D. 2020 .
2
2
2
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 4 và điểm A 1;0;0 . Xét
đường thẳng d đi qua A và song song với mặt phẳng R : x y z 5 0 . Giả sử P và P là
hai mặt phẳng chứa d tiếp xúc với S lần lượt tại T và T . Khi d thay đổi gọi M , m lần lượt là
M
bằng
m
13
D.
.
10
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng T T . Giá trị biểu thức
A.
15
.
13
B.
Trang 6/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
15
13
.
C.
.
11
11
------------- HẾT -------------
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C D A B D D A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B D A D D A A C A B
11
D
36
B
12
C
37
D
13
D
38
A
14
C
39
B
15
A
40
C
16
B
41
C
17
A
42
B
18
A
43
A
19
C
44
A
20
B
45
A
21
D
46
D
22
C
47
C
23
C
48
C
24
B
49
B
25
B
50
A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A. y
x 1
.
x 1
B. y
x 1
.
x 1
C. y
x 1
.
x
D. y
2x 1
.
x3
Lời giải
Chọn B
+ lim y và lim y suy ra đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 1 làm tiệm cận đứng.
x 1
x 1
Suy ra loại A, C, D.
+ Mặt khác, lim y 1 và lim y 1 suy ra đồ thị hàm số nhận đường thẳng y 1 làm tiệm cận
x
Câu 2.
x
2
x 1
ngang và y
0 suy ra hàm số đồng biến trên (; 1) và (1; ) nên ta chọn
2
x 1 ( x 1)
B.
Họ nguyên hàm của hàm số f x e x sin x là
A. e x cos x C .
1 x
e cos x C .
C.
x 1
B. e x cos x C .
ex
cos x C .
D.
x
Lời giải
Chọn A
x
x
f x dx e sin x dx e cos x C .
Câu 3.
Hàm số y sin x cos x có tập xác định là
A. D 1;1 .
C. D .
B. D 2; 2 .
D. \ k ; k .
2
Lời giải
Chọn C
Hàm số y sin x cos x có tập xác định là: D .
Câu 4.
Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Trang 7/25 - WordToan
Câu 5.
Đồ thị hàm số và trục Ox có bao nhiêu điểm chung?
A. 0 .
B. 2 .
C. 1.
D. 3 .
Lời giải
Chọn D
Trục Ox có phương trình: y 0 . Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y 0 cắt đồ thị tại 3
điểm nên đồ thị hàm số và trục Ox có 3 điểm chung.
Khối lập phương ABCD. AB C D có đường chéo AC 2 3 thì có thể tích bằng
C. 3 3 .
Lời giải
B. 1.
A. 8 .
D. 24 3 .
Chọn A
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Gọi cạnh của hình lập phương là x AC x 2 và CC x ( x 0 ).
Trong tam giác vuông C CA ta có: CA2 AC 2 C C 2 12 2 x 2 x 2 x2 4 x 2 .
Vậy thể tích của khối lập phương ABCD. ABC D là V x3 8 .
Cho số phức z 4 6i . Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy . Tung độ
của điểm M bằng
A. 4.
B. 6.
C. 4.
D. 6.
Lời giải
Chọn B
Ta có z 4 6i z 4 6i .
Vì M là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy nên M 4; 6 .
Vậy điểm M có tung độ bằng 6.
4
Khối cầu có thể tích bằng thì có bán kính bằng
3
A. 2.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Chọn D
4
Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích của khối cầu là: V R 3
3
4
4
3
3
Theo giả thiết ta có R R 1 R 1.
3
3
Vậy khối cầu có bán kính R 1.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
x
A. y .
12
x
1
B. y .
2
Trang 8/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
x
e
C. y .
3
x
3
D. y .
2
Lời giải
Chọn D
Hàm số mũ y a x với a 0 , a 1 đồng biến trên khi và chỉ khi a 1 .
x
3
3
Ta có 1 nên hàm số y đồng biến trên .
2
2
2
Câu 9.
Cho
2
f ( x)dx 3 . Giá trị của
1
A. 12 .
3 f ( x) 2 x dx bằng
1
C. 12 .
Lời giải
B. 3 .
D. 9 .
Chọn A
Ta có
2
2
2
2
1
1
1
1
2
3 f ( x) 2 xdx 3 f ( x)dx 2 xdx 3 f ( x)dx x 12 .
