DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT
I. LÝ THUYẾT
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
(M �0)
(M � 0, A �B )
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.
A C A.C
. =
(B, D �0)
B
D B.D
c. Nhân các phân số:
A C A.D
: =
(B, C , D � 0)
B.C
d. Chia 2 phân số: B D
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a c c a
+ = +
d b (b, d � 0)
- Phép cộng: b d
a c c a
. = .
b
d d b (b, d � 0)
- Phép nhân:
b. Tính chất kết hợp :
�
a c� m a �
c m�
�
�
�
+ = +�
�+ �
�+ �
�
�
� n
� (b, d, n � 0)
�
�
b d�
b �
d
n�
�
- Phép cộng :
�
a c �m a �
c m�
�
�
�
. = .�
�. �
�. �
�
�
� (b, d, n � 0)
�
�
b d�
n
b �
d n�
�
�
- Phép nhân:
c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
�
a c�
m a m c m
�
�
+ �
. = .. + .
�
�
�
�n
b d�
b n
d n (b, d, n � 0)
�
II. BÀI TẬP
n
1
1
= Áp dụng công thức: a.(a + n) a a + n
Chứng minh công thức:
Bài 1.
Tính tổng
1
1
1
1
1
= 1=
1.2
2 ; ; …. ; 100.101 100 101
Hướng dẫn phân tích:
Hướng dẫn giải
1
1
1
1
+
+
+ ... +
100.101
Ta có: 1.2 2.3 3.4
�
�
�
�1
1 1�
1 1�
1 1�
1�
1
1
100
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
+
+
+
...
+
= =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2� �
2 3� �
3 4�
100 101� 1 101 101
�
�
S=
Bài toán tổng quát: Tính tổng:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
�
�
�
1 1� �
1 1�
1 1�
1
1 �
1
1
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
+�
+
+
...
+
=
=
�- �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� 1 n +1 n +1
�
�
1 2�
2 3�
3 4�
n n + 1�
�
�
Bài 2.
Tính tổng:
( dạng toán áp dụng trực tiếp)
Hướng dẫn phân tích: ; ; ; … ;
Hướng dẫn giải
1 1 1 1 1 1
1
1
1
100
= - + - + - + ... + = 1=
1 3 3 5 5 7
99 101
101 101
Bài toán tổng quát:
S=
Tính tổng:
2
2
2
2
2
+
+
+ ... +
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
n.(n + 2)
(n lẻ)
1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
= - + - + - + ... + = 1=
1 3 3 5 5 7
n n +2
n +2 n +2
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
Bài 3. Tính tổng:
( dạng toán cần nhân thêm với một số )
D=
2
1 1
2
1 1
2
1
1
= = - ;
=
Hướng dẫn phân tích: 2.4 2 4 ; 4.6 4 6 … ; 98.100 98 100
Hướng dẫn giải
D=
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
�1
�
1
1
1
1 �
�
2D = 2.�
+
+
+
+
...
+
�
�
�
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100�
�
�
2D =
2
2
2
2
2
+
+
+
+ ... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
1 1 1 1
1
1
1
1
2D = - + - + ... + + 2 4 4 6
96 98 98 100
1
1
49
49
2D = =
�D =
2 100 100
200
Bài 4. Tính tổng:
N =
1 1 1
1
1
1
+ + + + + ... +
3 6 12 20 30
9900
( dạng toán cần phân tích mẫu )
1
1
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1
=
= - ; =
= =
= Hướng dẫn phân tích: 6 2.3 2 3 12 3.4 3 4 ; 20 4.5 4 5 ; …
1
1
1
1
=
= 9900 99.100 99 100
Hướng dẫn giải
N =
1 1 1
1
1
1
+ + + + + ... +
3 6 12 20 30
9900
N =
1 1 1 1 1
1
1
+ - + - + ... + 3 2 3 3 4
99 100
N =
1 1
1
1 49 247
+ = +
=
3 2 100 3 100 300
Bài 5. Tính tổng:
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a)
A=
3
3
3
3
+
+
+ ... +
5.8 8.11 11.14
2006.2009
A=
1 1 1 1
1
1
1
1
- + + + ... +
5 8 8 11 11 14
2006 2009
A=
1
1
2004
=
5 2009 10045
b)
4B =
4
4
4
4
+
+
+ ... +
6.10 10.14 14.18
402.406
4B =
1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + ... +
6 10 10 14 14 18
402 406
4B =
1
1
100
25
=
�B =
6 406 609
609
c)
�5
�
5
5
5 �
�
C = 2.�
+
+
+ ... +
�
�
�
7.12 12.17 17.22
502.507�
�
�
�
�
1 1
1
1
1
1 �
�
C = 2.�
+
+
...
+
�
�
�
7 12 12 17
502 507�
�
�
�
�
1
1 �
500
1000
�
C = 2.�
= 2.
=
��
�
�
7 507�
3549 3549
�
d)
�1
1
1
1 �
�
�
D = 4.�
+
+
+
...
+
�
�
�
�
8.13
13.18
18.23
253.258
�
�
�5
�
5
5
5 �
�
5D = 4.�
+
+
+
...
+
�
�
�
8.13 13.18 18.23
253.258�
�
�
�
�
1 1
1
1
1
1
1
1 �
�
5D = 4.�
+ + + ... +
��
�
8 13 13 18 18 23
253 258�
�
�
�
� 125
1
1 �
25
�
5D = 4.�
=
�
�D =
�
�
�
8
258
258
�
�
258
Bài 6. Tính tổng:
a)
b)
B=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
10.9 18.13 26.17
802.405
c)
C =
2
3
2
3
2
3
+
+ ... +
4.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405
Hướng dẫn giải
a)
A=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.9 9.7 7.19
252.509
�
2 �1
1
1
1 �
�
A = .�
+
+
+
...
+
�
�
2�
2.9 9.7 7.19
252.509�
�
�
�1
1
1
1 �
�
�
A = 2.�
+
+ ... +
� +
�
�
�
4.9 9.14 14.19
504.509�
�
�
2 �5
5
5
5 �
�
A = .�
+
+ ... +
� +
�
5�
4.9 9.14 14.19
504.509�
�
�
2�
1 1 1 1
1
1
1
1 �
�
�
A = .�
+
+
+
...
