TCC NEU chuong 6 gioihan lientuc

Page: Love NeverDies
Lời giải:
Hoàng Bá Mạnh

Toán cho các nhà kinh tế
Giải bài tập giáo trình
CHƯƠNG 6
GIỚI
HẠN
VÀ
LIÊN
TỤC

NEU – Winter 2019


1
Bài 31
Với hàm cos x :



Chọn 2 dãy điểm x1k  k 2 và x2 k 

2

 k 2 cùng tiến ra  khi k   , ta thấy:



lim cos  x1k   lim cos  k 2   lim1  1  lim cos  x2 k   lim cos   k 2   lim 0  0

x2 k 
k 
k 
k 
2
 k 

x1k 

Vậy, không tồn tại lim cos x
x 

Tương tự với các hàm số còn lại. Như tan x và cot x có thể chọn 2 dãy x1k 


4

 k và x2 k 


6

 k

Bài 32

x 2  3x  1  5x
9  9  1  15
a) lim


 4
x 3
2x 1
5  1
3x 3  5x  1
5 1
3 2  3
3
3
3x  5x  1
x
x  300  3
 lim 3 x 2
 lim
b) lim 3
x  2 x  x 2  9
x  2 x  x  9
x 
1 9
2  3 200 2
3
x x
x
1

 5x 2  x  1 
c) lim  2

x  4 x  x  1




1
x

d) lim  x  2   0 và
x 2

1 1 x

 5  x  x 2   5  0  0 0
 lim 
 
 1
x 
1
1
4

0

0


4  2 

x x 
x
x
cos 2

 1  lim  x  2  cos 2
 0 (quy tắc kẹp)
x 2
x  5x  6
x  5x  6

Bài 33





 x  2 x2  2x  4
x3  8
x2  2x  4
4
 lim
 lim

a) lim 2
x 2 x  3 x  10
x 2
x

2
x 5
7
 x  2  x  5
3

b) lim
x 0

c) lim
x 







 2 x  1  1 x  1  1
2 x  1  1 nh©n liªn hîp
lim
 lim

x  1  1 bËc 2 vµ 3 x 0  x  1  1  3  2 x  12  2 x  1  1 x 0

 


x  4x 1  x  x  5
2

 lim
x 

2


x 




x
 lim

2

 

 4x 1  x2  x  5

  lim

2
3





x 1 1

 2 x  1

2



 2x 1 1

4
3

3x  4

x  4x 1  x  x  5
x  4x 1  x2  x  5
4

3 
3x  4
3
x

 lim

2
4 1
1 5
4 1
1 5  x 
1  2  1  2
1   2  1   2 
x x
x x
x x

x x 
x 

2

2

x 

2

 m sè h¹ng 
x  x  ...  x   1  1  ...  1 


2
m
 x  1  x 2  1  ...  x m  1
x  x  ...  x  m


d) lim
 lim
 lim
x 1 x  x 2  ...  x n  n
x 1
 n sè h¹ng  x 1  x  1  x 2  1  ...  x n  1
x  x 2  ...  x n   1  1  ...  1 





2

Hoàng Bá Mạnh

m

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU













Trang: Love NeverDies


2
m  m  1
1  2  ...   m  1
m  m  1
2

 lim



n

1
x 1 1  x  1  ...  x
n  n  1
1  2  ...   n  1
n  n  1
 ...  1
 
2







1   x  1  ...  x m 1  ...  1

Bài 34

sin 3x
tan 3x
sin 3x cos 2 x
3cos 2 x 3
a) lim

 lim
.
 lim 3x .

x 0 tan 2 x
x 0 sin 2 x cos3 x
x 0 sin 2 x 2 cos3 x
2
2x
sin   x  1
 sin  x   
sin  x


b) lim 3
 lim

lim
. 2

x 1 x  1
x 1 x  1 x 2  x  1
x 1
  x  1
3
x  x 1
 









2 sin 2 x.sin   x 
cos x  cos3x
sin 2 x sin x
 lim
 4 lim
.
4
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
2x
x

