CẤU TRÚC TINH THỂ và GIẢN đồ PHA của hệ PATCHY COLLOID DROPLET

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

VŨ THỊ MÙI

CẤU TRÚC TINH THỂ VÀ GIẢN ĐỒ PHA CỦA HỆ PATCHY
COLLOID - DROPLET

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

HÀ NỘI, NĂM 2018


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian thực hiện luận văn này, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ,
hướng dẫn và động viên của thầy cô, bạn bè và gia đình.
Trước tiên tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Phạm
Văn Hải, người thầy đã hướng dẫn tôi hết sức tận tình, luôn động viên, khích lệ,
giúp đỡ và dành những điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn của mình tới các thầy cô giáo trong trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, khoa Vật lý, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Vật
lý Chất rắn, đã trang bị kiến thức và chia sẻ kinh nghiệm học tập quý báu, đã động
viên, khích lệ và giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các bạn học viên cao học, các em sinh viên trong tổ
Vật lí Chất rắn, Trường Đại học Sư phạm hà Nội, những người đã động viên và
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, các anh chị em, bạn bè
đã luôn bên tôi, động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2018
Tác giả

Vũ Thị Mùi


CÁC TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
ADF

Hàm phân bố theo góc

BCC

Lập phương tâm khối

FCC

Lập phương tâm mặt

HCP

Lục giác xếp chặt

PMMA

Poly Methyl Methacrylate

MC

Mô phỏng Metropolis Monte Carlo

NTV

Hệ phân bố chính tắc

RDF

Hàm phân bố bán kính

SC

Lập phương đơn giản


DANH MỤC H
Hình 1. 1: Hệ các quả cầu cứng một thành phần (a) và hai thành phần (b)..................9
Hình 1. 2: Các cấu trúc cluster trong mô phỏng và thực nghiệm................................13
Hình 1. 3: Các cấu trúc cluster điển hình trong mô phỏng đối với tỉ số kích thước
colloid - droplet khác nhau.........................................................................................14
Hình 1. 4: Cấu trúc cluster điển hình tìm thấy trong mô phỏng tại χ = 0.25...............15
Hình 1. 5: Giản đồ pha cân bằng tại tỉ phần xếp chặt của hạt colloid bằng 0.1..........16
YHình
2.
1:
Mô
hình
patchy
colloid
–
droplet…………………………………………17
Hình 2. 2: Thế năng colloid – droplet....................................................................19
YHình
3.

1:
Cấu
trúc
liên
kết
kiểu
bát
diện
đều……………………………………..24
Hình 3. 2: (a): Cấu trúc tinh thể kiểu NaCl. (b) Cấu trúc tinh thể kiểu FeS2.............24
Hình 3. 3: Cấu trúc tinh thể NaCl..............................................................................25
Hình 3. 4: Các hạt colloid tiếp xúc colloid trong cấu trúc NaCl.................................25
Hình 3. 5: Các hạt colloid phủ droplet trong cấu trúc NaCl.......................................26
Hình 3. 6: Các hạt droplet tiếp xúc nhau trong cấu trúc NaCl...................................27
Hình 3. 7: Hệ số xếp chặt theo tỉ số bán kính q cho các cấu trúc NaCl và FeS 2 tại
góc tiếp xúc θ = 180o..................................................................................................29
Hình 3. 8: (a) Đường cong xếp chặt cho hệ colloid – droplet có cấu trúc NaCl và
FeS2 tại góc θ = 140o, (b) Năng lượng toàn phần trên mỗi hạt U tot/N cho các cấu trúc
NaCl và FeS2..............................................................................................................30
Hình 3. 9: Giản đồ pha của tỉ lệ bán kính q góc tiếp xúc θ giữa các quả cầu colloid –
droplet ở áp suất vô hạn..............................................................................................32
Hình 3. 10: Giản đồ pha của năng lượng ε theo tỉ phần xếp chặt của droplet ϕ d tại ϕc
= 0.1, q = 0.75 và θ = 1400.........................................................................................33
Hình 3. 11: Snapshot của hỗn hợp colloid – droplet ϕ c = 0.1, q = 0.75. (a) tại ϕd =
0.02, ε = 7 kBT thể hiện pha tinh thể + khí, (b) tại ϕ d = 0.04, ε = 9 kBT thể hiện pha
tinh thể + lỏng, (c) tại ϕd = 0.04, ε = 4 kBT thể hiện pha lỏng.....................................34


Hình 3. 12: giản đồ pha của tỉ phần xếp chặt hạt colloid ϕ c theo tỉ phần xếp chặt của
hạt droplet tại ϕd tại q = 0.75. ε = 10 KT....................................................................35

Hình 3. 13: Cấu trúc pha cuối cùng của hỗn hợp colloid – droplet tại tỉ số kích thước
q = 0.5........................................................................................................................ 36
Hình 3. 14: Đồ thị hàm phân bố bán kính tại tỉ số kích thước hạt droplet/ colloid q =
0.5.............................................................................................................................. 36
Hình 3. 15: Hàm phân bố số hạt tại q = 0.5................................................................37
Hình 3. 16: Đồ thị hàm phân bố bán kính theo góc....................................................37
Hình 3. 17: Cấu trúc pha cuối cùng của hỗn hợp colloid – droplet tại tỉ số kích thước
q = 0.75...................................................................................................................... 38
Hình 3. 18: Đồ thị hàm phân bố bán kính tại tỉ số kích thước hạt droplet/ colloid q =
0.75............................................................................................................................ 38
Hình 3. 19: Hàm phân bố số hạt tại q = 0.75..............................................................39
Hình 3. 20: Đồ thị hàm phân bố bán kính theo góc. 39


Mục lục
MỞ ĐẦU.............................................................................................................6
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN................................................................................8
1.1 Hệ Colloid..................................................................................................8
1.2 Tương tác giữa các hạt colloid...................................................................8
1.3 Hệ quả cầu cứng.........................................................................................9
1.3.1 Hệ quả cầu cứng một thành phần........................................................9
1.3.2 Hỗn hợp quả cầu cứng hai thành phần..............................................10
1.3.3 Hỗn hợp quả cầu colloid tích điện trái dấu.......................................11
1.4 Hệ hai thành phần colloid – droplet.........................................................11
CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG..........................16
2.1 Mô hình.................................................................................................16
2.2 Phương pháp..........................................................................................18
2.2.1

