Toán đồ thị hàm số cực cực hay và khó 12

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị y=f’(x) như
hình vẽ sau:

y
5
4

-5

-3

0 1

-1

x

-1

Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(e3f(x)+1 + 2f(x)) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.

(-;-5)

B. (-3;)

C. (-1;+)

D. (-3;-1)

Lời giải:

Chọn A.
g’(x) = 3f’(x).e3f(x)+1 + 2f(x).f’(x).ln2).f’(e3f(x)+1+2f(x))

Ta có:

= f’(x).(3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2). f’(e3f(x)+1+2f(x))
YCBT

f’(x) < 0. Mà ta thấy rằng:

3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2 > 0

3.e3f(x)+1 + 2f(x).ln2 > 0

e3f(x)+1+2f(x) > 0
Suy ra g’(x) < 0

f’(e3f(x)+1+2f(x)) > 0
f’(x) < 0

x < -5

Vậy hàm số nghịch biến trên (-;-5)

Bài toán 2: Cho hai hàm đa thức y=f(x), y=g(x) có đồ thị là hai đường cong ở hình
vẽ bên
y0

B A

y = g(x)
y = f(x)


x

Biết đồ thị hàm số y = f(x) có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm
số
y = g(x) có đúng một điểm cực trị là B và AB = 7/4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m thuộc khoảng (-5;5) để hàm số y = ||f(x) – g(x)|+ m| có đúng 5 điểm cực
trị?
A.

1
6

B. 3

C. 4

D.

Lời giải:
Chọn B.

y
y = f(x)
A

x1

0

Bx2

x3

y = g(x)

x


Ta đặt h(x) = f(x) – g(x)
Ta có h’(x)= f’(x) – g’(x)

h(x) = 0 có 2 nghiệm x1 < x2
h’(x) =0

x = x0 (x1 < x0 < x2), h(x0)= f(x0)–g(x0)= -7/4

Bảng biến thiên
x

-∞

x0

h’(x)

+∞

0

-

+

+∞

+∞

h(x)
7/4

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = |h(x)| là:
x

-∞

x1
-

|h(x)|’

x0
+

0

x2

-

+

+∞

+∞
7/4

|h(x)|
0
Do
số y
cực

+∞

= |h(x)|+ m
trị,

0
đó hàm
cũng có 3 điểm

Vì số điểm cực trị của hàm số
y = ||h(x)|+ m|
bằng tổng số
điểm cực trị của hàm số y = |h(x)|+ m và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của

phương trình |h(x)|+m=0, mà hàm số y = |h(x)|+m cũng có 3 điểm cực trị nên hàm số
y = ||h(x)|+ m| có đúng 5 điểm cực trị khi phương trình |h(x)|+ m = 0 có đúng 2
nghiệm đơn ( hoặc bội lẻ )
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = |h(x)|, phương trình |h(x)|+ m=0 có đúng hai
nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi -m7/4
m ≤ -7/4
Vì m là số nguyên và m ≤ -7/4 nên m ∈ {-4;-3;-2}
m ∈ (-5;5)
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn:
f(x+1) – f(x) = 2x(2x+1)(x+1) (*). Biết rằng f(x) = ax4 +bx2+c ; g(x) = mx2 + nx+ p và
f(x) = g(x2-1). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x)

y

11

0
-1

B.

A.

D.

2

x

C.

-2


Lời giải:
Chọn D
Từ (*) t thay x = 0
f(1) = f(0)
Ta có x = 0
y = -1
c = -1

a+b=0
c = -1

và x = 2, y = 11
f(x) = x4 – x2 – 1

Mặt khác x4 – x2 – 1= g(x2 – 1)= m(x2 – 1)2 + n(x2 – 1) + p= mx4 –2mx2 +m +nx2 –n + p

m=1
2m + n = -1
m – n + p = -1

m=1
n=1
p = -1

g(x) = x4 – x2 + 1

min g(x)=

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) là

Bài toán 4: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ và cắt trục hoành tại 5
điểm như hình dưới đây sao cho điểm C là tâm đối xứng của đồ thị.
y
6.5

2.5
0
C

x

2.5

6.5

Xét cặp (a;b) với a, b và a < b sao cho đồ thị hàm số g(x)= [f(x) – a][ f(x) – b] cắt
trục hoành có đúng ba cặp giao điểm đối xứng với nhau qua điểm C. Tổng các giá trị
a nhận được là?
A.

