CÁC BÀI TOÁN HÌNH HAY Ở TIỂU HỌC

TUYỂN CHỌN
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC HAY Ở CẤP TIỂU HỌC
A

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD như
hình vẽ, biết M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC và DC. Hãy tìm
các cặp hình có diện tích bằng nhau
trong hình vẽ (không nối, không vẽ
thêm đoạn thẳng nào nữa).

B
O
M

D

N

C

Bài giải:
- Với học sinh cấp Tiểu học (chưa học về ngũ giác, lục giác,...):
Có 08 cặp hình có diện tích bằng nhau như sau:
1) SADN = SBCN (có chiều cao bằng nhau, đáy DN = NC).
1
1
1
SABC (chung chiều cao AB, đáy BM = BC) (1); SBCN = SBCD (chung chiều
2
2

2
1
1
cao BC, đáy CN = DC) (2); SABC = SBCD = SABCD (3). Từ (1), (2), (3) suy ra : SABM =
2
2

2) SABM =

SBCN.
3) Vì SADN = SBCN mà SABM = SBCN nên suy ra SADN = SABM.
4) Ta có: SABCD – SABM = SABCD – SADN hay SAMCD = SABCN.
5) SABCD – SABM = SABCD – SBCN hay SAMCD = SABND.
6) SABCD – SAND = SABCD – SBCN hay SABCN = SABND.
7) SABCN – SBCN = SABCN – SABM hay SABN = SAMCN.
8) SABM – SBOM = SBCN – SBOM hay SAOB = SOMCN.
- Với học sinh cấp THCS trở lên (đã học về ngũ giác, lục giác,...):
Ngoài 08 cặp hình đã tìm ra ở trên cần phải tìm thêm được các cặp hình khác như sau:
9) SAOND = SABMON (vì SAOB = SMONC ; SAMCD = SABCN mà SAOND = SAMCD – SMONC ; SABMON =
SABCN – SAOB).
10) SAOBCN = SABMON (vì SAOB = SMONC).
11) SAOND = SAOBCN (vì bằng

3
SABCD – SAOB).
4

12) SAOND = SABMON (vì SAOB = SMONC ; SABND = SABCN).
13) SAOBCD = SABMOND (vì SAOBCD = SABCD – SAOB ; SABMOND = SABCD – SMONC ; SAOB = SMONC).

1


Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (như hình vẽ).
Biết MN song song với AB, PQ song song với BC.
a) Có bao nhiêu hình bình hành trong hình vẽ trên?
b) Từ cách tính ở câu a), em hãy nêu cách tính tổng
quát cho dạng toán này.
c) Biết diện tích các hình bình hành APIM,
PBNI, MIQD lần lượt là 3cm 2, 9cm2, 7cm2. Tính
diện tích hình bình hành ABCD.

A
M

D

P

B
N

I

Q

C

Bài giải:
a) Có 9 hình bình hành.

b) Từ hình vẽ ta thấy: cứ 1 cặp đường thẳng song song cùng với 1 cặp đường
thẳng song song cắt nó tạo ra được 1 hình bình hành.
AB cùng với các đường thẳng song song với nó tạo thành số cặp đường thẳng
song song là: 3  (3 – 1) : 2 = 3 (cặp); BC cùng với các đ ường th ẳng song song v ới nó
tạo thành số cặp đường thẳng song song là: 3  (3 – 1) : 2 = 3 (cặp).
Từ nhận xét trên suy ra: 3 cặp đường thẳng song song với AB cùng với 1 cặp
đường thẳng song song với BC tạo thành 3 hình bình hành. Số hình bình hành được tạo
ra từ hình đã cho là: 3  3 = 9 (hình bình hành).
Vậy nếu có n (n > 1) đường thẳng song song và m (m > 1) đ ường th ẳng song
song cắt nó thì số hình bình hành được tạo thành là:
n  (n  1)
m  (m  1)

2
2

c) Hình bình hành APIM và PBNI có chung chiều cao hạ t ừ A xuống MN nên đ ộ
dài cạnh đáy IN so với độ dài cạnh đáy MI gấp số lần là: 9 : 3 = 3 (lần).
Hình bình hành MIQD và INCQ có chung chiều cao hạ từ C xu ống MN và có IN

= 3 MI nên diện tích hình bình INCQ là: 3  7 = 21 (cm2).
Diện tích hình bình hành ABCD là: 3 + 9 + 21 + 7 = 40 (cm2).
Bài 3. Trong hình vẽ bên, ABCD và MNDP là hai
hình vuông. Biết AB = 30 cm, MN = 20 cm.
a) Tính diện tích các hình tam giác ABN; MNP
và PBC.
b) Tính diện tích hình tam giác NPB.
c) Tính diện tích hình tam giác NKB.
Bài giải:
a) Diện tích hình tam giác ABN là: (30 – 20)  30 : 2 = 150 (cm2).