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo..........................................18

2.2.2

Phương pháp tính toán đường cong xếp chặt...............................20

2.2.3

Phương pháp phân tích.................................................................21

CHƯƠNG III. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN...................................................24
3.1 Tính toán đường cong xếp chặt cho các cấu trúc liên kết bát diện đều
24
3.1.1 Cấu trúc Natri Clorua (NaCl)............................................................25
3.1.2 Cấu trúc pyrit sắt (FeS2)....................................................................28
3.2 Hệ hai quả cầu cứng..............................................................................29
3.3 Hệ hạt colloid – droplet............................................................................29
3.4 Kết quả mô phỏng.................................................................................32
3.4.1 Giản đồ pha trong mặt phẳng (ε, ϕd).................................................32
3.4.2 Giản đồ pha trong mặt phẳng (ϕd, ϕc)................................................35
3.4.3 Cấu trúc ổn định ở các tỉ lệ kích thước khác nhau............................35
Kết luận..............................................................................................................40
Phụ lục...............................................................................................................41
Tài liệu tham khảo.............................................................................................43

MỞ ĐẦU
Những tiến bộ gần đây trong kĩ thuật hóa lí đã tạo ra một thế hệ mới các hạt
colloid (những hạt có kích thước từ nanomet đến micromet chuyển động Brown
trong môi trường chất lỏng liên tục) với nhiều hình dạng khác nhau như dạng thanh,
dạng đĩa, dạng lập phương, dạng bát diện, dạng tứ diện…[1], hoặc các hạt colloid

với dị hướng tương tác như colloid đốm (patchy colloid) [2]. Tuy nhiên thách thức
lớn đặt ra là điều khiển được quá trình tập hợp giữa các hạt colloid này nhằm thu
được những vật liệu có cấu trúc và tính chất vật lí mong muốn [3]. Điều này đặt ra
nhiều câu hỏi như: tham số nào ảnh hưởng đến quá trình tập hợp? cấu trúc mới nào
có thể được tạo thành? cấu trúc này có tính chất vật lí mới gì? Trả lời những câu hỏi
trên không chỉ giúp hiểu rõ cơ chế, bản chất của quá trình tự tập hợp hệ colloid mà
còn có ý nghĩa quan trọng trong việc tổng hợp, ứng dụng vật liệu trong thực tế.


Khả năng tự tập hợp của hạt colloid tạo nên nhiều kiểu cấu trúc tinh thể khác
nhau (colloidal crystals) đã thu hút nhiều sự chú ý do tiềm năng ứng dụng của nó
như trong cảm biến hóa học, vật liệu quang tử. Trong số đó, vật liệu photonic trên
nền tinh thể colloid là một trong những đối tượng thu hút được nhiều quan tâm
nghiên cứu bởi khả năng điều khiển, dẫn sóng điện từ trong vùng ánh sáng nhìn
thấy (vật liệu tàng hình). Những nghiên cứu trước đây tập trung chủ yếu vào sự tự
sắp xếp của hạt colloid có dạng hình cầu và tương tác đẳng hướng, hơn nữa hệ
thường chỉ có một thành phần. Do đó, cấu trúc thu được thường hạn chế ở những
pha tinh thể có đối xứng đơn giản, có hệ số xếp chặt cao (0.74) như FCC (lập
phương tâm mặt) và HCP (lục giác xếp chặt). Tuy nhiên phần lớn ứng dụng quan
trọng của tinh thể colloid, như vật liệu photonic, đòi hỏi những cấu trúc không xếp
chặt. Ví dụ như cấu trúc kiểu kim cương với hệ số sếp chặt ϕ = 0.34. Nhiều nghiên
cứu lý thuyết, mô phỏng và thực nghiệm đã được thực hiện nhằm khảo sát sự hình
thành tinh thể colloid trong những điều kiện khác nhau. Ví dụ như thay đổi đặc tính
của hạt, sử dụng làm đế khuôn mẫu, dùng chất hỗ trợ bề mặt, nhũ tương, điện
trường, và từ trường ngoài [4]
Nghiên cứu sử dụng kết hợp tương tác hút tầm ngắn và tương tác đẩy tầm xa
đẳng hướng đã tạo thành công tinh thể kiểu kim cương của các hạt nano tích điện
trái dấu. Tuy nhiên kích thước hạt nano trong hệ này nhỏ hơn khá nhiều so với đòi
hỏi của tinh thể photonic (cỡ micromet). Một số nghiên cứu khác như sử dụng các
hạt colloid đốm tương tác dị hướng trên bề mặt hay tạo ra tinh thể xếp chặt của hệ

hai thành phần sao cho trong đó có ít nhất một kiểu mạng kim cương của một loại
hạt, tuy tạo thành tinh thể kiểu kim cương nhưng pha tinh thể thường không bền
nhiệt động [5].
Trong nghiên cứu quá trình tập hợp của hệ colloid dị hướng dưới sự hỗ trợ của
nhũ tương sao cho giọt nhũ tương có thể tương tác dị hướng với các hạt colloid theo
hướng tứ diện đã cho kết quả tính toán lí thuyết đường cong xếp chặt và mô phỏng
Monte Carlo phù hợp tốt. Ở đây, giọt nhũ tương giữ hai vai trò, thứ nhất nó giữ cho
hạt colloid chỉ chuyển động trên bề mặt cầu, thứ hai là nó đóng vai trò như loại hạt
thứ hai trong hệ, do đó cấu trúc pha cuối cùng của hệ sẽ được quyết định bởi cả tỉ
phần xếp chặt của colloid và giọt nhũ tương, tỉ số bán kính và hình dạng đối xứng
của patchy. Theo đó, đối với đối xứng patchy kiểu tứ diện đều đã hình thành của
hai kiểu cấu trúc mới là ZnS và CaF 2 phụ thuộc vào tỉ số kích thước giữa hai loại
hạt [6]. Đáng chú ý là hai kiểu cấu trúc ZnS và CaF 2 đã được dự đoán có cấu trúc
vùng cấm quang photonic ba chiều [7].


