Toán lớp 6 NC 03 day so trong tap hop so nguyen

Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

DẠNG TOÁN QUY LUẬT – DÃY SỐ - CHUYÊN ĐỀ HSG TOÁN 6
Thực hiện phép tính...................................................................Error! Bookmark not defined.
a) Dạng toán có quy luật: (Dãy cộng) .................................................................................. 2
Ví dụ 1: ................................................................................................................................. 2
Ví dụ 2: ................................................................................................................................. 3
Ví dụ 3: ................................................................................................................................. 3
Ví dụ 4: ................................................................................................................................. 4
Ví dụ 5: ................................................................................................................................. 4
 Một số bài tập có giải...................................................................................................... 6
 Bài tập tự luyện ............................................................................................................... 8
b) Dạng toán có không có quy luật ..................................................................................... 8
Bài 1: Tính tổng:.................................................................................................................. 8
Bài 2: Tính tổng:................................................................................................................ 10
Bài 3: Tính tổng:................................................................................................................ 11
Bài 4: Tính tổng:................................................................................................................ 13
Bài 5: Tính tổng:................................................................................................................ 14
Bài 6: Tính tổng:................................................................................................................ 16
Bài 7: Tính tổng:................................................................................................................ 17
Bài 8: Tính tổng:................................................................................................................ 19
c) Phương pháp dự đoán và quy nạp ................................................................................ 19
Bài tập áp dụng tổng hợp .................................................................................................... 20

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

1


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số ngun
a) Dạng tốn có quy luật: (Dãy cộng)

Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có một số bài tốn đưa ra dạng tốn có quy
luật và đan xen vào đó là tính tổng của dãy (phần bài tập tự luyện). Ở chủ đề này, mục
đầu tiên xin được đưa ra trong các phép tốn trong tập hợp số tự nhiên là dạng tốn có
quy luật. Các em học sinh cùng nghiên cứu các bước giải và ví dụ tính tốn sau:
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học
sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: Số số hạng 

Số hạng cuối  Số hạng đầu
Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp

1

 Số hạng cuối  Số hạng đầu 
Bước 2: Tính tổng của dãy: Tổng của dãy  
 . Số số hạng
2



(quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi)
Với dãy số tăng dần ta có:
Số hạng cuối = số hạng lớn nhất
Số hạng đầu = số hạng bé nhất.
Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đó là dãy tăng dần.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số ? Tính tổng của chúng.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Các số tự nhiên có hai chữ số là 10;11;12;...;99
Số các số này là : 99  10  1  90 số

Ta có : A  10  11  12  ...  99(1)

A  99  98  ...  11  10 (2)
Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hốn và kết hợp của phép cộng ta được:
A  A  10  99   11  98   ...   98  11   99  10 
 109  109  ...  109  109

Nên 2A = 109.90. Do đó A  109.90 : 2  45.109  4905
Cách 2:

Tài liệu Tốn 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

2


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số ngun

Số số hạng của dãy:

 99 10  1  90
1

(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là
99)
Tổng của dãy:

99  10
.90  4905
2

Ví dụ 2: Tính giá trị của A biết:
A  1  2  3  4  ...........................  2014.
Hướng dẫn giải
Dãy số trên có số số hạng là:  2014 – 1 :1  1  2014 (số hạng)
Giá trị của A là:  2014  1 . 2014 : 2  2029105
Đáp số: 2029105
Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............
Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?
Phân tích: Từ cơng thức Số số hạng 

Số hạng cuối  Số hạng đầu
Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp

1

Ta có:  Số số hạng  1 Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp   Số hạng cuối  Số hạng đầu
 Số số hạng  1   Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp    Số hạng đầu  Số hạng cuối


Số hạng đầu  Số hạng cuối   Số số hạng  1   Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp  

Hướng dẫn giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

 2014 –1 . 2  2  4028
Đáp số: 4028

Tài liệu Tốn 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

3

Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số ngun
Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2019 ?
Phân tích: Như bài tập số 2 ta có:
Với dãy số tăng dần ta có:
Số hạng cuối = số hạng lớn nhất
Số hạng đầu = số hạng bé nhất.
Số hạng đầu  Số hạng cuối   Số số hạng  1   Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp  

