015 đề HSG toán 8 huyện 2015 2016

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (1 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 4  1  2 x 2

b)  x 2  28x  27

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình
a) 2 3x  4  2  0

b)

1
2 x2  5
4
 3
 2
x 1 x 1 x  x 1

Bài 3 (1 điểm)
Với giá trị nào của x thì

x 1
0
x 1

Bài 4 (2 điểm)
Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc
2
trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng,
3

mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 5 (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF .
a) Chứng minh CE vuông góc với DF
CM .CE
b) Chứng minh
a
CF
c) Tính diện tích MDC theo a
Bài 6. (0,5 điểm)
1
1
Cho x   3. Tính giá trị biểu thức A  x3  3
x
x


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) x 4  1  2 x 2   x 2  1

2

b)  x 2  28x  27    x  1 x  27 

Bài 2.
a)  2 3x  4  2  0
 3x  4  1 (khẳng định sai vì 3x  4  0x )

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

1
2 x2  5
4
 3
 2
x 1 x 1 x  x 1
x 2  x  1 2 x 2  5 4  x  1

 3
 3
x3  1
x 1
x 1
x 2  x  1  2 x 2  5 4  x  1

 3
x3  1
x 1
2
 3x  3x  0
b)

ĐKXĐ: x  1

 3 x  x  1  0
 x  0 (tm)

 x  1 (ktm)

Vậy S  0

Bài 3.

 x  1  0  x  1

 x 1

x

1

0
x


1
x 1



0 
 x  1  0  x  1
x 1


 x  1
  x  1  0  x  1
Vậy x  1 hoặc x  1
Bài 4.

Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc  x  0 .
Một ngày người thứ nhất làm được

1
(công việc)
x


2
(công việc)
3x
1 2
Một ngày hai người làm chung được  (công việc)
x 3x
1 2
1
Theo bài ta có phương trình 
  x  20
x 3x 12
Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày
Người thứ hai làm xong trong 30 ngày.
Bài 5.

Một ngày người thứ hai làm được

B

A
E

F
M
D

C

a) BEC  CFD  c.g.c   ECB  FDC
CDF vuông tại C  DFC  FDC  900  DFC  ECB  900  CMF vuông
tại M
Hay CE  DF

b) Xét CMF và CBE có: CMF  CBE  900 ; MCF chung
 CMF CBE ( g  g )
CM CF
CM .CE



 BC
BC CE
CF
CM .CE
Mà BC  a do đó:
a
CF
CD CM
c) CMD FCD( g.g ) 

FD FC

2

2

S
 CD 
 CD 
Do đó: CMD  
  SCMD  
 .SFCD
SFCD  FD 
 FD 
1
1
Mà: SFCD  .CF .CD  CD 2
2
4
2
CD 1
Vậy: SCMD 
. .CD 2 .
2
FD 4
Trong DCF theo Pitago ta có:
1
5
1

DF 2  CD 2  CF 2  CD 2   BC 2   CD 2  CD 2  .CD 2

4
4
2


Do đó: SMCD

CD 2 1
1
1

. CD 2  CD 2  a 2
5
5
5
CD 2 4
4

Bài 6.
3

1
1
1 1 
1
1

A  x  3  x3  3.x 2 .  3.x. 2  3   x    3 x    33  3.3  18
x
x

x
x 
x
x

3