2
1
Câu 10. Cho a là số thực dương và khác 1 . Giá trị của log a3 5 a 2 bằng
A.
2
.
15
B.
6
.
5
C.
5
.
6
D.
1
.
5
Lời giải
Chọn A
2
2
log a a .
15
15
A
B
C
3;0;0
,
0;3;
0
,
0;
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
0;3 . Tọa độ trọng tâm của tam
Với a là số thực dương và khác 1 , ta có: log a3 5 a 2
giác ABC là
A. 1;1;0 .
B. 1;0;1 .
C. 3;3;3 .
D. 1;1;1 .
Lời giải
Chọn D
Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là G 1;1;1 .
Câu 12. Hàm số y x 4 3 x 2 2 có báo nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 0 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có y 4 x 3 6 x 2 x 2 x 2 3 .
D. 2 .
x 0
y 0
, nên Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
x 3
2
2
2
2
Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 3 3 . Tâm I và bán kính R
của S là
A. I 1; 1; 3 và R 3 .
B. I 1; 1; 3 và R 3 .
C. I 1;1;3 và R 3 .
D. I 1;1;3 và R 3 .
Lời giải
Chọn D
2
2
2
Mặt cầu S : x 1 y 1 z 3 3 có I 1;1;3 và R 3 .
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho a 2i 4k , với i , k là các vectơ đơn vị. Tọa độ của a là:
A. 2; 4;0 .
B. 2; 0; 4 .
C. 2;0; 4 .
D. 2; 4;0 .
Lời giải
Chọn C
Ta có a 2i 0 j 4k a 2; 0; 4 .
Trang 9/25 - WordToan
Câu 15. Cho số phức z 2i 1 3 i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng
2
A. 21 .
2
B. 1 .
D. 32 .
C. 1.
Lời giải
Chọn A
2
2
Ta có z 2i 1 3 i 11 10i .
Vậy tổng phần thực và phần ảo là 21 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 3; 2;5 , N 1; 6; 3 . Phương trình nào sau đây là
phương trình mặt cầu đường kính MN ?
2
2
2
A. x 1 y 2 z 1 6 .
B. x 1 y 2 z 1 36 .
2
C. x 1 y 2 z 1 6 .
2
2
2
2
D. x 1 y 2 z 1 36 .
Lời giải
2
2
2
2
Chọn B
Ta có: MN 4;8; 8 , MN 12 .
Gọi I là trung điểm của MN I 1; 2;1 .
Phương trình mặt cầu đường kính MN có tâm I 1; 2;1 , bán kính R
x 1
2
MN 12
6 là:
2
2
y 2 z 1 36 .
2
2
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P :2 x y z 3 0 và điểm A 1; 2;1 . Đường thẳng
đi qua A và vuông góc với P có phương trình là
x 1 2t
A. y 2 t .
z 1 t
x 1 2t
B. y 2 t
z 1 2t
x 1 2t
C. y 2 4t .
z 1 3t
x 2 t
D. y 1 2t .
z 1 t
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng P :2 x y z 3 0 có vectơ pháp tuyến n 2; 1;1 .
Vì đường thẳng vuông góc với P nên đường thẳng nhận n 2; 1;1 làm vectơ chỉ phương.
x 1 2t
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với P là: y 2 t .
z 1 t
Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x x 1 x và trục hoành. Vật thể tròn xoay
sinh ra khi quay hình phẳng D quanh trục Ox có thể tích bằng
4
22
.
B.
.
C.
.
A.
12
3
13
Lời giải
Chọn A
x 0
Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x 0
.
x 1
1
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V x 1 x
0
2
D.
7
.
15
1
x3 x4
dx .
3 4 0 12
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 2 x 1 3 x . Hàm số đã cho đồng biến trong
khoảng nào dưới đây?
A. 3; .
B. 2; 1 .
C. 1;3 .
D. ; 2 .
2
Lời giải
Trang 10/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
Chọn C
1 x 3
2
Cho f x 0 x 2 x 1 3 x 0
.
x 2
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 .
Câu 20. Gọi m ( m ) là giá trị nhỏ nhất của hàm số y
nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x 2 x 2 0 .