+
�
�
�
5�
4
9
9
14
14
19
504
509
�
�
� 101
2�
1
1 �
�
A = .�
=
�
�
5�
4 509�
�
� 1018
b)
B=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
10.9 18.13 26.17
802.405
�1
1
1
1 �
�
�
B = 2�
+
+
+
...
+
�
�
�
�
10.18 18.26 26.34
802.810�
�
2� 8
8
8
8 �
�
�
B= �
+
+
+
...
+
�
�
�
�
8�
10.18 18.26 26.34
802.810�
1 �1
1
1
1
1
1
1
1 �
�
�
B= �
+ + + ... +
� �
�
�
4�
10 18 18 26 26 34
802 810�
1 �1
1 �
2
�
�
B= �
=
�
�
�
� 81
4�
10 810�
c)
C =
2
3
2
3
2
3
+
+ ... +
4.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405
�2
2
2 �
�
�
C =�
+ .. +
� +
�
�
�
4.7 7.10
301.304�
�
�3
�
3
3 �
�
�
+
+
...
+
�
�
�
5.9 9.13
401.405�
�
�
�
2 �3
3
3 �
3�4
4
4 �
�
�
�
C = �
+ .. +
- �
+ ... +
� +
� +
�
�
� 4�
�
3�
4.7 7.10
301.304�
5.9 9.13
401.405�
�
�
�
2�
1 1 1 1
1
1 �
3�
1 1 1 1
1
1 �
�
�
�
�
C = �
+
+
...
+
+
+
...
+
�
�
�
�
� 4�
�
3�
4 7 7 10
301 304�
5 9 9 13
401 405�
�
�
2�
1
1 �
3�
1
1 �
�
�
�
�
�
C = �
�
�
�
�
�
�
�
�
3�
4 304� 4 �
5 405�
C =
25
4
67
=
152 27 4104
Bài 7. Tính tổng:
D=
1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12
Hướng dẫn phân tích:
2
1
1
2
1
1
2
1
1
=
=
=
1.2.3 1.2 2.3 ; 2.3.4 2.3 3.4 ; ….; 10.11.12 10.11 11.12
Hướng dẫn giải
D=
1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12
1� 2
2
2
2 �
�
�
D= �
+
+
+ ...... +
�
�
�
�
2�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12�
1�1
1
1
1
1
1 �
�
�
D= �
+
+
...
+
�
�
�
2�
1.2. 2.3 2.3 3.4
10.11 11.12�
�
� 11.12 - 2
1�1
1 �
65
�
D= �
=
=
�
�
�
�
2�
1.2. 11.12� 4.11.12
264
S=
Bài toán tổng quát: Tính tổng
1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)
�
1�1
1
n(n + 3)
�
�
S= �
=
�
�
�
� 4(n + 1)(n + 2)
2�
1.2 (n + 1)(n + 2)�
Bài 8. Tính nhanh tổng sau:
a)
A=
1
1
1
+
+ ... +
5.6 6.7
24.25
b)
B=
2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
c)
e)
g)
C =
52
52
52
+
+ ... +
1.6 6.11
26.31
E =
4
4
4
4
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
99.101
G=
2
2
2
2
2
+ + + +
15 35 63 99 143
d)
f)
D=
F =
4
4
4
4
+
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66
1 1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
7 91 247 475 755 1147
Hướng dẫn giải
�
�
�1
1 1� �
1 1�
1�
1 1
4
�
�
�
�
�
�
A =�
+
+
...
+
=
=
�- �
�
�
�
�
�
�
� 5 25 25
�
�
5 6�
6 7�
24 25�
�
� �
�
�
a)
�
�1
�
1 1� �
1 1� �
1 1�
1�
1
100
�
�
�
�
B =�
+�
+�
+ ... + �
�- �
�- �
�- �
� =
1
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3� �
3 5� �
5 7�
99 101�
�
�
101 101
b)
�5
� 1 1 1
5
5
5 �
1
1
1
1�
�
�
�
�
C = 5�
+
+ .... +
= 5�
1- + + + ... + � +
�
�
�
�
�
�
�
1.6 6.11 11.16
26.31� � 6 6 11 11 16
26 31�
�
c)
� 1�
30 150
�
�
C = 5�
1= 5. =
�
�
�
�
31
31
� 31�
d)
�1
1
1
1 �
�
�
D = 4�
+
+
+
...
+
�
�
�
�
11.16 16.21 21.26
61.66�
�
�5
�
5
5
5 �
�
5D = 4�
+
+
+
...
+
�
�
�
11.16 16.21 21.26
61.66�
�
�
�1
� �1
�
1
1
1
1
1�
1�
�
�
5D = 4�
+ + ... + = 4�
� � �
�
�
�
11 16 16 21
61 66�
11 66�
�
� �
�
55
4
2
�D =
=
11.66
66 33
�2
� 1�
2
2
2 �
200
�
�
�
�
E = 2�
+
+ ... +
= 2�
1=
� +
�
�
�
�
�
�
�
1.3 3.5 5.7
99.101� � 101� 101
�
e)
5D = 4.
f)
F =
6F =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.7 7.13 13.19
31.37
6
6
6
6
+
+
+ ... +
1.7 7.13 13.19
31.37
6F = 1-
1 1 1
1
1
+ + ... + 7 7 13
31 37
6F = 1-
1
36
6
=
�F =
37 37
37
g)
G=
2
2
2
2
2
1 1 10
+
+
+
+
= =
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 3 13 39
Bài 9. Tính tổng
�3
3
3
3 �
�
�
A =�
+
+ ... +
� +
�
�
�
1.8 8.15 15.22
106.113�
�
� 25
�
25
25 �
�
�
+
+ ... +
�
�
�
50.55 55.60
95.100�
�
�
Hướng dẫn giải
B=
3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.8 8.15 15.22
106.113
�7
�
7
7
7 �
�
� 7B = 3�
+
+
+
...