Hướng dẫn giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2019   50 – 1 .2  1921
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là  2019  1921 . 50 : 2  98500
Đáp số: 98500
Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp,
biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy
phố đó là số nào ?
Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật tăng dần:
Bước 1: Số số hạng 

Số hạng cuối  Số hạng đầu
Khoảng cách 2 số hạng liên tiếp

1

Suy ra:  Số số hạng  1 Khoảng cách 2 sốhạng liên tiếp   Số hạng cuối  Số hạng đầu

 Số hạng cuối  Số hạng đầu 
Bước 2: Tổng của dãy  
 . Số số hạng

2



Suy ra:  2.Tổng của dãy  :  Số số hạng   Số hạng cuối  Số hạng đầu
Bài tốn cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong
dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và
tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài tốn về
dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Hướng dẫn giải

Tài liệu Tốn 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

4


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: 15  1 . 2  28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 . 2 :15  122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: 122  28  : 2  47
(bài toán tổng hiệu quen thuộc)
Đáp số: 47
CÂU CHUYỆN VỀ VUA TOÁN HỌC GAUSS
Ba tuổi, thiên tài tính toán đã bộc lộ ở Gauss; Bảy tuổi đến trường
và khiến cho các giáo viên phải kinh ngạc trước khả năng toán học
của mình. Mười chín tuổi, Gauss quyết tâm trở thành nhà toán học.
Khó có thể chỉ ra một ngành toán học nào mà ở đó lại không có
những đóng góp của ông “Vua toán học” Carl Friedrich Gauss.
Gauss sinh ra trong một gia đình người sửa ống nước kiêm nghề
làm vườn vào mùa xuân năm 1777. Người ta còn kể mãi một câu

chuyện về thời thơ ấu của ông như sau:
Cha của Gauss thường nhận thầu khoán công việc để cải thiện đời sống. Ông hay thanh
toán tiền nong vào chiều thứ bảy. Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng thanh toán thì từ phía
giường trẻ có tiếng của Gauss gọi:
- Cha ơi, cha tính sai rồi, phải thế này mới đúng…
Mọi người không tin, nhưng khi kiểm tra lại thì quả là Gauss đã tính đúng. Khi ấy,
Gauss mới tròn 3 tuổi. Có thể nói, Gauss đã học tính trước khi học nói.
Những ngày đầu đến trường, Gauss không có gì đặc biệt so với các trò khác. Nhưng
tình hình thay đổi hẳn khi nhà trường bắt đầu dạy môn số học.
Một lần, thầy giáo ra cho lớp bài toán tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 – 100. Khi thầy
vừa đọc và phân tích đầu bài thì Gauss đã lên tiếng:
- Thưa thầy, em giải xong rồi!
Thầy giáo không hề để ý đến Gauss, dạo quanh các bàn và nói chế nhạo:
- Carl, chắc em sai rồi đấy, không thể giải quá nhanh một bài toán khó như vậy đâu!
- Thầy tha lỗi cho em, em giải rất đúng ạ! Em nhận thấy ở dãy số này có các tổng hai số
của từng cặp số đứng cách đều phía đầu và phía cuối của dãy số đều bằng nhau: 100 + 1
= 99 + 2 = 98 + 3 =… 50 = 51 = 101. Có 50 tổng như vậy nên kết quả sẽ là 1 = 2 = 3= … =
101 * 50 = 5050.

