Đề cương cao học môn cơ học lượng tử và phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ
Là pt có dạng :

y " ay ' by  f ( x) (1)

với : a, b : hằng số
Pt thuần nhất liên kết là :

y " ay ' by  0 (2)
Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y " ay ' by  0
Gọi pt :

k 2  ak  b  0 (*)
là pt đặc trưng của (2) , pt (*) có :

  a2  4b
có các trường hợp sau :
a. Nếu   0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :

k1,2 

a  
2

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

y1  ek1x và y2  ek2 x
VD : Giải : y " 5 y ' 6 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

k 2  5k  6  0



k1  2, k2  3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e2 x và y2  e3 x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e2 x  C2e3 x , (C1 , C2  )
b. Nếu   0 : pt (*) có nghiệm kép :

k1  k2 
thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

y1  e

a
x
2

và y2  xe

a
x
2

a

2


VD : Giải : y " 4 y ' 4 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

k 2  4k  4  0



k1  k2  2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e2 x và y2  xe2 x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e2 x  C2 xe2 x , (C1 , C2  )



y  e2 x (C1  C2 x) , (C1 , C2  )

c. Nếu   0 : pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức :

k1,2 

a 
2

i


a
 
i
2
2

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

y1  e

a
x
2

sin


2

x và y1  e

a
x
2

cos


2

x

VD 1 : Giải : y " 2 y ' 10 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

 '  1  10  9

k 2  2k  10  0

pt có 2 nghiệm phức : k1,2  1  3i
- 2 nghiệm đltt của pt là :



y1  e x sin 3x và y2  e x cos3x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :



y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x , (C1 , C2  )
y  e x (C1 sin 3x  C2 cos3x) , (C1 , C2  )

VD 2 : Giải : y " 3 y ' 12 y  0

Bài giải :
- Pt đặc trưng :

  9  48  39



k 2  3k  12  0

pt có 2 nghiệm phức : k1,2 

3  39i
3
39
 
i
2
2
2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e

3
 x
2

3
 x

39
39
x
sin
x và y2  e 2 sin
2
2

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
3
 x
2



3
 x
39
39
y  C1e sin
x  C2e 2 cos
x , (C1 , C2  )
2
2
3
 x
39
39
y  e 2 (C1 sin
x  C2 cos

x) , (C1 , C2  )
2
2

Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm .


MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT

y " ay ' by  f ( x) (1)
x

1. f ( x)  e P( x) , ( P( x) là đa thức )
a. Nếu

 không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e xQ( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P( x) )

VD : Giải : y " 2 y ' 5 y  e ( x  1)
2x

2

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 2 y ' 5 y  0

- Pt đặc trưng :



 '  1  5  4
k1,2  1  2i

k 2  2k  5  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e x sin 2 x và y2  e x cos 2 x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e2 x ( Ax 2  Bx  C )
- Có :



y '  2e2 x ( Ax2  Bx  C )  e2 x (2 Ax  B)
y '  e2 x (2 Ax 2  2 Ax  2Bx  B  2C )
y "  2e2 x (2 Ax2  2 Ax  2Bx  B  2C)  e2 x (4 Ax  2 A  2B)

y "  e2 x (4 Ax 2  8 Ax  4Bx  2 A  4B  4C )
2x
2
- Thế vào pt : y " 2 y ' 5 y  e ( x  1)
 e2 x (13 Ax2  12 Ax  13Bx  2 A  6B  13C )  e2 x ( x 2  1)
 13A  1 12 A  13B  0  2 A  6B  13C  1
1
12
215

C 
 A B
13
169
2197
 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1
12
215
y  e2 x ( x 2 
x
)
13
169
2197




- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1
12
215
y  C1e x sin 2 x  C2e x cos 2 x  e2 x ( x 2 
x
)
13
169
2197

(C1 , C2  )
b. Nếu

 là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x xQ( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P( x) )

VD : Giải : y " 5 y ' 6 y  e (2 x  1)
2x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 5 y ' 6 y  0

- Pt đặc trưng :



k 2  5k  6  0

  25  24  1
k1  2, k2  3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e2 x và y2  e3 x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :



y  e2 x x( Ax  B)
y  e2 x ( Ax 2  Bx)