Trong nghiên cứu này, chúng tôi khảo sát hệ patchy colloid-droplet trong đó các
patchy sắp xếp theo bát diện đều. Bằng phương tính toán lí thuyết và so sánh với kết
quả mô phỏng, chúng tôi đưa ra dự đoán những kiểu cấu trúc tinh thể mới có thể thu
được.

CHƯƠNG I. TỔNG QUAN
1.1 Hệ Colloid
Colloid là những hạt cầu có kích thước từ nano đến vài micromet phân tán đều
trong dung môi, chẳng hạn như giọt sữa phân tán trong nước. Những hạt này có thể
tự sắp xếp để tạo nên cấu trúc tinh thể xếp chặt nếu thể tích tự do của chúng bị giới
hạn trong một giá trị nhất định [8]. Mối quan hệ trong hệ hạt colloid không chỉ liên


hệ đến kích thước hạt mà còn phụ thuộc đến động lực học của bản thân hạt colloid

thể hiện qua chuyển động Brown.
Việc quan sát chuyển động Brown được nhà sinh học Brown phát hiện năm
1827 khi ông thấy các hạt phấn hoa lơ lửng trong nước dường như chuyển động
ngẫu nhiên theo các phương khác nhau. Đến đầu thế kỉ 20, Einstein và Sutherland
đã giải thích được hiện tượng này là do tương tác giữa các phân tử chất lỏng và các
hạt phấn hoa [9]. Các phân tử chất lỏng luôn luôn chuyển động liên tục do thăng
giáng nhiệt. Khi một hạt colloid phân tán trong chất lỏng, nó sẽ chịu sự va chạm với
các phân tử chất lỏng tạo ra tổng hợp lực tức thời trên hạt colloid. Phương của lực
này có tính ngẫu nhiên và do đó nếu hạt đủ nhỏ nó sẽ thực hiện một bước dịch
chuyển ngẫu nhiên trong chất lỏng, đó là chuyển động Brown.
Khi có một số lượng các hạt colloid phân tán trong chất lỏng thì bên cạnh sự
tương tác với chất lỏng, các hạt colloid còn có thể tương tác với nhau. Kết quả là hệ
colloid thể hiện tính chất pha rất giống với tính chất pha của hệ nguyên tử. Chuyển
động ngẫu nhiên của các hạt colloid cho phép chúng mở rộng không gian pha và tự
tập hợp để tạo nên những cấu trúc như khí, lỏng, rắn, và pha thủy tinh. Việc mở
rộng không gian pha với tính tự tập hợp có tính chất tương tự như tính chất pha đối
với hệ ở thang phân tử hoặc nguyên tử.
Quá trình tự sắp xếp này có hai vai trò quan trọng. Thứ nhất, sự sắp xếp của các
hạt colloid mở ra khả năng thiết kế các vật kiệu tiên tiến cho những ứng dụng khác
nhau như các thiết bị quang điện [10-12]. Những thiết bị này dựa trên tính chất của
hệ colloid có hằng số mạng phù hợp với bước sóng trong vùng ánh sáng nhìn thấy.
Thứ hai, hệ colloid là hệ lý tưởng cho việc mô hình hóa các tính chất của hệ nguyên
tử và phân tử. Bởi lẽ, trái ngược với các hệ nguyên tử và phân tử, các hạt colloid
thường có kích thước đủ lớn và chuyển động đủ chậm để cho phép quan sát được
chúng qua các thiết bị quang học thông thường như kính hiển vi quang học. Do đó,
các quá trình động học phức tạp như quá trình nảy mầm tinh thể, vốn rất khó để
nghiên cứu ở thang nguyên tử và phân tử thì có thể nghiên cứu ở hệ colloid.
1.2 Tương tác giữa các hạt colloid
Những tiến bộ gần đây trong việc tổng hợp hạt đã cho phép tạo ra rất nhiều khối
hạt nano và hạt colloid khác nhau [1]. Bên cạnh những hạt colloid dạng cầu, dạng

thanh, đã có thêm những hạt dị hướng như dạng lập phương, cấu trúc có nhánh, cấu
trúc kim tự tháp đã được tổng hợp. Bên cạnh đó, những hệ hạt mới có thể được xây
dựng bằng cách thay đổi tính chất bề mặt hạt, từ đó tạo ra tính dị hướng cho tương
tác hạt - hạt. Hơn nữa, quá trình tập hợp của các hạt có thể được điều khiển bằng
cách thay đổi tính chất của dung môi như thêm muối, thay đổi điện tích bề mặt [13].
Ngoài ra, các trường ngoài như điện trường, từ trường cũng có thể được sử dụng để
điều khiển hệ này.


Tương tác đơn giản nhất giữa các hạt colloid là tương tác giữa các quả cầu
cứng, điều này có vẻ là một sự đơn giản hóa lớn. Tuy nhiên có nhiều hệ vật lí thực
mà tính chất của nó có thể được mô tả tốt chỉ bằng các quả cầu cứng, ví dụ hệ cấu
tạo từ các hạt sillica hình cầu, hệ PMMA. Tương tác hiệu dụng giữa các hạt colloid
trong hệ này thuần túy là tương tác đẩy giữa các quả cầu cứng, ngoài ra, những
tương tác khác có thể xuất hiện như tương tác Van der Walls, tương tác tĩnh điện,
tương tác momen lưỡng cực từ, cũng có thể được xét đến.
1.3 Hệ quả cầu cứng
Dưới đây chúng tôi giới thiệu một cách tổng quan về tính chất pha đối với các
hệ quả cầu cứng một thành phần và hai thành phần.

a,

b,
Hình 1. 1: Hệ các quả cầu cứng một thành phần (a) và hai thành phần (b)