+
�
�
�
1.8 8.15 15.22
106.113�
�
�
�
1 1 1 1
1
1
1
1 �
�
�
� 7B = 3�
+ + + ... +
��
�
�
1 8 8 15 15 22
106 113�
�
� 1 �
112
�
�
7B = 3�
1= 3.
�
�
�
�
113
� 113�
�B =
3.112
48
=
7.113 113
( 1)
25
25
25
+
+ ... +
50.55 55.60
95.100
Ta có :
�5
�
5
5 �
�
� C = 5�
+
+
...
+
�
�
�
50.55 55.60
95.100�
�
�
�1
1 �
5
�
�
� C = 5�
=
� �
� 100
�
50 100�
�
.
1
�C =
( 2)
20
48
1
847
A =B - C =
=
1)
2)
(
(
113 20 2260
Từ
và
ta có :
C =
Bài 10. Tính
A=
1
9
9
9
+
+
+ ... +
19 19.29 29.39
1999.2009
Hướng dẫn giải
A=
1
9
9
9
+
+
+ ... +
19 19.29 29.39
1999.2009
�A
9
9
9
9
...
9.19 19.29 29.39
1999.2009
�10
�
10
10
10
�
�
� 10A = 9�
+
+
+ ... +
�
�
�
9.19 19.29 29.39
1999.2009�
�
�
�
�
1
1 �
�
� 10A = 9�
��
�
9 2009�
�
�
10A = 9.
2000
2000
200
=
�A =
9.2009 2009
2009
Bài 11. Tính tổng
A=
a)
2 2
2
2
+ +
+ ... +
6 66 176
(5n - 4)(5n + 1)
b)
B = 1+
Hướng dẫn giải
�
�
�
�
1
1
1
1
�
�
A = 2� +
+
+ ... +
�
�
�
6 66 176
�
�
( 5n - 4) ( 5n + 1) �
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
�
�
A = 2� +
+
+
�
�
�
�
1.6
6.11
11.16
5
n
4
5
n
+
1
�
�
(
)(
)�
�
�
�
�
�5
5
5
5
�
5A = 2�
+
+
+
�
�
�
�
�
1.6
6.11
11.16
5
n
4
5
n
+
1
�
�
(
)
(
)
�
�
�
�
�
1 1 1 1
1
1
1
1 �
�
5A = 2�
+
+
+
...
+
+
�
�
�
�
�
1
6
6
11
11
16
5
n
4
5
n
+
1
�
�
(
)
�
�
�
�
1 �
5n
2n
�
5A = 2�
1
= 2.
�
�
F
=
�
�
5n + 1
� 5n + 1�
�
5n + 1
B = 1+
3
3
3
3
+ + + ... +
15 35 63
9999
b) Ta có :
3
3
3
3
B = 1+
+
+
+ ... +
3.5 5.7 7.9
99.101
�1
�
1
1 �
�
G = 1+ 3�
+
+
...
+
�
�
�
3.5 5.7
99.101�
�
�
�2
2
2 �
�
�
� 2G = 2 + 3�
+ ... +
� +
�
�
�
3.5 5.7
99.101�
�
9
9
9
9
+
+
+ ... +
45 105 189
29997
�
�
1
1�
98
98
300
150
�
� 2G = 2 + 3�
= 2 + 3.
= 2+
=
��G =
�
�
�
3
101
3.101
101
101
�
�
101
Bài 12. Tính tổng:
1
1
1
6
A=
+
+
+ ... +
2.15 15.3 3.21
87.90
a)
b)
B=
5
4
3
1
13
+
+
+
+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Hướng dẫn giải
Ta có :
A=
6
6
6
6
+
+
+ ... +
12.15 15.18 18.21
87.90
�3
�1
3
3 �
1
1
1
1
1�
�
�
�
�
�
M = 2�
+
+
...
+
=
2
+
+
...
+
�
�
�
�
�
�
�
�
12.15
15.18
87.90
12
15
15
18
87
90
�
� �
�
�1
� 26
1�
�
= 2�
=
� �
�
12 90�
�
� 180
B=
5
4
3
1
13
+
+
+
+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
b)
B
5
4
3
1
13
=
+
+
+
+
7 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
B 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 13
� = - + + + + = =
7 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 28
7.13 13
�B =
=
28
4
2a + 1
2a + 3
2
=
a.(a + 1) ( a + 1) .(a + 2) a(a + 2)
Áp dụng công thức:
Chứng minh công thức:
2a + 1
2a + 3
1
1
= +
a.(a + 1) ( a + 1) .(a + 2) a a + 1
Bài 13.
�1
1 �
1
1
2
�
�
�
+
= =
�
�
�
� a a + 2 a(a + 2)
a + 1 a + 2�
�
Tính tổng
38 9 11 13 15 17
197
199
+ + + - ... +
25 10 15 21 28 36
4851 4950
a)
3
5
7
201
B
...
1.2 2.3 3.4
100.101
b)
A=
c)
C = 3.
1
1
1
1
1
- 5.
+ 7.
- ... + 15.
- 17.
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9
Hướng dẫn giải
A 38 9 11 13 15
197
199
=
+ + + ... +
9702 9900
a) 2 50 20 30 42 56
A 38
9
11 13 15
197
199
=
+
+
+ ... +
2 50 4.5 5.6 6.7 7.8
98.99 99.100
�
�
�
�
�
�
�
�1
A
38 �
1 1� �
1 1� �
1 1� �
1 1�
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
+�
+
+
+
+
+
+
...
+
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
2 50 �
4 5�
5 6�
6 7�
7 8�
98 99�
�
� �
� �
�
�
�1
�
1 �
�
�
+
�
�
�
99 100�
�
�
A 38 1
1
76 + 25 - 1
=
+ =
= 1� A = 2
2 50 4 100
100
� 1�
�
�
�1
1 1�
1 1�
1�
�
�
�
�
1
100
�
�
�
�
�
�
�
B =�
1
+
+
+
+
...
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�= 1- 101 = 101
2�
2 3�
3 4�
100 101�
�
�
b)
c)
C = 3.
=
1
1
1
1
1
- 5.
