BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO THAY ĐỔI CẤU TRÚC KHI ĐANG DAO ĐỘNG

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

MỤC LỤC
Trang
I – ĐẶT VẤN ĐỀ.................................................................................................
2
II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ................................................................................
3
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Con lắc lò xo...................................................................................................
3
1.2. Những thay đổi bài toán về con lắc lò xo khi đang dao động.........................
4
2. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT...............................................................................
5
2.1.Bài toán cơ bản về con lắc lò xo nằm ngang...................................................
5
2.2. Phát triển bài toán...........................................................................................
5
2.2.1. Thay đổi khối lượng của vật bằng cách đặt thêm (hoặc cất bớt) khối
lượng ∆m mà không làm thay đổi vận tốc tức thời...............................................
5
2.2.2. Thay đổi khối lượng bằng cách đặt thêm vật m ' có làm thay đổi vận tốc
tức thời của vật.......................................................................................................
8
2.2.3. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x thay đổi độ cứng của lò xo
bằng cách giữ một điểm trên lò xo cố định lại.......................................................
11

THPT Diễn Châu 4

-1-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

2.2.4. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát không đổi (lực cản) tác dụng vào
vật..........................................................................................................................
14
3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM............................................
19
III – KẾT LUẬN.................................................................................................
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO

I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán về con lắc lò xo là một bài toán thông dụng của chương trình
vật lý 12 trong phần dao động điều hòa. Tuy nhiên khi học sinh làm bài tập về
con lắc lò xo có thay đổi cấu trúc của hệ con lắc (thay đổi độ cứng k; thay đổi
khối lượng m; thay đổi lực ma sát...) trong lúc vật dao động thì học sinh gặp
nhiều khó khăn để giải quyết vấn đề. Một số bài toán về con lắc lò xo khi thay
đổi cấu trúc của hệ con lắc sẽ trở thành bài toán khó, học sinh dễ nhầm lẫn dẫn
đến sai lầm.
Chúng ta đã biết rằng, các bài toán mới, bài toán khó đều được xuất phát
từ các bài toán đơn giản nhưng thay đổi một số yếu tố, một số dự kiện, hoặc

cũng có thể kết hợp từ nhiều bài toán đơn giản mà thôi. Vậy, làm thế nào để
học sinh thấy được mối liên hệ giữa các bài toán cơ bản về con lắc lò xo và các
bài toán phát triển mở rộng nâng cao hơn. Nếu xây dựng được cách phát triển
bài toán khó từ bài toán cơ bản và xây dựng hệ thống bài tập theo sự phát triển

THPT Diễn Châu 4

-2-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

đó thì học sinh sẽ không còn bỡ ngỡ, lúng túng khi gặp bài toán mới, từ đó sẽ
có cách giải quyết bài toán dễ dàng, hiệu quả hơn.
Để giải quyết những vấn đề nêu trên, trong quá trình giảng dạy tôi đã
nghiên cứu và đúc rút kinh nghiệm thông qua đề tài: “Bài toán thay đổi cấu
trúc con lắc lò xo nằm ngang khi đang dao động”. Trong giới hạn của một
đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ nghiên cứu về con lắc lò xo nằm ngang,
tìm hiểu về ly độ, vận tốc, gia tốc, lực đàn hồi...khi thay đổi về khối lượng m,
độ cứng k và lực ma sát trong khi con lắc đang dao động.
Với đề tài này, tôi đã thực hiện và tiến hành giảng dạy cho học sinh và
thấy được những hiệu quả nhất định. Học sinh không còn bỡ ngỡ khi gặp các
dạng bài toán nêu trên. Đồng thời đây cũng là một tài liệu tham khảo thiết thực
cho các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy vật lý về phần dao động của
con lắc lò xo. Nội dung đề tài được áp dụng cho các bài toán nâng cao từ bài
toán cơ bản trong chương trình ôn thi kỳ thi quốc gia ở mức độ khá, giỏi.

II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Con lắc lò xo.
Xét con lắc lò xo gồm vật m gắn vào đầu lò xo có độ cứng k (khối lượng
lò xo không đáng kể), đầu kia của lò xo gắn vào một điểm cố định, vật m có
thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Khi cho vật dao động điều
hòa thì các đại lượng được xác định:
1- Tần số góc ω =

k
2π
m
= 2π
, chu kỳ: T =
,
m
ω
k

tần số: f =

1
1
=
T 2π

2- Phương trình dao động: x = Acos( ωt + ϕ )
π
2

3- Phương trình vận tốc:: v = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + ).
4- Phương trình gia tốc: a = - ω2Acos(ωt + ϕ) = - ω2x
5- Liên hệ giữa vận tốc, gia tốc, biên độ và ly độ :
THPT Diễn Châu 4

-3-

Trường

k
m


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

+

v
A2 = x 2 + ( ) 2
ω

+

v
a2
+
= A2

ω2 ω4

hay : A =

v
x2 + 
ω 

2

2

6- Năng lượng trong dao động điều hoà của con lắc lò xo:
+ Thế năng:

Wt =

+ Động năng: Wđ =
=

1 2 1
kx = k A2cos2(ωt + ϕ)
2
2
1
1
mv2 = mω2A2sin2(ωt + ϕ)
2
2

1
kA2sin2(ωt + ϕ) ; với k = mω2
2

+ Thế năng và động năng của vật biến thiên điều hoà
với tần số góc ω’ = 2ω và chu kì T’ =
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ =
7- Lực kéo về ( lực hồi phục):

T
.
2

1
1
k A2 = mω2A2. = hằng số
2
2

F = - kx.

+ Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về chính là lực đàn hồi.
8 – Thay đổi khối lượng m của con lắc lò xo làm thay đổi chu kỳ T :

+ Với các vật m1 và m2:

+ Với các vật m3 và m4:


m1

T1 = 2π

k

m2

T
=
2
π
2

k

 2
2
T1 = 4π
⇒ 
T 2 = 4 π 2
 2

m1
k
m2
k


m3
⇒ T32 = T12 + T22
 m3 = m1 + m 2 ⇒ T3 = 2π


k

m4

m
=
m
−
m
⇒
T
=
2
π
⇒ T42 = T12 − T22
4
1
2
4

k

9 - Thay đổi độ cứng k của lò xo làm thay đổi chu kỳ T :
+ Ghép lò xo: Hai lò xo có độ cứng là k1 và k2 được ghép với nhau thành
hệ lò xo có độ cứng k:

THPT Diễn Châu 4

-4-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

+ Ghép nối tiếp:

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

1 1
1
= +
⇒ T2 = T12 + T22
k k1 k 2

+ Ghép song song: k  k1 + k2 ⇒

1
1
1
=
+
T 2 T12 T22

+ Cắt lò xo: Một lò xo ban đầu có chiều dài l 0 và độ cứng k0 được cắt
thành hai lò xo có chiều dài lần lượt là l1 và l2 độ cứng tương ứng là k1 và k2
thì:

k1l1 = k2l2 = k0l0

l

l

0
0
=> k1 = k0 l và k2 = k0 l
1

( với l1 + l2 = l0 )

2

1.2. Những thay đổi của bài toán con lắc lò xo khi đang dao động.
a. Khi đang dao động, tại một vị trí có biên độ x ta đặt thêm (hoặc cất bớt
đi) khối lượng ∆m thì các đại lượng A, ω, v, a, thay đổi như thế nào?
b. Khi đang dao động, tại một vị trí ly độ x ta thay đổi độ cứng k của lò
xo bằng cách giữ 1 điểm trên lò xo lại thì các đại lượng A, ω, v, a, thay đổi như
thế nào?
c. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát (lực cản) không đổi tác dụng
vào vật thì các đại lượng A, ω, v, a, thay đổi như thế nào?
Thực tế cho thấy, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải bài toán
có những sự thay đổi trên. Một phần, học sinh chỉ quen với các bài toán cơ
bản, phần khác giáo viên khi giảng dạy cũng không có nhiều thời gian để mở
rộng thêm vấn đề của bài toán. Học sinh, chưa biết cách suy luận theo những
thay đổi của bài toán từ những kiến thức cơ bản đã học, từ những bài toán đã
biết. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ tiến hành tìm hiểu và nghiên cứu
nội dung vấn đề được giải quyết sau đây.
2. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT

2.1. Bài toán cơ bản về con lắc lò xo nằm ngang.
Một con lắc lò xo gồm vật m gắn vào đầu lò xo độ cứng k, đầu kia của lò
xo gắn và giá cố định. Cho con lắc dao động trên mặt phẳng nằm ngang không
ma sát với biên độ A.
a. Tính chu kỳ dao động
b. Tính vận tốc, gia tốc của vật m tại vị trí li độ x
THPT Diễn Châu 4

-5-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

c. Tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí ly độ x1 đến vị trí ly độ x2
- Hướng dẫn: Vận dụng lý thuyết cơ bản ta có:
k
+ Tần số góc ω =
,
m

2π
m
chu kỳ T =
= 2π
ω
k

ϕ2
−A
x2

+ Vận tốc và gia tốc tại ly độ x: v = ±ω A2 − x 2 ; a = - ω2x

M

∆ϕ

N

ϕ1

O

N'
M'

+ Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ly đọ x1 đến ly độ x2
∆t =

∆ϕ ϕ 2 − ϕ1 1
x
x
=
= arccos 2 − arccos 1
ω
ω

ω
A
A

2.2. Phát triển bài toán và biện pháp giải quyết.
2.2.1. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x thay đổi khối lượng của
vật bằng cách đặt thêm (hoặc cất bớt) khối lượng ∆m sao cho không làm
thay đổi vận tốc tức thời của vật.
A- Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
a. Thay đổi khối lượng khi ly độ x = ± A (vận tốc của vật v = 0)
Khi đó, biên độ A của vật dao động không thay đổi nhưng tần số góc thay
đổi dẫn đến chu kỳ, vận tốc và gia tốc của vật thay đổi.
Tần số góc ban đầu: ω =

k
m

Sau khi thay đổi khối lượng ta có:
A = A’

và ω ' =

k
m
ω.
=
m ± ∆m
m ± ∆m

Chu kỳ T =

2π
ω'

=> Vận tốc và gia tốc tại vị trí ly độ x: v = ±ω ' A2 − x 2 ; a = - ω’2x
b. Thay đổi khối lượng của vật khi vật qua VTCB x = 0 (vận tốc vmax)
Khi đó, tần số góc thay đổi, vận tốc cực đại của vật không thay đổi dẫn
đến biên độ thay đổi.
Ta có:

vmax = v’max => ω A = ω ' A ' . Biên độ của vật: A’ =

ω
m ± ∆m
A =
A
ω'
m

c. Thay đổi khối lượng khi vật có ly độ x1 (vật có vận tốc v1)

