Tải bản đầy đủ (.docx) (31 trang)

dãy phân số quy luật

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.5 KB, 31 trang )

DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT
I. LÝ THUYẾT
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
(M �0)
(M � 0, A �B )
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.
A C A.C
. =
(B, D �0)
B
D B.D
c. Nhân các phân số:

A C A.D
: =
(B, C , D � 0)
B.C
d. Chia 2 phân số: B D
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a c c a
+ = +
d b (b, d � 0)
- Phép cộng: b d


a c c a
. = .
b
d d b (b, d � 0)
- Phép nhân:
b. Tính chất kết hợp :

a c� m a �
c m�



+ = +�
�+ �
�+ �


� n
� (b, d, n � 0)


b d�
b �
d
n�

- Phép cộng :

a c �m a �
c m�




. = .�
�. �
�. �


� (b, d, n � 0)


b d�
n
b �
d n�


- Phép nhân:
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):

a c�
m a m c m


+ �
. = .. + .



�n

b d�
b n
d n (b, d, n � 0)


II. BÀI TẬP
n
1
1
=  Áp dụng công thức: a.(a + n) a a + n


Chứng minh công thức:
Bài 1.

Tính tổng

1
1
1
1
1
= 1=
1.2
2 ; ; …. ; 100.101 100 101

Hướng dẫn phân tích:

Hướng dẫn giải


1
1
1
1
+
+
+ ... +
100.101
Ta có: 1.2 2.3 3.4



�1
1 1�
1 1�
1 1�
1�
1
1
100












=�
+
+
+
...
+
= =
















1 2� �
2 3� �
3 4�
100 101� 1 101 101




S=
Bài toán tổng quát: Tính tổng:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)




1 1� �
1 1�
1 1�
1
1 �
1
1
n










=�
+�
+
+
...
+
=
=
�- �









� �
� �

� 1 n +1 n +1


1 2�
2 3�

3 4�
n n + 1�



Bài 2.

Tính tổng:

( dạng toán áp dụng trực tiếp)

Hướng dẫn phân tích: ; ; ; … ;
Hướng dẫn giải

1 1 1 1 1 1
1
1
1
100
= - + - + - + ... + = 1=
1 3 3 5 5 7
99 101
101 101
Bài toán tổng quát:
S=
Tính tổng:

2
2
2

2
2
+
+
+ ... +
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
n.(n + 2)

(n lẻ)

1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
= - + - + - + ... + = 1=
1 3 3 5 5 7
n n +2
n +2 n +2

1
1
1
1
1
+
+
+

+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
Bài 3. Tính tổng:
( dạng toán cần nhân thêm với một số )
D=

2
1 1
2
1 1
2
1
1
= = - ;
=
Hướng dẫn phân tích: 2.4 2 4 ; 4.6 4 6 … ; 98.100 98 100
Hướng dẫn giải


D=

1
1
1
1
1
+
+
+

+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100

�1

1
1
1
1 �

2D = 2.�
+
+
+
+
...
+



2.4 4.6 6.8 8.10
98.100�



2D =

2
2

2
2
2
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100

1 1 1 1
1
1
1
1
2D = - + - + ... + + 2 4 4 6
96 98 98 100
1
1
49
49
2D = =
�D =
2 100 100
200
Bài 4. Tính tổng:

N =

1 1 1

1
1
1
+ + + + + ... +
3 6 12 20 30
9900

( dạng toán cần phân tích mẫu )

1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1
=
= - ; =
= =
= Hướng dẫn phân tích: 6 2.3 2 3 12 3.4 3 4 ; 20 4.5 4 5 ; …
1
1
1
1
=
= 9900 99.100 99 100
Hướng dẫn giải

N =


1 1 1
1
1
1
+ + + + + ... +
3 6 12 20 30
9900

N =

1 1 1 1 1
1
1
+ - + - + ... + 3 2 3 3 4
99 100

N =

1 1
1
1 49 247
+ = +
=
3 2 100 3 100 300

Bài 5. Tính tổng:
a)

b)


c)

d)
Hướng dẫn giải

a)

A=

3
3
3
3
+
+
+ ... +
5.8 8.11 11.14
2006.2009


A=

1 1 1 1
1
1
1
1
- + + + ... +
5 8 8 11 11 14
2006 2009


A=

1
1
2004
=
5 2009 10045

b)

4B =

4
4
4
4
+
+
+ ... +
6.10 10.14 14.18
402.406

4B =

1 1
1
1
1
1

1
1
+ + + ... +
6 10 10 14 14 18
402 406

4B =

1
1
100
25
=
�B =
6 406 609
609

c)
�5

5
5
5 �

C = 2.�
+
+
+ ... +




7.12 12.17 17.22
502.507�




1 1
1
1
1
1 �

C = 2.�
+
+
...
+



7 12 12 17
502 507�




1
1 �
500

1000

C = 2.�
= 2.
=
��


7 507�
3549 3549


d)
�1
1
1
1 �


D = 4.�
+
+
+
...
+




8.13

13.18
18.23
253.258


�5

5
5
5 �

5D = 4.�
+
+
+
...
+



8.13 13.18 18.23
253.258�




1 1
1
1
1

1
1
1 �

5D = 4.�
+ + + ... +
��

8 13 13 18 18 23
253 258�



� 125
1
1 �
25

5D = 4.�
=

�D =



8
258
258



258

Bài 6. Tính tổng:

a)

b)

B=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
10.9 18.13 26.17
802.405


c)

