063 đề thi vào 10 chuyên toán hà nội tự nhiên 2019 2020

ĐỀ THI TOÁN VÀO THPT CHUYÊN KHTN 2019
Bài 1.
a) Giải phương trình:

26 x  5
x  30
2

 2 26 x  5  3 x 2  30

2
2

x  y  2
b) Giải hệ phương trình : 
2

 x  2 y   2  3 y  4 xy   27
Bài 2.

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn  x 2  x  1 y 2  xy   3x  1
b) Với x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1  y  2 và xy  2  2 y, tìm giá trị
x2  4
nhỏ nhất của biểu thức M  2
y 1

Bài 3.
Cho hình vuông ABCD, đường tròn  O  nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh

AB, AD tai hai điểm E, F . Gọi G là giao điểm các đường thẳng CE và BF
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, F , O, G, E cùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi giao điểm của đường thẳng FB và đường tròn là M  M  F . Chứng
minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BG
Bài 4.
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  xz  1. CMR:
1
1
1
2 x
y
z






2
2
2
1 x 1 y 1 z
3  1  x 2
1  y2
1  z2






3

ĐÁP ÁN
Bài 1.
5
đặt a  26 x  5 và b  x 2  30, a  0, b  0
26
a2
Phương trình trở thành:
 2a  3b   a  b  a  3b   0  a  b
b
x 1
 26 x  5  x 2  30  
 x  25

a) Điều kiện x 

Vậy S  1;25

b) Thay 2  x 2  y 2 vào phương trình thứ hai ta được:

 x  2 y   x 2  y 2  3 y 2  4 xy   27
  x  2 y   27
3

 x  3  2 y thay vào phương trình thứ nhất ta được

3  2 y 

2

 y 1 x 1
 y 0
7
1
y   x 
5
5

2


 1 7 
Vậy  x; y   1;1 ;  ;  
 5 5 

Bài 2.

a) Từ biểu thức  x 2  x  1 y 2  xy   3x  1 ta nhận thấy 3x  1phải chia hết
cho  x 2  x  1

Ta có :  3x  1 3x  2   9 x 2  9 x  2  9  x 2  x  1  7 cũng phải chia hết cho

x

2

 x  1 suy ra 7  x 2  x  1  x2  x  1  1 hoặc 7  x  0;1;3; 2 , thay lần

lượt tìm ra y

Vậy  x; y  1;1; 1; 2 ;  2;1
b) Từ giả thiết xy  2  2 y  4 xy  8  8 y
Mà ta lại có: 4 x 2  y 2  4 xy


 4 x 2  y 2  8  4 xy  8  8 y
 4  x2  4  8 y  8  y 2
 4  x 2  4   4  y 2  1   5 y  2  2  y   4  y 2  1
x2  4
M  2
1
y 1
Dấu "  " xảy ra khi x  1, y  2, M min  1

Bài 3.

E

A

M
H

G

F

D

B

O

J

C

a) Do đường tròn (O) nội tiếp hình vuông ABCD nên E và F là trung điểm các
cạnh AB, AD  ABF  BCE

 EBG  BCG  BGC vuông suy ra tứ giác AGEF nội tiếp mà AEOF cũng nội
tiếp nên 5 điểm A, F , O, G, E cùng nằm trên một đường tròn
b) Ta có : AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên BEM  EFM
Lại có EAG  EFG cùng chắn cung EG nên EAG  EFG


 EM / / AG trong khi E là trung điểm của AB nên M cũng là trung điểm của BG
Bài 4.
1
1
1
2 x
y
z







1  x 2 1  y 2 1  z 2 3  1  x 2
1  y2
1  z2
Ta có:
1  x2  xy  yz  xz  x 2   x  y  x  z 






3

1  y 2  xy  yz  xz  y 2   x  y  y  z 
1  z 2  xy  yz  xz  z 2   z  y  x  z 

Ta có:
 x
y
z



 1  x2
1  y2
1  z2


2


 x
y
z 


   x  y  z 
2
2
2 

1

x
1

y
1

z






2 x  y  z 
x
y
z

  x  y  z



  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  x  z    x  y  y  z  z  x 
Do đó
 1
4 x  y  z 
y
z 
VP 




3 x  y  y  z  z  x   1  x 2
1  y2
1  z 2 
x
y
z
3
Bất đẳng thức trở thành:



1  x2
1  y2
1  z2 2

Ta có:
x
1  x2

y
1  y2
z
1  z2





1 x
x 
 


 x  y  x  z  2  x  y x  z 



1 y
y 
 


 x  y  y  z  2  x  y y  z 



1 z
z 
 


 x  z  y  z  2  x  z y  z 

x
1  x2

x

y

z



y
1  y2



z
1  z2

Dấu “=” xảy ra khi x  y  z 



3
2

1
3