Hướng dẫn giải môn Toán thi vào lớp 10 THPT tỉnh Ninh Bình năm học 2009-2010

Lê Trần Kiên – />SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
(Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang)
Câu 1 (2,5 điểm):
1. Giải phương trình: 4x = 3x + 4 ⇔ 4x – 3x = 4 ⇔ x = 4
2. Thực hiện phép tính: A 5 12 4 3 48= − + 5 4.3 4 3 16.3= − +
10 3 4 3 4 3= − + 10 3 4 3 4 3= − + 10 3=
3. Giải hệ phương trình sau:
1 1
1
x y
3 4
5
x y

− =




+ =


ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 0
Đặt:
1
x

= m;
1
y
= n, khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
m n 1
3m 4n 5
− =


+ =

Giải HPT trên được
9
m
7
2
n
7

=




=


Từ đó suy ra:
7
x

9
7
y
2

=




=


(t/m ĐKXĐ)
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
Khi m = 2, ta được PT: 2x
2
+ 3x + 1 = 0
Ta thấy 2 – 3 + 1 = 0 ⇒ Nhẩm nghiệm Vi-ét ta được x
1
= -1; x
2
=
1
2
−

2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 4
2
1
x
+ 4
2
2
x
+ 2x
1
x
2
= 1
Ta có ∆
x
= (2m – 1)
2
– 4.2.(m – 1)
= 4m
2
– 4m + 1 – 8m + 8
= 4m
2
– 12m + 9 = (2m – 3)
2
⇒ PT (1) luôn có hai nghiệm x

1
, x
2
với mọi giá trị của m.
Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 2(x
1
+ x
2
) = 1 – 2m
2x
1
x
2
= m – 1
Ta có: 4
2
1
x
+ 4
2
2
x
+ 2x
1
x
2
= [2(x
1
+ x
2

)]
2
– 3.2x
1
x
2

= (1 – 2m)
2
– 3(m – 1)
= 4m
2
– 4m + 1 – 3m + 3
= 4m
2
– 7m + 4
Theo ycbt, ta phải có: 4m
2
– 7m + 4 = 1 ⇔ 4m
2
– 7m + 3 = 0
Nhẩm nghiệm Vi-ét cho phương trình ẩn m trên, ta được m
1
= 1; m
2
=
3
4
Vậy m = 1hoặc m =
3

4
thì PT (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 4
2
1
x
+ 4
2
2
x
+ 2x
1
x
2
= 1
Câu 3 (1,5 điểm):
Lê Trần Kiên – /> Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau
36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng
vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít
hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của
người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
V.tốc T.gian Q.đường
Khi đi
x (km/h)
(x > 0)
36
x

(h) 36km
Khi về x + 3
36
x 3+
(h) 36km
36 phút
=
3
5
h
Giải:
Gọi vận tốc khi đi của người đi xe đạp là x (km/h; x > 0)
Thì vận tốc khi về của người đó là x + 3 (km/h)
Thời gian đi hết quãng đường AB của người đi xe đạp
Lúc đi là:
36
x
(h); Lúc về là:
36
x 3+
(h)
Theo bài ra, thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 36 phút =
3
5
h, nên ta có PT:
36
x
=
36
x 3+

+
3
5
⇔ 36.5(x + 3) = 36.5x + 3x(x + 3)
⇔ 3x
2
+ 9x – 540 = 0
⇔ x
2
+ 3x – 180 = 0
Giải PT trên được x
1
= 12 (t/m ĐKBT); x
2
= - 15 < 0 (không t/m ĐKBT – loại)
Vậy vận tốc khi đi từ A đến B của người đi xe đạp là 12 km/h.
Câu 4 (2,5 điểm):
1. Chứng minh rằng góc ABE bằng góc
EAH.
·
1
ABE
2
=
sđ
»
AE
(t/c góc nội tiếp)
·
1

EAH
2
=
sđ
»
AE
(t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung)
Suy ra
·
·
ABE EAH=
2. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
được đường tròn.
Dễ thấy ∆AEC cân tại E (có đường
cao AH đồng thời là trung tuyến)
Suy ra:
·
·
·
ECH EAH ABE= =
⇒
·
·
·
·
O
ECH KAH ABE KAH 90+ = + =
⇒
·

O
AKE 90=
Từ đó suy ra tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE
3. Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R 3 .
AB = R
3
⇔ sđ
¼
O
AEB 120=
⇔
·
·
O
ABE BAO 30= =
(OA // BE vì cùng vuông góc với d)
⇔
·
O
BAH 60=
⇔
O
1
cos60 R 3
2
AH
AB 2
R 3
= = =
Lê Trần Kiên – />Câu 5 (1,5 điểm):

1. Cho ba số a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
Ta có: a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
– ab + b
2
)
Lại có: a
2
+ b
2
≥ 2ab ⇔ a
2
– ab + b
2
≥ ab (Dùng BĐT Cô-si hoặc HĐT)
Suy ra: a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) ⇔ a
3

+ b
3
+ abc ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c)
⇔
3 3
1 1 c
a b abc ab(a b c) abc(a b c)
≤ =
+ + + + + +
CM tương tự được:
3 3
1 1 a
b c abc bc(a b c) abc(a b c)
≤ =
+ + + + + +
3 3
1 1 b
c a abc ca(a b c) abc(a b c)
≤ =
+ + + + + +
Cộng vế với vế ba BĐT cùng chiều trên, ta được:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 c a b
a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc(a b c) abc(a b c)
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + + + + +
Hay
3 3 3 3 3 3
1 1 1 a b c 1
a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc

+ +
+ + ≤ =
+ + + + + + + +
(đpcm)
2. Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2
Ta biến đổi phương trình trên tương đương:
2x
2
+ 2y
2
– 2x – 2y – 2xy = 4
⇔ (x
2
– 2xy + y
2
) + (x
2
– 2x + 1) + (y
2
– 2y + 1) = 6
⇔ (x – y)
2
+ (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 6

Do x, y là các số nguyên nên ta chỉ có thể tách 6 = 2
2
+ 1
2
+ 1
2
với để ý rằng vai trò của
x, y là như nhau, nên ta có các trường hợp sau:
2.1.
x y 2
x 1 1
y 1 1

− =

− =


− =

⇒
x 2
y 0
=


=

hoặc
x 0

y 2
=


=

2.2.
x y 1
x 1 2
y 1 1

− =

− =


− =

⇒
x 3
y 2
=


=

hoặc
x 1
y 0
= −



=

2.3.
x y 1
x 1 1
y 1 2

− =

− =


− =

⇒
x 2
y 3
=


=

hoặc
x 0
y 1
=



= −

HẾT