C =

2
3
2
3
2

3
+
+ ... +
4.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405
Hướng dẫn giải

a)

A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.9 9.7 7.19
252.509


2 �1
1
1
1 �

A = .�
+
+

+
...
+


2�
2.9 9.7 7.19
252.509�


�1
1
1
1 �


A = 2.�
+
+ ... +
� +



4.9 9.14 14.19
504.509�


2 �5
5
5

5 �

A = .�
+
+ ... +
� +

5�
4.9 9.14 14.19
504.509�


2�
1 1 1 1
1
1
1
1 �


A = .�
+
+
+
...
+



5�

4
9
9
14
14
19
504
509


� 101
2�
1
1 �

A = .�
=


5�
4 509�

� 1018

b)

B=

1
1

1
1
+
+
+ ... +
10.9 18.13 26.17
802.405

�1
1
1
1 �


B = 2�
+
+
+
...
+




10.18 18.26 26.34
802.810�

2� 8
8
8

8 �


B= �
+
+
+
...
+




8�
10.18 18.26 26.34
802.810�
1 �1
1
1
1
1
1
1
1 �


B= �
+ + + ... +
� �



4�
10 18 18 26 26 34
802 810�
1 �1
1 �
2


B= �
=



� 81
4�
10 810�

c)

C =

2
3
2
3
2
3
+
+ ... +

4.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405

�2
2
2 �


C =�
+ .. +
� +



4.7 7.10
301.304�


�3

3
3 �


+
+
...
+




5.9 9.13
401.405�





2 �3
3
3 �
3�4
4
4 �



C = �
+ .. +
- �
+ ... +
� +
� +


� 4�

3�
4.7 7.10
301.304�

5.9 9.13
401.405�



2�
1 1 1 1
1
1 �
3�
1 1 1 1
1
1 �




C = �
+
+
...
+
+
+
...
+





� 4�

3�
4 7 7 10
301 304�
5 9 9 13
401 405�


2�
1
1 �
3�
1
1 �





C = �








3�

4 304� 4 �
5 405�

C =

25
4
67
=
152 27 4104

Bài 7. Tính tổng:

D=

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12

Hướng dẫn phân tích:

2
1
1

2
1
1
2
1
1
=
=
=
1.2.3 1.2 2.3 ; 2.3.4 2.3 3.4 ; ….; 10.11.12 10.11 11.12
Hướng dẫn giải

D=

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12

1� 2
2
2
2 �



D= �
+
+
+ ...... +




2�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12�
1�1
1
1
1
1
1 �


D= �
+
+
...
+



2�
1.2. 2.3 2.3 3.4
10.11 11.12�


� 11.12 - 2
1�1
1 �
65

D= �
=
=




2�
1.2. 11.12� 4.11.12
264

S=
Bài toán tổng quát: Tính tổng

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)



1�1
1
n(n + 3)


S= �
=



� 4(n + 1)(n + 2)
2�
1.2 (n + 1)(n + 2)�

Bài 8. Tính nhanh tổng sau:

a)

A=

1
1
1
+
+ ... +
5.6 6.7
24.25

b)


B=

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101


c)
e)
g)

C =

52
52
52
+
+ ... +
1.6 6.11
26.31

E =


4
4
4
4
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101

G=

2
2
2
2
2
+ + + +
15 35 63 99 143

d)
f)

D=
F =

4
4
4
4

+
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66

1 1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
7 91 247 475 755 1147

Hướng dẫn giải


�1
1 1� �
1 1�
1�
1 1
4







A =�
+
+
...
+
=
=
�- �






� 5 25 25


5 6�
6 7�
24 25�

� �


a)

�1


1 1� �
1 1� �
1 1�
1�
1
100




B =�
+�
+�
+ ... + �
�- �
�- �
�- �
� =
1
=













1 3� �
3 5� �
5 7�
99 101�


101 101
b)
�5
� 1 1 1
5
5
5 �
1
1
1
1�




C = 5�
+
+ .... +
= 5�
1- + + + ... + � +








1.6 6.11 11.16
26.31� � 6 6 11 11 16
26 31�

c)
� 1�
30 150


C = 5�
1= 5. =




31
31
� 31�

d)

�1
1
1
1 �



D = 4�
+
+
+
...
+




11.16 16.21 21.26
61.66�


�5

5
5
5 �

5D = 4�
+
+
+
...
+




11.16 16.21 21.26
61.66�


�1
� �1

1
1
1
1
1�
1�


5D = 4�
+ + ... + = 4�
� � �



11 16 16 21
61 66�
11 66�

� �


55

4
2
�D =
=
11.66
66 33
�2
� 1�
2
2
2 �
200




E = 2�
+
+ ... +
= 2�
1=
� +







1.3 3.5 5.7

99.101� � 101� 101

e)
5D = 4.

f)

F =

6F =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.7 7.13 13.19
31.37

6
6
6
6
+
+
+ ... +
1.7 7.13 13.19
31.37


6F = 1-

1 1 1
1
1
+ + ... + 7 7 13
31 37

6F = 1-

1
36
6
=
�F =
37 37
37


g)

G=

2
2
2
2
2
1 1 10

+
+
+
+
= =
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 3 13 39

Bài 9. Tính tổng
�3
3
3
3 �


A =�
+
+ ... +
� +



1.8 8.15 15.22
106.113�


� 25

25
25 �



+
+ ... +



50.55 55.60
95.100�



Hướng dẫn giải

B=

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.8 8.15 15.22
106.113

�7

7
7
7 �


� 7B = 3�
+
+
+
...
+



1.8 8.15 15.22
106.113�



1 1 1 1
1
1
1
1 �


� 7B = 3�
+ + + ... +
��


1 8 8 15 15 22
106 113�


� 1 �
112


7B = 3�
1= 3.