THPT Diễn Châu 4

-6-

x1

Trường

A x

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

Vận tốc tức thời của vật không thay đổi: v1 = v’1. Tần số góc và biên độ thay
đổi.
2

v 
A = x +  1 ÷ => v12 = ω 2 ( A2 − x 2 )
ω 

+ Ban đầu:

2

2
1

+ Ngay sau khi thay đổi khối lượng:
2

2

ω2 2 2
m ± ∆m 2
 v1 
 v1 

2
2
A' = x +  ÷ => A ' = x1 +  ÷ = x1 + 2 ( A − x1 ) = x12 +
( A − x12 )
ω'
m
ω'
ω'
2

2
1

Từ đó, thay các giá trị của A’, ω’ vào bài toán cơ bản để tìm vận tốc, gia tốc
và thời gian của vật dao động (và các đại lượng khác theo yêu cầu bài toán)
B - Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:
Một lò xo gồm vật M = 1,6 kg dao động điều hòa theo phương ngang.
Khi vật qua vị trí cân bằng thì tốc độ là 3m/s, sau đó vật đến vị trí biên người
ta đặt nhẹ lên vật M một vật m = 900g để hai vật dính vào nhau và cùng dao
động điều hòa. Tốc độ cực đại của hai vật sau đó là bao nhiêu?
A. 2,0 m/s

B. 4,0 m/s

C. 2,5 m/s

D. 2,4 m/s

- Hướng dẫn:

+ Vận tốc ban đầu qua VTCB: vmax = ω A = 3 m/s
+ Tại vị trí biên, tốc độ của vật M bằng 0, khi đặt thêm vật m thì biên độ
của hai vật không thay đổi.
Ta có: A = A’

và ω ' =

k
M
ω =
=
M +m
M +m
4
5

4
5

1, 6
4
ω= ω
1, 6 + 0,9
5

4
5

=> v’max = ω '. A ' = ω A = vmax = .3 = 2, 4 (m/s) ( Đáp án D )
Ví dụ 2:

Một con lắc lò xo gồm vật m1 = m gắn với lò xo và vật m 2 = 3m đặt
chồng lên vật m1. Hệ dao động điều hòa theo phương ngang với tốc độ cực đại

THPT Diễn Châu 4

-7-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

là vmax. Khi 2 vật dao động đến vị trí biên, người ta cất vật m 2 đi, còn lại vật m1
dao động điều hòa. Tốc độ của vật m1 sau đó tại vị trí có ly độ x = A/2 là:
A. ±

vmax
3

B. ±

vmax
2

C. ±vmax 3

D. ±vmax 2

- Hướng dẫn:
+ Tần số góc ban đầu: ω =

k
,
m1 + m2

tốc độ cực đại ban đầu: vmax = ω A

+ Khi cất vật m2 tại vị trí biên thì biên độ không đổi
A = A’

và ω ' =

k
m +m
= 1 2ω =
m1
m1

m + 3m
ω = 2ω
m

+ Tại ly độ x = A/2, tốc độ của vật m1 còn lại là:
2

A
v = ±ω ' A − x = ±2ω A −  ÷ = ±ω A 3 = ± vmax 3
2

2

2

2

( Đáp án C )

Ví dụ 3:
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 100g dao động điều hòa
không ma sát trên mặt phẳng ngang với biên độ A = 10cm. Lúc t = 0 vật đang
ở vị trí biên, sau khoảng thời gian 0,75 chu kỳ người ta đặt nhẹ nhàng một vật
m’ = 100g lên vật m sao cho vận tốc tức thời không thay đổi. Sau đó hai vật
cùng dao động điều hòa. Biên độ dao động của hệ 2 vật là:
A. 5cm

B. 5 2 cm

C. 2,5cm

D. 10 2 cm

- Hướng dẫn:
+ Sau khoảng thời gian 0,75 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều
dương, vận tốc cực đại của vật m là: vmax = ωA
+ Khi đặt thêm vật m’ mà vận tốc của 2 vật không thay đổi:
Ta có:

vmax = v’max => ω A = ω ' A ' .

=> A’ =

ω
m + ∆m
A =
A =
ω'
m

0,1 + 0,1
.10 = 10 2(cm) ( Đáp án D )
0,1

Ví dụ 4:
Một con lắc lò xo có 2 vật dao động khối lượng m bằng nhau, chồng lên
nhau cùng dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 5cm. Lúc hai vật
THPT Diễn Châu 4

-8-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

cách vị trí cân bằng đoạn 1cm, một vật được cất đi chỉ còn một vật dao động
điều hòa. Biên độ dao động của vật còn lại là bao nhiêu?
A. 7cm

B. 4 3 cm

C. 13 cm

- Hướng dẫn: Ban đầu tần số góc: ω =

D. 10cm

k
2m

- Tại vị trí 2 vật có ly độ x1 = 1cm, vận tốc của hai vật là:
v12 = ω 2 ( A2 − x12 )

- Ngay sau khi cất bớt đi 1 vật m, tần số góc: ω ' =

k
m

Vận tốc tức thời của vật còn lại không thay đổi. Biên độ dao động là A’:
2

2

ω2
2m − m 2
v 
v 
A' = x +  1 ÷ => A ' = x12 +  1 ÷ = x12 + 2 ( A2 − x12 ) = x12 +