+ 7.
- ... + 15.
- 17.
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9
3
5
7
15 17
+
- ... +
1.2 2.3 3.4
7.8 8.9
�
1 1�
�
=�
�+ �
�
�
�
1 2�
�
�
�
1 1� �
1 1�
1 1�
�
�
�
�
+�
- ... + �
�+ �
�+ �
�+ �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
2 3�
3 4�
7 8�
�
�
�
1 1�
1 8
�
�
�+ �
=
1
=
�
�
�
8 9�
�
9 9
Dạng toán tìm tỉ số
4
6
9
7
A
A=
+
+
+
7.31 7.41 10.41 10.57
Bài 14. Tính B biết :
và
B=
7
5
3
11
+
+
+
19.31 19.43 23.43 23.57
Hướng dẫn giải
A
4
6
9
7
=
+
+
+
5 31.35 35.41 41.50 50.57
� �1
�1
�1
A �
1
1�
1�
1�
1�
1
1
�
�
�
�
�
�
�
=�
+�
+�
+�
=
� � � � �
�
�
�
� �
� �
� 31 57
�
�
�
5 �
31 35�
35 41�
41 50�
50 57�
�
� �
B
7
5
3
11
=
+
+
+
2 31.38 38.43 43.46 46.57
�1
�1
� �1
B �
1
1�
1�
1�
1�
1
1
�
�
�
�
�
�
�
=�
+�
+�
+�
=
� � � � �
�
�
�
� �
� �
� 31 57
�
�
�
2 �
31 38�
38 43�
43 46�
46 57�
�
� �
A B
A 5
= � =
2
B 2
Khi đó : 5
A
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
1.300 2.301 3.302
101.400 và
Bài 15. Tính tỉ số B biết :
B
1
1
1
1
...
1.102 2.103 3.104
299.400
Hướng dẫn giải
Ta có
299
299
299
+
+ ... +
1.300 2.301
101.400
�
� �
� �
�
�1
�
1
1 �
1
1 �
1
1 �
1 �
�
�
�
�
�
�
�
299A = �
+
+
+
...
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 300�
2 301�
3 302�
101 400�
�
� �
� �
�
�
�
� 1 1
� �1
�
1�
1
1 �
�
�
� 299A = �
1+ + + ... +
- �
+ ... +
�
� +
�
�
�
�
101�
300 301
400�
� 2 3
� �
�
299A =
101
101
101
101
+
+
+ ... +
1.102 2.103 3.104
299.400
� 1 �
� �
� �
�
�1
�
1
1�
1
1 �
1 �
�
�
�
�
�
�
�
101B = �
1
+
+
+
...
+
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
2 103�
3 104�
299 400�
� 102�
� �
� �
�
�
�
� 1 1
� �1
�
1�
1
1 �
�
�
101B = �
1+ + + ... +
- �
+ ... +
�
� +
�
�
�
�
101�
300 301
400�
� 2 3
� �
�
101B =
Khi đó :
299A = 101B �
A 101
=
B 299
a
Dạng toán mà dãy phân số có dạng a + 1
5 11 19 29 41 55 71 89
A= + + + + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90
Bài 16. Tính tổng
Hướng dẫn giải
5 11 19 29 41 55 71 89
A= + + + + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90
� 1�
� 1�
� 1�
� 1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A =�
1- �
+�
1
+
1
+
....
+
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
12
20
90
�
� �
��
�
�
�
�
1 1
1
1�
�
�
A = 1 + 1 + ... + 1- �
+
+
+
...
+
�
�
�
�
6 12 20
90�
�
�1
1
1
1 �
�
�
A = 8- �
+
+
+
...
+
�
�
�
�
2.3 3.4 4.5
9.10�
�
�
�
1 1 1 1 1 1
1 1�
�
A = 8- �
+ - + ... + �- + �
�
2 3 3 4 4 5
9 10�
�
�
�
1 1�
2 38
�
�
A = 8- �
= 8=
�
�
�
�
2 10�
5
5
�
1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
+ + + + + + + + +
Bài tập tự luyện: Tính tổng: 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
Bài 17. Tính tổng
B=
A=
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + +
+� +
+
+
2 4 8 16 32
256 512 1024
1 1 1
1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
+
3 9 27 81 243
234 729
Hướng dẫn phân tích:
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
= 1- ; = - ; = - ;...;
=
;
=
2
2 4 2 4 8 4 8
256 256 512 1024 512 1024
1
1
1 1
1 1
1
.2 = 1; .2 = ; .2 = ;
.2 =
4
2 8
4 1024
512
hoặc 2
Hướng dẫn giải
a) Cách 1:
A=
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + +
+� +
+
+
2 4 8 16 32
256 512 1024
A = 1-
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
+ - + - + +� +
+
2 2 4 4 8 8 16
256 512 512 1024
A = 1-
1
1023
=
1024 1024
Cách 2:
A=
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + +
+� +
+
+
2 4 8 16 32
256 512 1024
�
1 1 1 1
1
1
1
1 �
�
�
2A = 2.�
+� +
+
+
�+ + + +
�
�
�
2
4
8
16
32
256
512
1024
�
�
1 1 1 1
1
1
1
2A = 1 + + + + +
+� +
+
2 4 8 16 32
256 512
A = 2A - A = 1+
�
�
1 1
1
1
1 �
�
�
+
+�
+
+
+
�
�
�
2 4
256 512 1024�
�
�
1
1023
=
1024 1024
A = 1-
b)
1 1
1
1
+ +� +
+
2 4
256 512
1 1 1
1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
+
3 9 27 81 243
234 729
B=
�
�
1 1 1
1
1
1
1 �
�
3B = 3.�
+
+
+
+
+�
+
+
�
�
�
3 9 27 81 243
234 729�
�
�
3B = 1 +
1 1 1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
3 9 27 81 243
234
3B - B = 1 +
2B = 1B ==
1 1 1
1
1
1
+ +
+ +
+� +
3 9 27 81 243
234
�
1 1 1
1
1
1
1 �
�
�
�
+ +
+� +
+
�+ +
�
�
�
3 9 27 81 243
234 729�
�
1
728
=
729 729
728
364
=
729.2 729