113
� 113�

�B =

3.112
48
=
7.113 113

( 1)

25
25
25
+
+ ... +
50.55 55.60
95.100
Ta có :

�5

5
5 �

� C = 5�
+
+
...
+



50.55 55.60
95.100�


�1
1 �
5


� C = 5�
=
� �
� 100

50 100�

.

1
�C =
( 2)
20
48
1
847
A =B - C =
=
1)
2)
(
(
113 20 2260
Từ

ta có :
C =

Bài 10. Tính

A=

1
9
9
9
+
+
+ ... +

19 19.29 29.39
1999.2009
Hướng dẫn giải

A=

1
9
9
9
+
+
+ ... +
19 19.29 29.39
1999.2009


�A

9
9
9
9


 ... 
9.19 19.29 29.39
1999.2009

�10


10
10
10


� 10A = 9�
+
+
+ ... +



9.19 19.29 29.39
1999.2009�




1
1 �

� 10A = 9�
��

9 2009�



10A = 9.


2000
2000
200
=
�A =
9.2009 2009
2009

Bài 11. Tính tổng

A=
a)

2 2
2
2
+ +
+ ... +
6 66 176
(5n - 4)(5n + 1)

b)

B = 1+

Hướng dẫn giải





1
1
1
1


A = 2� +
+
+ ... +



6 66 176


( 5n - 4) ( 5n + 1) �






1
1
1
1


A = 2� +

+
+




1.6
6.11
11.16
5
n
4
5
n
+
1


(
)(
)�




�5
5
5
5


5A = 2�
+
+
+





1.6
6.11
11.16
5
n
4
5
n
+
1


(
)
(
)






1 1 1 1
1
1
1
1 �

5A = 2�
+
+
+
...
+
+





1
6
6
11
11
16
5
n
4
5
n
+

1


(
)




1 �
5n
2n

5A = 2�
1
= 2.


F
=


5n + 1
� 5n + 1�

5n + 1

B = 1+

3

3
3
3
+ + + ... +
15 35 63
9999

b) Ta có :
3
3
3
3
B = 1+
+
+
+ ... +
3.5 5.7 7.9
99.101
�1

1
1 �

G = 1+ 3�
+
+
...
+




3.5 5.7
99.101�


�2
2
2 �


� 2G = 2 + 3�
+ ... +
� +



3.5 5.7
99.101�


9
9
9
9
+
+
+ ... +
45 105 189
29997





1
1�
98
98
300
150

� 2G = 2 + 3�
= 2 + 3.
= 2+
=
��G =



3
101
3.101
101
101


101

Bài 12. Tính tổng:
1
1

1
6
A=
+
+
+ ... +
2.15 15.3 3.21
87.90
a)
b)

B=

5
4
3
1
13
+
+
+
+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Hướng dẫn giải

Ta có :

A=

6

6
6
6
+
+
+ ... +
12.15 15.18 18.21
87.90

�3
�1
3
3 �
1
1
1
1
1�





M = 2�
+
+
...
+
=
2

+
+
...
+








12.15
15.18
87.90
12
15
15
18
87
90

� �

�1
� 26
1�

= 2�
=

� �

12 90�

� 180

B=

5
4
3
1
13
+
+
+
+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

b)
B
5
4
3
1
13
=
+
+
+

+
7 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
B 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 13
� = - + + + + = =
7 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 28
7.13 13
�B =
=
28
4

2a + 1
2a + 3
2
=
a.(a + 1) ( a + 1) .(a + 2) a(a + 2)

 Áp dụng công thức:
Chứng minh công thức:
2a + 1
2a + 3
1
1

= +
a.(a + 1) ( a + 1) .(a + 2) a a + 1
Bài 13.

�1
1 �
1
1
2



+
= =



� a a + 2 a(a + 2)
a + 1 a + 2�


Tính tổng

38 9 11 13 15 17
197
199
+ + + - ... +
25 10 15 21 28 36
4851 4950
a)

3
5
7
201
B


 ... 
1.2 2.3 3.4
100.101
b)
A=


c)

C = 3.

1
1
1
1
1
- 5.
+ 7.
- ... + 15.
- 17.
1.2
2.3
3.4

7.8
8.9
Hướng dẫn giải

A 38 9 11 13 15
197
199
=
+ + + ... +
9702 9900
a) 2 50 20 30 42 56
A 38
9
11 13 15
197
199
=
+
+
+ ... +
2 50 4.5 5.6 6.7 7.8
98.99 99.100







�1

A
38 �
1 1� �
1 1� �
1 1� �
1 1�
1�








=
+�
+
+
+
+
+
+
...
+
+











� �




2 50 �
4 5�
5 6�
6 7�
7 8�
98 99�

� �
� �



�1

1 �


+




99 100�



A 38 1
1
76 + 25 - 1
=
+ =
= 1� A = 2
2 50 4 100
100
� 1�


�1
1 1�
1 1�
1�




1
100








B =�
1
+
+
+
+
...
+












� �
� �

�= 1- 101 = 101
2�
2 3�

3 4�
100 101�


b)
c)

C = 3.