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

5


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Thầy giáo hết sức ngạc nhiên khi thấy Gauss giải bài toán một cách chính xác tuyệt đối,
mà cách giải lại vô cùng độc đáo. Từ đó,Gauss được mọi người biết đến như một thiên
tài toán học.
Ngay trong những năm đầu tiên ở trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đã đưa
ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa. Đây là một phát hiện rất

quan trọng, nên về sau người ta đã theo di chúc của ông mà khắc trên mộ ông đa giác
đều 17 cạnh nội tiếp trong một đường tròn.
Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss đã phát hiện một hành tinh mới. Vào
đầu thế kỷ XIX, một nhà thiên văn học người Italia đã phát hiện ra hành tinh mới gọi là
Xexera. Ông quan sát được nó không lâu, sau đó nó dịch lại gần mặt trời và bị lẫn vào
những tia sáng mặt trời. Những thí nghiệm của các nhà thiên văn đều không đạt kết
quả nữa, họ không nhìn thấy được nó ở chỗ mà theo dự đoán nó phải hành trình đến.
Các kính viễn vọng đều bất lực. Nhưng Gauss, với những số liệu quan sát ban đầu, ông
đã tính được quỹ đạo của hành tinh mới đó và chỉ ra vị trí của nó với độ chính xác cao.
Nhờ thế, các nhà thiên văn đã tìm thấy Xexera. Về sau, theo cách này, người ta đã tìm ra
nhiều hành tinh mới khác. Sau công trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss được xem như
một nhà toán học vĩ đại của thế giới và được tôn là “Ông hoàng toán học”.
C. F. Gauss thọ 78 tuổi, và cả cuộc đời ông là những cống hiến vĩ đại cho ngành toán
học của nhân loại. Cho đến tận ngày nay, câu chuyện về khả năng tính toán thiên bẩm
của Gauss vẫn còn được kể như là những huyền thoại.
 Một số bài tập có giải
Bài 1: Tính A  5  6  7  ...  2013  2014
Hướng dẫn giải
Số số hạng là:
Tổng của dãy:



2014 – 5  : 1  1  2010



2014  5  .2010
 2029095
2

Bài 2: Cho S  7  9  11  ... 97  99
a) Tính tổng S trên.
b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.
Hướng dẫn giải
+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99.
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

6


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
+ S có số số hạng được tính bằng cách:  99 – 7  : 2  1  47
Tổng của dãy: S 

 99

 7  .47 : 2  2491

(cách viết khác tôi hay sử dụng: S 
b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :



99  7  .47
 2491 )
2

 33 –1 .2

 7  71

Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Nêu quy luật của dãy số trên.
c) Viết tập hợp B gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm.
c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.
Hướng dẫn giải
Xét dãy số 2;7;12;17;22;…
a) Quy luật: Dãy số cách đều với khoảng cách 5
b) B  22; 27;32;37; 42
c) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là x, ta có: ( x  2) : 5  1  100

 x  497 . Do vậy tổng 100 số hạng đầu của dãy là:
(2  497) 100 : 2  24950
Bài 4: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên 123456…..
a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số 53; 328; 1587 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?
b) Chữ số viết ở hang thứ 427 là chữ số nào?
Hướng dẫn giải
Viết liền nhau các số tự nhiên 123456…
a) 9 chữ số đầu tiên: 1, 2, …, 9
44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53.

 Chữ số hàng đơn vị của số 53 ở hàng số: 9  44.2  97
Tương tự, chữ số hàng đơn vị của số 328 ở hàng số 9  90.2  229.3  876 ;
chữ số hàng đơn vị của số 1587 ở hàng số 9  90.2  900.3  588.4  5241 .
b) Chữ số viết ở hàng thứ 427 là chữ số 1 (chữ số hàng trăm của số 179)

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

7


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
 Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính tổng

A  1  2  3   2015

B  1  3  5   1017

C  2  4  6   2014

D  1  4  7   2008

Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.
a, Tính tổng của dãy số trên?
b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?
c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?
Bài 3: Tìm tổng các số chẵn có 3 chữ số ?
Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?
Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?
Bài 6: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng?
Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp,
biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong
dãy phố đó là số nào?

b) Dạng toán có không có quy luật
Bài 1: Tính tổng:

a) A  20  21  22  23    210
b) B  1  20141  20142  20143  .  20142014  20142015
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
a) A  20  21  22  23    210

2 A  21  22  23  ..  210  211
-

A  20  21  22  23    210

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

8


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
211  1
2A – A  2  2 
2 1
11

