SKKN một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (343.11 KB, 23 trang )
1. MỤC LỤC
- Đối tượng nghiên cứu…………………..........………....………………… 1
- Mục đích nghiên cứu …………………………................………………… 1
- Đối tượng nghiên cứu……………………………….….................……….. 1
-Phương pháp nghiên cứu…………………………………..................…….. 1
2. NỘI DUNG
2
2.1. Cơ sở lí luận..………………………………………...............………..
2
2.1.1. Vài nét về sự hình thành vec tơ và tọa độ……................…………..
2
2.1.2. Căn cứ vào bản chất hình học……………………...............………
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ..............
3
2.3. Thực hành giải một số dạng bài toán hình học không gian ................... 3
thông qua 3 phương pháp giải khác nhau.
2.3.1. Các bài toán về tính thẳng hàng………………...............…………… 3
2.3.2. Các bài toán về quan hệ song song………………..............………… 6
2.3.3.Các bài toán về quan hệ vuông góc………..............………………
10
2.3.4. Các bài toán về tính khoảng cách……………….............…….....…
13
2.3.5. Các bài toán về tính góc………………............……………....……
16
2.4. Thực nghiệm sư phạm…………………………………….........…..... 18
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Tài liệu tham khảo
Phụ lục
0
20
1. MỞ ĐẦU
-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác
nhau nhằm tạo ra cho học sinh tính linh hoạt, đa dạng khi tiếp cận một bài
toán hình học.
Thực trạng hiện nay, tại trường THPT việc học hình học với một bộ phận
học sinh là điều miễn cưỡng, môn hình chỉ đưa lại say mê với số ít học sinh khá
và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hình bằng các cách tiếp cận
đối với một bài toán bằng các phương pháp khác nhau là một việc nên làm.
Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hình học,hiểu được
bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ thông.
Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán cấp
THPT, do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hình học
không gian luôn được nhiều người quan tâm. Đặc biệt, hiện nay với những tiện
ích do việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại, giáo viên có thể trình
chiếu và nhanh chóng phân tích, so sánh những phương pháp giải khác nhau cho
một bài toán cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định, cách làm này đã tạo
được ấn tượng rất tốt và thực sự có hiệu quả đối với học sinh.
Vì vậy tôi chọn đề tài:
‘’ Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT’’
- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình
học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đó giúp cho học sinh
tiếp cận hình học và giải toán hình học một cách dễ hơn.
-ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi của ba
phương pháp.
Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các
phương pháp khác nhau.
-PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy toán, sách giáo khoa,
sách giáo viên về chương trình hình học ở cấp THPT; Điều tra tìm hiểu, khảo
sát thực tế và thu thập thông tin.
Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THPT Hàm Rồng theo các
chủ đề: hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ.
Đối chiếu kết quả kiểm tra ở 2 lớp thuộc khối 12 trường THPT Hàm Rồng
1
2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2.1.1 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ.
Phương pháp toạ độ đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại. Các nhà thiên văn
học Hy lạp(Hippocrates thế kỷ II-TCN,Ptolemaeus thế kỷ II ) đã dùng các toạ
độ cầu (vĩ độ và kinh độ)để xác định các điểm khác nhau trên trái đất, tuy
nhiên sự phát triển của phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do chưa có
ký hiệu bằng chữ và quan niệm tổng quát về số.
Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán
và chứng minh một số định lý hình học là một hạn chế rất lớn của hình học sơ
cấp.Trong vật lý, cơ học, kỹ thuật ... người ta thấy hạn chế này một cách sâu
sắc khi gặp những đường, những mặt phức tạp như đường Parabol, đường
hypecbol, đường elip..., mặt Paraboloit, mặt Hypecboloit,....Cho đến thế kỷ
XVII, nhà toán học Đêcac(R.Descartes)(1596-1650) đã sáng lập ra môn hình
học giải tích một cách độc lập với Phecma(P.Fermat)(1601-1665). Hai ông đã
cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ
sở cho hình học giải tích, môn học đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình
ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số.
Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã
góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của
toán học vào thực tế đời sống.
2.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học.
Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu
khác nhau.Chẳng hạn:
+ Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”
M AB
MA MB
(theo ngôn ngữ tổng hợp)
MA MB 0
( theo ngôn ngữ vec tơ)
x A xB
xM 2
y yB
yM A
2
z A zB
zM 2
(theo ngôn ngữ toạ độ)
+ Khái niệm: “đường thẳng AB”
2
( theo ngôn ngữ vec tơ)
M / AM t AB, t R.
x xA
y yA
z zA
M ( x; y; z ) /
(theo ngôn ngữ toạ độ)
xB x A y B y A z B z A
Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau và
ta có thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà định
hướng để tìm ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán hình học.
Chẳng hạn,dựa vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng vuông góc với
nhau trong không gian” ta sẽ định hướng cách chứng minh hai mặt phẳng
vuông góc:
1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với
nhau,ta chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900.
2/ Theo ngôn ngữ vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với
nhau,ta chứng minh tích vô hướng (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp
tuyến của hai mặt phẳng bằng 0.
3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z +
D1 = 0 và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh
biểu thức toạ độ của tích vô hướng hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
bằng 0.
A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trươc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi nhận thấy việc học sinh THPT
( cụ thể học sinh các lớp 12) khi giải một bài toán hình học không gian
thường rất lúng túng, làm bài rất chậm, các đối tượng học sinh trung bình trở
xuống thường không làm được các bài hình.
2.3. THỰC HÀNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THÔNG
QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU.
2.3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG
Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
* Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có
thể sử dụng một trong các hướng sau:
+ Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó
+ Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó...
* Phương pháp vec tơ
+ Chứng minh AC t. AB (t R)
+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB (1 t ).OA (t 1)
3
+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB l.OA (t l 1)
* Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
+ Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
,C(xC;yC;zC)
+ Tính toạ độ của AB( x B x A , y B y A , z B z A ) , AC ( xC x A , y C y A , z C z A )
xC x A t.( x B x A
+ Chỉ ra sự tồn tại t R sao cho y C y A t.( y B y A )
z z t.( z z )
A
B
A
C
Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn
Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm tam giác
A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng.
Lời giải
* Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác
nhau.
A
Ta có: G A1O ( ACC1 A1 ) nên G ( ACC1 A1 ) .
D
O
Vậy A, G, C1 ( ACC1 A1 ) .
B
Mặt khác G DI ( ADC1 B1 ) nên
G
G ( ADC1 B1 ) .
C
I
Vậy A, G, C1 ( ADC1 B1 ) .
A1
D1
Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1 thẳng hàng
B1
C1
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
- Chọn hệ vec tơ gốc AA1 , A1 B1 , A1 D1 .Theo bài ra, G là trọng tâm tam giác
2
3
A1BD nên A1G . A1O
.
- Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh A1G t.AC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
2
3
Ta có: AC1 AA1 A1C1 A1 A A1 B1 A1 D1 , AG AA1 A1G A1 A . A1O
1
3
1
3
1
3
= AA1 .( A1 B A1 D) = .( A1 A A1 B1 A1 D1 ) . AC1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
2
3
Như vậy,ta có: A1G . A1O
hay A,G,C1 thẳng hàng.
4
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
z
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ
kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: O A1 ,
D1 Ox , B1 Oy , A Oz .Khi
đó
ta
A
D
O
B
C
G
I
có:
x
A1
A1(0;0;0),D1(a;0;0),B1(0;b;0),A(0;0;c),
B(0;b;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì G là trọng
D1
B1
C1
y
a b c
tâm tam giác nên: G = ; ; .
3 3 3
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
a b
3 3
c
3
1
3
1
3
Ta có: AC1 (a; b;c) , AG ( ; ; ) (a; b;c) AC1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
1
AG . AC1
3
hay A,G,C1 thẳng hàng.
Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, từ đó suy ra các tính chất khác.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. P là điểm trên đường thẳng
3
2
CC1 sao cho CP .CC1 , M là một điểm trên đường thẳng AD, N là điểm trên
đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính
MD
.