=

1
1
1
1
1
- 5.
+ 7.
- ... + 15.
- 17.
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9

3
5
7
15 17

+
- ... +
1.2 2.3 3.4
7.8 8.9


1 1�

=�
�+ �



1 2�




1 1� �
1 1�
1 1�




+�
- ... + �
�+ �
�+ �
�+ �




� �





2 3�
3 4�
7 8�




1 1�
1 8


�+ �
=
1
=



8 9�

9 9


Dạng toán tìm tỉ số

4
6
9
7
A
A=
+
+
+
7.31 7.41 10.41 10.57
Bài 14. Tính B biết :



B=

7
5
3
11
+
+
+
19.31 19.43 23.43 23.57
Hướng dẫn giải

A

4
6
9
7
=
+
+
+
 5 31.35 35.41 41.50 50.57
� �1
�1
�1
A �
1
1�
1�
1�
1�
1
1







=�
+�
+�

+�
=
� � � � �



� �
� �
� 31 57



5 �
31 35�
35 41�
41 50�
50 57�

� �


B
7
5
3
11
=
+
+
+

 2 31.38 38.43 43.46 46.57
�1
�1
� �1
B �
1
1�
1�
1�
1�
1
1







=�
+�
+�
+�
=
� � � � �



� �
� �

� 31 57



2 �
31 38�
38 43�
43 46�
46 57�

� �

A B
A 5
= � =
2
B 2
Khi đó : 5
A
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
1.300 2.301 3.302
101.400 và
Bài 15. Tính tỉ số B biết :

B

1
1
1
1


 ... 
1.102 2.103 3.104
299.400
Hướng dẫn giải

Ta có
299
299
299
+
+ ... +
1.300 2.301
101.400


� �
� �

�1

1
1 �

1
1 �
1
1 �
1 �







299A = �
+
+
+
...
+













1 300�
2 301�
3 302�
101 400�

� �
� �



� 1 1
� �1

1�
1
1 �


� 299A = �
1+ + + ... +
- �
+ ... +

� +




101�
300 301

400�
� 2 3
� �

299A =

101
101
101
101
+
+
+ ... +
1.102 2.103 3.104
299.400

� 1 �
� �
� �

�1

1
1�
1
1 �
1 �








101B = �
1
+
+
+
...
+




� �






2 103�
3 104�
299 400�
� 102�
� �
� �




� 1 1
� �1

1�
1
1 �


101B = �
1+ + + ... +
- �
+ ... +

� +




101�
300 301
400�
� 2 3
� �

101B =

Khi đó :

299A = 101B �


A 101
=
B 299

a
Dạng toán mà dãy phân số có dạng a + 1

5 11 19 29 41 55 71 89
A= + + + + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90
Bài 16. Tính tổng
Hướng dẫn giải

5 11 19 29 41 55 71 89
A= + + + + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90


� 1�
� 1�
� 1�
� 1�










A =�
1- �
+�
1
+
1
+
....
+
1�















6
12
20

90

� �
��




1 1
1
1�


A = 1 + 1 + ... + 1- �
+
+
+
...
+




6 12 20
90�

�1
1
1
1 �



A = 8- �
+
+
+
...
+




2.3 3.4 4.5
9.10�



1 1 1 1 1 1
1 1�

A = 8- �
+ - + ... + �- + �

2 3 3 4 4 5
9 10�



1 1�
2 38



A = 8- �
= 8=




2 10�
5
5


1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
+ + + + + + + + +
Bài tập tự luyện: Tính tổng: 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

Bài 17. Tính tổng

B=

A=

1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + +
+� +

+
+
2 4 8 16 32
256 512 1024

1 1 1
1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
+
3 9 27 81 243
234 729

Hướng dẫn phân tích:

1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
= 1- ; = - ; = - ;...;
=
;

=
2
2 4 2 4 8 4 8
256 256 512 1024 512 1024
1
1
1 1
1 1
1
.2 = 1; .2 = ; .2 = ;
.2 =
4
2 8
4 1024
512
hoặc 2
Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

A=

1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + +
+� +
+

+
2 4 8 16 32
256 512 1024

A = 1-

1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
+ - + - + +� +
+
2 2 4 4 8 8 16
256 512 512 1024

A = 1-

1
1023
=
1024 1024

Cách 2:

A=

1 1 1 1
1
1

1
1
+ + + +
+� +
+
+
2 4 8 16 32
256 512 1024



1 1 1 1
1
1
1
1 �


2A = 2.�
+� +
+
+
�+ + + +



2
4
8
16

32
256
512
1024



1 1 1 1
1
1
1
2A = 1 + + + + +
+� +
+
2 4 8 16 32
256 512
A = 2A - A = 1+



1 1
1
1
1 �


+
+�
+
+

+



2 4
256 512 1024�



1
1023
=
1024 1024

A = 1-

b)

1 1
1
1
+ +� +
+
2 4
256 512

1 1 1
1
1
1

1
+ +
+ +
+� +
+
3 9 27 81 243
234 729

B=



1 1 1
1
1
1
1 �

3B = 3.�
+
+
+
+
+�
+
+



3 9 27 81 243

234 729�



3B = 1 +

1 1 1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
3 9 27 81 243
234

3B - B = 1 +

2B = 1B ==

1 1 1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
3 9 27 81 243
234



1 1 1
1
1
1
1 �



+ +
+� +
+
�+ +



3 9 27 81 243
234 729�


1
728
=
729 729

728
364
=
729.2 729


Bài 18. Tính tổng:
1 1 1
1
1
1
A= + + +
+
+
2 4 8 16 32 64
a)

b)