1.3.1 Hệ quả cầu cứng một thành phần
Hệ các quả cầu cứng một thành phần đã được sử dụng như một mô hình đơn
giản nhất để giải thích một số tính chất cơ bản của chất lỏng, tinh thể. Giản đồ pha
của hệ quả cầu cứng không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc vào tỉ phần
xếp chặt của hệ, vì trong hệ quả cầu cứng, thừa số Boltzman exp(-βU) bằng không

với tất cả những cấu hình phủ nhau và bằng một nếu chúng không phủ nhau.
Wood và Jacobson [14], Alder và Wainwright [15] đã lần đầu chứng minh sự
chuyển pha từ lỏng sang rắn đối với hệ các quả cầu cứng. Sự cô đặc trong hệ này là
một ví dụ của chuyển pha được điều khiển bởi entropy. Hệ số xếp chặt đóng rắn và
nóng chảy của hệ này được Hoover và Ree [16] xác định lần lượt là ηF = 0.494 và
ηM = 0.545. Pha rắn bền được xác định dựa trên cấu trúc xếp chặt của các quả cầu
cứng là mạng lập phương tâm mặt. Tính chất pha của hệ này cũng được kiểm chứng
bằng thực nghiệm. Pusay và Van Megen chứng minh rằng các hạt poly
(methylmethacrylate) có thể xem như những quả cầu cứng, cụ thể, họ tìm thấy các
pha lỏng, miền đồng pha giữa pha rắn và pha lỏng, pha rắn và pha thủy tinh.


Tốc độ mọc mầm tinh thể hóa cho các quả cầu cứng cũng đã được kiểm tra bằng
mô phỏng, sử dụng phương pháp Monte Carlo và thực nghiệm qua phương pháp tán
xạ ánh sáng.
1.3.2 Hỗn hợp quả cầu cứng hai thành phần
Hệ hỗn hợp gồm các quả cầu cứng lớn có đường kính là và các quả cầu nhỏ có
đường kính là . Sự xếp chặt của những hệ như vậy từ lâu đã được sử dụng như một
mô hình đối với quá trình tinh thể hóa của nguyên tử. Năm 1960, Parthé đã giải
thích nhiều cấu trúc tinh thể nguyên tử dùng biến xếp chặt [17]. Ở khía cạnh
colloid, Murray và Sanders đã quan sát thấy các cấu trúc tinh thể hai thành phần
xuất hiện trong tự nhiên ở những tinh thể opan và đã giải thích kết quả này dựa trên
cấu trúc xếp chặt [18, 19].
Sanders và Murray quan sát thấy hai loại hạt cầu được sắp xếp trật tự trong tự
nhiên và tiến hành nghiên cứu cấu trúc của LS 2 (phân tử tương tự AlB2) và cấu trúc
LS13 (phân tử tương tự NaZn 13), với L là các hạt kích thước lớn, S là các hạt kích
thước nhỏ. Trong cấu trúc LS2, các quả cầu lớn hình thành một mạng lục giác đơn
giản, các quả cầu nhỏ hình thành một lớp tổ ong giữa các lớp cầu lớn. Cấu trúc của
LS13 gồm một mạng lập phương đơn giản với các quả cầu lớn nằm ở các đỉnh của
hình lập phương, tâm của khối lập phương là một quả cầu nhỏ được bao quanh bởi

12 quả cầu. Hệ số xếp chặt là hàm của tỉ số bán kính giữa các hạt,   rS / rL , với r ,
S

rL lần lượt là bán kính của các quả cầu nhỏ và cầu lớn. Các tác giả cho rằng cấu trúc
pha của hệ sẽ ổn định nếu γ lớn hơn 0.74, nếu không, hệ tách thành các cấu trúc pha
đơn (FCC hoặc HCP) của thành phần L và thành phần S tinh khiết sẽ có lợi hơn.
Với tỉ số bán kính γ nằm trong khoảng từ 0.3 đến 1, chỉ có cấu trúc kiểu LS (kiểu
NaCl) và LS2 có thể đáp ứng được điều kiện này, trong khi kiểu cấu trúc AB 13 chưa
hoàn toàn đáp ứng được. Với γ < 0.3, có một loạt các cấu trúc LS n (n = 3,4) với hệ
số xếp chặt cao thu được bằng cách thêm vào các lỗ trống trong mạng của các quả
cầu lớn bằng các quả cầu nhỏ hơn.
Sự hình thành các cấu trúc siêu tinh thể trong hỗn hợp nhị phân của các hạt cao
su tích điện với kích thước hạt khác nhau được khảo sát lần đầu trong một loạt các
nghiên cứu thực nghiệm của Hachisu và Yoshimura. Các tác giả đã tìm thấy ít nhất
năm cấu trúc khác nhau, gồm các cấu trúc CaCu 5, NaZn13, AlB2, MgCu2 và một cấu
trúc với phép đo cân bằng của AB 4 không có nguyên tử tương tự [20-22]. Sự xuất
hiện của một cấu trúc nhất định phụ thuộc vào tỉ lệ kích thước hạt, nồng độ hạt và
nồng độ chất điện phân. Các tác giả cho rằng lực đẩy tĩnh điện giữa các hạt tích điện
không thể giải thích sự hình thành tự phát của các cấu trúc này. Do đó cơ chế hình


thành tinh thể phải do hiệu ứng entropy [20]. Sự chuyển tiếp pha từ pha lỏng sang
tinh thể nhị phân có trật tự khi tăng nồng độ hạt được coi là sự mở rộng của quá
trình chuyển tiếp Kirkwood-Alder cho các quả cầu cứng đơn tinh thể [15].
Đến nay, phần lớn các nghiên cứu về hợp chất nhị phân của các quả cầu cứng
đều được phát triển từ các quan sát của Sanders, Murray, Hachisu và Yoshimura. Về
mặt thí nghiệm, cấu trúc tinh thể loại LS2 và LS13 đã được tìm thấy với tỉ lệ lần lượt
là 0.35 – 0.58 và 0.43 – 0.58, ta thấy giống với hệ hạt colloid [23-26]. Mô phỏng
Monte Carlo [25, 27, 28] và tính toán trên mô hình ô cơ sở [29] đã giải thích phù
hợp cho sự ổn định của các cấu trúc này. Đối với các tỉ lệ kích thước γ = 0.42, pha