MA
Lời giải:
Phương pháp tổng hợp: Ta có: ADD1 A1 MP; BD1 MD1
BCC1 B1 MP; BD1 BP .Vì ADD1 A1 // BCC1 B1 nên MD1// BP,
do đó MD1D=.....suy ra MD1 D ... BPC ,vậy nên
từ đó
MD 2
MD DD1 2
hay
AD 3
DC
CP 3
MD
2.
MA
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài
toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các
dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : CB a , CC1 b , CD c
3
3
2
2
D,M,A thẳng hàng nên: DM x.DA x.a .
Theo giả thiết,ta có: CP .CC1 .b .Vì
P
D1
C1
A1
B1
N
Vì M,N,P thẳng hàng nên:
D
CN .CM (1 ).CP .
Vì B,N,D1 thẳng hàng nên:
A
CN .CD1 (1 ).CB
5
C
B
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
3
2
Tacó: CN .(CD DM ) (1 ).CP .(c x.a) (1 ). .b (1)
3
.x.a (1 ). .b .c .
2
3
Lại có CN .(CC1 CD) (1 ).CB .(b c) (1 ). a (1 ).a .b .c (2)
2
.x 1
3
3
2
2
MD
2.
Từ (1) và (2)suy ra: .(1 ) ; x .Vậy DM .DA
5
3
3
MA
2
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O , B Ox , D Oy , C1 Oz .
3c
Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D 0;0; .
2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0)
có vec tơ chỉ phương là
BP (a;0;
z
P
3c
) và BD1 (a; b; c)
2
D1
nên có phương trình: 3bcx+acy+2abz-3abc = 0
(3)
x a.t
Đường thẳng AD có phương trình: y b
z 0
(4)
do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3)
C1
A1
B1
N
y
D
M
C
C
1
A
M
B
x
và (4) nên M=
2a
2a
a
; b;0 ,từ đó có DM ;0;0 , MA ;0;0 DM 2 MA .
3
3
3
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp DM 2MA
MD
2.
MA
2.3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG.
Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
Phương pháp tổng hợp:
+ Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh
chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng
như: tính chất đường trung bình, định lý Talet đảo...hoặc chứng minh hai
đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,...
6
+ Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b (P)
+ Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh mặt
phẳng này chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia,...
Phương pháp vec tơ, phương pháp toạ độ
Khi giải bài toán dạng này, ta có thể tiến hành:Chuyển các dữ kiện của bài
toán ra ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec tơ
(hoặc toạ độ) thu được về dạng các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) tương
đương với các điều kiện song song.
Ví dụ3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD
1
4
2
3
theo tỉ số , N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số .Chứng minh:
MN//(BC1D).
Lời giải * Phương pháp tổng hợp:
Đặt O = AC BD , I = MC BD ,
J = A1C C1O
JC
OC
1
suy ra
Ta có:
JA1 A1C1 2
1
1 5
CJ 5
CJ .CA1 . .CN Vậy
3
3 3
CN 9
IC
CB
AD 5
Mặt khác
IM MD MD 4
IC
5
.Từ (1) và (2) có:
CM 9
D1
C1
B1
A1
N
J
(1).
D
M
I
A
CJ
CI
CN CM
C
O
B
hay MN//IJ ( BC1 D ), do đó
MN//(BC1D).
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ
vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
1
1
2
2
,nên AM . AD N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số nên A1 N . A1C , để
4
3
5
5
chứng minh: MN//(BC1D) ta sẽ chứng minh MN m.BD n.BC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có: BD a c , BC1 b c , MN BN BM = BA AA1 A1 N BA AM
2
1
2
3
1
2
3
a b (c a b) a c a b c (a c) (b c)
5
5
5
5
5
5
5
2
3
BD BC1
5
5
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp MN
2
3
BD BC1
5
5
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
7
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O ,
B Ox , D Oy , C1 Oz . Giả sử ba kích thước của
hình hộp là a,b,c, khiđó:
C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c),
A(a;b;0),A1 a; b; c . M là điểm chia đoạn AD theo
1
4
tỉ số ,nên M=(
4a
3a 3b 3c
, b,0) ,N=( , , )
5
5 5 5
z
P
D
1
A1
B
N
x
M
1
D
C
A
B
M
y
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
x y z
1 3 bcx+acy+abz+abc = 0
a b c
a 2b 3c
Đường thẳng MN có vec tơ chi phương MN ( , , ) .