c) lim

 chó ý: cos cos  2 sin.sin

vµ sin   x    sin x

sin 5x  sin 3x

2sin 4 x cos x
sin 4 x
 lim
 lim
. 8cos x   8
x 0
x 0
x 0
sin x
sin x
4x

d) lim
Bài 35

lim u  x 

v x 

 lim 1   u  x   1

x a

v x  u x  1

1


u
x


 lim 1   u  x   1 1 
x a



v x 

x a

lim v x  u x  1

 e xa

 ek

Câu 36
x2
1
cos x  1
1
a) lim 2  cos x  1  lim
 lim 22  
2
x 0 x
x 0
x 0 x
x
2


1

 lim  cos x  x2  e



1
2

x 0

 3x  x  1 
x  3x  x  1 
x
2 x
2
2
 1   lim
. 2
 lim
  lim  2


2
x  1  x 3 x  x  1
x  3 x  x  1

 x  1  x 3x  x  1 x   1  1  3  1  1  3



 x 
2 
x
x



2

2

2

2

x2
1 x

b) lim

cot 2 x
x2
cos2 x  1
 lim 1  x 2 
e
2
x 0
x 0
x  sin x

cos  x
cot  x
d) lim  cot  x  . 1  sin  x  1  lim
 e1
sin  x  lim cos  x  1  lim 1  sin  x 
x 1
x 1
x 1 sin  x
x 1







c) lim cot 2 x 1  x 2  1  lim

Câu 37
a) lim
x 0

log a 1  x 

 lim

ln 1  x 

x 0

x



1
ln a

x ln a
x
 x 
 x a
ln  
ln  1   1
ln  1 
ln x  ln a
a
a 
a  1



b) lim
 lim
 lim
 lim

x a
x a x  a
x a
x a

xa
xa
xa
a
a
a

ax 1
e x ln a  1
e x ln a  1
 lim
 lim
. ln a  ln a
x 0
x 0
x 0 x ln a
x
x

c) lim

1  x 
lim



d)

x 0

x

1

 lim
x 0

 ln1 x 

e

x

1

 1  ln 1  x 
.

x 0  ln 1  x 
x

 lim

 ln 1 x 

e

Bài 38
Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies

2

 e3


3
 cos x  1 3 cos x  1 
cos x  3 cos x

lim



2
x 0 
sin 2 x
sin 2 x 
 sin x

a) lim
x 0



cos x  1
cos x  1



 lim 

2
x 0
3
2
2
3


 sin x. cos x  1 sin x.  cos x  cos x  1 
x
x
2 sin 2
sin 2
2
cos x  1  1 1 
2 . 1  lim
2 . x .  2    1
 lim


lim
 2 3  x 0 sin 2 x 6 x 0


2
2

x 0 sin 2 x
12


 x  sin x  4.6 
2
 



 x9 
b) lim 

x 1 2 x  3





tan3 x 1
x 1

 x9 
 lim 

x 1 2 x  3



sin3 x 1

3 x 1

.

3
cos3 x 1

 23  8
x

c)

 1
 1
lim x  ln  x  1  ln x   lim x ln 1    lim ln 1    ln e  1
x 
x 
 x  x   x 

ln 1   x  1 
log2 x
ln x
1
 lim
 lim 

x 1 x  1
x 1  x  1 ln 2
x 1
 x  1 ln 2 ln 2

d) lim
e)





lim sin x  1  sin x  lim 2 cos

x 

cos

x 

x 1  x
x 1  x
sin
2
2

x 1  x
x 1  x
 lim sin
 1 và lim sin
x 
x 
2
2

2





1
x 1  x



 sin 0  0



 lim sin x  1  sin x  0 (quy tắc kẹp)
x 

f)

lim

x 1/2

arcsin 1  2 x 
4x 1
2

 lim

x 1/2

arcsin 1  2 x 

1  2 x  1  2 x 



1
2

sin x
arcsin x
 1  lim
1
x 0
x 0
x
x

Chú ý: lim

 sin x cos x  1 
cos x 


cos x  sin x  cos x  1
x
x



g) lim cot x.  sin x  cos x  1  lim
 lim
x 0
x 0
x

0
sin x
sin x
x




2 x 
2 x

sin 
 2 sin 2 
x
 cos x  1 
2  1

 lim  1 
1 .
1 
  lim
  lim
2

x 0
x 0
x 0 
x
x
2


x 



2 


  