ổn định đã được tìm thấy bằng lý thuyết [29, 30] và trong mô phỏng máy tính [30]
là cấu trúc NaCl/NiAs. Cấu trúc của NaCl và NiAs được hình thành bằng cách lặp
lại các ô mạng FCC và HCP. Trong cả hai cấu trúc, các quả cầu nhỏ nằm ở các vị trí
bát diện được tạo thành bởi các quả cầu lớn. Cottin và các đồng sự [29] đã kiểm tra
một số cấu trúc khác bằng phép đo cân bằng của LS (cấu trúc kiểu ZnS và NaTl)
hoặc bằng phép đo cân bằng của LS 2 (cấu trúc kiểu CaF2), tác giả nhận thấy, với
phương pháp tính toán lý thuyết trên mô hình ô cơ sở, các cấu trúc này sẽ không ổn
định. Các tính chất nhiệt động lực học và cấu trúc của hỗn hợp quả cầu cứng nhị
phân đã được nghiên cứu rộng rãi bằng phương pháp lý thuyết phiếm hàm mật độ
[31-34]. Các giản đồ pha cho thấy, sự thay đổi tỉ lệ đường kính 15% có ảnh hưởng
rất lớn lên giản đồ pha [31]. Một loạt các cấu trúc của hỗn hợp quả cầu cứng được
dự đoán là ổn định trong các sơ đồ pha thu được từ mô phỏng máy tính với các tỉ lệ
kích thước khác nhau đã được đưa ra. Gần đây, Hopkins và các cộng sự [35, 36] đã
nghiên cứu về sự xếp chặt của hỗn hợp các quả cầu cứng và dự đoán một số lượng
lớn các cấu trúc tinh thể như LS 6, LS10, LS11, L2S4, L3S7, L6S6 có hệ số xếp chặt lớn
hơn hệ số xếp chặt của các tinh thể có cấu trúc mạng FCC hoặc HCP. Tuy nhiên sự
ổn định nhiệt động của các cấu trúc này vẫn chưa được xác nhận.
1.3.3 Hỗn hợp quả cầu colloid tích điện trái dấu
Tương tác tĩnh điện đóng vai trò quan trọng trong quá trình tập hợp của các hạt
colloid tạo nên cấu trúc tinh thể. Theo thực nghiệm, hỗn hợp của các hạt tích điện
trái dấu có thể tạo nên pha cân bằng như tinh thể colloid ion với các kiểu cấu trúc
như CsCl-, LS6-, LS8, NaCl- và kiểu NiAs với các điều kiện thí nghiệm khác nhau
[37]. Đáng chú ý một số kiểu cấu trúc như LS 6-, LS8- và kiểu NiAs không tìm được
trong thực nghiệm đối với hệ colloid. Dựa trên kĩ thuật mô phỏng Hynninen [38] đã
tiên đoán các cấu trúc tinh thể hai thành phần đối với tỉ số bán kính 0.31 và tìm ra
nhiều cấu trúc mới có sự tương đương với câu trúc C 60 của carbon. Mặt khác, ba
trong số những cấu trúc được tiên đoán ( và ) cũng đã đc tìm thấy trong thực


nghiệm. Sự tồn tại của nhiều kiểu cấu trúc tinh thể colloid không tồn tại trong hệ

nguyên tử là hệ quả từ thực tế rằng sự cân bằng hóa học của những cấu trúc này
không bị chi phối bởi tính trung hòa về mặt điện tích.
1.4 Hệ hai thành phần colloid – droplet
Koos và Willenbacher đã phát hiện ra bằng thực nghiêm rằng việc đưa vào một
thành phần chất lỏng không trộn lẫn với chất lỏng trong dung dịch colloid sẽ dẫn
đến sự hình thành các giọt nhũ tương đóng vai trò như tác nhân liên kết giữa các hạt
colloid với nhau tạo nên chuỗi colloid [39], điều này dẫn đến sự thay đổi cơ tính của
hệ từ tính đàn hồi yếu sang tính đàn hồi cao (trạng thái gel). Chuyển pha từ trạng
thái lỏng đến trạng thái gel được điều khiển bởi sự hình thành các hạt colloid liên
kết lại với nhau đã được quan sát trong thực nghiệm và mô phỏng. Schwarz và đồng
nghiệp đã nghiên cứu về mô hình lý thuyết đối với hệ colloid và droplet, trong đó
các hạt colloid và các quả cầu cứng tương tác với nhau qua lực hút tầm ngắn và lực
đẩy tầm xa [40]. Tương tác giữa colooid - droplet là một thế hút cực tiểu tại bề mặt
droplet để mô phỏng hiệu ứng Pickering. Tương tác giữa các quả cầu droplet là
tương tác quả cầu cứng. Trong mô phỏng này kích thước của droplet bị giảm theo
thời gian để mô hình hóa sự bay hơi của giọt dầu. Trong các thí nghiệm, các tác giả
cũng dùng các hạt polystyrene và dung môi toluene đóng vại trò như các giọt
droplet. Sự sắp xếp của các hạt trên bề mặt droplet được phân tích và so sánh với
kết quả mô phỏng. Kết quả cho thấy các hạt colloid có thể tạo thành cấu trúc như
doublet, tứ diện đều, bát diện đều, … đến các khối đa diện đều phức tạp (hình 1.2
[40])


Hình 1. 2: Các cấu trúc cluster trong mô phỏng (bên trái) và thực nghiệm (bên phải)

Sử dụng một mô hình tương tự, Hai et al. [41] đã nghiên cứu các hạt colloid
dạng dumbbel không đối xứng và các hạt droplet và nhận thấy tương tác có tính
cạnh tranh giữa droplet - colloid, và giữa colloid - colloid có thể hình thành lên
những cấu trúc cluster dưới dạng cấu trúc đóng hoặc dạng mở tùy thuộc vào tỉ số
kích thước giữa các quả cầu colloid cũng như sức căng bề mặt của các hạt droplet

(Hình 1.3)


Hình 1. 3: Các cấu trúc cluster điển hình trong mô phỏng đối với tỉ số
kích thước colloid - droplet khác nhau

