VẬN DỤNG CAO TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.52 MB, 26 trang )
Contents
TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO ....................................................................0
A.
ĐỀ BÀI ........................................................................................................................0
B.
LỜI GIẢI CHI TIẾT ..................................................................................................7
TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO
A.
ĐỀ BÀI
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 1 – THÁNG 1 – QUÝ 1
Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn
1
f ' x . f x x 2 , x 1; 2 và f 1 1 .Tính S f 1 f 2 f 3 .
x
65
5
1
15
A.
B.
C.
D.
6
2
85
6
Câu 2: Cho hàm số
y f x
f ' x . f 2 x 2 x 3 f 3 x 1 , x
2
f x 1
liên tục trên
thỏa mãn
và f 0 0 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ
nhất m của hàm số y f x trên đoạn 2; 3 .
A. M 3 455; m 3 244
B. M 3 999; m 3 124
C. M 3 599; m 3 155
D. M 3 145; m 3 45
Câu 3: Cho x, y , z là các số thực thỏa mãn 4x 9y 16z 2x 3y 4z Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P 2x1 3y1 4z1.
A.
9 87
.
2
B.
5 87
2
C.
7 87
.
2
D.
3 87
2
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 3 – THÁNG 1 – QUÝ 1
ADMIN NHÓM PI
Luôn yêu để Sồng, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu
0
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
\0; 1 thỏa mãn điều kiện
Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục trên
x x 1 f ' x f x x 2 x , x 0; 1
f 1 2 ln 2 .
và
f 2 a b ln 3
Biết
a, b . Tính a2 b2 ?
3
4
A.
B.
13
4
C.
1
2
9
2
D.
Câu 5: Cho a , b , c 1 thỏa mãn : log 2 a 1 log 2 b log 2 c log bc 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 10 log 22 a 10 log 22 b log 22 c.
A. 7
B. 6
C. 4
D. 3
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – CHUNG KẾT – THÁNG 1– QUÝ 1
Câu 6: Cho hàm số f x e
1
4
4
x x 1 x 2 x2 x 12 x 2 2
. Biết rằng
m
Q f 1 . f 2 . f 3 ... f 2018 e n với m, n
của T m 2018n 2019.1010.
A. T 2
B. T 2
*
,
m
là phân số tối giản. Tính giá trị
n
C. T 1
Câu 7: Cho hai số thực a , b \0 và hàm số f x a log
D. T 1
4
x4 1 x b sin x 10 và
f log 4 2.log 2 3 f log 5 3.log 4 5 6 . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây?
C. 50; 55
B. 55; 60
A. 45; 50
D. 40; 45
8
Câu 8: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện log 2 abc 1 4ab .
c
1
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M log 2 a2 2 log 2 b3 2 log 2 c6 2.
2
3
6
47
1
1
A.
B.
C.
D. 6 2
90
4
2
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – TUẦN 2 – THÁNG 2 – QUÝ 1
Câu
9:
Cho
hàm
số
f x 0
2 f ' x 3x2 6x 2 f 2 x và f 1
m, n là số nguyên,
A. T 4
liên
tục
trên
\0; 1; 2
thỏa
mãn
1
m
. Biết S f 1 f 2 ... f 2018
, với
3
n
m
là phân số tối giản. Tính T 2m n.
n
B. T 4
C. T 2
D. T 2
1
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu
10:
Cho
các
số
thực
dương
a, b, c , x , y , z
lớn
hơn
1
thỏa
mãn
log x 2 a log y 2 b log z 2 c 0 và xbc y ca z ab 8 abc . Tính giá trị của biểu thức:
log 22 x log 22 y log 22 z
P
a2
b2
c2
B. P 3
C. P 9
A. P 2
D. P 8
Câu 11: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
3
z1
2
2
2
2
là số thực và z1 z2 4 3 . Đặt T z1 z2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
z
2
1 19
3 5
3
9
A. T ;
B. T ;
C. T 0;
D. T 3;
2 5
2 2
2
2
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P z3 z
7
z
2
3 1
5
2
A.
