019 đề HSG toán 8 yên phong 2013 2014

PHÒNG GD & ĐT
YÊN PHONG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)
2
5  x  1  2x
 1
Cho biểu thức A  


: 2
2 
 1 x x 1 1 x  x 1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để A  A
Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x3  x 2  12 x  0

x  214 x  132 x  54


6
86

84
82
Bài 3 (5 điểm)
b)

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD  2 AB  2 AD và BC  a 2
.Gọi E là trung điểm của CD.
a) Tứ giác ABED là hình gì ? Tại sao ?
b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a
c) Gọi I là trung điểm của BC , H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Tính
góc HDI
Bài 4. (4 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A  x2  2 xy  2 y 2  4 y  5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B 

3 x  1
x3  x 2  x  1

Bài 5. (2 điểm)
a) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi.
CMR:

1
1
1
1 1 1


 2.   
p a p b p c

a b c

b) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

a b bc c d a d



bc cd d a ab


ĐÁP ÁN
Câu 1.

1
2
 1  x  2 1  x    5  x   x 2  1
A
.
1  x2

 1  2x
2 x 2  1
2

.

1  x2 1  2 x 1  2 x
b) A nguyên, mà x nguyên nên 2 1  2x 
a) ĐKXĐ: x  1; x 

Từ đó tìm được x  1 và x  0
Kết hợp điều kiện  x  0
A  A A0
c) Ta có:
2
1

 0  1  2x  0  x 
1  2x
2
1
Kết hợp với điều kiện : 1  x 
2
Câu 2
x  0
a) x  x  12 x  0  x  x  4  x  3  0   x  4

 x  3
3

b)

2

x  214 x  132 x  54


6
86

84
82
 x  214   x  132
  x  54


 1  
 2  
 3  0
 86
  84
  82

x  300 x  300 x  300



0
86
84
82
1
1 
 1
  x  300       x  300  0  x  300
 86 84 82 


Câu 3.

B

A
H

D

I

C

E

a) Chỉ ra ABED là hình bình hành  AB / / DE, AB  DE 
Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD)



Chỉ ra ABED là hình vuông BAD  900



b) Chỉ ra BEC vuông cân
Từ đó suy ra AB  AD  a, DC  2a
Diện tích của hình thang ABCD là :

AB  CD  . AD  a  2a .a 3a 2

S



2

c) ACH  ACD

(1) (cùng phụ với góc HDC )
Xét ADC và IBD vuông tại D và B có:
AD IB 1

  ADC IBC
DC BD 2
Suy ra ACD  BDI  2 
Từ 1 và  2  suy ra ADH  BDI

Mà ADH  BDI  450  BDI  BDH  450 hay HDI  450

2

2


Câu 4.
a)
Ta có:
A  x 2  2 xy  y 2  y 2  4 y  4  1

  x  y    y  2  1
2

2

Do  x  y   0;  y  2   0
2

2

Nên A   x  y    y  2   1  1
2

2

Dấu "  " xảy ra  x  y  2
Vậy GTNN của A là 1  x  y  2
b) B 

3 x  1
3 x  1
3  x  1
3


 2
3
2
2
2
x  x  x  1 x  x  1  x  1  x  1  x  1 x  1

3
 3. Dấu "  " xảy ra  x  0

x 1
Vậy GTLN của B là 3  x  0
Câu 5
a)
Ta có:
1
1
4
2



p a p b p a  p b c
1
1
4
2



p b p c p a  p c a
1
1
4
2



pc pa pc pa b
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

b)
Ta có:
a b bc c d a b
a b b c c d d a







0
bc cd d a a b
b c c d d a a b
ac bd ca d b




4
bc cd d a ab
Xét

Do x 2  1  1 nên B 

2


ac bd ca d b




4
bc cd d a ab
1 
1 
 1
 1
 a  c


  b  d  
4
bc d a
cd ab
4
4
  a  c .
  b  d .
40
abcd
abcd
 đpcm
Dấu "  " xảy ra khi a  b  c  d