3x
3x 

sin 2
ln  1  2 sin 2 
2
2 

2

 3x 
2 3x 
3

x
3
x
3
x
2
2
2
ln  1  2 sin
2 sin
sin
sin
 
ln  cos3 x 
2 

2
2
2  lim  2  . 9  9
 lim
 lim
.
 lim
h) lim
x 0 ln  cos 5 x 
x 0
5 x x 0 2 5 x x 0
5x 25 25
5 x  x 0 
5x 


sin 2
sin
sin 2
ln  1  2 sin 2
ln  1  2 sin 2


2
2
2
2 
2 


2
 5x 
2 5x
2 sin
 2 
2
 
Bài 39

lim f  x  g  x   lim f  x  . lim g  x   k lim f  x   
x a

x a

Hoàng Bá Mạnh

x a

x a

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


4
Bài 40
a)

1  cos ax
lim
 lim
x 0
x 0
sin x

ax
ax
sin 2
2
2  lim
2 . x . a x  0  1  cos ax   o  sin x 
2
x 0
sin x

 ax  sin x 2
 2 
 

2 sin 2

ax
ax

2 sin
sin

1  cos ax
2  lim
2
b) lim
 lim
 ax
x 0
x 0
x 0
a2 x 2
a2 x 2

 2
2
2
2

2



 1



 1  cos ax  ~

a2 x 2
2

 sin ax  sin bx 2 x 
 sin ax sin 2 bx 
sin ax  sin 2 bx
 lim 


lim

 x 0 
 . a   1 0  1
x 0
x 0
ax
ax
ax
ax
bx








c) lim





 sin ax  sin 2 bx ~ ax

ax 1
e x ln a  1
d) lim
 lim
 1   a x  1 ~ x ln a
x 0 x ln a
x 0 x ln a
1
ln 1  ax 
1
 lim ln 1  ax   lim ln 1  ax  ax  ln e  1  ln 1  ax  ~ ax
e) lim
x 0
x 0 ax
x 0
ax

1  kx 
lim



f)

1

k x

x 0

 1 ln 1  kx 
.
1
x 0  ln 1  kx 
kx

 lim

 ln1 kx 

e

 1  kx  ~ k x


ax   a1 x  1  ...  an x   n

a
 a

 lim  1  1 x  ...  n x n   1   ax   a1 x  1  ...  an x   n  ~ ax 

x 0
x 0
ax
a
a 


g) lim
Bài 41

 x
 x  x
 lim
.
1  x ~  x
x a   x 
x a   x    x 

 x
 x
 1 và lim
1
x a   x 
x a   x 

 lim

 x
 x
0
 1 và lim
x a   x 
x a   x 

 lim

a) lim
b) lim

 x
 x  x
 lim
.
 1.0  0    x   o   x  
x a   x 
x a   x    x 

Bài 42
9x2
 3x   9 x và 2 x 2  3x 3  x 4 ~ 2 x 2
1  cos3x
9
a) 1  cos3 x ~
 lim 2
 lim 2 2 



3
4
x

0
x

0
2
2
2 x  3x  x
2x
4
x
x ln 5
b) 5  1  e  1 ~  x ln 5
2

 x2
và cos x  1 ~  
 2

2


2
2
2

  o  x  ; 3sin x ~ 3 x  o  x   4 x  3sin x  cos x  1 ~ 4 x






5x  1
x ln 5 ln 5
 lim

2
x 0 4 x  3sin x  cos x  1
x 0 4 x
4

 lim
c) lim
x 0


ln 1  2 x

ln 1  4 x 2  5x 3
2

 3x 3




ln 1 u  ~ u



4 x 2  5x 3
4  5x
 lim
2
2
3
x 0 2 x  3 x
x 0 2  3 x

lim

2
2
2
6x
2

  5 ln13 x   2


5
5
 1 ~ ln 1  3 x  ~  3 x  
d)  1  3 x   1  1  3 x   1  e
5

5

 
 
 5

 sin x  2 sin x  ~ sin x ~ x
2

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


5
6x
6 6
 lim
 lim 5  lim 
x 0 sin x  sin 2 x
x 0 x
x 0 5
5
5

1  3x 

2

1

Bài 43
9x2
1  cos3x
9
9
và lim f  x   lim
 lim 22   f  0   f  x  liên tục tại x = 0
f 0 
x 0
x 0
x 0 x
x sin x
2
2

Bài 44
a)

f 1  1

 

lim f  x   lim  ax  2   a  2

lim f  x   lim x 2  1

x 1

x 1

x 1

x 1

f  x  liên tục tại x = 1  lim f  x   lim f  x   f 1  a  2  1  a  1
x 1

x 1

=>Nếu a  1 thì f  x  gián đoạn tại x = 1
b) f 1  a

 x  1 x  3  lim 3  x  2
x2  4x  3
 lim
 
x 1
x 1
1 x
1 x

lim f  x   lim

x 1

x 1

x2  4x  3
lim f  x   lim
 lim  x  3  2
x 1
x 1
x 1
x 1
Nếu lim f  x   f 1  a  2  f  x  liên tục phải tại 1
x 1