Diện tích hình tam giác MNP là: 20  20 : 2 = 200 (cm2).
2


Diện tích hình tam giác PBC là: (20 + 30)  30 : 2 = 750 (cm2).
b) Diện tích hình vuông ABCD và MNDP là: 20  20 + 30  30 = 1300 (cm2).
Diện tích hình tam giác NPB là: 1300 – (750 + 200 + 150) = 200 (cm2).
c) Hai tam giác PKB và NKB có chung cạnh KB và có chiều cao CB so với chiều
cao NA thì gấp số lần là: 30 : (30 – 20) = 3 (lần). Suy ra : SPKB = 3  SNKB.
Coi SNKB là 1 phần thì SPKB là 3 phần như thế, suy ra SPNB là 2 phần.
Diện tích hình tam giác NKB là: 200 : 2 = 100 (cm2).
Bài 4. Tính diện tích của hình vuông
CMNP (hình bên), biết hiệu chu vi của hai
hình vuông ABCD và CMNP là 28cm và
hiệu diện tích của hai hình vuông đó là
119cm2.
Bài giải:
Vẽ hình vuông PCIK bằng hình vuông CMNP
vào trong hình vuông ABCD.
Nối AK ta được 2 hình thang bằng nhau, có đáy
lớn là cạnh hình vuông lớn, đáy bé là cạnh hình
vuông nhỏ, chiều cao bằng hiệu độ dài cạnh 2 hình
vuông.
Diện tích 2 hình thang bằng nhau và bằng:
119 : 2 = 59,5 (cm2).
Chiều cao mỗi hình thang là: 28 : 4 = 7 (cm)
Tổng độ dài cạnh của 2 hình vuông là: (59,5  2) : 7 = 17 (cm)
Cạnh hình vuông CMNP là: (17 – 7) : 2 = 5 (cm)
Diện hình vuông CMNP là: 5  5 = 25 (cm2).
Bài 5. Một mảnh đất hình vuông được

chia thành 5 mảnh hình vuông nhỏ (1,
2, 3, 4, 5) và một mảnh hình chữ nhật
(6) như hình vẽ. Biết cạnh mảnh đất
hình vuông (2) là 2m. Tính diện tích
mảnh đất hình chữ nhật (6).

Bài giải:
Ta có cạnh hình (2) = cạnh hình (3), mà cạnh hình vuông lớn = cạnh hình (2) +
cạnh hình (2) + cạnh hình (4) = cạnh hình (4) + cạnh hình (5).
Vậy cạnh hình (5) = 2  cạnh hình (2) = 2  2 = 4 (cm).
3


Mặt khác ta có cạnh hình (4) + cạnh hình (1) = cạnh hình (5) = 4 (cm), mà c ạnh
hình (4) – cạnh hình (1) = cạnh hình (2) = 2 (cm). Vậy cạnh hình (4) = (4 + 2) : 2 = 3
(cm); Cạnh hình (1) = 3 – 2 = 1 (cm).
Chiều dài hình (6) là: 4 + 1 = 5 (cm).
Chiều rộng hình (6) là: 2 + 2 – 1 = 3 (cm).
Diện tích hình (6) là: 3  5 = 15 (cm2).
Bài 6. Hình vẽ bên chỉ ra ba hình tròn A;
1
1
hình tròn A được tô đậm; hình
2
3
1
tròn B được tô đậm và
hình tròn C
4

B; C.

được tô đậm. Biết tổng diện tích của A và
B bằng

2
diện tích của C. Hãy tìm tỉ số
3

diện tích của A và B.
Theo hình vẽ ta có

Bài giải:
1
1
1
diện tích hình A + diện tích hình B = diện tích hình C,
2
3
4

suy ra 2 lần diện tích hình A + 4/3 diện tích hình B = diện tích hình C (nhân 2 v ế v ới 4)
(1)
Mặt khác, theo bài ra ta có: Diện tích hình A + Diện tích hình B = 2/3 di ện tích
hình C, suy ra 3/2 lần diện tích hình A + 3/2 diện tích hình B = diện tích hình C (nhân 2
vế với 3/2) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 2 lần diện tích hình A + 4/3 diện tích hình B = 3/2 l ần diện
tích hình A + 3/2 diện tích hình B, suy ra: 1/2 diện tích hình A = 1/6 di ện tích hình B.
Vậy diện tích hình A = 1/3 Diện tích hình B.
Bài 7. Trong hình vẽ dưới, ABCD và

MNPC là hai hình vuông. Biết diện tích
hình vuông ABCD là 25 cm2. Tính diện
tích hình tam giác BDN.