- Có :

y '  2e2 x ( Ax2  Bx)  e2 x (2 Ax  B)



y '  e2 x (2 Ax 2  2 Ax  2Bx  B)



y "  2e2 x (2 Ax2  2 Ax  2Bx  B)  e2 x (4 Ax  2 A  2B)
y "  e2 x (4 Ax2  8 Ax  4Bx  2 A  4B)

- Thế vào pt : y " 5 y ' 6 y  e (2 x  1)
2x





e2 x (2 Ax  2 A  B)  e2 x (2 x  1)
2 A  2  2 A  B  1
A  1  B  3

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
y  e2 x (1x 2  3x)

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :


y  C1e2 x  C2e3 x  e2 x ( x 2  3x) , (C1 , C2  )
c. Nếu

 là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x x 2Q( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P( x) )

VD : Giải : y " 4 y ' 4 y  e

2x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 4 y ' 4 y  0

- Pt đặc trưng :



k 2  4k  4  0

'  0
k1  k2  2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e2 x và y2  xe2 x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e2 x x 2 A
- Có :

y '  2 Ae2 x x2  2 Ae2 x x





y '  e2 x (2 Ax2  2 Ax)
y "  2e2 x (2 Ax2  2 Ax)  e2 x (4 Ax  2 A)
y "  e2 x (4 Ax 2  8 Ax  2 A)

- Thế vào pt : y " 4 y ' 4 y  e






2x

e2 x 2 A  e2 x
2A  1
1
A
2

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1
y  e2 x x 2
2
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1
y  C1e2 x  C2 xe2 x  e2 x x 2 , (C1 , C2  )
2


1
y  e2 x ( x 2  C2 x  C1 ) , (C1 , C2  )
2


x

2. f ( x)  e
a. Nếu

 P1 ( x)sin  x  P2 ( x) cos  x , ( P1 ( x), P2 ( x) là đa thức )

   i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x 

( Q1 ( x), Q2 ( x) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P1 ( x), P2 ( x) )
VD : Giải : y " y  sin 3x
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " y  0

- Pt đặc trưng :



 '  1
k1,2  i

k 2 1  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  sin x và y2  cos x
y " y  sin 3x  e0 x 1sin 3x  0cos3x 

- Có :




  0  3
   i  0  3i  3i  k1,2

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e0 x  A sin 3x  B cos3x 



- Có :

y  A sin 3x  B cos3x

y '  3 A cos3x  3B sin 3x
y "  9 A sin 3x  9B cos3x
- Thế vào pt : y " y  sin 3x
 8 A sin 3x  8B cos3x  sin 3x
 8 A  1  8B  0
1
A


B0

8
 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :




1
y   sin 3x  0cos 3x
8
1
y   sin 3x
8

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1
y  C1 sin x  C2 cos x  sin 3x , (C1 , C2  )
8
b. Nếu

   i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x 

( Q1 ( x), Q2 ( x) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P1 ( x), P2 ( x) )
VD : Giải : y " 2 y ' 10 y  e cos3x
x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 2 y ' 10 y  0

- Pt đặc trưng :



 '  9
k1,2  1  3i

k 2  2k  10  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e x sin 3x và y2  e x cos3x
y " 2 y ' 10 y  e x cos3x  e1x  0sin 3x  1cos3x 

- Có :




  1   3
   i  1  3i  k1

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e x x  A sin 3x  B cos3x 



y  e x  Ax sin 3x  Bx cos3x 

- Có :

y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x)  e x ( A sin 3x  3 Ax cos 3x
 B cos 3x  3Bx sin 3x)




y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos3x  A sin 3x  3 Ax cos3x
 B cos3x  3Bx sin 3x)

y "  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x  A sin 3x  3 Ax cos 3x
 B cos 3x  3Bx sin 3x)  e x ( A sin 3x  3 Ax cos 3x

 B cos 3x  3Bx sin 3x  3 A cos 3x  3 A cos 3x
9 Ax sin 3x  3B sin 3x  3B sin 3x  9 Bx cos 3x)



y "  e x (8 Ax sin 3x  8Bx cos 3x  2 A sin 3x  6 Ax cos 3x

2 B cos 3x  6 Bx sin 3x  6 A cos 3x  6 B sin 3x)
x
- Thế vào pt : y " 2 y ' 10 y  e cos3x
 e x 6 A cos3x  e x 6B sin 3x  e x cos3x
 6 A  1  6B  0
1
 A B0
6
 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1
y  e x x sin 3x
6
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x  e x

1
x sin 3x , (C1 , C2  )
6


Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
CHUYÊN NGÀNH: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CAO HỌC

MÔN: Cơ học lượng tử

Nhằm giúp cho người học hệ thống lại hình thức luận nghiên
cứu các đối tượng vi

mô. Xây dựng cơ học cho các hạt vi mô phi tương đối tính, bản
chất lượng tử của

chúng và các đặc tính hoàn toàn mới so với thế giới vĩ mô.