Nếu lim f  x   f 1  a  2  f  x  liên tục trái tại 1
x 1

Không tồn tại a để lim f  x   2  lim f  x   2 a  f  x  gián đoạn tại 1 với mọi a 
x 1

x 1

Bài 45
a) Với mọi x  3 , do f  x  là hàm sơ cấp nên nó liên tục

 x  3 x  2   lim x  2  1  f 3  f x
x 2  5x  6
 lim
f  3  1 và lim f  x   lim


 
  liên tục tại 3
x 3

x 3
x 3
x 3
x 3
 x  3
Vậy, f  x  liên tục với mọi x 
b) Với mọi x  2 , do f  x  là hàm sơ cấp nên nó liên tục





4 2 x 2  1
2  x  2  ln 2
2x  4
f  2   m và lim f  x   lim
 lim
 lim
 2 ln 2
x 2
x 2 x  2
x 2
 x  2  x 2  x  2 
Nếu m  2 ln 2 thì f  x  liên tục tại 2 và do đó nó liên tục trên
Nếu m  2 ln 2 thì f  x  gián đoạn tại 2, liên tục tại mọi x  2

c)

 x  1; x  1
 x


f  x   cos
; 1  x  1
2

1  x; x  1

Dễ thấy f  x  liên tục trên các khoảng 1;  ,  1;1 và  ; 1 do là hàm sơ cấp

lim f  x   lim  x  1  0

Tại x  1 : f 1  0

x 1

lim f  x   lim cos

x 1

x 1

x
2

 cos

 
Tại x  1 : f  1  cos     0
 2
Hoàng Bá Mạnh


2

x 1

 0  lim f  x   f 1  f  x  liên tục tại 1
x 1

lim f  x   lim 1  x   2

x 1

x 1

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


6
lim f  x   lim cos

x 1

x

x 1

 0  f  1  lim f  x  => f  x  gián đoạn tại -1, liên tục trái tại đây

x 1

2

Bài 46

 ln 1  x   ln 1  x 
; 1  x  0

x

.
f  x   k
; x 0
 ln 1  x  ln 1  x
   ; 0  x 1
 

x
Dễ thấy f  x  liên tục trên các khoảng  1;0  và  0;1 do là các hàm sơ cấp
Tại x  0 ta có f  0   k và

2x 
 1 x 

ln 
ln  1 

ln 1  x   ln 1  x 
1 x 

1  x  2
lim f  x   lim
 lim 
 lim 
.
2
x 0
x 0
x 0
x 0
2x
x
x
1 x
1 x
Từ trên, f  x  liên tục trên (-1;1)  f  x  liên tục tại 0  lim f  x   f  0   k  2
x 0

Bài 47
a) Theo bài có lim f  x   f  x0  và lim g  x   g  x0  hoặc lim g  x  không tồn tại
x  x0

x  x0

x  x0

 lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0   f  x   g  x  gián đoạn tại x0
x  x0

b) Trường hợp này không thể kết luận được vì:

Nếu lim f  x   f  x0  và lim g  x   g  x0  thì lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0  hoàn toàn có thể xảy ra
x  x0
x  x0
x  x0
Hoặc kể cả trường hợp có ít nhất 1 trong hai hàm số không có giới hạn x  x0
Thì giới hạn lim  f  x   g  x   vẫn có thể tồn tại và do đó lim  f  x   g  x    f  x0   g  x0  vẫn hoàn toàn
x  x0
x  x0
có thể xảy ra
Bài 48
a) Đặt f  x   3x  sin x ta thấy f  x  liên tục trên

do là hàm sơ cấp. Mặt khác lại có


1
  
f  0   1  0 và f     3 4 
 0  tồn tại x  để f  x   0  3x  sin x
2
 4
x
2
b) Đặt f  x   2  x  x  3 dễ thấy f  x  liên tục trên
do là hàm sơ cấp. Mặt khác lại có

f 1  3  0

 tồn tại x 





lim f  x   lim 2 x  x 2  x  3  

x 

x 

để f  x   0  2 x  x 2  x  3

Bài 49
Đặt f  x   x 6  9 x  8 . Dễ thấy f  x  liên tục trên

f 1  16  0

f  2   38  0

 f  x  có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1;2)

f  2   74  0

 f  x  có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-2;1)

Bài 50 (Tương tự bài 49).

Hoàng Bá Mạnh

và:

Với 3 mốc: f  0   1  0 và f 1  5  0 ;

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

f  2   21  0

Trang: Love NeverDies