B. 3x 2 8x 3 0 .
x2 x 1
trên khoảng 1; , m là một
x 1
C. x 2 3x 4 0 .
Lời giải
D. 2 x 2 5 x 2 0 .
Chọn B
Trên khoảng 1; thì x 1 0 .
1
x2 x 1
1
1
3. 3 x 1 .1.
3.
x
x 1 1
x 1
x 1
x 1
x 1
1
Đẳng thức xảy ra khi x 1 1
x 2.
x 1
Suy ra m min y 3 .
Khi đó, y
1;
Dễ thấy m là một nghiệm của phương trình 3x 2 8x 3 0 .
Câu 21. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 4 x 7 log 2 x 1 là
A. 4 .
B. 1 .
C. 6 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn D
Điều kiện: x 1 .
log 4 x 7 log 2 x 1
1
log 2 x 7 log 2 x 1
2
log 2 x 7 log 2 x 1 x 7 x 1
2
2
x 2 x 6 0 3 x 2
Kết hợp với điều kiện 1 x 2 .
Do x x 0;1
Câu 22. Cho hàm số f x
bằng
2
A. .
3
f x
2 3
x ln x . Giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; của hàm số g x
3
x
B. 1 .
C. 3 .
D. 3 3 4 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
1
, x 0; .
x
1
Suy ra g x 2 x 2 , x 0; .
x
2
2
Trên khoảng 0; , g x 2 3 ; g x 0 2 3 0 2 x 3 2 0 x 1 0; .
x
x
Bảng biến thiên:
Ta có f x 2 x 2
Trang 11/25 - WordToan
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min g x g 1 3 .
0;
Cách 2:
1
, x 0; .
x
1
Suy ra g x 2 x 2 , x 0; .
x
1
1
1
1
Ta có: g x 2 x 2 x x 2 3 3 x.x. 2 3 . Đẳng thức xảy ra khi x 2 x 1 .
x
x
x
x
Vậy min g x 3 , khi x 1 .
Ta có f x 2 x 2
0;
Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có SA ABC , SA a 3 , G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách
từ G đến ABC bằng
A.
2a 3
.
3
B.
a
.
3
C.
a 3
.
3
D.
a 6
.
3
Lời giải
Chọn C
S
N
G
B
A
H
M
C
Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC .
Kẻ GH //SA , H AM . Vì SA ABC nên GH ABC . Như vậy d G, ABC GH .
Xét tam giác SAM ta có:
SA a 3
GH MG 1
.
GH
3
3
SA MS 3
a 3
.
3
Câu 24. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
Vậy d G, ABC
Trang 12/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
D. 4 .
Chọn B
Dựa bảng biến thiên
+ lim y nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 0 .
x 0
+ lim y nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 .
x 2
Câu 25. Cho khối trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng 4 a và chiều cao bằng bán kính của đường tròn
đáy. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
8 a 3
A. 2 a3 .
B. 8 a3 .
C. 4 a3 .
D.
.
3
Lời giải
Chọn B
Gọi bán kính đáy trụ là R và chiều cao là h .
Do khối trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng 4 a nên ta có 2 R 4 a R 2a .
Mặt khác khối trụ có chiều cao bằng bán kính của đường tròn đáy nên h R 2a .
2
3
Khi đó, thể tích của khối trụ đã cho V R h 2a .2a 8 a .
2
Câu 26. Số phức z thỏa mãn z 1 4i 1 i thì có môđun bằng
3
A.
3.
B.
5.
C. 5 .
Lời giải
D.
29 .
Chọn B
3
z 1 4i 1 i 1 4i 1 3i 3i 2 i 3 1 2i .
Suy ra z (1)2 22 5 .
Câu 27. Hàm số y log x3 3 x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 5 .
C. 2 .
Lời giải
D. 0 .
Chọn D
Điều kiện: x 3 3 x 2 0 x 3.
3x 2 6 x
3x( x 2)
3
0, x 3 . Do đó hàm số đã cho không có cực trị.
Ta có y ' 3
2
( x 3 x ) ln10 ( x 3 x 2 ) ln10
Câu 28. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ.
Trang 13/25 - WordToan
x
-∞
_
y'
y
0
1
0
-1
+
+∞
_
0
0
1
+∞
+
+∞
-2
-2
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 1;100 của tham số m để phương trình f x m 0
có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 1 .