0

A  211 – 1  2047
b) B  1  20141  20142  20143  .  20142014  20142015
-

B

2014.B  20141  20142  20143  20144  20142015  20142016
B  1  20141  20142  20143   20142014  20142015
2014.B – B  20142016  1

20142016  1 2014 2016  1

2014  1
2013

c) S n  a 0  a1  a 2  a 3  ..  a n 

a n 1  1
( n ; a  1; a  0 ).
a 1

Nhận xét:
Từ bài toán tổng quát này ta có thể vận dụng để giải các bài toán tương tự nhưng tổng
có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và các bài toán liên quan khác.
* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này:
- Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ số, số mũ là
dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ
cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu?
- Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế
với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban
đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b;
- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số.
*Công thức tổng quát: A  1  a  a 2  a3  a 4    a n
Nhân cả hai vế của A với a ta có a. A  a  a 2  a3  a 4  ...  a n  a n1

aA – A 

a

– 1 A  a n 1 – 1. Vậy A   a n  1 – 1 :  a – 1 với  a  2 

Từ đó ta có công thức : a n 1 – 1   a – 1  1  a  a 2  a 3  ...  a n  .
* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

a) A  1  7  7 2  73  ...  7 2007

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

9


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

b) B  1  4  42  43  ...  4100
c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 Chia hết cho 13
d) Chứng minh rằng: 20152015 – 1 Chia hết cho 2014.
Bài 2: Tính tổng:
a) A  1  32  34  36  38  ...  3100
b) B  7  73  75  77  79  ...  799
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt
các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân
hai vế với 32 .
a) A  1  32  34  36  38  ...  3100

32 A  32  34  36  38  ...  3100  3102
-

A  1  32  34  36  38  ...  3100
32 A  A  3102  1

Với A  32  1  3102  1  8 A  3102  1  A 

3102  1
8

b) B  7  73  75  77  79  ...  799

72 B  73  75  77  79  ...  799  7101
-

B  7  73  75  77  79  ...  799
72 B  B  7101  7

Với B.  7 2  1  7101 – 7  B 

7101 – 7
48

c) * Công thức tổng quát: A  1  a 2  a 4  a6  a8  ...  a 2 n

a 2 A  a 2  a 4  a 6  a8  ...  a 2 n  a 2 n  2
-

A  1  a 2  a 4  a6  a8  ...  a 2 n

a 2 A  A  a 2n2  1
A.  a 2  1  a 2 n  2  1

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

10


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Từ đó ta có công thức :

1  a 2  a 4  a 6  a 8  ...  a 2 n   a 2 n  2 –1 :  a 2  1

* Công thức tổng quát: B  a  a3  a5  a 7  a9  ...  a 2 n1

a 2 B  a3  a5  a7  a9  ...  a 2 n1  a 2 n  3
-

B  a  a3  a5  a7  a9  ...  a 2 n1
a 2 B  B  a 2 n 3  a
B  a 2  1  a 2 n 3  a

Từ đó ta có công thức: a  a 3  a 5  a 7  a 9  ...  a 2 n 1 

a

2n  3

– a  :  a 2  1

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

C  1  22  24  26  28  210  ...  2200
D  4  42  44  46  48  410  ...  4300
E  5  53  55  57  59  ...  5101
F  13  133  135  137  139  ...  13199
Bài 3: Tính tổng:
a) A  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9
b) B  9.10  10.11  11.12   98.99
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1. Nên ta nhân 2
vế của A với 3 lần khoảng cách này.
a) Ta có: 3 A  3. 1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9 

 1.2.  3  0   2.3.  4  1  3.4.  5  2   4.5.  6  3  5.6.  7  4   ...  8.9. 10  7 

 1.2.3 1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   -7.8.9+8.9.10
 8.9.10  720 .

