Tính giá trị biểu thức 1

Chuyờn bi dng HSG toỏn 8
Tính giá trị của biểu thức đại số
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình
A. Biểu thức đại số thông thờng
Ví dụ 1 : a. Cho biểu thức f(x) = 2x
3
3x
2
+ 1 . Tính f(0) ; f(1) ; f(n)
b. Cho biểu thức A = 2xy
2
+ x
2
2 tại x = 1 và y = 2
Giải : Dễ dàng
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức B = x
4
17x
3
+ 17x
2
17x + 20 tại x = 16
Giải : Cách 1 : Thay x = 16 vào biểu thức B và tính
Cách 2 : Vì 17 = 16 + 1 = x + 1 nên ta thay 17 bằng x + 1 trong B ,ta có :
B = x
4
( x + 1)x
3
+ ( x + 1)x
2

( x + 1)x + 20 = x
4
x
4
x
3
+ x
3
+ x
2
x
2
x
+ 20
B = 20 x = 20 16 = 4
Bài tập : Tính giá trị các biểu thức sau
a. f(x) = x
3
30x
2
31x + 1 tại x = 31
b. g(x) = x
5
15x
4
+ 16x
3
29x
2
+ 13x tại x = 14

c. h(x) = x
14
10x
13
+ 10x
12
10x
11
+ ... + 10x
2
10x + 10 tại x = 9
d. K(x) = ( 4x
2
+ 2x 1)( x
2
1) + 3( x
2
5)( 5 x
2
) ( x
2
8)
2
+ 2x + 8 tại x =
2
e. p(a) = ( a
3
+ 2a
2
+ 2a + 1)( a

3
2a
2
+ 2a 1) với a = 3
B. Biểu thức đại số có điều kiện
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức A = x
4
2x
3
+ 3x
2
2x + 2 với x
2
x = 3
Giải : A = x
4
x
3
x
3
+ x
2
+ 2x
2
2x + 2 = x
2
( x
2
x) x( x
2

x) + 2( x
2
x) + 2
= 3x
2
3x + 6 + 2 = 3( x
2
x) + 8 = 3.3 + 8 = 9 + 8 = 17
Ví dụ 2 : Tính giá tị của biểu thức B = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
với x
2
+ y
2
= 25 và xy = 12
Giải :
B = ( x
2
+ y
2
)
2
x
2

y
2
= ( x
2
+ y
2
+ xy)( x
2
+ y
2
xy) = ( 25 + 12)( 25 12) =...
Ví dụ 3 : Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 5 , Tính giá trị của biểu thức
C = ( 2a + 2b c)
2
+ ( 2b + 2c a)
2
+ ( 2c + 2a b)
2
Giải : Ta có ( 2a + 2b c)
2
= 4a
2
+ 4b
2

+ c
2
+ 8ab 4ac 4bc
( 2b + 2c a)
2
= 4b
2
+ 4c
2
+ a
2
+ 8bc 4ab 4ac
( 2c + 2a b)
2
= 4c
2
+ 4a
2
+ b
2
+ 8ac 4bc 4ab
Từ đó C = 9( a
2
+ b
2
+ c
2
) = 9.5 = 45
Ví dụ 4 : Cho a + b = ab , tính giá trị của biểu thức
D = ( a

3
+ b
3
a
3
b
3
)
3
+ 27a
6
b
6

Giải : Ta có a + b = ab ( a + b)
3
= a
3
b
3
a
3
+ b
3
+ 3ab( a + b) = a
3
b
3

a

3
+ b
3
a
3
b
3
= 3ab( a + b) = 3ab.ab (a
3
+ b
3
a
3
b
3
)
3
= 27a
6
b
6
(a
3
+ b
3
a
3
b
3
)

3
+ 27a
6
b
6
= 0 . Vậy D = 0
1
Chuyờn bi dng HSG toỏn 8
Ví dụ 5 : Cho
2 2 2
0
14
a b c
a b c
+ + =


+ + =

Tính giá trị của biểu thức E = a
4
+ b
4
+ c
4
Giải :
Ta có 14
2
= ( a
2

+ b
2
+ c
2
)
2
= a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) . Vậy ta có :
a
4
+ b
4
+ c

4
= 196 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) .
Lại có 0
2
= a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) . Từ đó
ab + bc + ca = 7 49 = ( ab + bc + ca )
2
= a
2
b