5 5 5
Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là:
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
Vì n.MN 0 nên n MN hay MN//(BC1D)
Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên đường chéo
AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của mặt
phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính tỉ só
MN
.
BD1
* Phương pháp tổng hợp:
Đặt I = BM D1 N , vì I BM ( ABCD) và I D1 N (CDD1C1 ) nên I CD
IN
DN
DI
do CD // C1 D1 ,
ND1 NC1 C1 D1
IM CM CI
do AB // CD mặt
MB MA AB
IN
IM
do MN // BD1 . nên
khác
ND1 MB
DI
CI
suy ra:
do đó DI = CI hay
C1 D1 AB
Ta có:
A1
D1
B1
C1
N
A
I là trung điểm của CD.
M
B
Vậy
I
D
C
IM 1 MN
IM 1
hay
.
IB 3 BD1
MB 2
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ
vec tơ:
8
Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c Theobài ra A, M, C thẳng hàng
nên MC x. AC , C1, N, D thẳng hàng nên C1 N y.C1 D , vì MN//BD1 nên
MN k .BD1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Tacó: MN k .(a b c) (1) AC c a , CC1 b , C1 D a b , MN MC CC1 C1 N
1
x 3
y x k
2
(2) . Vì a , b , c đồng phẳng nên từ (1) và (2) suy ra 1 y k y
3
x k
1
k 3
1
Vậy MN .BD1
3
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
MN 1
1
MN 1
MN .BD1
hay
= .
BD1 3
3
BD1 3
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , B Ox , D Oy , A1 Oz . Giả sử ba
kích thước của hình hộp là a,b,c, khiđó:
A(0;0;0),B(a;0;0),D1(0;b;c),C1(0;0;c),C(a;b;0),C1 a; b; c .
Vì M AC nên M(xM;yM;0), Vì N DC1 nên
N=(xN;b;zN)
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
MN ( x N x M ; b y M ; z N ) , BD1 (a; b; c) ,
MC (a x M ; b y M ;0) , AC (a; b;0) ,
C1 N ( x N a;0; z N c) , C1 D (a;0;c) .
Từ giả thiết suy ra: MN//BD1 suy ra
9
z
A1
D1
B1
C1
N
A
D
M
B
x
C
y
x N x M ka
MN k .BD1 b y M kb
z kc
N
a x M xa
b y M xb
(1),M AC MC x AC
x N a ya
N C1 D C1 N yC1 D
z N c yc
(2) ,
y x k
(3) . Từ (1),(2),(3) suy ra 1 y k
x k
1
x
3
1
2
y như vậy MN .BD1
3
3
1
k 3
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp .
2.3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp tổng hợp:
* Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng minh:
+ a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
+ a song song với dường thẳng b mà b (P)
+ Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) và a
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a (P)”
+ Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng
vuông góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”...
* Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh :
+ Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900....
Phương pháp vec tơ:
Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về chứng minh
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với đường
thẳng. Như vậy đối với phương pháp vec tơ ta chỉ cần chú ý: AB CD
AB.CD 0
Phương pháp toạ độ
+ Để chứng minh AB CD ta chứng minh:
(xB-xA)(xD-xC)+ (yB-yA)(yD-yC)+ (zB-zA)(zD-zC)=0
+ Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh vec
tơ chỉ phương của đưòng thẳng cùng phương với vec tơ pháp tuyến của mặt
phẳng.
+ Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y +
C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau, ta chứng minh A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
Ví dụ5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi P là trung điểm của AB,
Q là giao điểm của BC1 và CB1. Chứng minh rằng D1Q (PB1C).