1
.
z
B.
11
4
C. 2
D. 3
x2 2 2
Câu 13: Cho x 0, y 1 thỏa mãn điều kiện log 2 y log 2 2
x 1 y 2 y . Gọi
x 1
m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x ln x 1 x2 y 1 và đạt tại bộ số
x ; y . Tính T x
0
0
2
0
A. 34
y0 2 m 2
B. 25
C. 29
D. 16
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 1
Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục tại điểm 0 thỏa mãn f 0 0 và
f ' 0 2 . Giá trị của L lim
x 0
đây?
A. 19; 20
1
f x
x
B. 18;19
x
f ...
2
x
f
thuộc khoảng nào sau
2018
C. 17;18
D. 16;17
Câu 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn đẳng thức:
3x 3 f x
f ' x xf ' x x 2
2
f ' x x , x 1; 2 và f 1
7
. Tính f 2 .
3
2
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
A. f 2
7 7 1
3
B. f 2
7 7 1
3
C. f 2
2 7 1
3
D. f 2
2 7 1
3
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn 2 z 1 i zi 5iz z 0 . Khẳng định nào sau đây
đúng?
2
B. z ;1
3
2
A. z 0;
3
4
C. z 1;
3
4
D. z ; 2
3
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 5 . Gọi M, m lần lược là giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 z2 4 7 z . Tính S M m .
B. S
A. S 45
361
8
C. S
369
8
D. S 52
Câu 18: Cho hàm số f x 0, x 0;1 và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa
f ' x
mãn điều kiện f 1 4 f 0 4 ,
dx 6 ,
x1
0
2
1
1
f ' x ln f x dx 4 ln 4 3 . Tính
0
1
f x dx .
3
0
A.
217
5
B.
31
5
C.
508
7
D.
127
7
Câu 19: Cho số phức z không phải là số thuần ảo thỏa mãn z 2 và số phức w
là số thuần ảo. Biết z z
A. 125
2
a
a, b
b
B. 125
,
z
1 z4
a
là phân số tối giản. Tính T a ab b2
b
C. 75
D. 75
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 2
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i z 3 i 2 2 z 2 i . Biết giá trị lớn nhất
của biểu thức P z 1 i có dạng là a 33 b a , b
A. S 1
B. S 3
. Tính S 3a 2b
C. S 6
D. S 2
3
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 21: Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên 0; thỏa mãn f 0 1
, f ' 0 0 , f '' x 5 f ' x 6 f x 0, x 0; ,
ln 2
1
f x dx 6 . Tính tích phân
0
ln 2
f 2 x dx .
0
A.
15
4
35
17
B.
C.
27
20
D.
24
7
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 3
f x xác định trên
Câu 22: Cho hàm số
\1; 4 thỏa mãn điều kiện
2x 5
3
1
, f ' 2 , f 0 4 ln 2 1 , f 2 2 ln 2 1
f ' x f '' x 2
6
x 5x 4
2 x 10 x 8
2
và f 5 ln 2 . Tính giá trị của biểu thức Q 4 f 1 f 3 f 8 .
1
A. Q 8 ln 5 ln 7 2 ln 2
2
1
C. Q 8 ln 5 ln 7 2 ln 2
2
1
B. Q 8 ln 5 ln 7 2 ln 2
2
1
D. Q 8 ln 5 ln 7 2 ln 2
2
Câu 23: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn: z 2 i 2 z 1 i và z1 z2 1 i . Tính giá
2
2
trị của biểu thức P z1 z2 .
A. P 2
B. P 1
C. P 4
D. P 9
Câu 24: Cho số phức z 2i thỏa mãn z 1 2i z 1 2i
3
Tìm giá trị nhỏ nhất
z 2i
của biểu thức P z 2i .
A.
1
B.
2
3
2
C.
2
3
D.
1
3
Câu 25: Cho hàm số f x có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
f 0 4 f 1
,
16
1
x 1
0
3
1
f ' x dx
8
f x
1
dx
và
. Tính tích phân
2
64
0 f ' x
1
3
1
f x dx
0
4
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
A.