2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2 ( ab
2
c + a
2
bc + abc
2
)
49 = a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 2abc( a + b + c) . Vậy : a
2

b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
= 49.
Do đó a
4
+ b
4
+ c
4
= 196 2.49 = 196 98 = 98
Ví dụ 6 : Cho
2 2 2
3 3 3
1(1)
1(2)
1(3)
a b c
a b c
a b c
+ + =

+ + =


+ + =

Tính giá trị của biểu thức A = a + b
2
+ c
3
Giải :
1
3
= ( a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3( a + b)( b + c)( c + a) . mà a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 nên ta có
( a + b)( b + c)( c + a) = 0 . Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0.
Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1 c
2

= 1 thay vào (2) đợc a = b = 0 A = 1
Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1 a
2
= 1 thay vào (2) đợc b = c = 0 A = 1
Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1 b
2
= 1 thay vào (2) đợc a = c = 0 A = 1
Vậy A = 1
Ví dụ 7 : Cho
2 2
x y a
x y b
+ =


+ =

Tính giá trị biểu thức M = x
3
+ y
3
theo a , b
Giải :
Ta có a
3
= ( x + y)
3
= x
3
+ y

3
+ 3xy( x + y) = M + 3axy . Vậy : M = a
3
3axy
Lại có a
2
= ( x + y)
2
= x
2
+ y
2
+ 2xy = b + 2xy xy = ( a
2
b )/2. Thay vào M ta có
M = a
3
3a( a
2
b)/2 = ( 3ab a
3
)/2
Ví dụ 8 : Cho
3 2
3 2
3 19
3 98
a ab
b a b

=


=


Tính giá trị biểu thức N = ( a
2
+ b
2
)
3

Giải :
Ta có : 19
2
= a
6
6a
4
b
2
+ 9a
2
b
4
và 98
2
= b
6

6a
2
b
4
+ 9a
4
b
2

19
2
+ 98
2
= a
6
+ 3a
4
b
2
+ 3a
2
b
4
+ b
6
= ( a
2
+ b
2
)

3
. Vậy N = 19
2
+ 98
2

Ví dụ 9 : Cho
0
2
x y z
a b c
a b c
x y z

+ + =




+ + =


tính giá trị biểu thức N =
2 2 2
2 2 2
a b c
x y z
+ +
2
Chuyờn bi dng HSG toỏn 8

Giải : Từ GT 0
2
=
2 2
x y z bcx acy abz
a b c abc
+ +

+ + =
ữ ữ

. Vậy bcx + acy + abz = 0
Lại có 2
2
=
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b c ab bc ca a b c abz bcx acy
x y z x y z xy yz xz x y z xyz

+ +
+ + = + + + + + = + + + ì
ữ ữ

do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4
Ví dụ 10 : Cho
( )
( ) ( )

2
13
169 27
2
a
x y x z
z y x y z
x z

=

+ +




=
+ +

+

, Tính P = 2a
2
8a + 1
Giải : Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
169 27 27

2
a
z y x y z x z x y x z x y
x y x z

= = =
+ + + + + +
+ +

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
169 27 27a
x z x y x z x y
x y x z x z x y

= = =
+ + + + +

+ + + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
169 27 196a
x y x z x z x y x y
+

= =
+ + + + + +
Vậy a = 14
Từ đó thay vào tính đợc P
Bài tập :
1. Cho x + y = 3 , tính A = x
2
+ 2xy + y
2
4x 4y + 1
2. Cho a + b = 1 , tính B = a
3
+ b
3
+ 3ab( a
2
+ b
2
) + 6a
2
b
2
( a + b)
3. Cho x + 1 = 1 , tính C = x
3
+ y
3
+ 3xy
4. Cho x
2

2y
2
xy với y( x + y) 0, tính giá trị biểu thức K =
x y
x y

+
5. Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc . Tính giá trị của biểu thức D =
1 1 1
a b c
b c a

+ + +
ữ ữ ữ

6. Cho
1 1 1
0
a b c
+ + =
, Tính giá trị biểu thức E =
2 2 2
ab bc ac
c a b

+ +
7. Cho x
2
+ 9y
2
4xy = 2xy | x 3 | . Tính F =
( ) ( )
( )
5 1
5
x y
x x
+ +

8. Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a + b + c 0 , tính H =
( )
2 2 2
2
a b c
a b c
+ +
+ +
3
Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 8

9. Cho
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
2
b c a
x
bc
a b c
y
b c a

+ −
=



− −

=

+ −

, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Q = x + y +xy
10. Cho a + b + c = 0 , tÝnh S =
a b b c c a c a b

c a b a b b c c a
− − −
   
+ + + +
 ÷ ÷
− − −
   
4