15

B. 6

C. 12

Lời giải:
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của g(x) với trục hoành là:

D. 18


[f(x) – a][ f(x) – b] = 0

f(x) = a
f(x) = b

Vì hàm số y = f (x) nhận
xứng nên để đồ thị hàm số y = g(x) cắt

điểm C là tâm đối

trục hoành có đúng ba cặp giao điểm đối xứng với nhau qua điểm C khi và chỉ khi
các giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với đường thẳng y = a , y = b đối xứng với
nhau qua điểm C .
Do đó a+b = 0

a = - b (a > 0)

Quan sát đồ thị ta thấy rằng f (x) = a có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
2,5 < a < 6,5 mà a Z+

a {3;4;5;6}

Vậy tổng giá trị của a là 18.

Bài toán 5: Cho hàm số f (x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ.
y
2

2



0

1

2

3

x

2

Số nghiệm thực của phương trình |f(|f(x)|)| - |f(x)| = 0 là?
A.

12

B. 16

Lời giải:
Chọn D

C. 18

D. 20


Đối với những bài toán hàm nhiều ẩn như thế này thì ta sẽ đặt ẩn để quy ẩn về
biến đưa về bài toán tương giao của hai hàm số
Đặt t = |f(x)| (t > 0)
Phương trình đã cho được viết lại thành |f(x)| = t
Đến đây ta lần lượt vẽ đồ thị hàm số y= |f(x)| và y = x
y
2

0
2



1

2

3

x

2

Đồ thị y= |f(x)| được vẽ bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục hoành.
Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành lên trục hoành ta thu được đồ thị

y = |f(x)|
Xét phương trình f(t) = t
t = a (0 < a < 1)
t = b (0 < b < 1)
t = c (1 < c < 2)
t = d (2 < d < 3)
•
•
•
•

|f(x)| = a (0 < a < 1)
|f(x)| = b (0 < b < 1)
|f(x)| = c (1 < c < 2)
|f(x)| = d (2 < d < 3)

6 nghiệm phân biệt
6 nghiệm phân biệt
6 nghiệm phân biệt
2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 + 6 + 2 = 20 nghiệm.


Bài toán 6: Cho hàm số f(x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ

y
4

1

x
O

3

6

Các giá trị của tham số m để phương trình = f2(x) + 3 có 3 nghiệm phân biệt :
A. m =

B. m =

C. m =

D. m =

Lời giải:
Chọn C
Ta biến đổi = f2(x) + 3

= (f2(x) + 3)
= +

Xét hàm số f(t) = t3 + t

f’(t) = 3t2 + 1 > 0 R

f(t) đồng biến trên R. Nên suy ra 2m =
m>0
4m2 – 5 0

m>0
2

4m =

f(x) =

m

f(x) =

Do phương trình f(x) = g(m) luôn có ít nhất một nghiệm nên để phương trình đã cho có 3
nghiệm phân biệt thì f(x) =

có một phương trình có 1 nghiệm và một phương trình có 2

nghiệm
Để ý rằng f(x) = có hai nghiệm khi m và có một nghiệm khi m
•
•

m
f(x) = 0
phương trình có 2 nghiệm
m để phương trình có 3 nghiệm thì f(x) = có hai nghiệm
=4
m=

Bài toán 7: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
y
3

1
1
-1

0

2

x

-1

Số các giá trị nguyên của
f() - = 0 có hai nghiệm phân
A.

4

B. 5

thàm số m
là:

biệt
C. 6

để phương trình
D.7

Lời giải:
Chọn B
Đặt = t, với x (0;+). Phương trình tương đương f(t) = (1)
Với mỗi giá trị t > 0, ta có duy nhất 1 giá trị x > 0 tương ứng.
Do đó cần tìm m để (1) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Dựa vào đồ thị, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
-1 < < 1
Mà m Z

-7 < m2 < 9

-3 < m < 3

m {-2;-1;0;1;2}

Bài toán 8: Cho hàm số f(x). Đồ thị hàm số f’(x) trên [-3;2] như hình vẽ (phần cong
là một phần của Parabol y = ax2 + bx + c)

y

2


1
-3
0

-1

-2

2

Biết f(-3) = 0. Giá trị của
f(1) bằng?
A.

x

f(B.

1) +

C.

D.

Lời giải:
Chọn B
Parabol y = ax2 + bx + c có 2 nghiệm -3;-1 nên có dạng y = a(x+3)(x+1)
Vì Parabol đi qua điểm (-2;0) nên a=-1
Để tính f(-1), ta xét f(-1) - f(-3) = =
f(-1) =
Để tính f(1), ta xét f(1) - f(-1) = = S1+S2, trong đó S1 là diện tích tam giác có 3 đỉnh
tọa độ (-1;0),(0;2),(0;0) nên S1 = . 1.2 =1
S2 là diện tích hình thang có các đỉnh (0;0),(0;2),(1;1),(1;0) nên S2 = (2+1) =
f(1) - f(-1) = 1 + =

Vậy f(-1) + f(1) = [f(1) - f(-1)] + 2f(-1) = + 2. =
Bài toán 9: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ
y
2
1

-1
-3

O
-2 -4
-6

3
x


Số giá trị nguyên của m để phương trình 2f(3-4 = m - 3 có nghiệm?
A.