B=

5 5
5
5
5
5
+ +
+
+
+
2 6 18 54 162 486

Hướng dẫn giải

a)


A=

1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64

A = 1-

1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + + +
2 2 4
4 8 8 16 16 32 32 64

A = 1-

1
63
=
64 64


b)

B=

5 5
5
5
5
5
+ +
+
+
+
2 6 18 54 162 486




1 1
1
1
1
1 �

B = 5.�
+
+
+
�+ +



2 6 18 54 162 486�




3 3
3
3
3
3 �

3B = 5.�
+
+
+
+
+



2 6 18 54 162
486�



3 1 1
1
1
1 �



3B = 5.�
+
+
+
+
+




2 2 6 18 54 162�



3 1 1
1
1
1 �
1 1
1
1
1
1 �




3B - B = 5.�

+
+
- 5.�
+
+
+
�+ + +
�+ +






2 2 6 18
54 162� �
2 6 18 54 162
486�




3 �
1 1
1
1
1 �


2B = 5. �

+
+
+
+
+



2 �
2 6 18 54 162�







1 1
1
1
1
1 �



+
+
+
+
+






2
6
18
54
162
486





3
1 �
1820
910

2B = 5. � =
�B =


2
486
243



243

Tự luyện (không giải)
 Tính tổng:
a)

e)

b) c)

3+

d)

3
3
3
3
+
+
+
5 25 125 625

g)

h)

Dạng toán thu gọn một dãy phân số phức tạp
1 1
1

1
+ +L +
+
3 5
97 99
A=
1
1
1
1
1
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
Bài 19. Tính tổng:
1+

Hướng dẫn giải

Biến đổi tử số:

M = 1+

1 1
1
1
+ +L +

+
3 5
97 99


� 1�
� �

1
1� �
1 1� �
1
1�



M =�
1+ �
+�
+�
L +�
+

�+ �
�+ �










3 97�
5 95�
49 51�
� 99�
� �
� �
� �

�100 �
�100 �
�100 �
� �100 �










M =�
+
+
L

+












� �
� �
99.1�
97.3�
95.5�
51.49�

� �

�1

1
1
1 �

M = 100.�
+

+
+
...
+



99.1 97.3 95.5
51.49�



Biến đổi mẫu số:

N =

1
1
1
1
1
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1

�1
� �1


�1

1 �
1 �
1 �



N =�
+�
+
+L +�
+
� +








1.99 99.1�
3.97 97.3�
49.51 51.49�

� �




�1

1
1
1 �

N = 2.�
+
+
+
...
+



99.1 97.3 95.5
51.49�


1 1
1
1
+ +L +
+
M
100
3 5
97 99
A=

=
=
= 50
1
1
1
1
1
N
2
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1+

1 1 1
1
1
+ + +L +
+
99 100
B=2 3 4
99 98 97
1
+
+
+L +

1
2
3
99
Bài 20. Tính

Hướng dẫn giải
Biến đổi mẫu số:

N =

99 98 97
1
+
+
+L +
1
2
3
99

N =

100 - 1 100 - 2 100 - 3
100 - 99
+
+
+L +
1
2

3
99


100 100 100
100�


N =�
+
+L +
� +



2
3
99 �
�1


1 2 3
99�


� + + +L + �


1 2 3
99�






1 1
1�

N = 100 + 100.�
+
+
L
+
- 99



2 3
99�



1 1
1�

N = 1 + 100.�
� + +L + �




2 3
99�



N =


100
1 1
1�

+ 100.�
� + +L + �


100
2 3
99�




1 1
1
1 �


N = 100.�
+

+
L
+
+




2 3
99 100�


1 1 1
1
1
+ + +L +
+
99 100
B=2 3 4
99 98 97
1
+
+
+L +
1
2
3
99
1 1 1
1

1
+ + +L +
+
1
2 3 4
99 100
B=
=

� 100
1 1 1
1
1 �

100.�
+
� + + +L +


2 3 4
99 100�


Dạng toán tìm quy luật của dãy

1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...

Bài 21. Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy: 3 8 15 24 35
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35

2 2 32 4 2 5 2 6 2
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
Do đó số hạng thứ 98 có dạng 98.100 .

Ta cần tính:
Bài 22.

A=

22 32 42 52 62
992
99
� � � � L
=

1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ; ; ; ; ...
Hướng dẫn giải

Ta nhận thấy 6 = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16; 336 = 16.21
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.


Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng:
Mẫu của số thứ 100 của dãy số:

Ta cần tính tổng

A=
=

A=

( 5n - 4) ( 5n + 1) .

( 5.100 - 4) ( 5.100 + 1) = 496.501

1
1
1
1
+

+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501

1 1
1
1
1
+ +
+
+ ... +
6 66 176 336
2484966

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501

� 1�1
1�
1 1�
1�
1 1�

1�
1�
1
1 �










= �
+
+
+�
+










� 5�




5�
1 6�
6 11�
11 16�
5�
496 501�

� 5�
1 � 1 1 1
1
1
1
1 �

= .�
1- + + + + ... +

5 �
6
6
11
11
16
496
501



1� 1 �
1 500 100


= �
1= � =



� 5 501 501
5� 501�

Dạng phân số kết hợp dãy số trong tập �

1 + 2 + 3 + ... + n =

Bài 23. Tính tổng

n(n + 1)
2

�1
1
1 �
1- 3 - 5 - ... - 49


A =�
+
+

...
+
.




