Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Đan Phượng – Hà Nội

m  1)2



 8  3m2  3m  1  m2  2m  1  8 2m2  5m   16m 2  40m

0.75

Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện
Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m  2
0.75

Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m  2
Câu II

Điểm

Câu II

Nội dung

1.

Đk: x 

2 điểm

Ta có (1)  x  5x  28  24  5 x  5x  28  0
2

0.5

2

Đặt t  x2  5x  28(t  0)
0.5
Bất phương trình trở thành t  5t  24  0  3  t  8
2

So sánh điều kiện ta được 0  t  8

0.5

Với 0  t  8  x2  5x  28  64  9  x  4
0.5
KL đúng
2.
(3 điểm)
ĐKXĐ: y  1,5
(2)  x  y  3x  3 y  3  x  y   2  ( x  1)  ( y  1)
3

3

2

2

3

 x 1  y  1  y  x  2

0.5
3

0.5

Trang 3


Thay vào phương trình thứ nhất ta được;
2
2
 2x 1  1  x
1 
1

x  3x  1   2 x  1   x     2 x  1    
(Có
2 
2

 2 x  1  x
2

1.0

thể bình phương được phương trình: ( x  1)2  x 2  4 x  2   0)
Giải hai pt này ta được x  1, x  2  2 . Thử lại nghiệm...

1.0

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( x; y)  (1; 1),(2  2,  2)
Câu III
Điểm

Câu III

Nội dung

1.

 2018 2019 
P  ( x  y) 


x
y 

Có
2018 y 2019 x
 2018 

 2019
x
y

2 điểm

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương

0.5

2018y
2019x
và
ta được
x
y

2018 y 2019 x

 2 2018.2019
x
y

0.5

Suy ra P  ( 2018  2019)2


 x  0; y  0

 2018 2019
2
GTNN của P là ( 2018  2019) khi 

 10.5
y
 x
 2018 y 2019 x



y
 x

 x  2018( 2018  2019)

 y  2019( 2019  2018)

Trang 4

0.5

0,5


Câu IV
Câu IV

Nội dung

1.

Ta có S 

2 điểm

Điểm





1 2 2
1
a  b  ab sin C
4
2



0,5



 a 2  b2  2ab sin C

0,5

 (a  b)  2ab(1  sin C )  0 (1)
2

Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên

a  b  0
a  b  0


1  sin C  0 sin C  1

0,5

 A  B  45


C  90

0,5

KL đúng
1.
2 điểm

1
2
1
Ta có AN  AB  BN  AB  ( AC  AB)  AB  AC
3
3
3

0,5

1
x
AC  AB
3
a

0,5

1
x
2
 1

AN  PM  AN  PM  0   AB  AC    AC  AB   0
3
a
3
 3

2
2
2
2x
x
1
 AB  AC 
AB  AB  AC  AC  0
9
3a
3a
9

0.5

Ta lại có PM  PA  AM 



5x 2
4a
 x
. KL đúng
6a 9
15

0.5

Trang 5


Câu V
Câu V

Nội dung

Điểm

Gọi E  AH  DC
3 điểm

Dễ thấy HAB  HEC  S ADE  S ABCD  14
13
, AE  2AH  13 , phương trình tổng quát của đường thẳng AE:
2
2x  3 y  1  0
AH 

0.5

0.5

D  d  D(d ;5d 1), d  0
S ADE

d  2
1
28
 AE  d ( D, AE )  14  d ( D, AE ) 
 
 d  30 ( L)
2
13
13


0.5

Suy ra D(2;11)
0.5

+ H là trung điểm AE  E(2; 1)
Phương trình tổng quát của CD: 3x  y  5  0

0.5

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD
PT tổng quát của AB : 3x  y  2  0

0.5

Trang 6