1
24
B.
1
32
C.
1
8
D.
1
4
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 4
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z4 z2 2 3 z2 2 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P z2 1 z 2 .
A.
1
B.
2
3
2
C.
2
3
D.
1
3
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 5
Câu 27: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 1, z2 r . Gọi M, N, P lần lượt là điểm
NMP
biểu diển các số phức z1 , iz2 ,4iz2 . Biết
. Khi r r0 thì góc là lớn
o
MOP 90
nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. r 1; 2
B. r 0;1
C. r 2; 3
D. r 3; 4
Câu 28: Cho hàm số f x có đạo hàm khác 0 và liên tục đến cấp hai trên 1; 2 thỏa
ln 2 f ' 1 f 1 1
mãn
f ' x xf '' x , x 1; 2
f ' x 3
f x 1
2 ln 2 2
2
Biết tích phân
xf x dx a log
1
A. 56
B. 32
2
5
b
c , với a, b, c
ln 2
C. 45
. Tính T 4a2 12b2 2c 2 .
D. 54
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 6
Câu 29: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 r1 , z2 2r2 và
iz1 1 i z2 r12 4r22 . Gọi A , B , M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 2iz1 ,
2 2i z , 1 i z
2
2
, iz1 . Biết là góc giữa AM và BN . Tìm giá trị nhỏ nhất của
cos .
A. cos min
4
5
B. cos min
3
4
5
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
C. cos min
D. cos min
3
5
2
3
Câu 30: Cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z i 1 và 2 z1 z1 3 z2 z2 3 Giá trị
lớn nhất M của biểu thức P z1 2 i z2 3 i thuộc khoảng nào sau đây?
C. M 6; 8
B. M 5; 7
A. M 4; 6
D.
M 7; 9
Câu 31: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn
ef 1 4 f 0 4
1
1
2
2
2x
11
x
e f ' x f x dx 4 e f x dx
3
0
0
1
Tính I f x dx .
0
A. I
4 e 1
B I
e
3 e 1
C. I
e
2 e 2
e
D. I
5 e 2
e
ĐỀ THI THỬ THPT QG 2018 – LẦN 10
Câu 32: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 m và
2
2
2
z1 z2 z3 z3 z1 z2 z2 z3 z1 n với m, n là số thực, n m 0 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P z1 z2 z3 là:
3 m2 n
m2 n
m2 n
A.
B.
C.
D.
3
2
4
Câu 33: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa
3 m2 n
2
f 1 1
, x 0;1
f x 0
f x ln f x xf ' x f x 1
1
Tính tích phân
f x dx .
0
1
A.
f x dx
0
e 1
3
1
B.
0
f x dx
e6
6
1
C.
f x dx 4
D.
0
1
f x dx 1
0
6
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 34: Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1 1 2i z2 5 2i 2 và
z 3 2i z 7 2i 10 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P z1 z2 z 3 i . Tính T M m
A. 9 2 26
B. 15 109
C. 8 107
D. 11 110
Câu 35: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa
f 2018 x 2017 2018 f x ,
1
Giá trị tích phân
x
f x dx bằng
2
0
5
f ' 1
3
A.
B.
2
B.
2
10
f ' 1
3
C.
2
7
f ' 1
3
D.
2
4
f ' 1
3
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Tổng quát: Phương trình có dạng: f ' x g x . f x h x
(1)
g x dx
g x dx
g x dx
g x dx
f ' x e
g x . f x e
h x
Ta nhân 2 vế của (1) cho e
, ta được: e
g x dx f x ' e g x dx h x e g x dx f x e g x dx h x dx
Tương đương với e
g x dx h x dx
Hay f x
.