10
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp:
B
Vì D1 B1C đều và Q là trung điểm của B1C
nên D1Q B1C
C
P
D
A
(1).
R
Q
Gọi R và S lần lượt là trung điểm của CD và
CC1, khi đó: RC1//PB1, QS (CDD1C1) nên
QS RC1.Mặt khác D1S RC1 nên RC1
(QSD1). Vậy RC1 D1Q nên .
S
B1
C1
A1
D1
D1Q PB1 (2).Từ (1) và (2) suy ra D1Q (PB1C).
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn
1
2
ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc D1Q ( D1 B1 D1C )
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1
2
1
2
1
2
Ta có B1 P .( B1 A B1 B) = .( B1 A1 2.B1 B) a b , B1C B1 B B1C1 b c
1
1
1
1
1
1
( D1 B1 D1C ) = (a b c a ) = a b c
2
2
2
2
2
2
1
1
1
B1 P . D1Q = ( a b) .( a b c )= 0
2
2
2
1
1
B1C . D1Q (b c) . (a b c) = 0
2
2
D1Q
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
B1 P . D1Q = 0 D1Q PB1
B1C . D1Q = 0 D1Q B1C .Vậy D1Q B1C
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
z
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện
B
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: B1 O ,
A
C1 Ox , B Oz , A1 Oy . Giả sử kích thước của
hình lập phương là a, khiđó:
B1(0;0;0),C1(a;0;0), P là trung điểm của AB
a
nên P(0; ; a) , B(0;0;a),C(a;0;a), D1(a;a;0),
2
A 0; a; a .
a a
Q là trung điểm của B1C nên Q ( ;0; )
2 2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
11
C
D
Q
x
B1
C1
A1
D1
y
a
2
a
2
Ta có: QD1 ( ; a; ) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng QD1.Mặt phẳng
(PB1C) qua B1 nhận hai vec tơ chỉ phương là B1 P và B1C nên có vec tơ pháp
1
2
1
2
a
2
a
2
tuyến là n ( ;1; ) cùng phương với QD1 ( ; a; ) nên D1Q (PB1C).
Dạng toán 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vuông góc rồi từ đó
suy ra các tính chất hình học khác.
Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 .M là điểm trên cạnh SB sao cho
M khác B và AM MD.
1)Tính tỉ số
SM
SB
2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD)
S
Lời giải:* Phương pháp tổng hợp:
BD AB
suy ra BD (SAB) và BD
BD SA
1) Ta có:
AM.Mặt khác AM MD nên AM (BMD),
do đó: AM SB.khi đó: SA2-SM2 = AB2 – BM2,
hơn nữa SM + BM =SB. Suy ra:
M
3a
SM
SM BM 2a
2 SM 3
SB 4
SM BM 2a
BM a
2
2
2
N
A
2
D
B
C
2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo công thức:
1
S .( MN AD).MH
2
3
4
3
4
MN là đường cao của hình thang và AD = 2a , MN .BC a
Tính MH: Vì AM MD nên:
1
1
1
2
2
MH
AM
MD 2
a 3
a 39
13a 2
MH
, MD 2 SM 2 SD 2 2.SM .SD. cos DSM
.
2
8
4
11 39a 2
Vậy S
.
64
với AM =
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ
vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : AB a , AD b , AS c ; a a , b 2a , c a 3
Khi đó ta có: a.b a 2 , b.c a.c 0 . AM MD MA.MD 0 (1)
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
12
1
2
1) Ta có SM .SB ( AB SA) (a c) , D1Q ( D1 B1 D1C ) =
1
1
1
1
1
(a b c a ) = a b c ( Với 0 1 , do M B); MA SA SM
2
2
2
2
2
= c (a c) MD MA AD = .a ( 1)c b .
Khi đó
(1) [ c (a c) ].[ .a ( 1)c b ] =0 4 7 3 0
2
1 (loai )
3
4
3
4
Vậy SM SB
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ, chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O ,
D Ox , S Oz , Oy ( ABCD) : Oy Oz .
a a 3
;0) .
