CHUYÊN đề ĐỒNG DẠNG LOP 8

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho

∆

ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR:

BH .BD + CH .CE = BC 2

HD:
Từ H kẻ
Khi đó:

HK ⊥ BC

∆CKH : ∆CEB ( g .g ) =>

CH CK
=
=> CH .CE = CK .CB
CB CE

(1)

Tương tự:
∆BKH : ∆BDC ( g .g ) =>

BH BK
=
=> BH .BD = BK .BC
BC BD

(2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT = CK .BC + BK .BC = BC ( BK + KC ) = BC 2

Bài 2: Cho
CMR:

∆

BHC có

·
BHC

tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D

BH .BD + CH .CE = BC 2

HD:
HG ⊥ BC => ∆CGH : ∆CEB ( g .g )

Kẻ:
CH CG
=
=> CH .CE = BC.CG
CB CE
=>
(1)

∆BGH : ∆BDC ( g .g )
Tương tự ta có:
BH BG
=
=> BH .BD = BC.BG
BC BD
=>
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
= BC.CG + BC .BG = BC ( CG + GB ) = BC 2
VT
∆
Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác
1
1
1
+
=
AB AC AD
CMR:
HD:

1
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


DE / / AB ( E ∈ AC ) => ∆ADE

Kẻ
∆ABC

là tam giác đều
có :

DE / / AB =>
=>

DE CE
AD AC − AE
AE
AD
=
=>
=
= 1−
= 1−
AB CA
AB
AC
AC
AC

AD AD
1
1
1
+
= 1 =>
+
=

AB AC
AB AC AD

(đpcm)

2
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của

biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR:

∆

ABC,

AM
AB ' AC '
=
+
A ' M CB ' BC '

HD:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:
AM
AE
AE / / A ' C =>
=

A ' M A 'C
∆AME
có
AM
AD
AD / / A ' B =>
=
A 'M A ' B
∆AMD
có
Từ (2) và (2) ta có:
AM
AE
AD
AD + AE
DE
=
=
=
=
A ' M A ' C A ' B A ' C + A ' B BC

(1)

(2)

(*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:
AB ' AD

AD / / BC =>
=
B ' C BC
∆AB 'D
có
(3)
AC ' AE
AE / / BC =>
=
∆AC ' E
C ' B BC
có:
AB ' AC ' AD AE DE
+
=
+
=
B 'C BC ' BC BC BC
Từ (3) và (4) ta có:
AM
DE AB ' AC '
=
=
+
A ' M BC B ' C BC '
Từ (*) và (**) =>
(đpcm)

(**)

∆
Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc
các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR:
AM BM CM
+
+
=2
AA ' BB ' CC '
HD:
AH , MK ⊥ BC => AH / / MK
Từ A, M vẽ
∆A ' AH

A ' M MK MK .BC S MBC
=
=
=
A ' A AH
AH .BC S ABC
có:

Mặt khác:

A ' M AA '− AM
AM S MBC
=
= 1−
=
A' A
AA '

A ' A S ABC

3
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


=>

S
AM
= 1 − MBC
A' A
S ABC
S
S
BM
CM
= 1 − MAC ,
= 1 − MAB
BB '
S ABC CC '
S ABC

Chứng minh tương tự:
Cộng theo vế ta được đpcm

4
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

Bài 7: Cho

∆

ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của
MA ' MB ' MC '
+
+
=3
GA ' GB ' GC '
tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR :
HD:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D,
với I là trung điểm BC
A ' M MD
MD / / GI =>
=
∆A 'GI
A 'G
GI
có:
(1)
A1M MD MD
MD / /GI =>
=
=
( AI = 3GI )
A1A
AI
3GI

∆A1AI
có
(2)
A ' M 3 A1M
=
A'G
A1A
Từ (1) và (2) ta có:
Chứng minh tương tự ta có:

MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M
 A1M B1M C1M 
=
,
=
=> VT = 3 
+
+
÷
GB '
B1B GC '
C1C
 A1A B1B C1C 

mà ta có: từ bài 6 =>

A1M B1M C1M
+
+
= 1 => VT = 3

A1A B1B C1C

∆
Bài 8: Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
∆
∆
a, CMR: AEF đồng dạng ABC
∆
b, H là giao các đường phân giác của DEF
c,