B. 97 .
C. 2 .
D. 96 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: f x m 0 f x m .
Do đó phương trình f x m 0 có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng
y m cắt đồ thị hàm số y f x tại đúng hai điểm phân biệt.
m 2
m 2
Từ bảng biến thiên suy ra
.
m 1
m 1
Vì m là giá trị nguyên thuộc khoảng 1;100 nên m 2 .
Câu 29. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua ba điểm A 2; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0; 3 có
phương trình là
A. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
B. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
C. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
D. 3 x 6 y 2 z 6 0 .
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng P đi qua ba điểm A 2; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0; 3 có phương trình là
x y z
1 3x 6 y 2 z 6 0 .
2 1 3
Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 và w 2 z 1 i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng
A. 16 74 .
B. 4 74 .
C. 2 130 .
Lời giải
D. 4 130 .
Chọn D
Ta có w 2 z 1 i w 2 z 6 8i 7 9i w 7 9i 2 z 6 8i .
w 7 9i 2 z 6 8i w 7 9i 2 z 3 4i 4 .
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 7; 9 , bán kính R 4 .
Vậy max w OI R 7 2 9 4 4 130 .
2
Câu 31. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với ABC . Góc giữa hai
mặt phẳng SBC và ABC bằng 300 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
8
C.
Lời giải
Chọn A
Trang 14/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
a3 3
.
6
D.
a3 3
.
12
Gọi la I là trung điểm của BC
Khi đó ta có AI BC , SA BC BC SAI BC SI .
.
Do đó
SI , AI SIA
SBC , ABC
2a 3
a 3 , ta có SA AI .tan 300 a .
2
1 1
1
a3 3
Vậy VSABC . AI .BC .SA a 3.2a.a
.
3 2
6
3
Câu 32. Cho hàm số y x3 1 2m x 2 2 m x 2 m , Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham
Tam giác ABC đều cạnh 2a AI
số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng 0; 2 . Số tập hợp con của S là
A. 1.
B. 4 .
C. 16 .
Lời giải
D. 0 .
Chọn A
Ta có: y ' 3x 2 2 1 2 m x 2 m .
Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng 0; 2 y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng
0; 2 .
Phương trình 3 x 2 2 1 2m x 2 m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0; 2
m 1
2
m
m
4
5
0
' 0
m 5
2
4m m 5 0
x 0
4
2 4m 0, 2 m 0
1
x
x
x
x
0,
0
1 2
3
3
1 2
x2 0
m 1 , m 2
2
x 2 0
x1 2 x2 2 0
x1 x2 2 x1 x2 4 0
1
x x 4 0
2 4 m
18 9m 0
1 2
x2 2 0
4 0
3
m 7
2
5
m 2 suy ra không có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện hay S .
4
Số tập hợp con của S là 1.
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 5;5 để phương trình
9 x 2.3x1 2m 1 0 có duy nhất một nghiệm?
A. 11 .
B. 3 .
C. 7 .
Lời giải
Chọn C
x
x 1
x
x
Ta có: 9 2.3 2m 1 0 9 6.3 2m 1 0 1 .
D. 6 .
Đặt t 3x t 0 , phương trình đã cho trở thành t 2 6t 2m 1 0 2 .
Trang 15/25 - WordToan
Phương trình 1 có duy nhất một nghiệm phương trình 2 có một nghiệm kép dương hoặc
' 0
m 5
có hai nghiệm trái dấu 3 0
.
m 1
2m 1 0
2
Đối chiếu điều kiện m 5;5 , m ta có m 5; 4; 3; 2; 1; 0;5 .
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.
Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 3 x . Hàm số f 2 x 1 đạt cực đại tại
A. x 2 .
B. x 0 .
C. x 1 .
Lời giải
D. x 3 .
Chọn A
Đặt g x f 2 x 1
g x 2. f 2 x 1 2 2 x 1 1 3 2 x 1 2. 2 x 2 4 2 x .
x 1
g x 0 2. 2 x 2 4 2 x 0
.
x 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm sô đạt cực đại tại x 2 .
