010 đề HSG toán 8 móng cái 2011 2012

UBND THÀNH PHỐ MÓNG CÁI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012

Bài 1. (4,0 điểm)
 x2  2 x
 1 2
2 x2
Cho biểu thức M   2

. 1  2 
2
3  
 2x  8 8  4x  2x  x   x x 

a) Rút gọn M
b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương
c) Tìm x để M  3
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Cho x, y là hai số dương và x2010  y 2010  x2011  y 2011  x2012  y 2012 . Tính giá
trị của biểu thức S  x 2020  y 2020
b) Giải phương trình:

x  2015 x  2007 x  2006 x  2018



2010
2012

2011
2013

c) Tìm x và y thỏa mãn: y 2  2  x 2  1  2 y  x  1
Bài 3. (4,0 điểm)

bc ac ab


 a  b  c với mọi số dương a, b, c.
a
b
c
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L  x4  4 x3  7 x2  12 x  20
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A  AC  AB  . Vẽ đường cao AH  H  BC .

a) Chứng minh

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH  HA. Qua K kẻ đường thẳng song
song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC
b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam
giác BPC.
c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh

AH BC

1
HB IB

ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) 2 x 2  8  2  x 2  4   0;8  4 x  2 x 2  x3   2  x   x 2  4   0 và x  0

M xác định  x  2; x  0
 x2  2 x
 x2  x  2
2x2
.
M 

 2  x2  4  2  x   x2  4 
x2



x



2

 2x   2  x   4x2

2  2  x   x2  4
 x  x2  4

2  2  x   x2  4

.

.

 x  1 x  2 
x2

 x  1 x  2   x  1
x2

2x

b) Với x  2; x  0, M có giá trị nguyên dương  M 
dương  2M 

x 1
có giá trị nguyên
2x

2x  2
1
 1  nguyên dương
2x
x

1
x  ;2M     x là ước của 1  x  1(Thỏa mãn điều kiện)
x
x 1

Thử lại: Với x  1 ta có: M 
có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)
2x
x 1
Với x  1 ta có: M 
có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn)
2x
Vậy x  1
c)
M  3  x  2; x  0;

x 1
 3
2x

x 1
x 1
7x 1
 3 
3 0 
0
2x
2x
2x
7 x  1  0
Ta có: 
hoặc
2
x


0


7 x  1  0
1
. Giải được x  0 hoặc x 

7
2 x  0


x  0
1
Kết hợp với điều kiện ta có: M  3  
hoặc x 
7
x  2

Câu 2.
2a) Có x 2012  y 2012   x 2011  y 2011   x  y    x 2010  y 2010 .xy
Do x, y là hai số dương và x2010  y 2010  x2011  y 2011  x 2012  y 2012
Nên x2010  y 2010  x2011  y 2011  x 2012  y 2012  m  0
x 1
m  m  x  y   mxy  1  x  y  xy   x  11  y   0  
 y 1

Với x  1  y 2010  y 2011  y  0 (loại) hoặc y  1
Với y  1  x2010  x 2011  x  0(ktm) hoặc x  1
2b.
x  2015 x  2007 x  2006 x  2018




2010
2012
2011
2013
 x  2015   x  2007   x  2006   x  2018 

 1  
 1  
 1  
 1
 2010
  2012
  2011
  2013

x5 x5 x5 x5




0
2010 2012 2011 2013
1
1
1 
 1
  x  5 




0
 2010 2012 2011 2013 
1
1
1
1


 x  5  Do



 0
2010 2012 2011 2013




2c.
y 2  2  x 2  1  2 y  x  1  y 2  2 y  x  1  2  x 2  1  0
2
  y 2  2 y  x  1   x  1    x 2  2 x  1  0



  y  x  1   x  1  0
2

2

 y  x 1  0 x  1


x 1  0
y  2

Câu 3.
3a. Với mọi số dương a, b, c ta có:
bc ac ab
 bc    ac    ab   a  b  c


abc
a
b
c
abc
abc
abc
2

2

2

  bc    ac    ab   a 2bc  b 2 ac  c 2ab
2

2

2

 2  bc   2  ac   2  ab   2a 2bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0
2

2

2

2
2
2
2
2
2
  ac   2a 2bc   ab     bc   2b 2ac   ab     ac   2c 2ab   bc    0

 
 


  ac  ab    bc  ab    ac  bc   0
2

2

2

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
3b.
L  x 4  4 x3  7 x 2  12 x  20  x 4  4 x3  4 x 2  3x 2  12 x  12  8
 x 2  x 2  4 x  4   3  x 2  4 x  4   8   x  2   x 2  3  8
2

Do  x  2   0(x);  x 2  3  0  x   L  8
2

x

Đẳng thức xảy ra   x  2   0  x  2. Vậy với x  2 thì L có giá trị nhỏ nhất.
2

Giá trị nhỏ nhất của L là 8


Câu 4.

I

K

B

1

H
Q

1

P
a) PK / / AH  CKP
Suy ra AKC

A
CAB 

BPC  c.g.c 

C

CK CA

CP CB

(1)

b) AKH vuông cân tại H  K1  450. Từ (1)  K1  P1  450  BAP vuông
cân tại A  BP  AB 2
Chứng minh BHA BAC 

BH AB

AB BC

BH
2 AB
BH

AB
BH
2 AB





AB
2 BC
2 AB
2 BC
2 AB 2 BC
BH
BP
BH BQ




 BP  2 BQ 
BP 2 BC
BP BC
BH BQ
BHQ và BPC có:

; PBC chung  BHQ BPC  c.g.c 
BP BC


c) BAP vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác  AI là
IC AC

(2)
phân giác ngoài của ABC 
IB AB
AC AH
ABC HBA 

(3)
AB HB
Từ (2) và (3) ta có:
IC AH
IB  BC AH
BC AH



1

IB HB
IB
HB
IB HB
AH BC


 1 dfcm 
HB IB