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

11


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Vậy A  720 : 3  240
Ta chú ý tới đáp số 720  8.9.10 , trong đó 8.9 là số hạng cuối cùng của A và 10 là số
tự nhiên kề sau của 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.
b) Cách 1: B  9.10  10.11  11.12   98.99

Với C  1.2  2.3  9.10  10.11  11.12  89.99 ta có: C  A  B  B  C  A
Dễ dàng tính được 3C  98.99.100 , theo câu a ta có 3. A  8.9.10.  720
Vậy B 

98.99.100  8.9.10
 323160
3

Cách 2: 3B  3.  9.10  10.11  11.12   98.99 

= 9.10(11  8)  10.11(12  9)  11.12(13  10)   98.99(100  97)

=  8.9.10  9.10.11  9.10.11  10.11.12  10.11.12  11.12.13   97.98.99  98.99.100
 98.99.100  8.9.10

B

98.99.100  8.9.10
 323160
3

c) *Công thức tổng quát: A  1.2  2.3 

n

 1 .n   n  1 .n.  n  1 : 3

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

A  1.2  2.3  3.4    199.200

B  1.3  3.5  5.7    97.99
C  2.4  4.6  6.8    98.100
D  51.52  52.53  53.54    99.100
(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)
Hướng dẫn giải câu B

6 B  6 1.3  3.5  5.7    97.99 

6 B  1.3 .6  3.5.6  5.7.6    97.99.6

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

12


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

6B  1.3.(5  1)  3.5.(7  1)  5.7.(9  3)    97.99.(101  95)

6B  1.3.1  1.3.5  1.3.5  3.5.7  3 .5.7  5.7.9  3    95.97.99  97.99.101
6B  3  97.99.101  B  161651
Bài 4: Tính tổng:
a) A  12  32  52  72    992
b) C  22  42  62   1002
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
a) A  12  32  52  72    992
Xét B  1.2  2.3  3.4    99.100

B  0.1  1.2  2.3  3.4    99.100

B  1.  0  2   3.  2  4   5.  4  6     99.  98  100 

B  1.1.2  3.3.2  5.5.2    99.99.2
B  12  32  52   99 2  .2  2. A

Theo cách giải Bài 3 ta có B 

Vậy B 

99.100.101
3

99.100.101
 12  32  52   992  .2  A.2
3

Vậy ta có: A 

B 99.100.101

 166650
2
6

b) C  22  42  62   1002
Xét D  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  ...  100.101

 1.2  2.3   3.4  4.5    5.6  6.7   7.8  8.9  ...   99.100  100.101

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

13


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

 2  1  3  4  3  5   6  5  7   ...  100  99  101

 2.4  4.8  6.12  ...  100.200
 2.2.2  2.4.4  2.6.6  ...  2.100.100
= 2.22  2.42  2.6 2  ...  2.1002  2.  22  42  62  ...  1002 
D  2.  2 2  42  62  ...  100 2   2.C

Theo cách giải Bài 3 ta có ta có: D 

C

100.101.102
3

D 100.101.102

 171700
2
6

c)
* Công thức tổng quát:
2

A  12  32  52  7 2     2n  1   2n  1 2n  2  2n  3 : 6

*Công thức tổng quát:
2

C  22  4 2  6 2   2n   2n.  2n  1 .  2n  2  : 6

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

M  112  132  152    20192
N  202  222    482  502
2

P  n2   n  2 

n

2

 4   

 n  100 

2

;  n   *

Bài 5: Tính tổng:
a) A  12  22  32    1002
b) B  12  22  32    992

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

14


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên.
Hướng dẫn giải
a) A  12  22  32    1002
Cách 1: A  12  22  32    1002
A  12  32  52    99 2  

Theo kết quả Bài 4 ta có A 

2

2

 4 2  6 2    1002 

 99.100.101

 100.101.102  : 6

A  100.101.  99  102  : 6  100.101.  2.100  1 : 6
Cách 2:

A  12  22  32    1002

A  1.1  2.2  3.3  4.4    100.100
A  1.  2  1  2  3  1  3  4  1    100 100  1  1

A  1.2  1  2.3  2  3.4  3  4.5  4  ...+100.(100+1)  100
A  1.2  2.3  3.4  4.5   100. 100  1



– ( 1  2  3  4    100)