3
Câu 35. Cho biết
sin
2
x tan xdx ln a
0
bằng
A. 12 .
b
với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức M 3a 2b
8
C. 1 .
Lời giải
B. 0 .
D. 3 .
Chọn B
3
3
3 1 cos 2 x s inx
dx .
s inx
Xét I sin x tan xd x sin x.
dx
cosx
cosx
0
0
0
Đặt t cosx dt sin xdx
1
Với x 0 t 1 ; x t .
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1 t dt
1 t dt
t
3
1
Do đó I
t dt ln t 1 ln 2 .
t
t
2
8
t
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
Suy ra a 2, b 3 .
Vậy M 3a 2b 3.2 2.3 0 .
8
Câu 36. Giá trị của lim
bằng
x 3 x 2
A. 8 .
B. 8 .
C.
Lời giải
Chọn B
Trang 16/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
8
.
6
D.
8
.
5
8
8
8.
x 3 x 2
32
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là các số
nguyên có trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 5, các điểm cùng có xác suất được chọn như nhau. Xác
suất để chọn được một điểm mà khoảng cách từ điểm được chọn đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng
3.
36
13
15
29
B. .
C. .
D.
A.
.
.
121
81
81
121
Lời giải
Chọn D
Không gian mẫu : tập hợp các điểm có hoành độ và tunng độ là các số nguyên có trị tuyệt đối
nhỏ hơn hoặc bằng 5.
n 11.11 121 .
Ta có: lim
Gọi điểm A x; y thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 3.
OA 3 x 2 y 2 3
TH1. A 0; y
y 3 y 3; 2; 1;0;1 2;3 có 7 điểm thỏa mãn.
TH2. A x;0
Câu 38.
x 0
x 3 x 3; 2; 1;1 2;3 có 6 điểm thỏa mãn.
TH3. A x, y x; y 0
x 2; 1;1; 2
x2 y2 3
số cách chọn điểm là: 4.4 16 .
y 2; 1;1; 2
Số cách chọn điểm A thỏa mãn điều kiện là: n A 7 6 16 29 (cách).
n A 29
Vậy xác suất chọn điểm A thỏa mãn điều kiện là: P
.
n 121
Trong không gian Oxyz, cho điểm A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c trong đó a, b, c là các số thực
1 2 3
7 . Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu
a b c
72
2
2
2
S : x 1 y 2 x 3 . Thể tích khối tứ diện OABC bằng.
7
2
1
5
A. .
B. .
C. .
9
6
6
Lời giải
Chọn A
x y z
Gọi phương trình mp ABC : 1 bcx acy abz abc 0.
a b c
1 2 3
1
2
3
Từ 7 (1)
1.
a b c
7 a 7b 7c
1 2 3
Mặt phẳng ABC đi qua điểm M ; ; .
7 7 7
thỏa mãn
D.
3
.
8
1 2 3
Nhận thấy M thuộc mặt cầu S mặt phẳng ABC tiếp xúc mặt cầu S tại M ; ; .
7 7 7
6 12 18
Vecto IM ; ; là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ABC .
7
7
7
Trang 17/25 - WordToan
a
b 2
ac ab
bc
ac
ab
(2)
bc
6
12
18
a
2
3
c
7
7
7
3
b 1
1 4 9
Thay (2) vào (1) ta được: 7 a 2
2
a a a
c 3
Thể tích khối chóp OABC là:
1
1
2 2
abc .2.1. .
6
6
3 9
2
Câu 39. Cho biết
2
3
x f x dx 12 . Giá trị của
1
A. 3.
B. 36.
8
f x dx bằng
1
C. 24.
Lời giải
D. 15.
Chọn B
1
Đặt t x3 3 x 2 dx dt x 2 dx dt .
3
2
8
8
8
2
1
1
2
3
2
3
x
f
x
d
x
f
t
d
t
f
x
d
x
f
x
d
x
3
1
1
1 x f x dx 36 .
3 1
3 1
Câu 40. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng
1
1
1
A. 3a 2 .
B. 2a 2 .
C. 3a 2 .
D.
3a 2 .
3
3
27
Lời giải
Chọn C
Tứ diện đều ABCD nội tiếp hình nón đỉnh D , đáy của hình nón là đường tròn C ngoại tiếp tam
giác ABC .