Cấu trúc cluster cũng được quan sát đối với tương tác colloid - colloid dị hướng,
trong đó mỗi hạt colloid hình cầu sẽ có các phần diện tích hút và diện tích đẩy
(patchy colloid), các tác giả [42] tìm thấy một lớp các cấu trúc xác định cực tiểu
hóa momen bậc hai của phân bố khối lượng khi phần bề mặt hút χ của hạt colloid
lớn hơn 0.3, đối với χ < 0.3 thì tính duy nhất của cấu trúc xếp chặt bị mất, thay vào
đó có nhiều kiểu cấu trúc khác nhau (Hình 1.4)
Fotini [43] nghiên cứu quá trình chuyển pha từ câu trúc cluster sang cấu trúc gel
trên hệ colloid – droplet thông qua hiệu ứng Pickering và tìm ra giản đồ pha với
nhiều kiểu pha: bao gồm pha lỏng, đồng pha khí - lỏng, pha tinh thể tại các tỉ số bán

Hình 1. 4: Cấu trúc cluster điển hình tìm thấy trong mô phỏng tại χ = 0.25,
màu trắng ứng với phần diện tích hút, màu đỏ ứng với phần diện tích đẩy


kính khác nhau và năng lượng tương tác khác nhau. Tuy nhiên, tác giả không xác
định các kiểu cấu trúc tinh thể, ngoài ra thì tương tác giữa các hạt thành phần thuần
túy là tương tác đẳng hướng do đó những kiểu cấu trúc tinh thể quan sát được có thể
bị hạn chế (hình 1.5).

Hình 1. 5: Giản đồ pha cân bằng tại tỉ phần xếp chặt của hạt colloid bằng 0.1,
hình vuông biểu thị pha lỏng, hình tròn biểu thị đồng pha lỏng - khí, hình tam
giác biểu thị đồng pha lỏng – tinh thể. Hình (a) tương ứng với tỉ số kích thước
giữa hạt droplet – colloid σd/σc = 0.75, hình (b) tương ứng với σd/σc = 1.5

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào miền có tỉ phần xếp chặt cao của
các hạt colloid - droplet. Để khảo sát các kiểu cấu trúc tinh thể khác nhau trong hỗn
hợp colloid - droplet, chúng tôi mở rộng mô hình tương tác đẳng hướng sang mô
hình tương tác dị hướng, trong đó mỗi hạt colloid có thể liên kết với sáu hạt droplet
trong cấu trúc bát diện đều. Sử dụng biến xếp chặt cùng với mô phỏng máy tính,
chúng tôi tiên đoán các cấu trúc tinh thể có thể tạo thành, sau đó so sánh kết quả này
với kết quả mô phỏng. Trong nghiên cứu này, chúng tôi tìm thấy một số cấu trúc
tinh thể nhị phân như NaCl và FeS 2, các cấu trúc này đã được dự đoán là không ổn
định trong hỗn hợp quả cầu cứng nhị phân [29]. Do vậy, kết quả của chúng tôi có


thể hữu ích trong việc định hướng các nghiên cứu thực nghiệm để tổng hợp các cấu
trúc như vậy với mục đích sử dụng chúng cho các ứng dụng thực tế, chẳng hạn như
các vật liệu có vùng cấm quang hoàn toàn.

CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
2.1
Mô hình
Chúng tôi nghiên cứu một hỗn hợp gồm Nc hạt colloid có đường kính hạt là σc và
Nd hạt droplet có đường kính hạt là σd. Tương tác giữa các hạt colloid – colloid, các
hạt droplet – droplet được coi là tương tác giữa các quả cầu cứng. Thế năng tương
tác được xác định:
� r  i
�
ii  �
0 r � i
�

(2.1)
trong đó i = c thể hiện tương tác colloid – colloid, i = d thể hiện tương tác giữa

droplet – droplet.
Mô hình tương tác giữa các hạt colloid – droplet nhằm mô phỏng hiệu ứng
Pickering được định nghĩa là:

r
cd (rij ,  ijkmin )  uPW (rij ) f (rij ,  ijkmin )

(2.2)


Hình 2. 1: Mô hình patchy colloid – droplet. Colloid i (quả cầu xám) có các phần đốm
(màu xanh lá) được xác định bởi tập hợp các vecto và góc δ. Droplet j (quả cầu màu
hồng) nằm trên bề mặt colloid. Góc là góc hợp bởi vecto , nối tâm hai hạt colloid i và
droplet j, và patch thứ k nằm trên hạt colloid i, kminlà patch mà tại đó góc α có giá trị
cực tiểu. Góc tiếp xúc θ được dùng để điều khiển khoảng cách giữa colloid i và droplet
j

Trong đó,

rij

là khoảng cách và vector từ tâm hạt colloid thứ i đến tâm
r
 ijk
rij
k
hạt droplet thứ j,
là góc giữa
và patchy thứ k, min là patch mà tại đó góc

 ijk

cực tiểu và

và

r
rij

uPW

u PW

là thế parabol đẳng hướng , với
�
A(r  B ) 2  C ,
�
�
�
�
0
�

Với A, B và C được xác định như sau:

uPW

d c
2
 c

r� d
2

được xác định như sau:

r

(2.3)


(   2  r02 )
A
,
2r02
B

d c
 r0 ,
2

(   2  r02 )
C
2

r0  d (1  cos ),
2

(2.4)

Trong đó θ là góc giữa tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc giữa colloid - droplet và

đường nối giữa hai điểm tiếp xúc đó, r0 được dùng để kiểm soát phạm vi tương tác
giữa colloid và droplet.

f (rij ,  ijkmin )
u (r )
Hàm PW
được điều biến bởi hệ số
, đó là một hàm Gauss phụ
thuộc vào sự liên kết giữa các patchy với khoảng cách giữa colloid – droplet
f (rij ,  ijkmin )  exp( 

4 2ijkmin

2

)

(2.5)

δ là một nửa góc mở của vector uk vecto xác định độ rộng của patchy. Ta thấy,
khi 1/δ →0 thì thế năng dị hướng trong công thức (2.2) trở thành thế năng đẳng
hướng. Khi patchy kmin trùng hướng với vecto rij ta có
bằng 1.

f (rij ,  ijkmin )

đạt giá trị lớn nhất

Ta có, góc δ liên hệ với góc θ và tỉ lệ đường kính của các hạt droplet và colloid
theo công thức

(2.6)


Hình 2. 2: Thế năng colloid – droplet theo hàm của khoảng cách colloid-droplet
tại một số tỉ số bán kính khác nhau (a). Thế năng colloid-droplet phụ thuộc vào
góc (b).