II. Nội dung

1. Những khái niệm và công cụ cơ bản của cơ học lượng
tử

1.2. Nguyên lý chồng chất trạng thái; sự chuẩn hoá hàm sóng;

1.3. Toán tử tuyến tính và hecmit;

1.4. Hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng, tính chất của toán
tử hecmit,

2. Các tiên đề của cơ học lượng tử

2.1. Các tiên đề của cơ học lượng tử ;

2.2. Giá trị trung bình của biến số động lực ;Tính hệ số khai triển ,


2.3. Toán tử có phổ liên tục, Toán tử toạ độ và xung lượng;

2.4. Nguyên lý tương ứng và dạng của toán tử;

2.5. Sự đo đồng thời hai biến số động lực; Hệ thức bất
định Heisenberg.

3. Phương trình trị riêng của năng lượng và ứng dụng

3.1. Phương trình Schroedinger không phụ thuộc thời gian;

3.2. Ứng dụng phương trình Schroedinger cho hố thế,

3.3. Hàng rào thế, thế bậc thang ;

3.4. Nghiên cứu chi tiết về dao động tử điều hoà lượng tử ;


[3] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB ĐHSPHN,
1996.

[4] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Đình Thanh, Bài tập VL Lý thuyết 2,
NXBGD 2009

4. Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm

4.1. Toán tử mômen xung lượng ;

4.2. Hàm cầu, tính chẳn lẻ cua hàm cầu ; cộng mômen động
lượng ;
[5] Nguyễn Xuân Hãn. Cơ học lượng tử , NXB ĐHQG Hà Nội, 1998.
4.3. Chuyển động trong trường có tâm đối xứng ;
[6] Mackey, George Whitelaw, The mathematical foundations of
quantum mechanics,
4.4. Chuyển động trong trường Coulomb. Nguyên tử hydro; Biểu
thức năng lượng ;
Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2, 2004.
5. Quang phổ của nguyên tử hydro.

6. Chuyển động của khối tâm .


5. Sự biến đổi trạng thái theo thời gian

8.2. Mật độ điện tích và mật độ dòng xác suất đối với hạt spin
không.

5.1. Phương trình Schroedinger phụ thuộc thời gian;
8.3. Phương trình Dirac
5.2. Mật độ xác suất và mật độ dòng.
8.4. Mật độ xác suất và mật độ dòng trong lý thuyết Dirac.
5.3. Trạng tháI dừng

8.5. Spin của hạt được mô tả bằng phương trình Dirac.

5.4. Đạo hàm của toán tử theo thời gian.
8.6. Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli –

Momen từ của hạt.
5.5. Phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử.
III. Tài liệu tham khảo chính:
5.6. Tích phân chuyển động.
[1] Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, 2004; 2006; 2008.
6. Lý thuyết biểu diễn
[2] Vũ Văn Hùng, Bài tập cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, 2005; 2007.


7.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến.

6.1. Biểu diễn các trạng thái lượng tử

7.3 Nhiễu loạn khi có suy biến.

6.2. Biểu diễn các toán tử

7.4. Sự tách vạch quang phổ trong một điện trường.

6.3. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian và phương
trình Heisenberg viết

7.5. Sự tách vạch quang phổ trong từ trường yếu.

6.4. Xác định hàm riêng và trị riêng dưới dạng ma trận

7.6. Phương pháp biến phân.
6.5. Lý thuyết tổng quát của phép biến đổi Unita
7.7. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
6.6. Biểu diễn Schrodinger, Heisenberg và biểu diễn tương tác.

8. Cơ học lượng tử tương đối tính

7. Một số phương pháp gần đúng

8.1. Phương trình sóng tương đối tính đối với hạt spin không.
7.1. Bài toán nhiễu loạn dừng.