Bài 18. Tính tổng:
1 1 1
1
1
1
A= + + +
+
+
2 4 8 16 32 64
a)
b)
B=
5 5
5
5
5
5
+ +
+
+
+
2 6 18 54 162 486
Hướng dẫn giải
a)
A=
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
2 4 8 16 32 64
A = 1-
1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
+ + + + +
2 2 4
4 8 8 16 16 32 32 64
A = 1-
1
63
=
64 64
b)
B=
5 5
5
5
5
5
+ +
+
+
+
2 6 18 54 162 486
�
�
1 1
1
1
1
1 �
�
B = 5.�
+
+
+
�+ +
�
�
2 6 18 54 162 486�
�
�
�
�
3 3
3
3
3
3 �
�
3B = 5.�
+
+
+
+
+
�
�
�
2 6 18 54 162
486�
�
�
�
3 1 1
1
1
1 �
�
�
3B = 5.�
+
+
+
+
+
�
�
�
�
2 2 6 18 54 162�
�
�
�
3 1 1
1
1
1 �
1 1
1
1
1
1 �
�
�
�
�
3B - B = 5.�
+
+
- 5.�
+
+
+
�+ + +
�+ +
�
�
�
�
�
�
2 2 6 18
54 162� �
2 6 18 54 162
486�
�
�
�
3 �
1 1
1
1
1 �
�
�
2B = 5. �
+
+
+
+
+
�
�
�
2 �
2 6 18 54 162�
�
�
�
�
�
�
1 1
1
1
1
1 �
�
�
�
+
+
+
+
+
�
�
�
�
�
2
6
18
54
162
486
�
�
�
�
3
1 �
1820
910
�
2B = 5. � =
�B =
�
�
2
486
243
�
�
243
Tự luyện (không giải)
Tính tổng:
a)
e)
b) c)
3+
d)
3
3
3
3
+
+
+
5 25 125 625
g)
h)
Dạng toán thu gọn một dãy phân số phức tạp
1 1
1
1
+ +L +
+
3 5
97 99
A=
1
1
1
1
1
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
Bài 19. Tính tổng:
1+
Hướng dẫn giải
Biến đổi tử số:
M = 1+
1 1
1
1
+ +L +
+
3 5
97 99
� 1�
� �
�
1
1� �
1 1� �
1
1�
�
�
�
M =�
1+ �
+�
+�
L +�
+
�
�+ �
�+ �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 97�
5 95�
49 51�
� 99�
� �
� �
� �
�
�100 �
�100 �
�100 �
� �100 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M =�
+
+
L
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
99.1�
97.3�
95.5�
51.49�
�
� �
�
�1
�
1
1
1 �
�
M = 100.�
+
+
+
...
+
�
�
�
99.1 97.3 95.5
51.49�
�
�
Biến đổi mẫu số:
N =
1
1
1
1
1
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
�1
� �1
�
�1
�
1 �
1 �
1 �
�
�
�
N =�
+�
+
+L +�
+
� +
�
�
�
�
�
�
�
�
1.99 99.1�
3.97 97.3�
49.51 51.49�
�
� �
�
�
�
�1
�
1
1
1 �
�
N = 2.�
+
+
+
...
+
�
�
�
99.1 97.3 95.5
51.49�
�
�
1 1
1
1
+ +L +
+
M
100
3 5
97 99
A=
=
=
= 50
1
1
1
1
1
N
2
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1+
1 1 1
1
1
+ + +L +
+
99 100
B=2 3 4
99 98 97
1
+
+
+L +
1
2
3
99
Bài 20. Tính
Hướng dẫn giải
Biến đổi mẫu số:
N =
99 98 97
1
+
+
+L +
1
2
3
99
N =
100 - 1 100 - 2 100 - 3
100 - 99
+
+
+L +
1
2
3
99
�
100 100 100
100�
�
�
N =�
+
+L +
� +
�
�
�
2
3
99 �
�1
�
1 2 3
99�
�
�
� + + +L + �
�
�
1 2 3
99�
�
�
�
�
1 1
1�
�
N = 100 + 100.�
+
+
L
+
- 99
�
�
�
2 3
99�
�
�
�
1 1
1�
�
N = 1 + 100.�
� + +L + �
�
�
�
2 3
99�
�
N =
�
100
1 1
1�
�
+ 100.�
� + +L + �
�
�
100
2 3
99�
�
�
�
1 1
1
1 �
�
�
N = 100.�
+
+
L
+
+
�
�
�
�
2 3
99 100�
�
1 1 1
1
1
+ + +L +
+
99 100
B=2 3 4
99 98 97
1
+
+
+L +
1
2
3
99
1 1 1
1
1
+ + +L +
+
1
2 3 4
99 100
B=
=
�
� 100
1 1 1
1
1 �
�
100.�
+
� + + +L +
�
�
2 3 4
99 100�
�
Dạng toán tìm quy luật của dãy
1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
Bài 21. Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy: 3 8 15 24 35
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35
2 2 32 4 2 5 2 6 2
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
Do đó số hạng thứ 98 có dạng 98.100 .
Ta cần tính:
Bài 22.
A=
22 32 42 52 62
992
99
� � � � L
=
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ; ; ; ; ...
Hướng dẫn giải
Ta nhận thấy 6 = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16; 336 = 16.21
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng:
Mẫu của số thứ 100 của dãy số:
Ta cần tính tổng
A=
=
A=
( 5n - 4) ( 5n + 1) .
( 5.100 - 4) ( 5.100 + 1) = 496.501
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501
1 1
1
1
1
+ +
+
+ ... +
6 66 176 336
2484966
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.6 6.11 11.16
496.501
� 1�1
1�
1 1�
1�
1 1�
1�
1�
1
1 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= �
+
+
+�
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 5�
�
�
�
5�
1 6�
6 11�
11 16�
5�
496 501�
�
� 5�
1 � 1 1 1
1
1
1
1 �
�
= .�
1- + + + + ... +
�
5 �
6
6
11
11
16
496
501
�
�
1� 1 �
1 500 100
�
�
= �
1= � =
�
�
�
� 5 501 501
5� 501�
Dạng phân số kết hợp dãy số trong tập �
1 + 2 + 3 + ... + n =
Bài 23. Tính tổng
n(n + 1)
2
�1
1
1 �
1- 3 - 5 - ... - 49
�
�
A =�
+
+
...