g x dx
e
e
Chú ý:
g x dx ta chỉ lấy đại diện một nguyên hàm của g x
không công thêm hằng
số C
x1 dx 2
e x dx x3dx x3 C
1
2
Áp dụng: Dễ thấy g x , h x x f x
1
dx
x
x
4 x
e x
f 1
5
1 5
x3 1
65
C C 1 f x S
4
4 4
4 x
6
Câu 2:
7
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
f ' x . f 2 x 2 x 3 f 3 x 1
2
f ' x. f 2 x
3
f 3 x 1
1
f 3 x 1 3 C1 x 2 C2 f x 3 x 2 C
f 0 0 C 1 f x
3
2
3
dx 2 xdx
2
1 3
f x 1 3 d f 3 x 1 x 2 C 2
3
1
3
3
max f x f 3 999
x2 1 1
3
min f x f 2 124
Câu 3:
2
2
2
x 1 x 1 x 1 3
y
y
x
z
x
z
Ta có: 4 9 16 2 3 4 2 3 4
2
2
2 4
1
1
1 9
P 2 x 1 3 y 1 4 z 1 2 2 x 3 3 x 4 4 x
2
2
2 2
2
2
2
1 x 1 x 1 9
x
2 3 4 2 3 4
2
2
2 2
2
2
2
2
2
3 9 9 87
32 4 2 .
4 2
2
Câu 4:
Để đưa về dạng quen thuộc thì ta chia 2 vế cho x x 1 , khi đó ta được:
f ' x
1
1
f x 1 g x
, h x 1
x x 1
x x 1
1
Suy ra f x
e
x x1 dx
1
e
Ta có f 1
Nên f 2
dx
x x1 dx
x
x 1 dx
x
x1
x ln x 1 C
x
x1
x C x 1 ln x 1
x
x
x1
1 C
x2 1 x 1 ln x 1
2 ln 2 2 ln 2 C 1 f x
1
x
x
2
3 3
9
ln 2 a2 b
2 2
2
Câu 5:
8
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Ta có: log 2 a 1 log 2 b log 2 c log bc 2 log 2 a
1 log 2 b log 2 c
log 2 b log 2 c
log 2 a.log 2 b log 2 b.log 2 c log 2 c.log 2 a 1
Đặt x log 2 a , y log 2 b, z log 2 c xy yz zx 1 . Ta có:
1
1
1
1
P 2 x2 2 y 2 8 x 2 z 2 8 y 2 z 2 2 2 x2 .2 y 2 2 .8x 2 . z 2 2 8 y 2 . z 2 4 xy yz zx 4
2
2
2
2
1
x y
xy
3
3 a b 2
Dấu “=” xảy ra khi 4 x z
3
4 y z
z 4
c 2 2
3
Câu 6:
x 2 x 1 x 2 4 x x 1 x 2 4
4
4
1
2
2
x x 1 x 2 x 2 x 12 x 2 2
x 2 x 1 x 2
2
2
x x 1 x 2 2
2
1
1
1
1
x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 1 x 2
2
f x e
1
1
1
x x 1 x 2 x 2
2
; f 1 e
1
1
1
1.2 2.3
; f 2 e
1
2
1
1
2.3 3.4
Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
.... 1
1.2 2.3 2.3 3.4
2018.2019 2019.2020
Q e
e
1
1
2018
2 2019.2020
2018.2019.2020 2019.1010 1
2019.2020
Vậy T 2018.2019.2020 2019.1010 1 2018.2019.2020 2019.1010 1
Câu 7:
log 4 2.log 2 3 log 4 3
f t f t 6
log 5 3
Ta có:
log 5 3.log 4 5 log 4 log 4 3 t log 4 3
5
4
f t a log t 4 1 t b sin t 10
9
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
4 4
4 t 4 1 t t 4 1 t 2
t 1 t
4 4
b sin t 10
f t a log t 1 t b sin t 10 a log
4
t 4 1 t t 4 1 t 2
1
2
4 4
4
a log
b sin t 10 a log t 1 t b sin t 10 a log t 1 t
4
4
4
2
t 1 t t 1 t
4
2
f t 20 a log t 1 t
f t f t 20 a log
t4 1 t2 6 a
log
14
t4 1 t2
54
Câu 8:
Ta có: log 2 abc 1 4ab log 2 4ab 4ab log 2
8
c
8
c
8
c
8
Xét hàm số f t log 2 t t , t 0 ; f ' t 0, t 0 . Mà f 4 ab f
c
8
c
Suy ra 4ab abc 2 log 2 a log 2 b log 2 c 1
Đặt x log 2 a; y log 2 b; z log 2 c a b c 1
Ta có: M log 2 a
2
1
1
1
2 log 2 b3 3 2 log 2 c6 6 2 log 2 a2 2 log 2 b3 2 log 2 c6 2
2
3
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
2 log 2 2a
3 log 2 2b
6 log 2 2c
2 4 log 2 a 3 9 log 2 b 6 36 log 2 c
1
1
1
2 4 x 3 9 y 6 36 z
3 9y 1
1
2 4x 1
6 36 z 2 4 x 3 9 y 6 36 z
M
16 3 9 y
36 6 36 z
144 16
36
144
2 4x
2
3 9y
1
2 4x
1
1
6 36 z 2 4 x 3 9 y 6 36 z
.