Bài giải:
Nối C với N, ta được S(BNC) = S(DNC) (vì đáy BC = DC và chiều cao hạ từ N
của tam giác BNC = chiều cao hạ từ N của tam giác DNC).
S(BNPC) = S(BNC) + S(NPC).
S(NPD) = S(DNC) + S(NPC). Vậy S(BNPC) = S(NPD).
4


Gọi I là giao điểm của ND và BC ta có: S(DNP) = S(DIC) + S(INPC); S(BNPC)
= S(IBN) + S(INPC).
S(DIC) = S(IBN) nên S(BND) = S(DBI) + S(DIC) = 1/2 S(ABCD) = 25 : 2 = 12,5 (cm2).

Bài 8. Hình chữ nhật ABCD chứa 4 hình
chữ nhật nhỏ hơn là AMOP, MBQO,
PIND và IQCN có diện tích tương ứng là
12 cm2, 36 cm2, 24 cm2 và 48 cm2. Tính
diện tích phần tô màu.
Bài giải:
Hình chữ nhật AMOP và ABQP có chung chiều rộng AP, tỉ số diện tích là 12 :
(36 + 12) = 1/4. Nên tỉ số PO/PQ = 1/4.
Hình chữ nhật PIND và PQCD có chung chiều rộng PD, tỉ số diện tích là 24 : (24
+ 48) = 1/3 nên tỉ số PI/PQ = 1/3. Suy ra tỉ số cạnh OI/PQ là: 1/3 - 1/4 = 1/12.
Diện tích ABCD là: 12 + 36 + 24 + 48 = 120 (cm 2) = PQ  AD. Diện tích phần tô
màu bằng: SOBI + SODI = (OI  PD) : 2 + (OI  PA) : 2 = OI  (PD + PA) : 2 = (OI 
AD) : 2, vì OI = 1/12 của PQ ta được diện tích phần tô màu là (1/12  PQ  AD) : 2 =
(1/12  120) : 2 = 5 (cm2).

Bài 9. Cho hình vuông ABCD và hai hình
tròn như hình vẽ. Tìm chu vi hình vuông
biết tổng diện tích hai hình tròn là
37,68cm2.

Bài giải:
Gọi bán kính hình tròn lớn là R thì diên tích hình tròn lớn là 3,14  R  R.
Diện tích hình vuông là: R  2  R  2 : 2 = R  R  2(hình vuông là hình thoi).
Gọi MNPQ là hình vuông nội tiếp hình tròn nhỏ, r là bán kính hình tròn nh ỏ ta
có: Diện tich hình tròn nhỏ là: 3,14  r  r; diện tích hình vuông nhỏ là r  r  2. Mà
diện tích hình vuông nhỏ bằng 1/2 diện tích hình vuông lớn suy ra: r  r = 1/2 R  R.
Vậy diên tích hình tròn nhỏ bằng 1/2 diện tích hình tròn lớn, diện tích hình tròn
lớn là: 37,68 : 3  2 = 25,1 (cm2). R  R = 25,12 : 3,14 = 8 (cm2).
Diện tích hình vuông là: 8  2 = 16 (cm2).

5


Bài 10. Hình dưới đây cho ta thấy 4 hình
vuông cạnh 10cm. Hình tô đậm giới hạn
bởi các

1
đường tròn. Tính diện tích phần
4

tô màu.

Bài giải:
Diện tích hình vuông lớn là: (10 + 10)  (10 + 10) = 400 (cm2)

Diện tích hình vuông nhỏ là: 10  10 = 100 (cm2)
1
4
1
Diện tích hình tròn bán kính 10 cm là: (10  10  3,14) : 4 = 78,5 (cm2)
4

Diện tích hình tròn bán kính 20 cm là: (20  20  3,14) : 4 = 314 (cm2)

Diện tích phần trắng phía dưới là: 400 – 314 = 86 (cm2)
Diện tích phần trắng phía trên là: 100 + 78,5 + (100 - 78,5) = 200 (cm2)
Diện tích phần tô màu là : 400 - 200 - 86 = 114 (cm2).