BH .BE + CH .CF = BC 2

HD:
∆AEB : ∆CFC ( g .g ) =>

AE AB
AE AF
=
=>
=
AF AC
AB AC

a, Ta có:
∆AEF : ∆ABC ( c.g .c )
=>
b, Chứng minh tương tự ta cũng có:
∆CED : ∆CBA,
(c.g.c) và

∆BFD : ∆BCA

(c.g.c)

5
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


·
·
∆AEF : ∆ABC => ·AEF = ABC
= CED
=> Do
·
·
·
·
·
BEF
+ ·AEF = BED
+ CED
= BEF
( = 900 ) => BED

Mà:

=> HE là phân giác góc E

Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D

∆BHD : ∆BCE ( g.g ) =>
c,

BH BD
=
=> BH .BE = BD.BC
BC BE

CH CD
∆CDH : ∆CFB ( g.g ) =>
=
=> CH .CF = CD.CB
CB CF

và
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm

(1)

(2)

6
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 9: Cho

∆

ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR :

AD 2 = AB. AC − BD.DC

HD:
Trên AD lấy điểm E sao cho:
·AEB = ·ACB => ∆ABE : ∆ADC ( g .g )
=>

BE
AB AE
=
=
=> AB. AC = AD. AE
DC AD AC

(1)

lại có:
∆BDE : ∆ADC ( g .g ) =>

BD DE
=
=> BD.DC = AD.DE
AD DC

(2)

AB. AC − BD.DC = AD ( AE − DE ) = AD 2

Lấy (1) - (2) theo vế ta được:

·ABC = ·ADC , ·ABC + BCD
·
< 1800

Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó:

, Gọi E là giao điểm của AB và

AC = CD.CE − AB. AE
2

CD, CMR:
HD:

Trên nửa mặt phẳng bờ BE,
không chứa C vẽ tia Ex sao cho:
=> Ex cắt AC tại N =>

·
BEx
= ·ACB

µ =B
µ =D
µ
N

Ta có :
∆ABC : ∆ANE ( g .g ) =>

AB AC
=
=> AB. AE = AC. AN
AN AE

(1)
CD CA
∆CAD : ∆CEN ( g.g ) =>
=
=> CD.CE = CA.CN
CN CE

Tương tự :
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm

(2)

Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD
CMR: Hệ thức:

AB. AE + AD. AF = AC 2

HD:

Vì AC là đường chéo lớn =>
DH ⊥ AC
Kẻ

µ > 900 => H ∈ AC
D

,

7
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


∆AHD : ∆AFC ( g. g )
=>
=>

AD AH
=
=> AD. AF = AC . AH
AC AF

(1)
BK ⊥ AC => ∆AKB : ∆AEC ( g . g )

Tương tự kẻ
=>

AB AK
=
=> AB. AE = AC . AK
AC AE

(2)

AD. AF + AB. AE = AC ( AH + AK ) = AC .AC = AC 2

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
∆ABK = ∆CDH
Vì
( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC
∆
Bài 12: Cho ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB
cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng
đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E
DG KF EH
KH DE GF
+
+
=1
+
+
=2
AB BC AC
AB BC AC
a, CMR:
b, CMR:
HD:
∆HKO : ∆ABC ( g.g ) =>
a,
∆GOF : ∆ABC ( g.g ) =>

KH KO
=
AB BC

GF OF
=
AC BC

KH DE GF KO DE OF
+
+
=
+
+
=1
AB BC AC BC BC BC

Nên
b, Ta có:
DG DC
=
AB BC

và

EH BE
=
AC BC

,

Khi đó:
DG KF EH DC KF BE DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC
+

+
=
+
+
=
=
=2
AB BC AC BC BC BC
BC
BC

Bài 13: Cho
HD:

∆

Vẽ DE / / BM (

ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, CMR :
E ∈ AC

NC AC
−
=1
ND BC

)