( A − x12 )
ω
'
ω
'
ω
'
2
m
 
 
2

2
1

1
2

1
2

= x12 + ( A2 − x12 ) = 12 + (52 − 12 ) = 13(cm) (Đáp án C )
2.2.2. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x đặt thêm khối lượng m '
làm thay đổi vận tốc tức thời của vật.
A- Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
Nếu tại vị trí x, vận tốc của vật là v, đặt thêm vật m’ mà làm thay đổi vận
tốc tức thời của vật thì bài toán trở thành bài toán va chạm mềm giữa 2 vật.
Sau khi đặt thêm vật m’ vận tốc tức thời của hai vật thay đổi:
- Theo định luật bảo toàn động lượng: mv = (m + m ')V => V =

- Sau đó hai vật dao động với biên độ A’, tần số góc: ω ' =

mv
m + m'

k
m
=
ω
m + m'
m + m'

2

V 
m + m' 2
m
v
2
V = x2 +
÷ = x +
k
m + m ' ω2
ω'

- Áp dụng công thức liên hệ: A ' = x 2 + 

*Cũng có thể tính cơ năng của hệ sau khi có thêm vật m’ để tìm biên độ A’:
1
1

1
V2
m + m' 2
kA '2 = kx 2 + (m + m ')V 2 => A ' = x 2 + 2 = x 2 +
V
2
2
2
ω'
k

B - Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:
THPT Diễn Châu 4

-9-

Trường

2


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

Con lắc lò xo nằm ngang gồm vật m1 = 900g dao động điều hòa với biên
độ 4cm. Khi m1 qua vị trí cân bằng, người ta thả vật m 2 = 700g lên vật m1 sao
cho m2 dính chặt ngay vào vật m1. Biên độ dao động mới của hệ 2 vật là:
A. 2 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 3 2 cm

- Hướng dẫn:
- Khi qua vị trí cân bằng, vật m1 có tốc độ: vmax = ω A
k
=
m1 + m2

- Sau khi thả vật m2 lên m1 thì tần số góc: ω ' =

m1
ω
m1 + m2

- Tốc độ của hai vật ngay sau khi thả vật m2 lên m1:
mv

m

1 max
1
V = ω ' A ' = m + m = m + m ω A =>
1
2
1

2

A' =

m1 ω
m1
0,9
A=
A=
.4 = 3cm
m1 + m2 ω '
m1 + m2
0,9 + 0, 7

( Đáp án C )

Ví dụ 2:
Một con lắc lò xo gồm vật m = 5/9 kg và lò xo có độ cứng k = 100N/m
đang dao động trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát với biên độ A = 2cm.
Tại thời điểm vật qua vị trí mà động năng bằng thế năng, một vật nhỏ khối
lượng m’ = m/2 rơi thẳng đứng và dính vào vật m và 2 vật cùng dao động. Khi
qua vị trí cân bằng hệ 2 vật có tốc độ bằng bao nhiêu?
A. . 5 12 cm/s

.B.

10
cm/s
3

.

C. 30 4 cm/s

D. 20cm/s

- Hướng dẫn:
+ Tần số góc: ω =

k
30
=
(rad/s)
m
5

+ Khi động năng bằng thế năng thì ly độ: x1 = ±
và tốc độ của vật: v1 =

A
= ± 2 cm
2

vmax
ωA
=
= 6 10 cm/s
2
2

+ Tốc độ của hai vật sau khi vật m’ dính vào vật m: V =
THPT Diễn Châu 4

-10-

mv1
2
= v1 = 4 10 cm/s
m + m' 3

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

1
2

1
2

1
2

+ Cơ năng của hệ 2 vật: W' = (m + m ')vm2 ax = kx12 + (m + m ')V 2
=> vmax =

k

x12 + (m + m ')V 2 = 20 cm/s (Đáp án D )
m + m'

Ví dụ 3:
Con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m gắn với vật
m1 = 100g. Ban đầu vật m1 được giữ dao cho lò xo bị nén 4cm, đặt vật m 2 =
300g tại vị trí cân bằng O của con lắc m 1, sau đó buông nhẹ m1 để nó dao động
đến va chạm mềm với m2 (hai vật dính vào nhau xem là chất điểm). Bỏ qua
mọi ma sát, lấy π 2 = 10 . Quảng đường hai vật đi được sau 1,9s kể từ lúc va
chạm là bao nhiêu?
A. 38cm

B. 38,58cm

C. 40,58cm

D. 42cm

- Hướng dẫn:
+ Tại vị trí cân bằng, vận tốc của vật m1 là: vmax = ω A = A
+ Ngay sau va chạm mềm với m2: v’max =
=>

m1
k
k
A
= A'
m1 + m2
m1

m1 + m2

k
m1

m1vmax
k
= ω ' A' = A'
m1 + m2
m1 + m2

=> A’ = 2cm

+ Sau khi va chạm mềm, hai vật dao động với chu kỳ:
T = 2π

m1 + m2
= 0, 4 s .
k

+ Sau khoảng thời gian t = 1,9(s) = 19.
s = 19.A’ = 19.2 = 38 (cm)

T
vật đi được quảng đường là:
4

( Đáp án A )