4.9 9.14
44.49�
89


Hướng dẫn giải
Đặt :

B=

� 5B =

�B =



1
1
1
+
+ ... +
4.9 9.14
44.49



5
5
5
1 1�
45


+
+ ... +
=�
=
��
� 4.49
4.9 9.14
44.49 �
4 49�


9
4.49

C =

1- 3 - 5 - ... - 49 1- ( 3 + 5 + ... + 49) 1- 624 - 623
=
=
=
89

89
89
89





3 + 49�
49 - 3




3 + 5 + ... + 49 = �
+ 1�
= 26.24 = 624








� 2 �
� 2


Khi đó :


A = B.C =

9 - 623 - 9
.
=
4.49 89
28

1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( - - - )(63.1,2 - 21.3,6)
2 3 7 9
1
2
+
3
4 + ... + 99 - 100
Bài 24. Tính
Hướng dẫn giải
Ta có: 63.1,2 - 21.3,6 = 0
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( - - - )(63.1,2 - 21.3,6)
2 3 7 9

=0
1- 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100
1
1
1
A  1  (1  2)  (1  2  3)  ...  (1  2  ...  20)

2
3
20
Bài 25. Tính tổng
Hướng dẫn giải

1 2.3 1 3.4
1 20.21
3 4 5
21
A = 1+ .
+ .
+ ... + .
= 1+ + + + ... +
2 2
3 2
20 2
2 2 2
2
Ta có:
A=

1
1
2 + 3 + 4 + ... + 20 + 21) = .230 = 115
(
2
2

1

1
1
B  1  (1  2)  (1  2  3)  ... 
(1  2  ...  2016)
2
3
2016
Bài 26. Tính tổng
Hướng dẫn giải

1 2.3 1 3.4
1 2016.2017
B = 1+ .
+ .
+ .... +
.
2 2
3 2
2016
2
Ta có:
3 4
2017 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2017
+ + .... +
=
2 2
2
2
1 ( 2017 + 2) ( 2017 - 2 + 1)
2019.2016

=
=
2
2
4
B = 1+

Bài 27.

Tính:

C

1
1
1

 ... 
1 2  3 1 2  3  4
1  2  ...  59
Hướng dẫn giải


C

=

1
1
1

1


 ... 
 1  3 .3  1  4  .4  1  5  .5
 1  59  .59
2
2
2
2

�1
2
2
2
2
1
1
1 �


+
+
+ ... +
= 2�
+
+ ... +
� +




3.4 4.5 5.6
59.60
3.4 4.5 5.6
59.60�



1 1�
19 19


= 2�
= 2. =




3 60�
60 30


Bài 28. Tính:

D  50 

50 25 20 10 100
100
1
   

 ... 

3
3
4 3 6.7
98.99 99
Hướng dẫn giải




50 25 20 10�
100 100
100
100 �



D =�
50 +
+
+
+ �
+
+
+
...
+
+




� �



3
3
4
3�
6.7 7.8
98.99 99.100�


�1
�1

1
1
1
1�
1
1 �



D = 100�
+
+
+

+ 100�
+ ... +
� +
� +





1.2 2.3 3.4 4.5 5.6�
6.7 7.8
99.100�



�1
� 1 �
1
1
1 �





D = 100�
+
+
+
...

+
=
100.
1= 99








1.2 2.3 3.4
99.100�
100�



Dãy tích

( a - 1) ( a + 1) + 1 = a

2

3 8 15 9999
. . ....
Bài 29. Tính tích: 4 9 16 10000
Hướng dẫn phân tích: ; ; ....;
Hướng dẫn giải


A=

=

3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5
. . ....
�=
22 32 42 1002
22 32 42

99.101
1.2.3....99 3.4.5....101
=
.
2
100
2.3.4....100 2.3.4....100

1 101 101
.
=
100 2
200

1.3 2.4 3.5
A ��=
22 32 42
Bài toán tổng quát:
=


(n - 1) �
(n + 1)
(n
2
n

1.2.3....( n- 1) 3.4.5....( n+ 1)
1 n +1 n +1
= .
=
.
2.3.4....n
2.3.4....n
n 2
2n

2)


� 1�
�� 1 �
� 1�

1 �









B =�
1.�
11....�
1�















21
28
36
1326









Bài 30. Tính tích:

Hướng dẫn phân tích: .
Ta chưa nhìn thấy quy luật nào nhưng khi nhân 2 vào cả tử và mẫu với 1 phân
thức ta được

20.2 40 5.8 27 54 6.9
1325 2650 50.53
=
=
=
=
=
=
21.2 42 6.7 ; 28 56 7.8 ; ...; 1326 2652 51.52
Hướng dẫn giải
� 1�
�� 1 �

� 1�
� �

1 �
20 27 35 1325
5.8 6.9 7.10 50.53








B =�
1
.
1
1
....
1




= . . ....
=
.
.
....





� 28�
� 36�
� 1326�
� 21�

��


� �
� 21 28 36 1326
6.7 7.8 8.9
51.52

=

5.6.7....50 8.9.10.....53
5 53 265
.
= . =
6.7.8....51 7.8.9.....52
51 7
357

Bài 31.