8
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

NC MC
=
ND ME

NM / / DE =>

∆QDE
có

(*)
AD AC
=
DB BC

∆ABC

có DC là tia phân giác nên:
(1)
AD AE
=>
=
DB EM
∆ABM
và
có DE//BM
(2)
AC AE
=

BC ME
Từ (1) và (2) ta có :
(**)
NC AC MC AE ME
−
=
−
=
=1
ND BC ME ME ME
Lấy (*) - (**), ta có :

Bài 14: Cho

∆

ABC có các đường phân giác AD, BE, CF, CMR:

DB EC FA
.
.
=1
DC EA FB

HD:
∆ABC

=>
có AD là tia phân giác nên:
EC BC FA AC

=
,
=
EA AB FB BC

Tương tự:

DB AB
=
DC AC

,

,

Nhân theo vế ta được đpcm

Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G
CMR:
a,

b,

AE 2 = EK .EG
1
1
1
=
+
AE AK AG

c, Khi a thay đổi thì tích

BK .DG

có giá trị không đổi?

HD:

a,

∆ABE

∆ADE

AM / / DG =>
có
AD / / BK =>

có

AE EB
=
EG ED

EB EK
=
ED EA

(1)

(2)

9
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Từ (1) và (2) ta có:

AE EK
=
=> AE 2 = EK .EG
EG EA

1
1
1
AE AE
=
+
=>
+
=1
AE AK AG
AK AG

b, Từ:

∆ADE

AD / / BC =>
có

Tương tự:

Khi đó:

c, ta có:

∆AEB

AE ED
AE
ED
AE ED
=
=>
=
=>
=
EK EB
AE + EK ED + EB
AK DB

AB / / DG =>
có

AE AE ED BE
+
=

+
=1
AK AG BD BD

AE BE
AE
BE
AE BE
=
=>
=
=>
=
EG ED
AE + EG BE + ED
AG BD

Bài 16: Cho
HD:

∆

và

KC CG
AD.CG
=
=> DG =
AD DG
KC

=> BK .DG = AB. AD

không đổi

ABC nhọn, H là trực tâm, CMR :

∆BC 'H : ∆BB ' A ( g . g ) =>
Ta có:
BH .CH BC '.CH S HBC
=>
=
=
AB. AC BB '. AC S ABC

(4)

=>đpcm

BK AB
KC. AB
=
=> BK =
KC CG
CG

Nhân theo vế ta được

(3)

BH .CH CH . AH AH .BH
+
+
=1
AB. AC BC.BA CA.CB

BH BC '
=
AB BB '

(1)
CH CA '
∆CA ' H : ∆CC ' B ( g.g ) =>
=
BC CC '

Tương tự:
CH . AH CA '. AH S AHC
=>
=
=
BC.BA CC '. BA S ABC

(2)
AH AB '
AB.BH AB '.BH S HAB
∆AHB ' : ∆ACA ' ( g .g ) =>
=
=>
=

=
AC AA '
CA.CB
AA '.CB S ABC
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm

10
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


∆
∆
Bài 17: Cho ABC, M là điểm nằm trong ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao
điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF
lần lượt tại K và I, CMR : MI=MK
HD:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q
AN MN
MN / / BC =>
=
AB BD
∆ABD
có
AN NQ
MN NQ
NQ / / BC =>
=
=>
=

∆ABC
AB BC
BD BC
có
(1)
IM FM
IM / / DC =>
=
∆FDC
DC FC
có
,
MN FM
NM / / BC =>
=
∆FBC
BC
FC
có
IM MN
IM
DC
=>
=
=>
=
DC BC
MN BC
(2)
IM DC.NQ

DC.NQ.BD
=
=> IM =
2
BD
BC
BC 2
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
(*)
Tương tự ta cũng có:
MQ AQ
NQ AQ
MQ / / DC =>
=
NQ / / BC =>
=
∆ADC
∆ABC
DC AC
BC AC
có
và
có
MQ NQ
=
DC BC
Do đó:
(3)
MK EM
MQ ME