Gọi H là trung điểm của BC .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G là tâm đường tròn C Đường tròn C có bán kính
r AG
2
3a
.
AH
3
3
Diện tích xung quanh của hình nón bằng: S xq rl .
Câu 41. Cho hàm số f x liên tục trên tập hợp và thỏa mãn
3a 2
(đvdt).
3
6
2 x 1 f x dx 3 .
f e x 3 dx 1 ,
x3
4
3a
.a
3
ln 3
0
6
Giá trị của
f x dx bằng
4
A. 10 .
B. 5 .
Trang 18/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
C. 4 .
D. 12 .
Lời giải
Chọn C
ln 3
Đặt I1
f e
x
3 dx 1 .
0
Đặt e x 3 t e x t 3 e x dx dt dx
Đổi cận: x 0 t 4 , x ln 3 t 6 .
6
f t dt 6 f x dx
Khi đó: I1
1.
t 3
x3
4
4
6
Ta có
4
dt
t 3
2 x 1 f x dx 6 2 x 6 f x 5 f x dx 2 6
x 3
6
4
4
f x dx 5
x3
4
6
6
4
4
f x
dx 3 .
x3
2 f x dx 5 3 f x dx 4 .
Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng 60o . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC . Mặt phẳng BMN chia
khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi V1 là thể tích khối đa
V
diện có chứa đỉnh S , V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Giá trị của 1 bằng
V2
A.
1
.
7
B.
7
.
5
C.
6
.
5
D.
7
.
3
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng ABCD gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BM .
Suy ra E là trung điểm BM .
Trong mặt phẳng SCD gọi F là giao điểm của hai đường thẳng SD và MN .
Suy ra F là trọng tâm của tam giác SCM .
Cách 1:
Trang 19/25 - WordToan
VM .EFD ME MF MD 1 2 1 1
1
. . VM . EFD VM . BNC .
.
.
VM .BNC MB MN MC 2 3 2 6
6
5
5
V2 VM .BCN VM . EFD VM .BCN VN . BCM .
6
6
1
1
VN .BCM d N , BCM .S BCM , d N ,( BCM d S , ABCD , S BCM S ABCD
3
2
(do ABE DME )
1
5 1
5
7
VN .BCM VS . ABCD V2 . .VS . ABCD VS . ABCD V1 VS . ABCD .
2
6 2
12
12
V1 7
.
Vậy
V2 5
Cách 2:
Gọi V VS . ABCD , h SO , AB a .
1
1 h
1
VN .MCB d N , ABCD .S BCM . .a 2 V .
3
3 2
2
2
1
1 h a
1
VF .EMD d F , ABCD .S EMD . . V .
3
3 3 4 12
5
7 V 7
1 1
V2 V V , V1 V V2 V 1 .
12
12 V2 5
2 12
Ta có
1
3
1
3
i, z2
i . Gọi z là số phức thỏa mãn 3z 3i 3 . Giá trị
2 2
2 2
nhỏ nhất của biểu thức T z z z1 z z2 bằng
Câu 43. Cho hai số phức z1
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 2 .
Lời giải
D. 3 2 .
Chọn A
B
A
I
M
O
1 3 1 3
Gọi M x; y , A ;
, B ;
lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z , z1 , z2 .
2 2 2 2
Ta có OA OB AB 1 nên tam giác OAB đều cạnh bằng 1 .
2
1 1
3 x y
3.
3
1
1
Suy ra M thuộc đường tròn C tâm I 0;
.
bán kính R
3
3
Dễ thấy các điểm O , A, B thuộc C và T MO MA MB .
Ta có 3x 3 yi 3i 3 9 x 2 3 y 3
2
2
thì ta có: T MO MA MB OA OB 2
Nếu M thuộc cung nhỏ OA
,
Tương tự với trường hợp M thuộc các cung nhỏ OB
AB . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với một
trong ba đỉnh O , A, B .
Vậy min T 2 .
Trang 20/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
Câu 44. Cho các số thực a , b, x, y thỏa mãn điều kiện ax by 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 2 b 2 x 2 y 2 bx ay bằng
A. 3 .
C. 3 3 .
Lời giải
B. 4 .
D. 4 3 .
Chọn A
Cách 1.
Trước hết, từ ax by 3 ta thấy a và b không đồng thời bằng 0 . Suy ra a 2 b 2 0 .