2
.
2
.
2 4 x 16
3 9 y 36
6 36 z 144
36
144
16
1 1 1 2 4 x 3 9 y 6 36 z
1 xyz 1
1
2 3 6 16
36
144
4
4
2
10
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1
2
1
3
1
6
Dấu bằng xảy ra khi x ; y ; z a 2; b 3 2; c 6 2
Câu 9:
Ta có:
2 f ' x 3x 2 6 x 2 f 2 x
2 f ' x
f
2
x
2 f ' x
f 2 x
3x 2 6 x 2
dx 3x 2 6 x 2 dx x 3 3x 2 2 x C1
2
2
C2 x 3 3x 2 2 x C1
x 3 3x 2 2 x C
f x
f x
Mặc khác: f 1
Khi đó f x
(với C C1 C2 )
1
2
6C C 0
1
3
3
2
2
1
1
2
x 3x 2 x x x 1 x 2 x x 1 x 1 x 2
3
Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
2019.1010 1
S
....
1.2 2.3 2.3 3.4
2018.2019 2019.2020 2 2019.2020
2019.2020
Vậy T 2 2019.1010 1 2019.2020 2
Câu 10:
Ta có: xbc yca z ab 8abc bc log 2 x ca log 2 y ab log 2 z 3abc
log 2 x log 2 y log 2 z
3
a
b
c
(1)
Bình phương 2 vế của (1) ta được:
log 22 x
a
2
log 22 y
log 22 x
a
2
b
Mặt khác:
2
log 22 z
log 22 y
b
2
c
2
log 2 x.log 2 y log 2 y.log 2 z log 2 z.log 2 x
2
9
ab
bc
ca
log 22 z
c
2
c.log 2 x.log 2 y a log 2 y.log 2 z b log 2 z.log 2 x
9 2
abc
a
b
c
0 a log 2 y.log 2 z b log 2 z.log 2 x c log 2 x.log 2 y 0
log 2 x log 2 y log 2 z
11
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
P
log 22 x log 22 y log 22 z
90 9
a2
b2
c2
Câu 11:
z1 z2
z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau z2 z1
z z
2
1
3
z
Ta có 1 là số thực
z2
3
z1 z1
z1 z2
2
2
0 0 z1 z2
z
z
z
2 z2
2 1
3
3
z14 z24 z12 z22 z1 z1
3
2
z1
4
z
4
1
z12 z22 z24 0
(1)
2
2
4
4
Lại có: z12 z22 4 3 z12 z22 z1 z2 48 z1 z2 z14 z24 48 (2)
4
Thay (1) vào (2) ta được: 3 z1 48 z1 z2 2
2
2
4
Mặt khác: z12 z22 z12 z22 2 z1 z2
4
z z
2
1
2
2
2.32 48 4
Câu 12:
2
Ta có: z z.z 1
Đặt t 1
1
1 1 z 1 z 1 z.z z z 1
t2 1 1
2 z z
z
z.z
z z z z
Suy ra z z t 2 2
7
Xét z 3 z
z
2
z 3 z.z.z 7 z 2 z 2 z z 7 t 2 2 7 t 2 5
2
3 11 11
Do đó P t 5 3t t
4
4
2
2
Câu 13:
12
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 14:
Cách 1:
x
x
x
f f 0
f f 0
f
f 0
f x f 0
2
2018
1
1 3
1
L lim
.