Diện tích bề mặt của các patchy hút χ được xác định bởi công thức:

  n p sin 2 ( )
2

(2.7)

Với np là số patchy
Áp dụng phương trình (2.3) và (2.5) cho tương tác colloid – droplet, ta có
�
4 ij2kmin
2
�
A(r  B)  C �
�
�exp(   2 ),
��
cd (rij ,  ijkmin )  �
�
0,
�
�

d c
,
2
 c
r� d
.
2
r

(2.8)

Tổng năng lượng tương tác giữa các cặp colloid – colloid, droplet – droplet và
colloid – droplet được cho bởi;
Nd
Nc Nd
U tot Nc
 �cc ( ri  rj )  �dd ( Ri  R j )  ��cd (ri  R j ,  ijkmin ),
k BT i  j
i j
i
j

(2.9)
Với kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ, ri là khoảng cách đến tâm hạt colloid
thứ i và Rj là khoảng cách đến tâm hạt droplet thứ j.


2.2 Phương pháp
2.2.1
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Mô phỏng Monte Carlo được đề xuất bởi Von Neumann, Ulam và Metropolis
vào năm 1940, lấy ngẫu nhiên không gian pha theo thừa số Boltzman, do đó nó
thường được sử dụng để đo tính chất cân bằng của một hệ. Trong luận văn này,
chúng tôi dùng phần mềm mô phỏng Monte Carlo để nghiên cứu hệ colloid.
Trong hệ phân bố chính tắc NVT, số lượng hạt N, nhiệt độ T và thể tích V được
giữ cố định. Hàm phân bố cho hệ được xác định bở phương trình:
(2.10)
lần lượt là tọa độ và động lượng của hạt N, là hàm Hamilton, β = 1/kBT với kB
là hệ hố Boltzman và C là hệ số chuẩn hóa. Giá trị trung bình của một đại lượng A
có thể được xác định bởi
(2.11)
Vì thế năng và động lượng của các hạt là hai đại lượng độc lập, hàm Hamilton
có thể được tách ra thành động năng và thế năng:
(2.12)
Trong đó m là khối lượng của hạt, là khoảng cách giữa hai hạt i và j, là thế
năng.
Nếu giá trị A chỉ phụ thuộc vào tọa độ hạt, thì biểu thức (2.11) có thể được rút
gọn như sau:
(2.13)
Theo phương trình (2.13), đại lượng vật lí A có thể được tính bằng các cấu hình
đồng nhất, sau đó sẽ được điều biến bởi thừa số Boltzman. Tuy nhiên, quá trình này
đòi hỏi một số lớn các cấu hình để tính toán. Hơn nữa, đối với hầu hết thế năng
phân tử thì thừa số Boltzman giảm nhanh khi khoảng cách giữa các hạt gần với
nhau. Ví dụ như một chất lỏng có 100 hạt tại gần điểm đông đặc thì thừa số
Boltzman chỉ nhận một giá trị khác không trong số 10 260 cấu hình [44]. Điều này
cho thấy, phần lơn các tính toán của phương trình (2.13) sẽ được dành cho các cấu
hình không có nhiều đóng góp đối với đại lượng A.
Metropolis đã đề xuất một thuật toán, thay vì tạo ra các cấu hình ngẫu nhiên và
sau đó điều biến nó với thừa số Boltzman thì đầu tiên sẽ tạo ra cấu hình không đồng
nhất với mật độ xác suất là và sau đó lấy trung bình trên những cấu hình này. Thuật

toán này được gọi là thuật toán Monte Carlo lấy mẫu quan trọng hay thuật toán
Motropolis. Để làm điều này, mô phỏng sẽ được thực hiện với chuỗi Markov cấu
tạo từ hàng loạt các bước dịch chuyển ngẫu nhiên, chuyển từ cấu hình này sang cấu
hình khác sao cho tuân theo phân bố Blotzman.
Trong thực tế, với các hệ chính tắc thì mô phỏng sẽ được khởi tạo với một cấu
hình N hạt trong thể tích V và nhiệt độ T. Cấu hình thử như vậy sẽ được tạo ra bằng


các chọn một hạt ngẫu nhiên và sau đó cho nó một bước dịch chuyển nhỏ. Xác suất
chấp nhận chuyển dời đó sẽ tuân theo chuỗi Markov được cho bởi biểu thức
(2.14)
Trong đó hệ số o và n biểu thị tương ứng với cấu hình cũ và cấu hình mới. Ở
dạng tương tự, ta có

(2.15)
Thuật toán được tiến hành như sau: thực hiên dịch chuyển trạng thái của hạt từ
cấu hình cũ o sang cáu hình mới n. Trước khi thực hiện các bước dịch chuyển, tính
toán sự thay đổi năng lượng trong hệ khi thực hiện bước dich chuyển. nếu thì sự
chuyển dời luôn luôn được chấp nhận. Ngược lại, nếu thì chuyển dợi đó được chấp
nhận chuyển động đó với xác suất là exp. Để xác định xác suất này, ta tạo một số
ngẫu nhiên giữa 0 và 1. Nếu thì chuyển động sẽ được chấp nhận và ngược lại sẽ bị
từ chối. Điểm quan trọng trong thuật toán là cần tạo ra một số ngẫu nhiên phân bố
đều trong khoảng [0,1] để tránh những sai số. Một trong những khởi tạo được sử
dụng nhiều nhất dựa trên thuật toán Mersenne Twister đã được phát triển bởi
Makoto Matsumoto và Takuji Nishimura [45].
Mô phỏng Monte Carlo được mô tả ở đây chủ yếu được áp dụng với hệ chính
tắc (hệ NVT). Đối với những hệ khác như hệ NPT, sự dịch chuyển ngẫu nhiên của
các hạt được kết hợp với những thay đổi ngẫu nhiên về thể tích. Đối với những mô
phỏng của những hạt dị hướng thì chuyển động quay của các hạt cũng có thể được
đưa vào tính toán [44].