A  100.101.102 : 3 – 100.101: 2  100.101.  2.100  1 : 6
b) B  12  22  32    992
Cách 1: B  12  22  32    992
B  12  32  52    99 2    22  42  62    982 

B   99.100.101  98.99.100  : 6
B  99.100.  98  101 : 6  99.100.  2.99  1 : 6

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

15


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Cách 2: B  12  22  32    992

B  1.1  2.2  3.3  4.4    99.99
B  1.  2  1  2  3  1  3  4  1    99  99  1  1

B  1.2  1  2.3  2  3.4  3  4.5  4  ...+99.(99+1)  99

B  1.2  2.3  3.4  4.5   99  99  1



– ( 1  2  3  4    100)

B  99.100.101: 3 – 99.100 : 2  99.100. 101: 3 – 1: 2   99.100.  2.99  1 : 6
c)
*Công thức tổng quát: A 12  22  32    n 2  n.  n  1 2n  1 : 6
* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

M  1  22  32  42  52   9992

P  1  4  9  16  25  36  ...  10000
Q   12  22 – 32  42    192  202.
Bài 6: Tính tổng:
a) A  1.2.3  2.3.4    7.8.9  8.9.10
b) B  1.3.5  3.5.7  5.7.9  95.97.99
c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng của A.
Hướng dẫn giải
Nhận xét: ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa
số .Ta giải được bài toán như sau :
a) A  1.2.3  2.3.4    7.8.9  8.9.10

4 A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  5.6.7  6.7.8  7.8.9  8.9.10  .4

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

16

Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
4 A  1.2.3.  4 – 0   2.3.4.  5 –1    8.9.10. 11 – 7  

4 A  1.2.3.4 – 1.2.3.4  2.3.4.5 – 2.3.4.5   – 7.8.9.10  8.9.10.11

4 A  8.9.10.11 . Vậy A  8.9.10.11: 4  1980 : 4  495
b) B  1.3.5  3.5.7  5.7.9  95.97.99

8B  1.3.5.8  3.5.7.8  5.7.9.8    95.97.99.8
8 B  1.3.5  7  1  3.5.7  9  1  5.7.9 11  3    95.97.99 101  93

8B  1.3.5.7  15  3.5.7.9  1.3.5.7  5.7.9.11  3.5.7.9  95.97.99.101  93.95.97.99
8B  15  95.97.99.101
c)
*Công thức tổng quát:

A  1.2.3  2.3.4  3.4.5     n –1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4

* Bài tập vận dụng: Tính tổng.

A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  99.100.101
B  9.10.11  ...  99.100.101
C  1.3.5  3.5.7  5.7.9  .2015.2017.2019
D  2.4.6  4.6.8  ......  96.98.100.
Bài 7: Tính tổng:
a) A  1³  2³  3³  4³  5³   100³

b) Viết công thức tổng quát cách tính tổng của A.
Hướng dẫn giải

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

17


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
Nhận xét: Ta có: n 2 – 1 

n

– 1 n  1

n3 – n  n.  n 2 – 1  n.  n – 1 .  n  1   n – 1 .n.  n  1

a)

A  1³  2³  3³  4³  5³   100³
A  13 –1  23 – 2  33 – 3  43 – 4  53 – 5  1003 –100   1  2  3  100



A  0  2  22 –1  3  32 –1  4  42 –1   100 100 2 – 1  1  2  3  4  100 

A  0  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6   100 –1 .100. 100  1  1  2  3  4  100 
Theo kết quả Bài 6 ta có:
(100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)
 100(100  1) 

A

 ....  

4
2
2



2

Theo kết quả Bài 6 ta có:
1.2.3  2.3.4  3.4.5   

 n – 1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4

(100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)
 100(100  1) 
Vậy A 

 ....  