2
2
b
a 3
3
Nhận xét: P a b x y bx ay x y a 2 b 2 a 2 b 2 .
2
2 4
4
2
2
2
2
b
a
b a
và y . Nhưng khi đó ax by a. b 0 mâu thuẫn
2
2
2 2
3
với giả thiết. Như vậy P a 2 b 2 .
4
Đẳng thức xảy ra khi x
Ta có: P a 2 b 2 x 2 y 2 bx ay x 2 y 2 bx ay a 2 b 2 P 0 .
2
2
3
b a
Vì a 2 b 2 P P a 2 b 2 0 nên x 2 y 2 bx ay a 2 b 2 P 0 là
4
2 2
3
b a
phương trình của đường tròn C có tâm I ; , bán kính R P a 2 b2 .
4
2 2
Để tồn tại x , y thì C và đường thẳng : ax by 3 phải có giao điểm. Điều này xảy ra khi và
chỉ khi d I , R
3
a b
2
2
P
b a
a. b 3
2 2
a 2 b2
P
3 2
a b2
4
3 2
3
3
3
3
P a 2 b2 P 2
a b2 2
a 2 b2 3 .
2
2
4
a b
4
a b
4
Đẳng thức xảy ra khi
3
3
a 2 b2 a 2 b2 2 .
a2 b2 4
a 2 b2 2
6
1
Khi đó: ax by 3
. Tồn tại a 0 ; b 2 ; x
; y
thỏa mãn.
2
2
2
2
x y bx ay 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Cách 2.
Xét b 0 , khi đó ax 3 a
3
, thay vào biểu thức ta được:
x
2
3
3
3
3
3
9
2
P 2 x2 y 2
y 2 x 2 y
2 2 x 3
x
x
x
2x 4x
4x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trang 21/25 - WordToan
b 0
b 0
b 0
b0
6
x 6
ax 3
6
x
2
2
x
2
hoặc
, giải hệ được
y 3
a 2
a 2
ax 3
2x
9
1
1
2 x2
2 xy 3
y
y
2
2
4x
Do 3 là số dương nhỏ nhất trong 4 đáp án nên suy ra min P 3 .
Câu 45. Cho ham số y f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiên giá trị nguyên của
tham số m để phương trình f
4 x x 2 1 m 5 có 4 nghiệm phân biệt.
B. 3 .
A. 2 .
C. 5 .
Lời giải
D. 1.
Chọn A
Đặt t 4 x x 2 1 g (x) , 0 x 4
4 2x
, g '( x ) 0 x 2
g'(x)
2 4 x x2
Bảng biến thiên g (x)
Để phương trình f
4 x x 2 1 m 5 có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình f t m 5 có
2 nghiệm phân biệt thuộc 1;3
Dựa vào đồ thị suy ra 2 m 5 0 3 m 5
Suy ra có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán là m 4 và m 5
Câu 46. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên âm của giá trị tham số m để đồ thị hàm số y 2 x3 mx 2 6 x
đồng biến trên khoảng ( 2; 0) . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 15 .
B. 10 .
C. 3 .
D. 21
Lời giải
Chọn D
Ta có y 2 x3 mx 2 6 x ; y ' 6 x 2 2mx 6
Để hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 thì y ' 0, x 2; 0
Trang 22/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
6 x 2 2mx 6 0, x 2; 0
6 x 2 6 2mx, x 2;0
3x 2 3
g(x), x 2; 0
x
m max g ( x ) trên đoạn [-2;0]
3x 2 3
g '(x)
g '(x) 0 x 1
x2
Bảng biến thiên g(x)
m
Suy ra m 6 thì hàm số đồng biến trên ( 2; 0)
Tổng các giá trị nguyên âm m thỏa mãn là 21
2
2
2
Câu 47. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a 3 b 3 c 3 18 và 2 a 6b 12 c . Giá trị biểu
thức M a b c bằng
A. 7.
B. 11 .
D. 1 .
C. 3.
Lời giải
Chọn C
c b
a b
2 a 12 c
2ab 12 bc
2 12
Theo giả thiết: 2 6 12 b
ab
12 ab 12 bc ca
c
a
a
ca
6 12
6 12
6b 12 c
a
c
b
ab bc ca ab bc ca 0 a 2 b 2 c 2 a b c M 2 .