6

B. 5

C. 9

D. 17

Lời giải:
Chọn C

Điều kiện: 0

0

Đặt t = 3 - 4 , x [0;]
Ta có t’ = -4. = 0

x = (0;)

Bảng biến thiên cho t = 3 - 4
Vì x [0;]

t [-1;]

Phương trình trở thành: 2f(t) = m – 3

f(t) = , t [-1;] (*)

Phương trình 2f(3-4=m - 3 có nghiệm

f(t) = có nghiệm t[-1;]

-6 -2 + a

Mà m

-12 -4 + 2a

m {-9;-8;-7;…;-1}

-9 -1+2a , với = a+2, a (0; )
Có 9 giá trị nguyên m thảo mãn ycbt.

Bài toán 10: Cho hàm số y = ax3 + 3bx2 – 2cx + d (a;b;c;d là các hằng số, a 0) có đồ
thị như hình vẽ. Hàm số y = x4 + (a+b)x3 + (3b - c)x2 + (d – 2c)x + d - 2019 nghịch
biến trên khoảng nào sau đây?
A.

(-)

B. (0;2)

C. (1;2)

D. (2;+)

y
1

0

.1

x
2

Lời giải:

-3

Chọn C
Ta thấy hàm y = ax3 + 3bx2 – 2cx + d nghịch biến và nhận giá trị âm trên khoảng
(1;2). Một nguyên hàm của hàm này trên khoảng (1;2) là hàm
y=
4
3
2
x + (a+b)x + (3b - c)x + (d – 2c)x + d – 2019 và cũng nghịch biến trên khoảng đã
cho. Tổng của 2 hàm nghịch biến trên 1 khoảng là hàm nghịch biến trên khoảng đó.
Vậy hàm y = x4 + (a+b)x3 + (3b - c)x2 + (d – 2c)x + d – 2019 nghịch biến trên khoảng
(1;2)
Bài toán 11: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f’(x) như hình vẽ bên. Bất
phương trình + f(x) > 4 – m đúng với mọi x(-1;4) khi và chỉ khi:
A.

m 4 – f(-1)

B. m 3 – f(1)

C. m 3 – f(4)

D. m < 4 – f(-1)

y
y = f’(x)

-1

1

4

0

x

Lời giải:
Chọn C
Bất phương trình tương đương: + f(x) - 4 + m > 0
Đặt t = bất phương trình trở thành:
+t–6>0
Vậy ycbt

t>5

>5

m > 3 – f(x)

m > g(x) = 3 – f(x), x(-1;4) (*)

Ta có g’(x) = -f’(x) = 0

f’(x)=0

x = 1 (-1;4)

Bảng biến thiên:
x

-1

1
-

0

4
+


g’(x)
3 – f(4)

3 – f(-1)
g(x)
3 – f(1)

Dựa vào các diện tích hình phẳng trên đồ thị ta có:
>

->

f(1) – f(4) > f(1) – f(-1)

Do đó 3 – f(-1) < 3 – f(4)
Vậy (*)

f(-1) > f(4)

g(-1) < g(4)

m g(4) = 3 – f(4)

Bài toán 12: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y = f’(x) có đồ
thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
g(x) = |2f2(x) + 3f(x) + m| có đúng 7 điểm cực trị, biết f(a) = 1, f(b) = 0, =, =
A.

S = (-5;0)

B. S = (-8;0)

C. S = (-8;)

D. S = (-5;)

y

x
a

b

0

Lời giải:
Chọn A
Chiều biến thiên

f’(x)
f’(x)

của f(x)
c

a

như hình vẽ
b

1

f(x)=k
0


Ta có g’(x) = = 0
f’(x) = 0
f(x) =
2f2(x) + 3f(x) + m = 0
x = a; x = b; x = c hoặc 2f2(x) + 3f(x) = -m
Để g(x) có 7 cực trị
(0;1); k2 (0;1)

2k2 + 3k = -m có 2 nghiệm k1

(1) có 4 nghiệm phân biệt

Xét h(k)= 2k2+ 3k; h’(x)= 4k+3 = 0

k

(1)

k = nên có BBT:

K1

0

k2

1

h(k)

5

0

Dựa vào hình vẽ ta thấy 0 <
thỏa mãn điều kiện

-m < 5

-5 < m < 0 và

Bài toán 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo
hàm cấp hai liên tục trên R. Biết

f’(-2)=-8 f’(1)=4 và đồ thị của hàm số f”(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số y=2f(x3)+16x+1 đạt giá trị lớn nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây?
y
f”(x)

-2

2

0

1

x


(0;4)

B. (4;+