MK / / BD =>
=
MQ / / BC =>
=
BD
EB ∆EBC
BC
EB
∆EBD
Và:
có
,
có
MK MQ
MK BD
=
=>
=
BD
BC
MQ BC
Do đó:
(4)
MK NQ.BD
DC.NQ.BD
=
=> MK =
2
DC
BC

BC 2
Nhân (3) với (4) ta được:
(**)
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
∆
Bài 18: Cho ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC,
đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao
điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE
HD:
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J

11
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


 HK / / GO

 HG / / KO

Tứ giác HGOK có:
=> HGOK là hình bình hành
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ
DH BH
DH / / NG =>
=
∆BNG
NG BG
có
(1)
HK BH

HK / / GC =>
=
∆BGC
GC BG
có
(2)
DH HK
DH NG 1
=
=>
=
=
NG GC
HK GC 2
Từ (1) và (2) ta có
(*)
OE OC
OE / / GM =>
=
∆CMG
GM CG
CMTT ta có:
có
(3)
OK OC
OK / / BG =>
=
∆CBG
GB CG
có

(4)
OE OK
OE GM 1
=
=>
=
=
GM GB
OK GB 2
Từ (3) và (4) =>
(**)
DH OE 1
=>
=
= => ∆DKE
OH / / DE
HK OK 2
Từ (*) và (**)
có
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi
qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, CMR:

·
·
DBF
= EBC

HD:
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G

DK FD
DK / / AB =>
=
AB FA
∆FAB
có
(1)
DH FD
DH / / AG =>
=
∆FAG
AG FA
có
(2)
Từ (1) và (2)
DK DH
DK AB
=>
=
=>
=
AB AG
DH AG
(*)
Tương tự:
IC EC
AB / / IC =>
=
∆EIC
AB EA

có
(3)
HC EC
HC / / AB =>
=
∆EHC
AG EA
có
(4)

12
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


=>

IC HC
IC
AB
=
=>
=
AB AG
HC AG

Từ (3) và (4) ta có:
(**)
DK IC
=
DH HC

Từ (*) và (**) =>
, Mà DH=HC (gt)=>DK=IC
∆BDC

·
·
BDK
= BCI

Mặt khác: BD=BC(gt)=>
cân=>
·
·
∆BDK = ∆BCI ( c.g .c ) => DBK
= CBI
=>
đpcm
Bài 20: Cho

∆

ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần
AB AC
+
=3
AM AN
lượt tại M và N, CMR:
HD:
Gọi O là trung điểm của BC,
( H , K ∈ AO )

Kẻ BH, CK lần lượt // MN
∆BOH = ∆COK ( g .c.g ) => OH = OK
∆ABH
∆AKC

MG / / BH =>
có
GN / / KC =>
có

AB AH
=
AM AG
AC AK
=
AN AG

(1)

(2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
AH AK AG + GH + AG + GH + HK 2 AG + 2GO 3 AG
VT =
+
=
=
=
=3
AG AG

AG
AG
AG
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N)
đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, CMR: AE.BF=DE.CF
HD:

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G

13
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


∆AEH

∆CGF

HA / / DM =>
có
CG / / BM =>
có

AE AH
=
ED DM

(1)

BF BM

CF CG
=
=>
=
CF CG
BF BM

∆NAH = ∆NCG ( g .c.g ) => AH = CG

Mặt khác:

(2)
(3) và

Từ (1), (2) và (3) ta có:

DM = BM

AE CF
=
=> AE.BF = ED.CF
ED BF

Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao
điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB, CMR: EF //BC

HD:
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND

=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>

AF AM
FM / / BN =>
=
∆ABN
AB AN
có
AE AM
ME / / NC =>
=
∆ANC
AC AN
có

Từ (1) và (2) =>

AF AE
=
AB AC

=>

 BM / / NC

 BN ..MC

(1)

(2)

EF / / BC

Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM
OA
OD 2
= 4,
=
OM
ON 3
và DN, biết
, CMR: ABCD là hình bình hành

14
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD:
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN
OM MH 1
DH 4
OH / / AD =>
=
= =>
=
AM MD 5
DM 5
∆MAD
có

Vì

(1)