Bài 11. Giả sử OB và OA là các đường
kính của các nửa hình tròn và OA =OB=
3cm. Góc BOA là góc vuông. A và B là hai
điểm trên đường tròn bán kính OA. Tính
diện tích phần tô màu, đơn vị cm2.
Bài giải:
Từ O ta kẻ một đoạn thẳng đến điểm cắt nhau của hai nửa đường tròn nhỏ (C);
từ A và B kẻ 2 đoạn thẳng đến điểm C. Ta có diện tích phần tô đậm đúng bằng diện
tích hai nửa hình thoi có mỗi đường chéo bằng 3cm.
Vậy diện tích phần in đậm cần tìm là:
(3  3 : 2)  1/2 + (3  3 : 2)  1/2 = 4,5 (cm2).

Bài 12. Hình mẫu dưới đây được tạo
bằng cách vẽ các nửa hình tròn bên trong
các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa
hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm.
Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao

nhiêu xăng-ti-mét vuông ?
6


Bài giải:
Diện tích hình vuông là: (4 + 4)  (4 + 4) = 64 (cm2)
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là: 4  4  3,14 = 50,24 (cm2)
Tổng diện tích của hình 1; 2; 3; 4 là: 64 - 50,24 = 13,76(cm2)
Tổng diện tích của hình 7 và 8 bằng diện tích nửa hình tròn có bán kính 2 cm
(lấy hình 7 bù vào phần trắng dưới hình 8) và bằng: (2  2  3,14) : 2 = 6,28 (cm2)
Các cặp hình (5; 6) (7; 8) (9; 10) (11; 12) có tổng diện tích bằng nhau. Tổng diện
tích 4 cặp đó là: 6,28  4 = 25,12 (cm2)
Tổng diện tích phần tô màu là: 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2).
Bài 13. Trong hình vẽ bên, ABCD và
EGHD là hai hình vuông. Hãy so sánh BK
và DE.

Bài giải:
Nối K với D; C với H.
SKDH = SCDH (2 tam giác này chung đáy DH và có chiều cao bằng cạnh của hình
vuông ABCD) (1). SKED = SKDH - SEDH (2). SEHC = SCDH - SEDH (3).
Từ (1); (2) và (3), ta có: SKED = SEHC
Coi DE là đáy của tam giác KED thì diện tích của KED là: DE  KC : 2
Coi EC là đáy của tam giác EHC thì diện tích của EHC là: EC  HD : 2
Mà DE = HD vì đều là cạnh của hình vuông DEGH nên KC = EC (4)
Ta thấy BK = BC - KC (5); DE = DC - EC (6); BC = DC (7). Từ (4); (5); (6) và
(7) ta thấy BK = DE.
Bài 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh dài
36cm. Trên cạnh AB lấy AM = 12cm, trên
cạnh BC lấy BN = 12cm, trên cạnh AD

lấy DP = 12cm. Nối PM cắt đường chéo
AC tại S. Tính diện tích hình tứ giác
MNCS.

Bài giải:
*Tam giác AMP và BMN có:
7


- Cạnh đáy AP = MB = 36 – 12 = 24cm, chiều cao tương ứng AM = BN = 12cm.
- Diện tích hai tam giác này bằng nhau và bằng: (24  12) : 2 = 144 (cm2)
*Diện tích tam giác ACD là: (36  36) : 2 = 648 (cm2)
* Tam giác AMC và ACP có:
- Tỉ số cạnh đáy AM/AP = 12 : (36 -12) = 1/2. Chi ều cao t ương ứng CB = CD. V ậy t ỉ
số diện tích của chúng là 1/2.
- Hai tam giác này có chung đáy AC nên tỉ số chiều cao hạ từ M và P xuống AC cũng
bằng 1/2
* Tam giác AMS và APS có chung đáy AS, tỉ số chiều cao hạ từ M và P xuống AS bằng
1/2 nên tỉ số diện tích của chúng bằng 1/2
Diện tích tam giác AMS là: 144 : (1 + 2) = 48 (cm2).
SMNCS = SABCD - SBMN - SACD - SAMS
Diện tích tứ giác MNCS là: 36  36 - 48 - 144 - 648 = 456 (cm2).
Bài 15. Tính diện tích hình chữ nhật
ABCD. Biết diện tích phần tô màu là
5cm2 và M, N lần lượt là trung điểm của
cạnh AD và AB.