4
2
2




A

 n 1 n  n  1 n  2  n  n  1  n
4

2

  n  1 n  2  1 
 
4
2


 n  1 

n2  n  2  2
n(n  1) n 2 (n  1) 2  n(n  1) 
A  n(n  1).
 n(n  1) 


4
4
22
 2 

Nhận xét . Với

2

2

n  n  1
 1  2  3  4    n nên ta có công thức tổng quát sau:
2

A  1³  2³  3³  4³  5³  n³  ( 1  2  3  4  5  n )²

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

18


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

Bài 8: Tính tổng:

A  1.22  2.32  3.42    99.1002
Hướng dẫn giải
A  1.2.  3  1  2.3  4  1  3.4  5  1    99.100. 101  1

 1.2.3  1.2  2.3.4  2.3  3.4.5  3.4    99.100.101  99.100


1.2.3

 2.3.4    99.100.101  1.2  2.3  3.4    99.100 

Áp dụng kiến thức các Bài 3, Bài 6 trên ta có:
1.2.3  2.3.4  3.4.5   

1.2  2.3 

Vậy A 

n

 n – 1 .n.  n  1 

 n  1 .n.  n  1 (n  2)
4

 1 .n   n  1 .n.  n  1 : 3

99.100.101.102 99.100.101

.
4
3

c) Phương pháp dự đoán và quy nạp
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn

Sn  a1  a2  .... an Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán
chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải
quyết bài toán
Ví dụ : Tính tổng

S n  1  3  5  ... 

 2 n  1

Hướng dẫn giải
Thử trực tiếp ta thấy :

S1  1

S2  1  3  22
S 3  1  3  5  9  32

...

...

...

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

19


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

Sn  n2

Ta dự đoán

Với n  1; 2; 3 ta đều thấy kết quả đúng, giả sử với n  k ( k  1) ta có:

Sk  k 2

(2)

2

Ta cần chứng minh S k 1   k  1 (3)
Thật vậy ; cộng hai vế của (2) với 2k  1 ta có
1  3  5  ... 

vì k 2 

 2k

 2k

– 1 

 1 

k

2 k  1  k 2 



 2k

 1

2

 1 nên ta có (3) tức là S k 1   k  1

2

Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh
Vậy S n  1  3  5  ... 



2 n  1  n 2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán
học:

1  2  3  ....  n 
12  22  .....  n2 

n(n  1)
2

n(n  1)(2n  1)
6

 n(n  1) 
1  2  .....  n  
 2 
3

3

2

3

15  25  ....  n5 

1 2
2
n  n  1  2n2  2n –1
12

Bài tập áp dụng tổng hợp
Dạng 1: Tính tổng

A  13 – 23  33 – 43  ...  993 –1003

B  12  42  72  .  1002.

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

20


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên

C  1.32  3.52  5.72    97.992.

D  1.99  2.98  3.97    49.51  50.50

E  1.3  5.7  9.11    97.101

F 1.3.5 – 3.5.7  5.7.9 – 7.9.11    97.99.101

G  1.99  3.97  5.95    49.51

H  1.33  3.53  5.73    49.513

I  1.992  2.982  3.972    49.512

J  2  6  10  14  .....  202

K  1  2  22  23  .....  262  263

L  5  52  53  .....  599  5100

M  7  10  13  ....  76

N  49  64  81  ....  169

P  1.4  2 .5  3.6  4.7  ....  n  n  3

 với n   *

Dạng 2:
Bài 1: Chứng minh :
a, A  4  22  23  24 .....  220 là lũy thừa của 22
b, B  2  22  23  ......  260 3 ; 7; 15
c, C  3  33  35  ....  31991 13 ; 41

d, D  119  118  117  ......  11  1 5
Bài 2: Cho A  3  32  33  34  .....3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 A  3  3n
Bài 3: Cho M  3  32  33  34  .....3100
Hỏi :
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M  3  3n
Bài 4: Cho biểu thức: M  1  3  32  33  3118  3119
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 5: Cho A  1 – 2  3 – 4  ....... 99 – 100

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

21


Chủ đề: Dãy số có quy luật trong tập hợp số nguyên
a) Tính A.
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên?

Tài liệu Toán 6 – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh”

22