2.2.3. Khi đang dao động, tại vị trí vật có ly độ x thay đổi độ cứng của lò

xo bằng cách giữ một điểm trên lò xo cố định lại.
A- Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
THPT Diễn Châu 4

-11-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

+ Ban đầu lò xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên là l.
+ Khi giữ một điểm trên lò xo lại thì độ cứng thay đổi là k’ và chiều dài
còn lại là l’
a. Giữ một điểm trên lò xo cố định khi con lắc qua vị trí cân bằng (x = 0)
- Khi đó, độ cứng của lò xo thay đổi nhưng cơ năng của hệ lò xo – con lắc
không đổi.
+ Ta có:

k.l = k’.l’ => k’ = k

+ Cơ năng:

W = W’

<=>

l

l
=> ω’ = ω
l'
l'

1 2 1
k
l'
kA = k ' A '2 => A ' = A
=A
2
2
k'
l

b. Giữ một điểm trên lò xo cố định khi con lắc qua vị trí ly độ x bất kỳ
- Khi đó, một phần thế năng của lò xo bị mất đi, cơ năng sau khi giữ nhỏ hơn
cơ năng ban đầu.
+ Toàn bộ thế năng của lò xo khi ở ly độ x: Wt =

1 2
kx chia đều trên chiều
2

dài lò xo l
+ Khi giữ một điểm trên lò xo, chiều dài lò xo mất đi đoạn ∆l , thế năng
mất đi: ∆Wt =

∆l
∆l 1

.Wt = . kx 2
l
l 2

+ Cơ năng còn lại của hệ con lắc lò xo:
W' = W - ∆Wt =>

=> A’ =

1
1
∆l 1
k ' A '2 = kA2 − . kx 2
2
2
l 2

k  2 ∆l 2 
A − x ÷ =
k '
l


với k’ = k

l
k l'
hay =
l'
k' l

l '  2 ∆l 2 
A − x ÷
l
l


Từ những kết quả trên, thay vào bài toán cơ bản để tìm vận tốc, gia tốc và thời
gian của vật dao động (và các đại lượng khác theo yêu cầu bài toán )
B - Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:

THPT Diễn Châu 4

-12-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

Một con lắc lò xo nằm ngang, vật m đang dao động điều hòa với biên độ A.
Khi vật qua vị trí cân bằng, người ta giữ cố định điểm chính giữa lò xo lại. Bắt
đầu tư thời điểm đó vật m sẽ dao động với biên độ mới là bao nhiêu?
A. 2A

B.

A
2

C.

A
2

D. A 2

- Hướng dẫn:
+ Ban đầu, chiều dài lò xo l, độ cứng k.
+ Sau khi giữ điểm chính giữa lò xo, chiều dài còn lại l’ = l/2
độ cứng: k’ = 2k
+ Khi qua vị trí cân bằng thì thế năng bằng 0, nên sau khi giữ lò xo thế
năng không mất đi. Cơ năng được bảo toàn:
1 2 1
k
A
kA = k ' A '2 => A ' = A
=
2
2
k'
2

( Đáp án C )

Ví dụ 2:
Một con lắc lò xo bố trí nằm ngang, lúc đầu vật dao động điều hòa với

chu kỳ T, biên độ A. Khi vật chuyển động qua vị trí có động năng bằng thế
năng thì giữ cố định một điểm C trên lò xo sao cho chu kỳ dao động mới là
T’ = T/2. Tìm biên độ dao động mới.
A.

A 5
4

B.

A 2
4

C.

A 2,5
4

D.

A 5
2

- Hướng dẫn:
+ Khi thế năng bằng động năng:
1
2

=> Cơ năng: W = Wd + Wt = 2Wt => Wt = W
+ Khi động năng bằng thế năng, giữ điểm C trên lò xo sao cho chu kỳ dao

động mới T’ = T/2 => ω ' = 2ω => k’ = 4k , do đó l’ = l/4
+ Điểm C giữ trên lò xo chia lò lò xo thành 4 phần, phần lò xo mất đi là:
∆l = l / 3 . Phần thế năng mất đi: ∆Wt =

∆l
3
3
.Wt = Wt = W
l
4
8

+ Cơ năng còn lại là:
THPT Diễn Châu 4

-13-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015
W' = W - ∆Wt =W -

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

3
5
1
5 1
5 k A 2,5

W = W <=> k ' A '2 = . kA2 => A ' = A
=
8
8
2
8 2
8 k'
4

( Đáp án C )
Ví dụ 3:
Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l0 dao
động điều hòa theo phương ngang không ma sát với biên độ A = l0/2. Tại vị trí
lò có chiều dài cực đại, người ta giữ 1 điểm trên lò xo cách vật một đoạn bằng
l0. Sau khi giữ, tốc độ cực đại của vật là bao nhiêu?
A. l0

k
m

B. l0

k
6m

C. l0

k
3m

D. l0

k
2m

- Hướng dẫn:
+ Khi lò xo có chiều dài cực đại, vật ở vị trí biên: x = A = l0/2
+ Chiều dài lò xo lúc này là: l =