2
Do đó, a 3 b 3 c 3 18 a 2 b 2 c 2 6 a b c 9 0
2
2
2
M 2 6M 9 0 M 3 .
Vậy M 3 .
Câu 48. Cho hàm số f x xác định, có đạo hàm trên và thỏa mãn f 2 x 1 8 x f 1 x
x . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x tại x 1 có phương trình là
3
A. y 2 x 1 .
B. y x 3 .
C. y x 2 .
Lời giải
2
D. y 3 x 11 .
Chọn C
Xét phương trình f 2 x 1 8 x f 1 x
3
2
1 .
f 1 0
Thay x 0 vào 1 , ta được: f 3 1 f 2 1 f 3 1 f 2 1 0
.
f 1 1
Mặt khác, lấy đạo hàm 2 vế của 1 , ta được:
3 f 2 x 1 . f 2 x 1 .2 8 2 f 1 x . f 1 x . 1
2
6 f 2 x 1 . f 2 x 1 8 2 f 1 x . f 1 x 2 .
2
Thay x 0 vào 1 , ta được: 6 f 2 1 . f 1 8 2 f 1 . f 1 3 .
Với f 1 0 thì 3 vô nghiệm.
Trang 23/25 - WordToan
Với f 1 1 thì 3 trở thành 6 f 1 8 2 f 1 f 1 1 .
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y f 1 . x 1 f 1 1 x 1 1 hay y x 2 .
Câu 49. Cho hàm số f x liên tục trên và có đạo hàm f x x 2 x 3 x 2 4 x m 1 với mọi x .
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2019; 2019 để hàm số g x f 3 2 x nghịch biến
trên khoảng ; 2 ?
A. 1010 .
B. 2015 .
C. 4029 .
Lời giải
D. 2020 .
Chọn B
Ta có g x 2. 3 2 x . 6 2 x . 3 2 x 4 3 2 x m 1
2
2
g x 4. 2 x 3 . x 3 . 4 x 2 20 x m 20 .
2
2 x 32 0
Với mọi x ; 2 ta có
do đó:
x 3 0
g x nghịch biến trên khoảng ; 2 khi và chỉ khi
g x 0, x ;2 4 x 2 20 x m 20 0, x ; 2
m 4 x 2 20 x 20, x ; 2 *
Xét hàm h x 4 x 2 20 x 20, x ; 2
Có h x 8 x 20 4 5 2 x 0, x ; 2 và lim h x 4 nên * m 4 .
x 2
Vì m là số nguyên và thuộc đoạn 2019; 2019 Có 2015 số nguyên m .
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 4 và điểm A 1;0;0 . Xét
2
2
2
đường thẳng d đi qua A và song song với mặt phẳng R : x y z 5 0 . Giả sử P và P là
hai mặt phẳng chứa d tiếp xúc với S lần lượt tại T và T . Khi d thay đổi gọi M , m lần lượt là
M
bằng
m
13
D.
.
10
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng T T . Giá trị biểu thức
A.
15
.
13
B.
15
.
11
C.
13
.
11
Lời giải
Chọn A
T
A
H
C
d
I
D
T'
R
Ta có d Q : x y z 1 0 . Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 bán kính R 2 .
Gọi H là giao điểm của d và ITT .
Trang 24/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
IT P
90o Điểm H nằm trên mặt cầu đường kính
Có
d ITT d IH IHA
IT
P
3
13
.
IA có tâm C 1;1; bán kính R
2
2
Suy ra H nằm trên đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng Q và mặt cầu C .
5 3
42
Đường tròn giao tuyến có bán kính r
6
6
42
.
0 AH 2r 0 AH
3
Gọi D là giao điểm của TT và IA .
Có d C ; Q
TT 2TD 2.
IT .TH
IT . IH 2 IT 2
IT 2
IT 2
2.
2.IT 1 2 2.IT 1
.
IH
IH
IH
AH 2 IA2
IT 2
IT
IT
M
15
IA2
2.IT 1 2
TT
2.
IT
1
.
2
2
2
4r IA
IA
m
13
IT
1 2
2
4r IA
------------- HẾT ------------2
2
1
Trang 25/25 - WordToan