Chúng tôi thực hiện các mô phỏng Metropolis Monte Carlo (MC) trong hệ phân
bố NVT với 107 chu trình MC cho quá trình cân bằng và với 105 MC chu trình để lấy
dữ liệu. Trong mỗi chu trình MC, tất cả các hạt đều chuyển động trung bình một
lần. Các hạt droplet chuyển động tịnh tiến, trong khi các hạt colloid có thể chuyển
động tịnh tiến kết hợp với chuyển động quay sao cho xác suất chấp nhận là 50%.
Cấu hình ngẫu nhiên ban đầu của các hạt cầu được sắp xếp trong một khối lập
phương thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn. Các mô phỏng được thực hiện cho tổng
số các hạt colloid – droplet trong khoảng từ 500 đến 1000 hạt, tương ứng với tỉ phần
xếp chặt khác nhau. Để đạt được giá trị tốt nhất, ứng với mỗi bộ tham số, chúng tôi
thực hiện năm mô phỏng độc lập, sau đó lấy giá trị trung bình.
2.2.2
Phương pháp tính toán đường cong xếp chặt
Trong nghiên cứu tinh thể colloid, một trong những mục tiêu là dự đoán những
kiểu cấu trúc tinh thể có thể hình thành nếu cho trước thành phần và tương tác giữa
chúng. Phương pháp truyền thống là tính toán năng lượng tự do cho nhiều kiểu cấu
trúc có khả năng. Từ đó xác định cấu trúc bền nhất sẽ là cấu trúc có năng lượng tự
do thấp nhất. Một cách tiếp cận khác là tiên đoán cấu trúc tinh thể đối với hệ kiểu


quả cứng dựa trên biến xếp chặt. Lí do cơ bản của việc dùng biến xếp chặt là cấu
trúc xếp chặt lớn hơn sẽ cho phép thể tích tự do địa phương lớn hơn, entropy tịnh
tiến lớn hơn và do đó làm giảm năng lượng tự do. Ưu điểm của phương pháp xếp
chặt là ta không cần biết bán kính, cũng như hằng số mạng của hệ. Thay vào đó ta
cần tỉ số bán kính giữa chúng và kiểu hệ tinh thể.
Biến xếp chặt được định nghĩa là tỉ phần thể tích chiếm bởi các quả cầu chia
cho thể tích của ô cơ sở. Thông thường, trong các hệ nguyên tử hoặc hệ các quả cầu
cứng thuần túy, tỉ phần xếp chặt được xác định dựa trên giả thiết là các quả cầu
không được phép phủ nhau. Tuy nhiên, trong mô hình của chúng tôi, các hạt colloid
có thể phủ với các droplet do hiệu ứng Pickering. Do đó thể tích chiếm đầy bởi các
quả cầu bằng thể tích không gian chiếm bởi các quả cầu lõi cứng trừ đi miền thể

thích phủ nhau.
Theo Villars [46], có 147 kiểu cấu trúc tinh thể nguyên tử, tạo ra hơn 5000 chất
hai thành phần. Con số lớn những kiểu cấu trúc như vậy là hệ quả từ sự tổ hợp của
hệ tinh thể (hằng số mạng), nhóm không gian và số phối vị. May thay nếu ta giới
hạn hệ với số phối vị bằng 6 (đối xứng bát diện đều) thì chỉ có một số rất nhỏ những
cấu trúc cần phải xem xét.
2.2.3
Phương pháp phân tích
a, Hàm phân bố theo bán kính
Đối với phân bố chính tắc NVT cố định thì mật độ n hạt trong trạng thái cân
bằng là [47]
(2.16)

Trong đó, h là hằng số Plank, Q n là hàm phân hoạch và Zn là tích phân cấu hình
được định nghĩa là
(2.17)
Và

(2.18)

Định nghĩa mật độ n hạt suy ra là
(2.19)


Đặc biệt, mật độ đơn hạt n = 1 và mật độ hai hạt n = 2 thường sử dụng trong lý
thuyết và mô phỏng để khảo sát tính chất cấu trúc và đồng thời cũng để khảo sát
tính chất nhiệt động
(2.20)
(2.21)
Và do đó

(2.22)
(2.23)
Hàm phân bố bán kính (RDF) là tập hợp các khoảng cách giữa hạt i và hạt j.
Hàm này có thể định nghĩa qua mật độ hai hạt như sau
(2.24)
Đối với hệ hai thành phần loại 1 và 2, chúng tôi đưa vào hàm phân bố bán kinh
g11, g12 và g22 để đặc trưng cho sự tương quan giữa mỗi thành phần:
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Trong đó là mật độ đơn hạt đối với thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai,
là mật độ hai hạt của thành phần thứ nhất trong sự xuất hiện của thành phần thứ hai,
là mật độ hai hạt giữa thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai. Công thức tường
minh (2.20) (2.21) được tổng quát như sau
(2.28)
(2.29)
(2.30)
Với N1, N2 là tổng số hạt của mỗi thành phần. Trong trường hợp mật độ chất
lỏng rất thấp thì hàm phân bố liên quan trực tiếp với thế năng thông qua biểu thức
(2.31)
Với i, j = 1, 2 và .
b, Hàm phân bố số hạt
Số phối vị cho ta biết số hạt của một hạt nằm xung quanh gần nhất một hạt mà
ta xét. Mật độ số phối vị trung bình n r có thể được tính qua hàm phân bố bán kính
g(r) theo biểu thức
(2.32)
Trên thực tế, số phối vị đầu tiên thường được xác định theo biểu thức
(2.33)
Trong đó r1 là vị trí của cực tiểu đầu tiên của g(r).
Trong khi hàm phân bố bán kính đóng một vai trò quan trọng tỏng vật lý chất

lỏng vì các tính chất nhiệt động có thể đc biểu diễn qua tích phân g(r) [48] thì hàm
phân bố số hạt đặc biệt hữu ích trong việc mô tả các cấu trúc của chất rắn. Ví dụ
một vài cấu trúc hoàn hảo bao gồm n 1 = 12 đối với cấu trúc FCC và HCP, n 1 = 8 đối
với cấu trúc BCC, n1 = 6 đối với cấu trúc SC. Đối với hệ hai thành phần thì cấu trúc
tinh thể sẽ được mô tả bởi hai số tọa độ tương ứng với mỗi loại, ví dụ trong cấu trúc