OA
OA
OA + OM AM
OM 1
= 4 =>
+ 1 = 5 =>
=
= 5 =>
=
OM
OM
OM
OM
AM 5

Tương tự ta có:
Từ (1) và (2) =>

∆DNC

có

KM / / NC

, mà

OD 2
OD 2
DO 4
= =>
= =>
=
ON 3
DN 5
DK 5

(2)

OH / / KM => AD / / BC

Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt
các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND
HD:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H
MB MF BF
BF / / AG =>
=
=
∆MAG
MA MG AG
=>
có
∆NHD

FC / / HD =>

NC FC
=
ND HD

có
(1)
∆AEG = ∆DEH ( g .c.g ) => HD = AG
Ta lại có:
Thay vào (1) ta được:
=>

NC FC BF MB
NC MB
=
=
=
=>
=
=> MA.NC = MB.ND
ND AG AG MA
ND MA

đpcm

Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi G
là trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
∆
∆

a/ CMR: GPI và GNCđồng dạng
b/ CMR: IC vuông góc với GI

15
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD:
a, Vì G là trọng tâm nên

GP ⊥ MN

PI =
Lại có : MA=NC=>
∆

Vì

ABC đều =>

∆

,

1
1
MA = NC
2
2

và

1
GP = .GN
2

BMN đều

¶ = 1200 => MIP
·
·
M
= 600 => GPI
= 900 + 600 = 1500
1

=>

·
·
GNB
= 300 => GNC
= 1800 − 300 = 1500

Và
=> ∆GPI : ∆GNC ( c.g .c )

b,

∆GIC

có

1
GI = .GC
2

theo câu a=>

∆

GIC vuông tại I=> IC

⊥

GI

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho
·AIC = 900 , ·AKB = 900
a, CMR: AI=AK
2
µA = 600 , S
ABC = 120cm
b, Cho
, Tính diện tích tam giác AEF
HD:
∆AIE : ∆ACI ( g .g ) =>
a,
Chứng minh tương tự:
∆AIK : ∆AKB ( g .g ) =>

AI
AE
=
=> AI 2 = AE. AC
AC AI

AK AF
=
=> AK 2 = AB. AF
AB AK

(1)

(2)

Lại có
∆ABE : ∆ACF ( g .g ) =>

AB AE
=
=> AB. AF = AC. AE
AC AF

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

AI 2 = AK 2 => AI = AK

B, Vì

µA = 600 => B
µ = 300 => AE = 1 AB, C
µ = 300 =>= 1 AC
1
1
2
2

16
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


∆AEF : ∆ABC ( c.g .c ) =>

2

S AEF  AE  1
1
2
=
÷ = => S AEF = .120 = 30cm
S ABC  AB 
4
4

=>
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của
I trên BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E,

Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
∆
∆
a/ IHE và BHA đồng dạng
∆
∆
b, BHI và AHE đồng dạng
c, AE vuông góc với BI
HD:
a, Ta có:

∆

AHC vuông cân tại H,

có I là trung điểm AC =>

HI = IC

=> I nằm trên đường trung trực của HC
=> IF là đường trung trực
∆
∆
=> EH=EC=> IHE= ICE ( c.c.c)
=>

·
·
IHE
= ICE

= 900

µ =C
µ =µ
E
A1 => ∆IHE = ∆BHA ( g.g )
1
1

Mặt khác:
∆
: ∆
b, Theo câu a ta có: IHE
BHA
HI HE
=
·
BHI
= 900 + ·AHI = ·AHE
HB HA
=>
và
=> ∆BIH : ∆AHE ( c.g.c )
¶ =M
¶
M
1
2

c, Giả sử: AE giao với HI tại M =>

Từ câu b=>

µ => K
µ =H
µ = 900 => AE ⊥ BI
I$= E

Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
∆
∆
a, AND và DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau
HD:

17
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


µ
¶
A1 = D
1

a, Ta có:

và

( cùng phụ

·ADE

)
AE AD
∆AED : ∆DEC ( g.g ) =>
=
DE DC

mà AE= 2. AN và DE= 2. DP
=>

AN AD
=
=> ∆AND : ∆DPC ( c.g .c )
DP DC

ND / / =

1
AD = MC
2

b, Ta có :