...
.
x 0
x
x
x
x0
2
3
2018
0
0
0
2
3
2018
2018
f ' 0 f ' 0
f ' 0
1 1
1
1
f ' 0
...
f ' 0 1 ..
2 16, 4
2
3
2018
2 3
2018
x 1 x
f x
Cách 2: L lim
x 0
x
x
f
2
x
x
f
3 ...
x
x
f
2018 . Áp dụng quy tắc Lopitan ta có:
x
1 x 1 x
1
x
L lim f ' x f ' f ' ...
. f '
x 0
2 2 3 3
2018 2018
1
1
1
f ' 0 f ' 0 f ' 0 ...
. f ' 0 16, 4
2
3
2018
Áp dụng quy tắc Lopitan thì phải thỏa mãn đồng thời 2 dữ kiện sau:
-
lim f x lim g x 0 hoặc lim f x lim g x
xx0
x x0
xx0
x x0
13
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
-
lim
x x0
f ' x
g ' x
tồn tại
Khi đó quy tắc l'Hôpital: lim
x x0
f x
g x
lim
x x0
f ' x
g ' x
Câu 15:
3x3 f x
f ' x x 3x 3 f x f ' x x f ' x xf ' x x 2
2
f ' x xf ' x x
f ' x
3
3
3x 3 f x f ' x x 3 x 3 3 f x 1 f ' x
x
3 3 f x 1
2
2
2
1 3
f ' x
2
2
1
3
1
3
dx xdx 3 f x 1 3 d 3 f x 1
2
31
2
3 f x 1
1
2
2
2
2
2
1 3
3
7 7 1
. 3 f x 1 3 3 f 2 1 3 3 f 1 1 3 3 3 f 2 1 3 7 f 2
3 2
2
3
1
Câu 16:
Ta có:
2 z 1 i zi 5iz z 0 2 z 2i z 5z 2 i z 0
2
z 2 z 2 i 5 z
1
4 z 2 5 z z
2
z 2 z 2 i 5z 2
2
2
Câu 17:
Áp dụng công thức trong sách ta có:
Xét 25 z 2 z 2
2
2
3
5
z
2
2
2
2
z 2 z 2 2 z 2 . z 2 2 z 8 2 z2 4
2
P 2 z 2 4 7 z 25 2 z 8 7 z 17 7 z 2 z
2
14
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
3 5
Xét hàm số f t 17 7 t 2t 2 , t ;
2 2
5
5
z
min f t 22 . Dấu “=” xảy ra khi
z
2
3 5
2
2;2
z2 z2 5
7
185
5 13 3 51
z ;
. Dấu “=” xảy ra khi
max f t
z
i
4
3 5
8
16
16
;
z2 z2 5
2 2
Câu 18:
1
Xét I f ' x ln f x dx
0
f ' x
1
u ln f x du
dx
1
f
x
Đặt
I
f
x
ln
f
x
0 f ' x 4 ln 4 3
dv
f
'
x
dx
0
v f x
1
1
0
0
ln 256 f ' x x 4 ln 4 3 f ' x dx 3
1
1
1 f ' x
f ' x
3
. x 1dx
dx. x 1 dx 6. 9
Áp dụng hệ quá BĐT holder: 9
0 x1
2
0
0 x 1
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f ' x k x 1 , vì
2
1
f ' x dx 3 k 2
0
f x x 2 2 x C , vì f 1 4 C 1
1
Vậy f x x 2 2 x 1 f 3 x dx
0
127
7
Câu 19:
Vì w là số thuần ảo nên:
15
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
4
4
3
z
z
0 z 1 z z 1 z 4 0 z z z.z z.z 4 0 z z z.z z 3 z 0
4
4
1 z 1 z
2
2
z z z.z z z z 2 z.z z 0 z z 1 z.z z 2 z.z z 0
Vì z không phải là số thuẩn ảo nên z z 0 , suy ra
2
2
2
1 z.z z 2 z.z z 0 z z z 3z.z 1
2
2
2
2
1
47
z z z 3 z 1 z z 3.4
4
4
Câu 20:
Xét: 2 2 z 2 i z 1 3i z 3 i
2
2x 2 2 y 1
2
2
x 1 y 3
2
2
x 3 y 1
2
2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
x 1 y 3
2
2
2
x 3 y 1
2
2 x 2 2 y 1