3
l0
2

+ Cơ năng của con lắc : W = (Wt )max =

1 2
kA
2

+ Khi giữ một điểm trên lò xo, cách vật đoạn l0 chiều dài lò xo mất đi
1
3

đoạn ∆l = l0/2 = l .
+ Chiều dài còn lại l’=

2
l độ cứng k’ :
3

+ Thế năng mất đi: ∆Wt =

k’ = k

l
3
= k
l' 2

∆l
1
. ( Wt ) max = .W
l
3

+ Cơ năng còn lại của hệ con lắc lò xo: W' = W - ∆Wt =
1
2
=> k ' A '2 = kA2
2
3

=> A’ =

<=>

2
W
3

4
A '2 2 k
=
.
=
9
A2 3 k '

l
2
A= 0
3
3

+ Tốc độ cực đại của vật sau khi giữ lò xo:
v’max = ω ' A ' =

l0
3

k'
k
= l0
m
6m

( Đáp án B )

Ví dụ 4:
THPT Diễn Châu 4

-14-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và vật m = 0,1kg,
dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Khi t = 0 vật qua
vị trí cân bằng với tốc độ v = 40 π cm/s. Đến thời điểm t = 1/30 s, người ta giữ
cố định điểm chính giữa của lò xo. Tính biên độ dao động mới của vật.
A. 5 cm

B. 4 cm

C. 2 cm

D. 2 2 cm

-Hướng dẫn:
+ Ban đầu:

ω=

2π
k
= 10π (rad/s), chu kỳ T =

= 0,2 (s)
ω
m

Biên độ: A =

vmax
= 4 (cm)
ω

Sau thời gian t = 1/30 (s) =

T
A 3
vật đến vị trí x1 =
= 2 3 (cm)
6
2

+ Khi giữ điểm chính giữa lò xo:
- Chiều dài còn lại l’ = l/2, độ cứng k’ = 2k
- Phần thế năng của con lắc bị mất: ∆Wt =
- Cơ năng còn lại: W' = W - ∆Wt =>
=> A’ =

k 2 1 2
( A − x1 ) =
k'
2

∆l
1
.Wt = .Wt
l
2

1
1
1 1
k ' A '2 = kA2 − . kx12
2
2
2 2

5 (cm) ( Đáp án A )

2.2.4. Khi đang dao động, có thêm lực ma sát không đổi (lực cản) tác dụng
vào vật.
A- Phân tích hiện tượng và hướng giải quyết bài toán.
Ban đầu con lắc lò xo gồm vật m và lò xo có độ cứng k đang dao động
với biên độ A. Khi đang dao động tại vị trí ly độ x có thêm lực ma sát (lực cản)
tác dụng vào vật m, sau đó vật sẽ dao động tắt dần. Bài toán trở về bài toán dao
động tắt dần. Ở đây, trong giới hạn của đề tài, ta chỉ xét quá trình dao động của

THPT Diễn Châu 4

-15-

Trường

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

vật khi có lực ma sát (lực cản) tác dụng vào vật mà vật chưa đổi chiều chuyển
động. Cụ thể xét 2 trường hợp sau đây:
a. Lực ma sát (lực cản) tác dụng khi vật ở vị trí biên x = A. (Hình vẽ)
Khi đó lực kéo về F = kA lớn hơn lực ma sát Fms = µmg
O M

A

xM
ur

Hợp lực Fhl = F – Fms > 0. và chiều F hl hướng về vị trí cân bằng O. Khi
vật chuyển động, độ lớn lực kéo về F thay đổi, còn độ lớn lực ma sát không
thay đổi nên Fhl giảm dần. Khi đến điểm M có vị trí xM lực kéo về F cân bằng
với Fms nên vật đạt vận tốc cực đại tại điểm M.
Khi đó, quảng đường vật đi được từ A đến M:
F = Fms => k.xM = µmg => xM =

A’ = A - xM

µ mg
k

Tốc độ cực đại của vật m tại M là vM. Theo định luật bảo toàn cơ năng, độ
giảm cơ năng đúng bằng công của lực ma sát:

=>

1 2 1 2 1 2
kA − kxM − mvM = µ mg ( A − xM ) = kxM ( A − xM )
2
2
2
⇔ vM2 =

k 2
( A − 2 AxM + xM2 ) = ω 2 ( A − xM ) 2
m

=> vM = ω ( A − xM ) = ω A '

Quá trình tiếp theo của con lắc dao động tắt dần. Vận dụng thêm về dao động
tắt dần để tìm thời gian, quản đường...
b. Lực ma sát (lực cản) khi vật qua vị trí cân bằng x = 0.(Hình vẽ)
Khi qua vị trí cân bằng O, tốc độ của con lắc ban đầu là cực đại
vmax = ωA

A’

A

M’ O
xM’

Sau đó, vật chịu thêm lực ma sát Fms = µmg vật chuyển động chậm dần
và dừng lại tại điểm A’ rồi đổi chiều chuyển động. Khi chuyển động từ O đến

A’, lực kéo về tăng dần đến M’ thì F = Fms => k.xM’ = µmg => xM’ =
THPT Diễn Châu 4

-16-

µ mg
k

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

+ Theo định luật bảo toàn cơ năng khi vật qua M’:
1 2
1
1
mvmax − kxM2 ' − mvM2 ' = µ mgxM ' = kxM2 '
2
2
2

<=>

1 2 1 2
3
k
kA − mvM ' = kxM2 ' => vM2 ' = ( A2 − 3 xM2 ' ) = ω 2 ( A2 − 3 xM2 ' )

2
2
2
m

=> vM ' = ±ω A2 − 3xM2 ' .
vM’ là vận tốc cực đại trong quá trình dao động có lực ma sát
1 2
1
mvmax − kA '2 = µ mgA '
2
2