·
·
PNM
= PCM

NPCM

=> Tứ giác
là hình bình hành =>
¶ =C
µ (cmt )
 D
2
1
·
¶ + PNM
·
µ + PCM
·
µ = 900
=> DNM
=N
=C
=C

1
1
¶
¶
 D2 = N1 ( sole)
Lại có :
=> DN ⊥ NM
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của
các đoạn thẳng BH, AH, CMR:
∆
∆

a, ABP và ACQ đồng dạng
b, AP vuông góc với CQ
HD:
a, Ta có:

µ =µ
B
A1
1

( Phụ

·
BAH

∆AHB : ∆CHA ( g.g ) =>
=>

)
AH AB BH
=
=
CH AC AH

mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP
AB 2 BP BP
=
=
=> ∆ABP : ∆CAQ ( c.g .c )
AC 2 AQ AQ

=>
µ
∆ABP : ∆CAQ ( cmt ) => ¶A2 = C
1
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì
¶A + KAC
·
·
µ = 900 => AK ⊥ KC
= 90 0 => KAC
+C
2
1

mà

18
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


∆
Bài 30: Cho ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung
điểm của HI
∆
∆
a, CMR: BIC và AOH đồng dạng
b, AO vuông góc với IC
HD:
¶ =C

µ
H
1
1

a, Ta có:

(Cùng phụ

·
IHC

∆AHC : ∆HIC ( g.g ) =>
lại có :
HI = 2.HO, HC =
Mà

Thay vào ta được :

)

(1)

AH HC AC
=
=
HI
IC HC

BC

2

AH
BC
AH HO
=
=>
=
2 HO 2 IC
BC
IC
∆BIC : ∆AOH ( c.g .c )

(2)

Từ (1) và (2) ta có :
∆BIC : ∆AOH ( c.g .c )
b, Vì

theo câu a nên
¶ =D
¶ ( d 2 ) => E
µ =H
µ = 900 => BI ⊥ AE
D
1
2

µ =µ
B

A1
1

và

19
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 31: Cho

∆

ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O
∆
G theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm ABC
∆
∆
a, Tìm các đồng dạng với AHB
∆
∆
b, CMR: HAG đồng dạng với OMG
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng
HD:

∆AHB : ∆MON ( g .g )

a, Dự đoán

,

Chứng minh:

Vì

·
·
 BAG
= GMN
( sole )
MN / / AB => 
·
( sole )
 ·ABG = GNM

AH / / OM
Mặt khác:
( cùng vuông góc BC)
µ
¶
¶
¶
A1 = M 1 => A2 = M 2
=>
Tương tự ta có:

BH//ON vì cùng vuông góc với AC
¶ =B
µ ( sole ) => N
¶ =B

¶ => ∆AHB : ∆MON ( g .g )
N
1
1
2
2
=>
∆AHB : ∆MON ( g.g ) =>
b, ta có:

Mặt khác:

OM MN 1
=
=
AH
AB 2

MG 1
OM GM 1
= =>
=
=
AG 2
AH
GA 2

µ
¶ => ∆AHG = ∆MOG ( c.g.c )
A1 = M

1
Và

µ =G
¶
∆AHG : ∆MOG ( c.g .c ) => G
1
2
c, Vì
µ + HGM
·
¶ + HGM
·
G
= 180 0 => G
= 1800 => H , G, O
1
2
Mà
thẳng hàng
∆
Bài 32: Cho ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc
với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC
HD:

( H ∈ BC )

Vẽ đường cao AH
∆
ABC vuông cân nên AH là đường trung trực

20
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


=> G là trọng tâm => BG=2. GD
Cần chứng minh GE// DC
∆

ABE có G là giao 2 đường cao
GE ⊥ AB
=> GE / / D C

 AC ⊥ AB
=> G là trực tâm =>
BG BE
=
= 2 => BE = 2 EC
GD EC
∆
BDC có GE// DC =>

∆
Bài 33: Cho ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P
và trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN
b, PQ//AC
1
3
PQ = MN , PQ = DE