2
x 1 y 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x 1 y 3 x 3 y 1
2
2
2
2
2 x 1 y 3 x 3 y 1
11
11
33
z 1 i
3
3
3
5
5
i
z
6
6
Dấu “=” xảy ra khi
5
5
i
z
6
6
Câu 21:
f '' x 5 f ' x 6 f x 0 f '' x 2 f ' x 3 f ' x 2 f x 0 (1)
Đặt g x f ' x 2 f x , từ (1) suy ra g ' x 3 g x 0
Xét hàm số h x e 3 x g x h ' x 3e 3 x g x e 3 x g ' x e 3 x g ' x 3 g x 0
16
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Suy ra h x đồng biến trên 0; h x h 0 g 0 f ' 0 2 f 0 2
e 3 x g x 2 e 2 x f ' x 2 f x 2e x 0
Xét hàm số k x e 2 x f x 2e x k ' x e 2 x f ' x 2 f x 2e x 0
Suy ra k x đồng biến trên 0; k x k 0 f 0 2 3
e 2 x f x 2e x 3 f x 3e 2 x 2 e 3 x
ln 2
1
f x dx 6
0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f x 3e 2 x 2e 3 x
ln 2
f x
0
2
dx
27
20
Câu 22:
Câu 23:
17
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 24:
Câu 25:
18
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 26:
Câu 27:
N OP ; OP 4ON 4r
Từ đề suy ra
OM 1
19
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Ta có: tan OMN r
Và tan OMN
Suy ra tan
tan OMN tan
r tan
OP
4r
1 tan OMN.tan 1 r tan OM
3r
3
3
1
max đạt được khi r
2
2
4r 1 2 4r 2 .1 4
Câu 28:
f ' x
3
f ' x xf '' x
2
f x 1
2 f ' x 2 xf '' x
f x
f ' x 2 ln 2 2
2
f ' x
ln 2 2
2x
2x
f x
f x
2 ln 2 '
C1
' 2 ln 2
f ' x
f
'
x
Vì ln 2 f ' 1 f 1 1 C1 0
Khi đó:
f x
f x
f x
f ' x 2 ln 2 2x 2 ' 2x 2 2xdx x2 C2 f x log 2 x2 C2
Vì f 1 1 C2 1 , khi đó: f x log 2 x2 1
2x
v 2
u log 2 x 1
x 1 ln 2
Ta có: I x log 2 x 2 1 dx , Đặt
1
dv xdx
x2
v 2
2
1
Suy ra I x2 log 2 x2 1
2
2
1
2
1
x3
1
1
x
2 log 2 5
x 2
2
ln 2 1 x 1
2 ln 2 0
x 1
2
1
20
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
2
1
1 x2
1
2 log 2 5
ln x 2 1
2 ln 2 2 1 2
3
2 log 2 5
1
2 ln 2
1
2
Câu 29:
Từ đề suy ra OA 2r1 ; OB 4r2 và M ,N lần lượt là trung điểm OB và OA
Ta có:
iz1 1 i z2 r12 4r22 2iz1 2 1 i z2 2 r12 4r22 OA OB AB 2 r12 4r22
Do đó tam giác OAB vuông tại O
Ta có: cos
AM.BN
AM.BN
AO AB . BO BA
4 AM.BN
Vì OA OB AO.BO 0 cos
2 AB
AO.BO AB BO AO AB
2
4 AM.BN
2
4 AM.BN
AB2
2 AM.BN
Lại có:
OA2 AB2 OB2 OB2 AB2 OA2
2 AM.BN AM BN
2
4
2
4
1
5 AB2
OA2 OB2 AB2
do AB2 OA2 OB2
4
4
2
2
Vậy cos
AB2
4
5
5
AB2
4
Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể chuẩn hóa r1 bằng một số dương bất kì rồi đưa
cos về hàm theo biến r2 , khi đó việc tìm min sẽ dễ dàng hơn.