2 2
Khi đó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a 3 ), B ( ;
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
Đặt M= ( x0;y0;z0) SB . Đường thẳng SB có phương trình:
y
x
za 3
.
a a 3
a 3
2
2
y 0 3x0
Vì M SB nên:
Mặt
z 0 a 3 2 3a
khác AM MD MA.MD 0
S
do đó
3a
x0 8
3a 3
ta tìm được: y 0
8
a 3
z0
4
Vậy SM (
z
N
M
x
A
D
B
C
y
3a 3a 3 3a 3
a a 3
3
;
;
) ; SB ( ;
;a 3 ) do đó SM SB
8
8
4
2 2
4
2.3.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt
phẳng.
Phương pháp tổng hợp:
+ khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH a;H a )
+ khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như sau:
13
- Chọn trong (P) một đường thẳng a rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông
góc với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định)
- Xác định b P Q
- Dựng AH b tại H, khi đó d(A;( P)) = AH
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta phải dựng đoạn
vuông góc chung bằng các cách sau:
Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a b)
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
- Dựng AB b tại B, khi đó: d(a;b) = AB
Cách 2:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
- Chọn M a , dựng MH (P) tại H
- Từ H dựng a///a; a / b B
- Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB.
Phương pháp vec tơ: đối với phươngpháp này, ta cần chú ý áp dụng
tích vô hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB AB AB
2
- Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau:
Chọn A a và đặt AM b .Gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm M trên a,
khi đó: MH AH AM = x a b . Tìm x nhờ điều kiện vuông góc của MH , a :
2
( x a b ). a 0 suy ra MH x a b .
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương là
a,b:
Chọn A a và đặt AM m .Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng
(P),khi đó: MH AH AM = x a yb m .Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều
kiẹn vuông góc của MH ; a ; b từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là:
xa yb m
2
.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec tơ
chỉ phương a , b , Giải theo trình tự sau:
- Chọn A a và B b và đặt AB m .
MH
- Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, khi đó:
- Biểu diễn MN theo các vec tơ không đồng phẳng
MN MA AB + BN = x a yb m .
14
MA x a
BN yb
MN .a 0
MN .b 0
- Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiện vuông góc của AB ; a ; b từ đó
2
suy ra khoảng cách cần tìm là: MH x a yb m .
* Phương pháp toạ độ: Đối với phương pháp này, ta cần chú ý một số công
thức:
- Khoảng
cách
giữa
hai
điểm
A
và
B:
AB
x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2
- Khoảng cách từ một điểm M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến đường thẳng đi qua điểm
M 1 x1 ; y1 ; z1 và có vec tơ chỉ phương u (a; b; c) : d ( M ; )
MM ,u
1
u
- Khoảng cách từ điểm M x1 ; y1 ; z1 đến mặt phẳng (P):Ax + By +Cz +D = 0
d ( M ; ( P))
Ax 0 By 0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai
điểm M, M1 có hai vec tơ chỉ phương a , b :
a,bMM
d (a; b)
a, b
1
Chú ý: - Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy về
tính khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song hoặc giữa hai mặt phẳng song song.
- Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song có thể quy về tính khoảng cách từ một điểm đến
mặt phẳng.
Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a,
OB = b, OC = c. Gọi D là trung điểm của OC.
1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD.