+ Khi vật đến A’ vận tốc bằng 0 :
⇔

1 2 1
kA − kA '2 = kxM ' A ' => A '2 + 2 xM ' A ' = A2 .
2
2

A’ là biên độ dao động cực đại của con lắc lò xo khi có lực ma sát
B - Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:
Một con lắc lò xo có độ cứng k =2N/m và vật m = 80g đang dao động
theo phương nằm ngang không ma sát với biên độ A = 10cm. Khi lò xo bị nén
tối đa, người ta tác dụng vào vật m một lực cản không đổi Fc = 0,08N. Tính thế
năng của vật mà tại đó vật có vận tốc lớn nhất.
A. 0,16mJ

B. 0,16J

C. 1,6J

D. 1,6mJ

- Hướng dẫn:
+ Tại vị trí vật m có vận tốc cực đại: Fdh = Fc
<=>

kx = Fc => x =

+ Thế năng của con lắc lò xo: Wt =

Fc
= 0, 04m
k

1 2
kx = 1, 6.10−3 (J) = 1,6 (mJ)
2

Ví dụ 2: (Trích đề thi TSĐH năm 2010)
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 0,02kg và lò xo có độ
cứng k = 1N/m. Vật m đặt trên giá đỡ nằm ngang dọc theo trục lò xo, hệ số ma
sát giữa vật và giá đỡ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10cm rồi

THPT Diễn Châu 4

-17-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ
2

buông nhẹ để con lắc dao động. Lấy g = 10m/s . Tốc độ lớn nhất của vật trong
quá trình dao động là:
A. 10 3 cm/s B. 20 6 cm/s C. 40 2 cm/s D. 40 3 cm/s
- Hướng dẫn:
+ Tần số góc của dao động: ω =

k
1
=
= 5 2 (rad/s)
m
0, 02

+ Ban đầu giữ lò xo bị nén 10cm, do đó biên độ: A = 10cm.
+ Sau khi thả để vật dao động, đến vị trí M có ly độ xM thì: Fđh = Fms
=> k.xM = µmg => xM =

µ mg
= 0,02 (m) = 2 (cm)
k

+ Khi đó quảng đường của vật đi được là: A’ = A – xM = 8 (cm)
+ Áp dụng kết quả đã chứng minh ở phần lý thuyết trên ta có:
=> vM = ω ( A − xM ) = ω A ' = 5 2.8 = 40 2 (cm/s)
Ví dụ 3:
Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 0,2kg và lò xo có độ
cứng k = 20N/m dao động điều hòa không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang.
Khi vật m đang dao động qua vị trí cân bằng với tốc độ 1m/s người ta tác dụng
vào vật một lực cản bằng 1/10 lần trọng lực của nó. Lấy g = 10m/s2. Tính độ
lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo sau khi có lực cản tác dụng.
A. 2, 02 N

B. 1,98N

C. 0,4N

D. 4N

- Hướng dẫn:
+ Tại vị trí cân bằng: Tốc độ của vật là cực đại: vmax = ωA
+ Sau khi có lực cản tác dụng vật dao động đến A’ dừng lại rồi đổi chiều
chuyển động. Khi vật đến A’ vận tốc bằng 0 :
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:
Với Fc =

1 2
1
mvmax − kA '2 = Fc A ' .
2
2

1
1
P = mg = 0, 2 (N)
10
10

Thay các giá trị của k, vmax, Fc vào phương trình trên ta tìm được
A’ = 0,099m
+ Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k.A’ = 1,98 (N)
THPT Diễn Châu 4

-18-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

Ví dụ 4:
Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng ngang nhờ đệm từ
trường với tần số góc 10 π rad/s và biên độ 6cm. Đúng thời điểm t = 0 lúc lò
xo dãn cực đại thì đệm từ trường bị mất và vật dao động tắt dần với độ giảm
biên độ sau nửa chu kỳ là 2cm. Tính tốc độ trung bình của vật kể từ lúc t = 0
đến lúc lò xo không biến dạng lần thứ nhất.
A. 53,6cm/s

B. 107cm/s

C. 120cm/s

D. 122,7cm/s

- Hướng dẫn:
+ Chu kỳ dao động của vật: T =

2π
= 0,2 (s)
ω

∆A
+ Vị trí mà vật có vận tốc cực đại: x0 =
= 1cm
2

+ Thời gian vật đi từ vị trí biên đến vị trí x0 là: t1 =

.Ax’ O x
0
1

0

A

T
= 0,05 (s)
4

+ Thời gian vật đi từ vị trí x0 đến vị trí lò xo không biến dạng:
t2 =

x0
1
1
1
≈ 0,006 (s)
arcsin A − x =
arcsin
ω
10π
6 −1
0
A

A

6

+ Tốc độ trung bình: v = t = t + t = 0, 056 ≈ 107 (cm/s) ( Đáp án B)
1
2

3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Nội dung đề tài “Bài toán thay đổi cấu trúc con lắc lò xo nằm ngang khi
đang dao động” đã trình bày ở trên định hướng được cho học sinh cách phát
triển bài toán về con lắc lò xo từ bài toán cơ bản. Thông qua các trường hợp
làm thay đổi cấu trúc của con lắc lò xo khi đang dao động, chúng ta thấy được
nhiều vấn đề được mở rộng, phát triển nâng cao của bài toán. Qua đó, học sinh