Tính tích

22 32 42
202
.
.
...
1.3 2.4 3.5 19.21
a)
� 1�


� 1�
� 1�
�� 1 �







C =�
1- �
1
1
...�
1�
















4
9
16
400








c)
A=

d)

D

22 32 42 52 62 72 82 92
. . . . . . .
3 8 15 24 35 48 63 80

b)

B=

12 22 32

102
.
.
...
1.2 2.3 3.4 10.11

8 15 24 2499
E = . . ...
9 16 25 2500
e)
Hướng dẫn giải

A=

a)
B=

b)

2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20) ( 2.3.4...20)
20.2 40
.
.
....
=
=
=
1.3 2.4 3.5 19.21 ( 1.2.3....19) ( 3.4.5...21)
21
21


1.1 2.2 3.3 10.10 ( 1.2.3....10) ( 1.2.3...10)
1
.
.
....
=
=
1.2 2.3 3.4 10.11 ( 1.2.3...10) ( 2.3.4...11)
11

( 1.2.3...19) ( 3.4.5...21)
3 8 15 399 1.3 2.4 3.5 19.21
21
21
C = . . ....
=
.
.
...
=
=
4 9 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20) ( 2.3.4.5...20) =
20.2 40
c)
( 2.3.4...8.9) ( 2.3.4...8.9) 9.2 9
2.2 3.3 4.4 8.8 9.9
D=
.
.

....
.
=
=
=
1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 ( 1.2.3...7.8) ( 3.4.5...9.10)
10
5
d)


E =

e)

2.4 3.5 4.6 49.51 ( 2.3.4...49) ( 4.5.6...51)
2.51 17
.
.
....
=
=
=
3.3 4.4 5.5 50.50 ( 3.4.5...50) ( 3.4.5...50)
50.3 25

Bài 32. Tính tổng






��

1 �
1
1
1











1
1
1
...
1











� 1 + 2 + 3 + 4�
� 1 + 2 + 3 + ... + 2016�
� 1 + 2�

� 1 + 2 + 3�


��


Hướng dẫn giải






C =�
1�






C =�

1�





��
� �





















1

1
1












.
1
.
1
....
1�












1
+
2
.2
1
+
3
.3
1
+
4
.4
( ) �
(
)
(
)


















��



��
� �
2
2
2
� 1�
� 1�


1�
1







.�
1- �
.�

1....�
1�













3�� 6�� 10� � 1008.2017�






1




1
+
2016

.2016
(
)





2

2 5 9
2017.2016 - 2 4 10 18 2016.2017 - 2
= . . .....
= . . ....
3 6 10
2016.2017
6 12 20
2016.2017
C =

1.4 2.5 3.6 2015.2018 1004
.
. ....
=
2.3 3.4 4.5 2016.2017 3009

Bài 33. Tính:






��

1 1�
1 1�
1 1�
1 1�







A =�
...











2 3�
2 5�

2 7�
2 99�





��


a)

b)

B=

3 8 15
899
. 2 . 2 ..... 2
2
2 3 4
30

Hướng dẫn giải

A=

( 1.3.5....97)
1 3 5
97

1
.
.
....
= 49
= 49
2.3 2.5 2.7 2.99 2 .( 3.5.7...99)
2 .99

B=

3 8 15
899 1.3 2.4 3.5
29.31 1.2.3....29 3.4.5...31
1 31 31
. 2 . 2 ..... 2 =
.
.
.....
=
.
= . =
2
2 3 4
30
2.2 3.3 4.4
30.30 2.3.4....30 2.3.4....30 30 2
60

a)


b)

Bài tập tương tự:

Bài 34. Tính:

C =

22 32 42
502
.
.
.....
1.3 2.4 3.5
49.51

� 1999�

� 1999�
� � 1999�






1+
1+
...�

1+












1 �
2 � � 1000�


A=
� 1000�

� 1000�
� � 1000�






1+
1+

...�
1+












1 �
2 � � 1999�




Hướng dẫn giải

Ta có:


��
2000 2001 2002 2999�
1001 1002 1003 2999�





A =�
.
.
...
:
.
.
....







2
3
1000�
2
3
1999�
�1
�� 1

�� 1.2.3...1999 �
� 1001.1002....1999
2000.2001.2002...2999�




A =�
.


=
=1





1001.1002....2999�
� 1.2.3.4...1000
��
� 1001.1002...1999

Bài 35. Tính






1 �
1
1









A =�
1
1
...
1












� 1 + 2�
� 1 + 2 + 3� � 1 + 2 + 3 + ... + n �

Hướng dẫn giải




��







1
1
1
A�
1
1
... �
1




�  1  2  .2 �
�  1  3 .3 � �  1  n  .n �



��


2



2
��
2


� 2�
� 2�
� 2�
� �

2 �
4 10 18 n ( n + 1) - 2










=�
1
1
1
....
1


=
.
.
....







� 3.4�
� 4.5�




� 2.3�


� �
n ( n + 1)
� 2.3 3.4 4.5
� n ( n + 1) �

=



1.2.3...(n- 1)�

4.5....(n + 2)�
1.4 2.5 3.6 ( n - 1) ( n + 2)


� n +2 n +2
.
.
...
=�
=


2.3 3.4 4.5
n ( n + 1)
3.4.5...(n + 1)� =
( 2.3...n) �
n.3
3n

Bài 36.