Bài giải:
Nối N với M; N với C; ta có S CDM = 1/2 S ACD = 1/4 S ABCD; nên S ABCM =
3/4 S ABCD; S ADN = 1/2 S ABD = 1/4 S ABCD; S AMN = S MND = 1/2 S ADN = 1/8

S ABCD; S NBC = 1/2 S ABC = 1/4 S ABCD; S MNC = S ABCM - S AMN- S NBC =
3/4 S ABCD - 1/8 SABCD- 1/4 S ABCD = 3/8 S ABCD;
Hai tam giác MNC và MCD có chung đáy MC nên tỉ số chiều cao hạ từ đỉnh D
và đỉnh N xuống đáy MC là 1/4 : 3/8 = 2/3;
Hai tam giác DMK và NMK chung đáy MK nên S DMK = 2/3 S NMK; S NMK =
5 : 2/3 = 7,5 cm2;
S MND = 5 + 7,5 = 12,5 cm2; Vậy S ABCD = 12,5  8 = 100 cm2.
Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD (như
hình vẽ), biết AB = 30cm, BC = 20cm,
AM = 10cm, BP = 5cm, AQ = 15cm. Tính
diện tích hình tam giác MRS.

8


Bài giải:
Ta có: PC = 20 - 5 = 15 cm; QD = 20 – 15 = 5 cm; MB = 30 - 10 = 20 cm;
Nối M với Q, M với P; D với P ta có: S MPQ = S hình thang ABPQ - S AMQ - S
MBP = 300 - 75 - 50 = 175 (cm2);
S PQD = 5  30 : 2 = 75 (cm2); hai tam giác MPQ và DPQ có chung đáy PQ nên tỉ
số chiều cao hạ từ M và từ D xuống đáy PQ = S MPQ/ S DPQ = 175/75 = 7/3;
S MQD = 5  10 : 2 = 25 (cm2); S MQD = S MQR + S DQR; hai tam giác MQR
và DQR có chung đáy QR, tỉ số chiều cao hạ từ M và từ D xuống đáy QR = 7/3 nên S
DQR = 3/7 S MQR;
S DQR = 25 : (3 + 7)  3 = 7,5 (cm2);
Nối Q với C ta có S CPQ = 15  30 : 2 = 225 (cm2); hai tam giác MPQ và CPQ
chung đáy PQ nên tỉ số chiều cao hạ từ M và từ C xuống đáy PQ = S MPQ/ S CPQ=
175/225 = 7/9;
S MPC = 15  20 : 2 = 150 (cm2);
Ta xét hai tam giác MPS và PSC, hai tam giác này chung đáy PS, tỉ số chiều cao

hạ từ M và từ C xuống đáy PS = 7/9; nên S PSC = 150 : (7 + 9)  9 = 84,375 (cm2);
Mặt khác: S ABPQ = S PCDQ = 1/2 S ABCD (vì có chiều cao là chiều dài hình
chữ nhật, đáy bé BP = QD, đáy lớn AQ = PC); S MCD = 1/2 CD  BC = 1/2 S ABCD
nên S MCD = S PCDQ;
S MCD = S MRS + S RSCD và S PCDQ = S DRQ + S CPS + S RSCD. Do đó:
S MRS = S DRQ + S CPS = 7,5 + 84,375 = 91,875 (cm2).
Bài 17. Tính diện tích hình tam giác ABC
theo hình vẽ bên (đơn vị cm2)

Bài giải:
SOPC : SOPB = 40 : 30 = 4/3. Coi OP là đáy của tam giác OPC và OPB thì CI = 4/3 
BH. SAOC = 4/3  SAOB (2 tam giác này có chung đáy AO; có CI = 4/3  BH) (1).
SBON : SBOC = 35 : (40 + 30) = 1/2. Tam giác BON và BOC có chung chi ều cao h ạ
từ B xuống CN nên ON = ½ OC.
SAON = ½ SAOC (2 tam giác này chung chiều cao hạ từ A xuống CN; có ON = ½
OC) hay SAON = 1/3  SANC (2).
Từ (1) và (2), ta có: SAON = ½  4/3 SAOB = 2/3  SAOB nên SONB = (1 - 2/3)  SAOB =
1/3  SAOB hay SONB = (1/3 : 2/3)  SAON = ½ SAON (3).
Từ (2) và (3), ta có: SONB = ½  1/3  SACN = 1/6  SACN.
9


Diện tích tam giác ANC là: 35 : 1/6 = 210 (cm2)
Diện tích tam giác ABC là: 210 + 35 + 40 + 30 = 315 (cm2).

10