+
.
�
�
�
�
4.9 9.14
44.49�
89
�
Hướng dẫn giải
Đặt :
B=
� 5B =
�B =
và
1
1
1
+
+ ... +
4.9 9.14
44.49
�
5
5
5
1 1�
45
�
�
+
+ ... +
=�
=
��
� 4.49
4.9 9.14
44.49 �
4 49�
�
9
4.49
C =
1- 3 - 5 - ... - 49 1- ( 3 + 5 + ... + 49) 1- 624 - 623
=
=
=
89
89
89
89
�
�
�
3 + 49�
49 - 3
�
�
�
�
3 + 5 + ... + 49 = �
+ 1�
= 26.24 = 624
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2 �
� 2
�
Khi đó :
A = B.C =
9 - 623 - 9
.
=
4.49 89
28
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( - - - )(63.1,2 - 21.3,6)
2 3 7 9
1
2
+
3
4 + ... + 99 - 100
Bài 24. Tính
Hướng dẫn giải
Ta có: 63.1,2 - 21.3,6 = 0
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( - - - )(63.1,2 - 21.3,6)
2 3 7 9
�
=0
1- 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100
1
1
1
A 1 (1 2) (1 2 3) ... (1 2 ... 20)
2
3
20
Bài 25. Tính tổng
Hướng dẫn giải
1 2.3 1 3.4
1 20.21
3 4 5
21
A = 1+ .
+ .
+ ... + .
= 1+ + + + ... +
2 2
3 2
20 2
2 2 2
2
Ta có:
A=
1
1
2 + 3 + 4 + ... + 20 + 21) = .230 = 115
(
2
2
1
1
1
B 1 (1 2) (1 2 3) ...
(1 2 ... 2016)
2
3
2016
Bài 26. Tính tổng
Hướng dẫn giải
1 2.3 1 3.4
1 2016.2017
B = 1+ .
+ .
+ .... +
.
2 2
3 2
2016
2
Ta có:
3 4
2017 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2017
+ + .... +
=
2 2
2
2
1 ( 2017 + 2) ( 2017 - 2 + 1)
2019.2016
=
=
2
2
4
B = 1+
Bài 27.
Tính:
C
1
1
1
...
1 2 3 1 2 3 4
1 2 ... 59
Hướng dẫn giải
C
=
1
1
1
1
...
1 3 .3 1 4 .4 1 5 .5
1 59 .59
2
2
2
2
�1
2
2
2
2
1
1
1 �
�
�
+
+
+ ... +
= 2�
+
+ ... +
� +
�
�
�
3.4 4.5 5.6
59.60
3.4 4.5 5.6
59.60�
�
�
1 1�
19 19
�
�
= 2�
= 2. =
�
�
�
�
3 60�
60 30
�
Bài 28. Tính:
D 50
50 25 20 10 100
100
1
...
3
3
4 3 6.7
98.99 99
Hướng dẫn giải
�
�
�
50 25 20 10�
100 100
100
100 �
�
�
�
D =�
50 +
+
+
+ �
+
+
+
...
+
+
�
�
�
� �
�
�
�
3
3
4
3�
6.7 7.8
98.99 99.100�
�
�
�1
�1
�
1
1
1
1�
1
1 �
�
�
�
D = 100�
+
+
+
+ 100�
+ ... +
� +
� +
�
�
�
�
�
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6�
6.7 7.8
99.100�
�
�
�
�1
� 1 �
1
1
1 �
�
�
�
�
�
D = 100�
+
+
+
...
+
=
100.
1= 99
�
�
�
�
�
�
�
�
1.2 2.3 3.4
99.100�
100�
�
�
Dãy tích
( a - 1) ( a + 1) + 1 = a
2
3 8 15 9999
. . ....
Bài 29. Tính tích: 4 9 16 10000
Hướng dẫn phân tích: ; ; ....;
Hướng dẫn giải
A=
=
3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5
. . ....
�=
22 32 42 1002
22 32 42
99.101
1.2.3....99 3.4.5....101
=
.
2
100
2.3.4....100 2.3.4....100
1 101 101
.
=
100 2
200
1.3 2.4 3.5
A ��=
22 32 42
Bài toán tổng quát:
=
(n - 1) �
(n + 1)
(n
2
n
1.2.3....( n- 1) 3.4.5....( n+ 1)
1 n +1 n +1
= .
=
.
2.3.4....n
2.3.4....n
n 2
2n
2)
� 1�
�� 1 �
� 1�
�
1 �
�
�
�
�
�
�
�
�
B =�
1.�
11....�
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
21
28
36
1326
�
�
�
�
�
�
�
�
Bài 30. Tính tích:
Hướng dẫn phân tích: .
Ta chưa nhìn thấy quy luật nào nhưng khi nhân 2 vào cả tử và mẫu với 1 phân
thức ta được
20.2 40 5.8 27 54 6.9
1325 2650 50.53
=
=
=
=
=
=
21.2 42 6.7 ; 28 56 7.8 ; ...; 1326 2652 51.52
Hướng dẫn giải
� 1�
�� 1 �
�
� 1�
� �
�
1 �
20 27 35 1325
5.8 6.9 7.10 50.53
�
�
�
�
�
�
�
B =�
1
.
1
1
....
1
�
�
�
�
= . . ....
=
.
.
....
�
�
�
�
�
� 28�
� 36�
� 1326�
� 21�
��
�
�
� �
� 21 28 36 1326
6.7 7.8 8.9
51.52
=
5.6.7....50 8.9.10.....53
5 53 265
.
= . =
6.7.8....51 7.8.9.....52
51 7
357
Bài 31.
Tính tích
22 32 42
202
.
.
...