Tính:

1 �
� 1 �
� 1 �
� 1 ��
A�
1
1

1
... �
1






� 1.3 �
� 2.4 �
� 3.5 � � 17.19 �
a)
� 1�
� 1 �
� 1 �� 1 �
B�
1 �
1 �
1 �
... �
1



21
28
36
1326 �








b)
Hướng dẫn giải
a, Ta có:

( 2.3.4...18) ( 2.3.4...18) 18.2 36
4 9 16 17.19 + 1 2.2 3.3 4.4 18.18 =
=
A=
.
.
....
=
.
.
...
19 =
1.2.3...17) ( 3.4.5...19)
(
1.3 2.4 3.5
17.19
1.3 2.4 3.5 17.19
19
b, Ta có:
20 27 35 1325 40 54 70 2650 5.8 6.9 7.10 50.53

B = . . ....
= . . ....
=
.
.
...
21 28 36 1326 42 56 72 2652 6.7 7.8 8.9 51.52
( 5.6.7...50) ( 8.9.10...53) 5.53
B=
=
( 6.7.8...51) ( 7.8.9...52) 51.7
Bài 37. Tính tích


� 1�
� 1�
� 1�� 1 �
A�
1 �
1 �
1 �
... �
1



� 2�
� 3�
� 4 � � 100 �
a)

1 �
� 1�
� 1�
� 1 ��
C �
1 �
1 �
1 �
... �
1



� 4�
� 9�
� 16 � � 10000 �
c)

� 1�
� 2�
� 3 � � 10 �
B�
1 �
1 �
1 �
... �
1 �


� 7�

� 7�
� 7�� 7 �
b)
d)

� 1�
� 1�
� 1 �� 1 �
D�
1 �
1 �
1 �
... �
1



� 3�
� 6�
� 10 � � 780 �



1  22 �
1  32 �
1  42 � �
1  2012 2 �
E � 2 �
...
� 2 �

� 2 ��

2
�2 �
�3 �
� 4 � � 2012 �
e)

Hướng dẫn giải

1 2 3 99
1
A = . . ....
=
2 3 4 100 100
a)
6 5 4 3 2 1 0 -1- 2 - 3
B= . . . . . . . . .
=0
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
b)


( 1.2.3....99) ( 3.4.5...101) 101
3 8 15 9999
1.3 2.4 3.5
99.101 =
I = . . ...
=
.
.
....
2.3.4...100) ( 2.3.4...100) =
100.2
4 9 16 10000 2.2 3.3 4.4 100.100 (
c)
101
=
200
2 5 9 779 4 10 18 1558 1.4 2.5 3.8 38.41
D = . . ...
= . . ....
=
.
.
....
3
6
10
780
6
12

20
1560
2.3
3.4
4.5
39.40
d)
( 1.2.3...38) ( 4.5.6...40.41) 41 41
=
=
=
( 2.3.4...39) ( 3.4.5....40) 39.3 117



1  22 �
1  32 �
1  42 � �
1  20122 �
E � 2 �
...
� 2 �
� 2 ��

2
�2 �
�3 �
� 4 � � 2012 �
e)
- 3 - 8 - 15 1- 20122

- 1.3 - 2.4 - 3.5 - 2011.2013
E =
.
.
....
=
.
.
....
2.2 3.3 4.4 2012.2012
2.2 3.3 4.4
2012.2012
( 1.2.3...2011) ( 3.4.5...2013)
2013
==2012.2
( 2.3.4....2012) ( 2.3.4...2012)

Dạng toán tính tổng với lũy thừa
Bài 38. Tính tổng
1 1
1
1
A = + 2 + 3 + ... + 100
7 7
7
7
a)

b)


B=

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 20
3 3
3
3


Hướng dẫn giải

A=

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7 7
7
7

1
1
1
1
1
1
A = 2 + 3 + 4 + ... + 100 + 101

7
7
7
7
7
7
A-

�1
�1
1
1� �
1
1�
1 � �
1
1 �




A =�
+�
+ ... + �
+�
�2 - 2 �
�3 - 3 �
�100 - 100 �
� - 101 �










7
7 7 �
7
7�
7
7�
7
7 �

� �


� �

6
7100 - 1
7100 - 1
.A =

A
=
7

7101
6.7100
B=

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 20
3 3
3
3

b)
1
1
1
1
1
1
B = 2 + 3 + 4 + ... + 20 + 21
3
3
3
3
3
3
B-

�1
�1

1
1� �
1
1�
1� �
1
1�




B =�
+�
+ ... + �
+�
�2 - 2 �
�3 - 3 �
�20 - 20 �
� - 21 �








3
3 3 �
3

3�
3
3�
3
3 �

� �


� �


2
320 - 1
320 - 1
� .B =

B
=
3
321
2.320
Bài 39.

Tính tổng
0

1

2


2017

� 1� � 1� � 1�
�1�
A�
 � �
 � �
 � ...  �
 �
� 7� � 7� � 7�
�7�
a)

1 1 1 1
1
1
B    2  3  4  ...  50  51
3 3 3 3
3
3
b)
3 3
3
3
C = + 4 + 7 + ... + 100
5 5
5
5
c)

Hướng dẫn giải
0

1

2

2017

� 1� � 1� � 1�
�1�
A�
 � �
 � �
 � ...  �
 �
� 7� � 7� � 7�
�7�
a)

A = 1-

1 1
1
1
1
+ 2 - 3 + ... + 2016 - 2017
7 7
7
7

7

1
1 1
1
1
1
1
A = - 2 + 3 - 4 + ... + 2017 - 2018
7
7 7
7
7
7
7




�- 1
� �
1
- 1 1 �1 - 1�
1 �
1 �








D + D =�
+
+
+
...
+
+
+
1
� + �




2
2�
2017
2017 �
2018 �








7

7
7
7
7 �
7
7 � � 7 �

� �



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×