2
4
c,
HD :
ND =

1
BE
2

a, Vì
và ND//BE => QE// ND
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM,
∆
Gọi G là trọng tâm của ABC => PG=AG - AP =
1
AM
2
1
1
PG 6
1
AM − AM = AM =>
=
=
3
2
6
AG 2 AM 4

3
GQ 1
= => PQ / / AC
GC 4

Tương tự
c, Tự chứng minh

∆
Bài 34 : Cho ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc với
AC tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông góc
với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE
HD :

ta có : AC// BE =>

DM DE
=
DA DC

(1)

21
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


lại có : NE//BC =>

DE DN
=

DC DB

=>
từ (1) và (2) ta có :

(2)

DM DN
=
=> MN / / AB
DA DB

Giả sử : AC cắt BD tại I
µ =B
¶ => B
µ +C
µ = 900
C
1
2
1
1
Ta có:
µ + I$= 900 => I$= B
µ
C
1
1
∆
mà

=> ABI cân tại A
=> BA là đường trung trực => AI =AC
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE

22
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P
là giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM
b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB
HD:
∆

µ =C
µ
B
1
1

∆

a, Ta có: BAN = CBM (c.g.c) =>
mà
0
0
0
µ

¶
¶
µ
·
C1 + M 1 = 90 => M 1 + B1 = 90 => MPB = 90 => BN ⊥ CM
b, Kéo dài BN cắt DC tại I
ND / / BC =>

∆IBC

=>
có
=>I là trung điểm IC,
∆

ND ID 1
=
=
BC IC 2

PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC

c, Tự chứng minh
∆
Bài 36: Cho ABC (ABgiác góc A, đường thẳng này cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E, CMR: BD=CE
HD:
Giả sử AK là tia phân giác góc A
∆

ADE cân tại A => AD = AE

Ta có:

∆

BDM có AK// DM =>

Mặt khác

∆

BD BM
=
AD KM

,
CE
M
ME / / AK =>
=
AE KM

CAK có
BD CE
=
AD = AE => BD = CE
AD AE
Mà BM= CM =>
và

Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc
CMR: CM = AM+2EC

·
CDM

cắt BC tại E,

HD:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM
∆DAM : ∆DCN ( c.g .c )
=>

23
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Lại có: DM=2.DN

và

µ = ·ADE = EDN
·
E
=> ∆EDN

(1)

cân tại N

=> ND=EN=EC+CN
=> AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND

(2)

từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho

·
GOH
= 450

, Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
∆
∆
a, HOD đồng dạng với OGB
b, MG // AH
HD:

µ =B
µ = 450
D

a, ta có:
, Mặt khác:
0
0
µ +O
¶ = 180 − 45 = 1350 

O

1
2
µ µ
 => O1 = G1
¶O + G
µ = 180 0 − 450 = 1350 
2
1

∆HOD : ∆OGB ( g .g )

=>

∆HOD : ∆OGB ( g.g )

b, Theo câu a,
HD OD
=
OB GB
=>
, Đặt MB=a, AD=2a
HD.GB = OB, OD = a 2.a 2 = 2a 2 = AD.BM
=>
=>

HD BM
=
=> ∆BMG : ∆DHA ( c.g .c )

AD BG
¶ =H
¶
M
1
1

=>
, mà
¶ = BAH
·
¶ = BAH
·
H
( sole ) => M
1
1
( đồng vị) => AH//MG
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E
CMR:
a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC

∈

∈

AB, F AD),

HD:

24
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


AE AP
=
AB AC

a, Ta có: EP//BC =>
và
AF AP
AE FA
FP / / DC =>
=
=>
=
= EF / / BD
AD AC
AB AD
b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN
QE EF
EF / / DC =>
=
QD DB
,
QE
IE
=
QD DO

Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=>
µ =D
µ => ∆IEQ : ∆ODQ => Q
µ =Q
¶
E
1
2
và
¶ + OQE
·
µ + OQE
·
Q
= 1800 => Q
= 1800
2
1

Mà

=> A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC

25
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713