21
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Câu 30:
Từ đề suy ra z1 i z2 i 1
2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: P z1 2 i z2 3 i 2 z1 2 i z2 3 i
2
Ta có: z1 2 i z1 2 i z1 2 i z1 i 2 z1 z1 4
2
2
Và z2 3 i z2 3 i z2 3 i z2 i 3 z2 z2 9
2
2
2
2
P 2 z1 i z2 i 2 z1 z1 3 z2 z2 13 2 2 3 13 6
Câu 31:
Đặt u x e x f x u ' e x f x e x f ' x e x f ' x u ' u
1
2
11
Đề I u ' u u2 4u dx , với u 1 4, u 0 1
3
0
1
2
11
I u ' 2u.u ' 4u dx
3
0
1
1
1
1
1
1
u2
15
Xét u.u ' dx
và udx xu 0 xu ' dx 4 xu ' dx
2 0 2
0
0
0
0
1
2
8
Suy ra I u ' 4 xu ' dx
3
0
Chọn m
sao cho
1
1
1
1
0
0
0
0
2
2
2
u ' 2 x m dx 0 u ' 4 xu ' dx 2m u ' dx 2x m dx 0
Hay
8
4
6 m 2 m m2 0 m 2
3
3
Vậy
1
x
x
x
u ' 2x 2 dx 0 e f x e f ' x 2x 2 e f x ' 2x 2 f x
0
2
x2 2x C
ex
22
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
1
5 e 2
x2 2x 1
f x dx
x
e
e
0
Vì f 0 1 f x
Câu 32:
Áp dụng công thức trong Sách ta có:
2
2
2
2
2
2
z1 z2 z3 z1 z2 z3 z3 z1 z2 z2 z3 z1 4 z1 z2 z3
2
2
2
z1 z2 z3
2
2
Mà z1 z2 z3
z1 z2 z3
2
2
m2 n
4
z
1
z2 z3
3 m2 n
3
2
z
1
z2 z3
3
2
m2 n
4
2
Câu 33:
Đề f x ln f x xf ' x xf ' x f x ln f x x.
1
f ' x
f x
xf ' x
1
x ln f x ' xf ' x x ln f x xf ' x dx xf x f x dx
1
0
0
1
0
0
1
Suy ra
f x dx f 1 1
0
Câu 34:
Gọi E là điểm biểu diễn số phức z1 =>E thuộc đường tròn tâm I(1;2), bán kính R1=2
Gọi F là điểm biểu diễn số phức z2 =>F thuộc đường tròn tâm J(-5;2), bán kính R2=2
Gọi M là điểm biểu diễn z, gia thiet z 3 2i z 7 2i 10 MA MB AB 10 => M
thuộc đoạn AB
P z1 z2 z 3 i OE OF MC EF MC , với C(3;-1)
23
Sáng tác và biên soạn: Phạm Minh Tuấn
EF AB 2 R1 R2 10 2 2 2 2
Ta có min
Pmin 5
MC
3
M
A
min
EFmax AB 10
Ta có
Pmax 10 109
2
2
MCmax 3 7 1 2 109 M B
Vậy M m 15 109
Câu 35:
Xét f 2018 x 2017 2018 f x (*)
Đạo hàm 2 vế của (*) :
2018 f ' 2018 x 2017 2018 f ' x
( nháp y 2018 x 2017 x
Do đó thay x bởi
y 2017
)
2018
x 2017
, ta được:
2018
x 2017
x 2018 1
f ' x f '
f '
2018
2018
Tiếp tục thay x bởi
(1)
x 2017
:
2018
24