2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp:
1) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên BD,khi đó có: OM BD
Xét tam giác vuông AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2
15
Mặt khác,xét tam giác vuông OBD có:
O
2
2
1
1
1
1
4
b .c
2 2 OM 2 2
2
2
2
4b c 2
OM
OB
OD
b
c
b 2 .c 2
d ( A; BD) AM a 2 2
4b c 2
D
M
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên
mặt phẳng (ABC) và £ AH BC .Vì OH
BC và OA BC nên BC (OAH) do đó
BC AH và BC OE
C
A
H
E
B
1
1
1
1
4
2
với,
vì
vậy
2
2
2
OH
OA
OE
a
OE 2
abc
1
1
1
1
1
4
2 2 2 2 2 hay d (O; ( ABC ) OH
2
2
2
OH
a
b
c
b
c
a b b2c 2 c 2a 2
Ta
có:
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : OA a , OB b , OC c ;khi đó a a , b b , c c và
1
1
a.b b.c a.c 0 .D là trung điểm của OC nên .OD OC c
2
2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
x
2
1) Ta có AM BM BA x.BD AB a (1 x).b c .Vì
AM BD AM .BD 0 [ a (1 x)b
Vậy d ( A; BD) AM AM a 2
c
4b 2
x
c) ]. .( b) = 0 x= 2
2
2
4b c 2
b 2 .c 2
4b 2 c 2
*Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển
các dữ kiện bài toán sang ngôn
ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A Ox , B Oy , C Oz .
khiđó: O(0;0;0),A(a;0;0),B(0,b;0)
C(0;0;c), Vì D là trung điểm của
O
D
M
C
A
c
2
OC nên D (0;0; ) .
H
x
B
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
16
z
1) Đặt M là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Ta có:
c
BD 0,b, ; BA a,b,0 .Vậy
2
BA, BD
b 2 .c 2
d ( A; BD) AM
a2 2
4b c 2
BD
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC), mặt phẳng
(ABC) có phương trình ( theo đoạn chắn) là:
x y z
1 bcx acy abz abc 0
a b c
abc
=> d (O; ( ABC )) OH 2 2 2 2 2 2
a b b c c a
2.3.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC
* Phương pháp vec tơ:
+ Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương a1 , a 2
được xác định: cos(d 1 ; d 2 ) cos(a1 ;a 2 )
a1 ..a 2
a1 . a 2
+ Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về tính góc giữa đường
thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng
tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
* Phương pháp toạ độ:
+ Góc giữa hai vec tơ a1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , a 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) là
cos( 1 , 2 )
x1 x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12 . x22 y22 z22
+ Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương
a1 , a 2 được xác định: cos(d 1 ; d 2 ) cos(a1 ;a 2 )
+ Góc giữa đường thẳng d:
a1 ..a 2
a1 . a 2
x x0 y y 0 z z 0
1 và mặt phẳng P):
a
b
c
Ax + By +Cz +D = 0
được xác định: sin(d ; ( P))
Aa Bb Cc
A2 B 2 C 2 . a 2 b 2 c 2
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y +
C2z + D2 = 0 được xác định: cos(( P); (Q))
A1 A2 B1 B2 C1C 2
2
2
2
2
2
A1 B1 C1 . A2 B2 C 2
2
Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB
vuông góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai
17
tia Ax1 và By1sao cho AM = m, BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng MN và AB theo a, m ,n
Lời giải:
Phương pháp tổng hợp:
N
Dựng At//By1 và NH//AB ( H At )Ta
B
y1
có: AB AH , AB AM AB (MHA)
.Mặt khác NH//AB nên NH (MHA)
NH MH .Vì NH = AB = a,MH2 =
A
AM2 + AH2 - 2.AM.AH.cos600
H
t
M
x1
=
m2
+
n2
–m.n suy ra
MN2 =
Vậy cos(MN ; AB) cos MNH
MH2 +
AH2
=
m2 +
n2
+
a2
– m.n.
a
m n a 2 mn
2
2
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : MA a , AB b , BN c ;khi đó a m , b a , c n
1
2
và a.b b.c 0; a.c mn .
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có: MN MA AB .BN a b c ; AB..MN b.(a b c) a 2 ; AB b a ;
MN (a b c) 2 m 2 n 2 a 2 m.n
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài
toán gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ
độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn
ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao
cho: O A ,
Ox Ax1 , B Oz , Oy (Oxz ), Oy Oz ,
y
B
N
y1
A
.khiđó:A(0;0;0),M(m;0;0),B(0,0;a),.