1.3 2.4 3.5 19.21
a)
� 1�
�
� 1�
� 1�
�� 1 �
�
�
�
�
�
�
�
C =�
1- �
1
1
...�
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
9
16
400
�
�
�
�
�
�
�
�
c)
A=
d)
D
22 32 42 52 62 72 82 92
. . . . . . .
3 8 15 24 35 48 63 80
b)
B=
12 22 32
102
.
.
...
1.2 2.3 3.4 10.11
8 15 24 2499
E = . . ...
9 16 25 2500
e)
Hướng dẫn giải
A=
a)
B=
b)
2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20) ( 2.3.4...20)
20.2 40
.
.
....
=
=
=
1.3 2.4 3.5 19.21 ( 1.2.3....19) ( 3.4.5...21)
21
21
1.1 2.2 3.3 10.10 ( 1.2.3....10) ( 1.2.3...10)
1
.
.
....
=
=
1.2 2.3 3.4 10.11 ( 1.2.3...10) ( 2.3.4...11)
11
( 1.2.3...19) ( 3.4.5...21)
3 8 15 399 1.3 2.4 3.5 19.21
21
21
C = . . ....
=
.
.
...
=
=
4 9 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20) ( 2.3.4.5...20) =
20.2 40
c)
( 2.3.4...8.9) ( 2.3.4...8.9) 9.2 9
2.2 3.3 4.4 8.8 9.9
D=
.
.
....
.
=
=
=
1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 ( 1.2.3...7.8) ( 3.4.5...9.10)
10
5
d)
E =
e)
2.4 3.5 4.6 49.51 ( 2.3.4...49) ( 4.5.6...51)
2.51 17
.
.
....
=
=
=
3.3 4.4 5.5 50.50 ( 3.4.5...50) ( 3.4.5...50)
50.3 25
Bài 32. Tính tổng
�
�
�
�
�
��
�
1 �
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
...
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1 + 2 + 3 + 4�
� 1 + 2 + 3 + ... + 2016�
� 1 + 2�
�
� 1 + 2 + 3�
�
�
��
�
Hướng dẫn giải
�
�
�
�
�
C =�
1�
�
�
�
�
�
�
C =�
1�
�
�
�
�
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
1
.
1
....
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
+
2
.2
1
+
3
.3
1
+
4
.4
( ) �
(
)
(
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� �
2
2
2
� 1�
� 1�
�
�
1�
1
�
�
�
�
�
�
�
.�
1- �
.�
1....�
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3�� 6�� 10� � 1008.2017�
�
�
�
�
�
1
�
�
�
�
1
+
2016
.2016
(
)
�
�
�
�
�
2
2 5 9
2017.2016 - 2 4 10 18 2016.2017 - 2
= . . .....
= . . ....
3 6 10
2016.2017
6 12 20
2016.2017
C =
1.4 2.5 3.6 2015.2018 1004
.
. ....
=
2.3 3.4 4.5 2016.2017 3009
Bài 33. Tính:
�
�
�
�
�
��
�
1 1�
1 1�
1 1�
1 1�
�
�
�
�
�
�
�
A =�
...
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 3�
2 5�
2 7�
2 99�
�
�
�
�
�
��
�
�
a)
b)
B=
3 8 15
899
. 2 . 2 ..... 2
2
2 3 4
30
Hướng dẫn giải
A=
( 1.3.5....97)
1 3 5
97
1
.
.
....
= 49
= 49
2.3 2.5 2.7 2.99 2 .( 3.5.7...99)
2 .99
B=
3 8 15
899 1.3 2.4 3.5
29.31 1.2.3....29 3.4.5...31
1 31 31
. 2 . 2 ..... 2 =
.
.
.....
=
.
= . =
2
2 3 4
30
2.2 3.3 4.4
30.30 2.3.4....30 2.3.4....30 30 2
60
a)
b)
Bài tập tương tự:
Bài 34. Tính:
C =
22 32 42
502
.
.
.....
1.3 2.4 3.5
49.51
� 1999�
�
� 1999�
� � 1999�
�
�
�
�
�
�
1+
1+
...�
1+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 �
2 � � 1000�
�
�
A=
� 1000�
�
� 1000�
� � 1000�
�
�
�
�
�
�
1+
1+
...�
1+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 �
2 � � 1999�
�
�
Hướng dẫn giải
Ta có:
�
��
2000 2001 2002 2999�
1001 1002 1003 2999�
�
�
�
�
A =�
.
.
...
:
.
.
....
�
�
�
�
�
�
�
2
3
1000�
2
3
1999�
�1
�� 1
�
�� 1.2.3...1999 �
� 1001.1002....1999
2000.2001.2002...2999�
�
�
�
A =�
.
�
�
=
=1
�
�
�
�
�
1001.1002....2999�
� 1.2.3.4...1000
��
� 1001.1002...1999
Bài 35. Tính
�
�
�
�
�
1 �
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
A =�
1
1
...
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1 + 2�
� 1 + 2 + 3� � 1 + 2 + 3 + ... + n �
Hướng dẫn giải
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
A�
1
1
... �
1
�
�
�
�
� 1 2 .2 �
� 1 3 .3 � � 1 n .n �
�
�
�
��
�
�
2
�
�
2
��
2
�
�
� 2�
� 2�
� 2�
� �
�
2 �
4 10 18 n ( n + 1) - 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
1
1
1
....
1
�
=
.
.
....
�
�
�
�
�
�
�
� 3.4�
� 4.5�
�
�
�
�
� 2.3�
�
�
� �
n ( n + 1)
� 2.3 3.4 4.5
� n ( n + 1) �
=
�
�
1.2.3...(n- 1)�
4.5....(n + 2)�
1.4 2.5 3.6 ( n - 1) ( n + 2)
�
�
� n +2 n +2
.
.
...
=�
=
�
�
2.3 3.4 4.5
n ( n + 1)
3.4.5...(n + 1)� =
( 2.3...n) �
n.3
3n
Bài 36.