sẽ có được cách tư duy logic về các hiện tượng vật lý xảy ra trong bài toán con

THPT Diễn Châu 4

-19-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

lắc lò xo khi đang dao động. Nếu chúng ta có thể làm thay đổi một yếu tố nào
đó liên quan đến cấu trúc của con lắc lò xo, thì bài toán cơ bản trở thành bài
toán nâng cao hơn.
Đề tài đã được áp dụng giảng dạy cho học sinh khối 12, học tập và ôn thi
cho kỳ thi quốc gia năm 2015 đạt được những kết quả đáng ghi nhận . Thông
qua các nội dung đã trình bày trong đề tài, học sinh có cái nhìn tổng quát hơn
về các dạng bài toán dao động của con lắc lò xo. Mỗi một trường hợp đề tài
đưa ra đều được phân tích hiện tượng, nêu hướng giải quyết vấn đề của bài
toán và có các bài tập ví dụ minh họa cho các trường hợp cụ thể. Đồng thời,
còn mở rộng thêm các hướng giải quyết cho các bài toán khác tương tự.
Trong quá trình giảng dạy, nếu học sinh không chú ý đến những hiện
tượng diễn ra trong quá trình dao động của con lắc lò xo có thể làm thay đổi
cấu trúc của nó thì sẽ không thể giải quyết được các bài toán nêu trên. Các
trường hợp làm thay đổi cấu trúc của con lắc lò xo đã nêu trong đề tài phù hợp
với hướng dạy hạy phát hiện và giải quyết vấn đề mang tính sáng tạo, đòi hỏi
học sinh phải tư duy theo các cấp độ thông hiểu và vận dụng ở mức độ cao.
Nội dung đề tài cũng là một tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho các thầy

cô giáo đang giảng dạy có hệ thống hơn trong chương trình vật lý lớp 12 và ôn
thi kỳ thi quốc gia năm 2015 và những năm tiếp theo.

III – KẾT LUẬN
Qua việc nghiên cứu, tìm hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài
“Bài toán thay đổi cấu trúc con lắc lò xo nằm ngang khi đang dao động” tôi đã
hệ thống được các hiện tượng vật lý diễn ra trong quá trình làm thay đổi cấu
trúc của con lắc lò xo.
Bước đầu đề tài đã thu được những kết quả nhất định trong quá trình
giảng dạy. Từ những hiện tượng nêu ra trong đề tài và các bài tập ví dụ minh

THPT Diễn Châu 4

-20-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

họa, học sinh đã hiểu sâu hơn và có thể vận dụng để giải quyết được những bài
toán tương tự cũng như phát triển các toán sáng tạo ở mức cao hơn.
Việc áp dụng kết quả nghiên cứu của đề tài vào giảng dạy ở các lớp học
sinh có năng lực trung bình còn gặp khó khăn đôi chút, nhưng khi áp dụng cho
các lớp học sinh có trình độ khá, giỏi thì mang lại hiệu quả cao. Từ những bài
toán nêu ra trong đề tài, học sinh có thể làm được các bài toán khác tương tự,
cũng như các bài toán nâng cao hơn. Đề tài cũng là một chuyên đề quan trọng
trong quá trình giảng dạy và ôn thi cho học sinh lớp 12 của giáo viên.

Sau khi nghiên cứu và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, tôi cũng
mong các thầy giáo, cô giáo cần tìm tòi nghiên cứu thêm các chuyên đề mới để
phát triển kiến thức từ nội dung cơ bản thành các chuyên đề nâng cao giảng
dạy cho học sinh. Qua đó học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán.
Do nội dung đề tài nằm trong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm
trong năm học nên các vấn đề nêu ra còn hạn chế về nội dung, nhiều vấn đề
khác chưa được khai thác. Trong thời gian tới, hướng phát triển của đề tài là sự
thay đổi của con lắc lò xo treo thẳng đứng, con lắc nằm trên mặt phẳng
nghiêng và con lắc gắn với hệ lò xo.
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này, song nội
dung và hình thức trình bày còn nhiều hạn chế, thời gian nghiên cứu chưa
được nhiều, chắc chắn không tránh khỏi được những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn những đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo, các
bạn đồng nghiệp và các em học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

THPT Diễn Châu 4

-21-

Trường


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2014-2015

Giáo viên: Bùi Văn Cơ

1. Lương Duyên Bình, Vũ Quang: “Vật Lý 12” ; “Bài tập vật lý 12” Nhà

xuất bản giáo dục 2011
2. Nguyễn Anh Vinh : “Cẩm nang ôn luyện thi đại học” – Tập 1. Nhà xuất
bản Đại học sư phạm Hà Nội 2013
3. Lê Văn Vinh: “Khám phá tư duy giải nhanh bộ đề thi THPT quốc gia môn
Vật lý”, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội 2014
4. Chu Văn Biên: “Bổ trợ kiến thức luyện thi đại học Vật lý 12”, Nhà xuất bản
đại học quốc gia Hà Nội 2013
5. Phạm Phúc Tuy: “Một số vấn đề cơ bản về phương pháp viết sáng kiên
kinh nghiệm ” (Đề tài nghiên cứu khoa học trường CĐSP Bình Dương, 2011).

THPT Diễn Châu 4

-22-

Trường