016 đề HSG toán 8 huyện 2012 2013

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2012-2013
Bài 1. ( 4 điểm)
 1  x3

1  x2
Cho biểu thức : A  
 x:
2
3
 1 x
 1 x  x  x

 x  1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x  1

2
3

c) Tìm giá trị của x để A  0.
Bài 2 (3 điểm)
2
2
2
Cho  a  b    b  c    c  a   4. a 2  b2  c 2  ab  ac  bc 
Chứng minh rằng a  b  c
Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng
mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân

số đó
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  a4  2a3  3a2  4a  5
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600 , phân giác BD. Gọi
M , N , I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD
a) Tứ giác AMNI là hình gì ? Chứng minh.
b) Cho AB  4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI
Bài 6. (5 điểm)
Hình thang ABCD  AB / /CD  có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở
M,N
a) Chứng minh rằng OM  ON
1
1
2


b) Chứng minh rằng
AB CD MN
2
c) Biết S AOB  2008 (dvdt); SCOD  20092 (dvdt ). Tính S ABCD


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) Với x  1 thì:
1  x3  x  x 2
1  x 1  x 
A

:
1 x
1  x  1  x  x 2   x 1  x 


1  x  1  x  x 2  x 
1 x

 1  x 2  :

:

1  x 1  x 
1  x  1  2 x  x 2 

1
 1  x 2 .1  x 
1 x

2 5
b) Tại x  1 
thì
3 3
  5 2    5    25   5 
2
A  1       1       1   .1    10
9   3
27
  3     3   

c) Với x  1 thì A  0 khi và chỉ khi 1  x 2  1  x   0 (1)
Vì 1  x 2  0 với mọi x nên 1 xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1

Bài 2.
Biến đổi đẳng thức để được
a2  b2  2ab  b2  c2  2bc  c 2  a 2  2ac  4a 2  4b2  4c 2  4ab  4ac  4bc

Biến đổi để có:  a 2  b2  2ac    b2  c 2  2bc    a 2  c 2  2ac   0
Biến đổi để có:  a  b    b  c    a  c   0 *
2

2

2

Vì  a  b   0;  b  c   0;  a  c   0 với mọi a, b, c
2

2

2

Nên * xảy ra khi và chỉ khi  a  b   0;  b  c   0;  a  c   0
2

Từ đó suy ra a  b  c

2

2

Bài 3.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x  11
Phân số cần tìm là

x
 x  11
x  11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì ta được phân số
Theo bài ta có phương trình :

x
x  15

x  11 x  7

Giải phương trình và tìm được x  5(tm)
Từ đó phân số cần tìm là 

5
6

Bài 4.
Biến đổi để có:

A  a 2  a 2  2   2a  a 2  2    a 2  2   3
  a 2  2  a 2  2a  1  3   a 2  2   a  1  3
2

Vì a 2  2  0a và  a  1  0a nên  a 2  2   a  1  0a
2

2

Do đó:  a 2  2   a  1  3  3
2

a

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  1  0  a  1

x7
x  15


Bài 5.

B

N
M
C
A

D

I

a) Chứng minh được AMNI là hình thang
Chứng minh AN = MI từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
4 3
8 3
b) Tính được AD 
cm; BD  2 AD 
cm
3
3
1
4 3
AM  BD 
cm
2
3
4 3
Tính được NI  AM 
cm
3
8 3
1
4 3
DC  BC 
cm, MN  DC 
cm
3
2
3
8 3
Tính được AI 

cm
3


Bài 6.

A
M

B
O

N

D

C

a) Lập luận để có:

OM OD ON OC OD OC
(Định lý Ta let)

;

;

AB BD AB AC DB AC

OM ON


 OM  ON
AB AB
OM DM
OM AM

b) Xét ABD có:

(2)
1 , Xét ADC có :
AB
AD
DC AD
1  AM  DM AD
 1


1
Từ 1 ,  2   OM .

AB
CD
AD
AD


1 
1
1
2

 1



Chứng minh tương tự : ON .
2
AB CD MN
 AB CD 
c)
S AOB OB S BOC OB

,

 S AOB .S DOC  S BOC .S AOD
S AOD OD S DOC OD


Chứng minh được: S AOD  SBOC  S AOB .S DOC   S AOD 

2

Thay số để có 20082.20092   S AOD   S AOD  2008.2009
2

Do đó : S ABCD  20082  2.2008.2009  20092   2008  2009  40172 (dvdt )
2