H
M
x1
n
n 3
Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có: MN m,
, a ,
2
2
AB 0,0, a suy ra MN m 2 n 2 a 2 m.n ; AB a ; MN . AB a 2 .
Vậy cos( MN ; AB)
a
m 2 n 2 a 2 mn
2.4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
18
t
2.4.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng
đắn của gỉả thuyết khoa học,tính hiệu quả của quy trình giải các bài toán bằng
các phương pháp khác nhau: tổng hợp, vec tơ và toạ độ .
2.4.2 Nội dung thực nghiệm: Các tiết thực nghiệm là tiết 38-Tự chọn, và
một bài
kiểm tra 45 phút trong chương trình lớp 12. Sau khi đã dạy cho học sinh quy
trình giải bài toán bằng các phương pháp khác nhau, ở tiết bài tập 38, chúng
tôi muốn kiểm tra kỹ năng vận dụng quy trình đó của các em.
2.4.3 Tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm tại hai lớp của trường THPT Hàm Rồng,
lớp thực nghiệm là 12C6 và chọn lớp đối chứng là lớp 12C2.
Thời gian thực nghiệm: Năm học 2015-2016
Bài kiểm tra 45 phút
Hãy giải các bài toán sau bằng các phương pháp khác nhau:
Bài 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác AOB, BOC, COA là những tam giác
vuông đỉnh O và OA =a, OB = b,OC = c. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng
(ABC).
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N lần lượt là các điểm
1
2
chia hai đoạn thẳng CA và DC1 theo tỉ số . Chứng minh rằng
MN//(ABC1D1).
3.2 Kết quả thực nghiệm
Điểm
2
3
4
Lớp
Thực
nghiệm
Đối
chứng
5
6
7
8
9
10
Số
bài
0
2
1
3
12
13
11
4
1
47
2
4
11
13
9
6
2
1
0
48
Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên
là: 44( tỉ lệ khá giỏi là:55% )
+ Lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên là: 22 ( tỉ lệ khá
giỏi là:18% )
3.3 Kết luận thực nghiệm
+ Việc dạy học cho học sinh quy trình giải các bài toán hình học không gian
bằng các phương pháp khác nhau thông qua một số tiết và dạng bài tập đã
giúp cho các em thấy được các mối liên hệ giữa các chủ đề hình học tổng hợp,
vec to và toạ độ
19
+ Giúp các em có kỹ năng thực sự giả một bài toán hình theo quy trình đã
đưa ra,
+ Việc tổ chức dạy học tốt nhờ ứng dụng công nghệ thông tin,dùng các
phương tiện dạy học hiện đại đã gây cho học sinh hứng thú học tập môn hình,
nâng cao hiệu quả của giờ dạy.
Như vậy, mục đích thực nghiệm đã đạt và giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận
được.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận:
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải toán hình học
không gian ở trường THPT ” đã thu được một số kết quả:
+ Đề tài đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện
năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.
+ Đề tài đã đưa ra quy trình giải một lớp các bài toán bằng các phương pháp
hìmh học tổng hợp, vec tơ và toạ độ.
+Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm
cho phép xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả
và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành.
- Kiến nghị: Đối với giáo viên dạy học môn toán cần tách lọc các đối
tượng học sinh để từ đó có phương pháp dạy học phù hợp. Đối với học
sinh ở mức trung bình và dưới trung bình thì trang bị cho các học sinh
phương pháp hệ trục tọa độ hóa để các em có sự tiếp cận dễ hơn.
20
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Thanh Hoá, ngày 30 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Trịnh Đình Chiến
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn Toán- Nhà xuất bản giáo dục.
2. Phương pháp giải toán hình học, Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải –
Lê Bích Ngọc,Nhà xuất bản đại học sư phạm-Năm 2004.
3. Sách Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008.
4. Sách Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008.
5. Sách Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007.
6. Sách Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007.
7. Sách Giáo viên Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008.
8. Sách Giáo viên Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008.
9. Sách Giáo viên Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007.
10.Sách Giáo viên Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007.
21
22