Tính:
1 �
� 1 �
� 1 �
� 1 ��
A�
1
1
1
... �
1
�
�
�
�
�
�
� 1.3 �
� 2.4 �
� 3.5 � � 17.19 �
a)
� 1�
� 1 �
� 1 �� 1 �
B�
1 �
1 �
1 �
... �
1
�
�
�
21
28
36
1326 �
�
�
�
�
�
�
�
b)
Hướng dẫn giải
a, Ta có:
( 2.3.4...18) ( 2.3.4...18) 18.2 36
4 9 16 17.19 + 1 2.2 3.3 4.4 18.18 =
=
A=
.
.
....
=
.
.
...
19 =
1.2.3...17) ( 3.4.5...19)
(
1.3 2.4 3.5
17.19
1.3 2.4 3.5 17.19
19
b, Ta có:
20 27 35 1325 40 54 70 2650 5.8 6.9 7.10 50.53
B = . . ....
= . . ....
=
.
.
...
21 28 36 1326 42 56 72 2652 6.7 7.8 8.9 51.52
( 5.6.7...50) ( 8.9.10...53) 5.53
B=
=
( 6.7.8...51) ( 7.8.9...52) 51.7
Bài 37. Tính tích
� 1�
� 1�
� 1�� 1 �
A�
1 �
1 �
1 �
... �
1
�
�
�
� 2�
� 3�
� 4 � � 100 �
a)
1 �
� 1�
� 1�
� 1 ��
C �
1 �
1 �
1 �
... �
1
�
�
�
� 4�
� 9�
� 16 � � 10000 �
c)
� 1�
� 2�
� 3 � � 10 �
B�
1 �
1 �
1 �
... �
1 �
�
�
� 7�
� 7�
� 7�� 7 �
b)
d)
� 1�
� 1�
� 1 �� 1 �
D�
1 �
1 �
1 �
... �
1
�
�
�
� 3�
� 6�
� 10 � � 780 �
�
�
�
1 22 �
1 32 �
1 42 � �
1 2012 2 �
E � 2 �
...
� 2 �
� 2 ��
�
2
�2 �
�3 �
� 4 � � 2012 �
e)
Hướng dẫn giải
1 2 3 99
1
A = . . ....
=
2 3 4 100 100
a)
6 5 4 3 2 1 0 -1- 2 - 3
B= . . . . . . . . .
=0
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
b)
( 1.2.3....99) ( 3.4.5...101) 101
3 8 15 9999
1.3 2.4 3.5
99.101 =
I = . . ...
=
.
.
....
2.3.4...100) ( 2.3.4...100) =
100.2
4 9 16 10000 2.2 3.3 4.4 100.100 (
c)
101
=
200
2 5 9 779 4 10 18 1558 1.4 2.5 3.8 38.41
D = . . ...
= . . ....
=
.
.
....
3
6
10
780
6
12
20
1560
2.3
3.4
4.5
39.40
d)
( 1.2.3...38) ( 4.5.6...40.41) 41 41
=
=
=
( 2.3.4...39) ( 3.4.5....40) 39.3 117
�
�
�
1 22 �
1 32 �
1 42 � �
1 20122 �
E � 2 �
...
� 2 �
� 2 ��
�
2
�2 �
�3 �
� 4 � � 2012 �
e)
- 3 - 8 - 15 1- 20122
- 1.3 - 2.4 - 3.5 - 2011.2013
E =
.
.
....
=
.
.
....
2.2 3.3 4.4 2012.2012
2.2 3.3 4.4
2012.2012
( 1.2.3...2011) ( 3.4.5...2013)
2013
==2012.2
( 2.3.4....2012) ( 2.3.4...2012)
Dạng toán tính tổng với lũy thừa
Bài 38. Tính tổng
1 1
1
1
A = + 2 + 3 + ... + 100
7 7
7
7
a)
b)
B=
1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 20
3 3
3
3
Hướng dẫn giải
A=
1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7 7
7
7
1
1
1
1
1
1
A = 2 + 3 + 4 + ... + 100 + 101
7
7
7
7
7
7
A-
�1
�1
1
1� �
1
1�
1 � �
1
1 �
�
�
�
�
A =�
+�
+ ... + �
+�
�2 - 2 �
�3 - 3 �
�100 - 100 �
� - 101 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
7
7 7 �
7
7�
7
7�
7
7 �
�
� �
�
�
� �
6
7100 - 1
7100 - 1
.A =
�
A
=
7
7101
6.7100
B=
1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 20
3 3
3
3
b)
1
1
1
1
1
1
B = 2 + 3 + 4 + ... + 20 + 21
3
3
3
3
3
3
B-
�1
�1
1
1� �
1
1�
1� �
1
1�
�
�
�
�
B =�
+�
+ ... + �
+�
�2 - 2 �
�3 - 3 �
�20 - 20 �
� - 21 �
�
�
�
�
�
�
�
�
3
3 3 �
3
3�
3
3�
3
3 �
�
� �
�
�
� �
�
2
320 - 1
320 - 1
� .B =
�
B
=
3
321
2.320
Bài 39.
Tính tổng
0
1
2
2017
� 1� � 1� � 1�
�1�
A�
� �
� �
� ... �
�
� 7� � 7� � 7�
�7�
a)
1 1 1 1
1
1
B 2 3 4 ... 50 51
3 3 3 3
3
3
b)
3 3
3
3
C = + 4 + 7 + ... + 100
5 5
5
5
c)
Hướng dẫn giải
0
1
2
2017
� 1� � 1� � 1�
�1�
A�
� �
� �
� ... �
�
� 7� � 7� � 7�
�7�
a)
A = 1-
1 1
1
1
1
+ 2 - 3 + ... + 2016 - 2017
7 7
7
7
7
1
1 1
1
1
1
1
A = - 2 + 3 - 4 + ... + 2017 - 2018
7
7 7
7
7
7
7
�
�
�
�
�- 1
� �
1
- 1 1 �1 - 1�
1 �
1 �
�
�
�
�
�
�
�
D + D =�
+
+
+
...
+
+
+
1
� + �
�
�
�
�
2
2�
2017
2017 �
2018 �
�
�
�
�
�
�
�
�
7
7
7
7
7 �
7
7 � � 7 �
�
� �
