Bán kính điều khiển được của hệ điều khiển tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BÁN KÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BÁN KÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. Trần Thị Thu

HÀ NỘI – 2018

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✶

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✷

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✸

▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉

✻

✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✽

✶✳✶

✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷

●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸

⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✹

❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✶✳✺

▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✶✾
✷✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✷✳✷

❈→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✸

❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✹

❍÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑➳t ❧✉➟♥

✸✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✶

✐✐


ớ ỡ
rữợ tr ở ừ õ ỷ ớ
ỡ tợ t ổ tr

rữớ ồ

ữ ở tr ự ũ ỳ tr
tự qỵ t õ tốt t
ử õ ồ
t ỡ ỳ tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s
s tợ ổ

s r ữớ trỹ t ữợ

t t ú ù õ t t õ

ờ q ợ ổ t ự ồ
õ ổ t tr ọ ỳ t sõt t ữ
t ữủ rt ữủ ỳ ỵ õ õ
ừ t ổ õ ừ ỡ
t ỡ

ở t


Pữỡ




▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❉÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❝æ ❣✐→♦

❚❤s✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉

❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈î✐ ✤➲ t➔✐

✏❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉

❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✑ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜ð✐
q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ✈î✐ ❜➜t
❝ù ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❚r♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ❡♠ ✤➣
t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣ ❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳

❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✹ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽✳
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

✷


ớ õ

ỵ ồ t
ỵ tt õ ỗ ố tứ trữợ sỹ tỹ
ừ ỡ ồ t ữủ t ữớ
t ồ
ữủ ừ ở ỹ ữủ ữ ỳ
ỵ tữ t q q trồ ừ tứ ỳ tr
õ ự ởt số số t ữủ
t t ỡ ứ õ t tr t
ởt ữợ ữủ ự ởt ữợ q trồ ừ ỵ tt
ở ỹ t ữủ ự ợ
ữủ s ữợ t ở ừ õ tố
ữủ tr ố õ ởt
ữủ t õ ởt ữủ ởt tổ số õ r
õ õ ỏ ữủ ỳ ổ õ t
ữủ ữủ
tứ ởt t ữủ ởt t

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ◆❤➟♥ t❤➜② ✤÷ñ❝ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ù♥❣
❞ö♥❣ t♦ ❧î♥ ➜② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ✏

✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✑

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥

❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❝æ

❣✐→♦ ❚❤s✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❝â ✷ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✿ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐

tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱
→♥❤ ①↕ ✤❛ trà✱ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♠ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥

t➼♥❤✿ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝❤ t➼♥❤
❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉❛ ❝→❝ s→❝❤✱
t↕♣ ❝❤➼ ❜➡♥❣ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤✳ ◗✉❛ ✤â ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➼♥❤ t♦→♥ ♠ët sè ✈➼ ❞ö →♣
❞ö♥❣ ✤➸ ♥❣÷í✐ ✤å❝ ❞➵ ❤➻♥❤ ❞✉♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥➯✉ ❧➯♥ ❤÷î♥❣

♣❤→t tr✐➸♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉

✹


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸✳

✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✲ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✲ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚ê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ t❤✉ t❤➟♣ ✤÷ñ❝ q✉❛ ♥❤ú♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ ✤➲ t➔✐ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳

✻✳ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❳➙② ❞ü♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ t❤➔♥❤ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ tê♥❣ q✉❛♥ tèt ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥

✈➲ ✤➲ t➔✐ ✏❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✑✳
❉♦ ❧➔ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤ü❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧ü❝
❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣
s❛✐ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣✱ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛②
❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ✤➲ t➔✐ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ✤↕t ❦➳t q✉↔ ❝❛♦ ❤ì♥✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

✺


❇↔♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉
K

❚r÷í♥❣

Kn

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì

(Kn )∗

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛

Km×n , Mat(m × n, K)

❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣

x
A∗ , AT , A−1
A

R

❤♦➦❝

C✳

❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

n

x

❝❤✐➲✉✳

tr♦♥❣

Kn .
m×n

tr➯♥ tr÷í♥❣

K.

Kn .

▼❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ❝❤✉②➸♥ ✈à✱ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A.

σ(A)

●✐→ trà ❦➻ ❞à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❆✳

σmin (A)

●✐→ trà ❦➻ ❞à ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

F : Km ⇒ Kn

❚♦→♥ tû ✤❛ trà

dom F

▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛

Im F

▼✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛

F.

Ker F

❍↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛

F.

gr F

✣ç t❤à ❝õ❛

F ∗ , F −1

❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

G◦F

❚♦→♥ tû ✤❛ trà ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛

(A, B)

▼❛ tr➟♥ ❣❤➨♣ ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥

(A|B)

▼❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣
◆❤✐➵✉✳

✻

A.

F.
F.

F.

A

F.
G

✈➔

F.

✈➔ ♠❛ tr➟♥

(B, AB, . . . , An−1 B).

B.

A.


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

rK (A, B)

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺

(A, B).

D,E
rK
(A, B)

❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝â ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❤➺

(A, B)✳

▼❛ tr➟♥ ♥❤✐➵✉✳

sup S ✱ inf S

❈➟♥ tr➯♥ ✤ó♥❣✱ ❝➟♥ ❞÷î✐ ✤ó♥❣ ❝õ❛ t➟♣

FG+

●✐↔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ▼♦♦r❡✲P❡♥r♦s❡ ❝õ❛

FG .

Wλ+

●✐↔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ▼♦♦r❡✲P❡♥r♦s❡ ❝õ❛

Wλ = (A − λI, B).

✼

S.


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝➛♥ ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✱
♠❛ tr➟♥✱ t♦➔♥ ❝➜✉✳ ❈❤✐ t✐➳t ✤➣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✻❪✳ ❈❤ó♥❣
tæ✐ ❝❤➾ ❤➺ t❤è♥❣ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❤❛② ❞ò♥❣ s❛✉ ✤➙②✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦

A ∈ Mat(m × n, K).

❝➜♣ ❝❛♦ ♥❤➜t ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❦❤→❝
❝â ♠ët ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣
❧î♥ ❤ì♥

r

✭♥➳✉ ❝â✮ ❝õ❛

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶✳

A

r

❝õ❛

A

❝õ❛

❦❤→❝

0

A,

♥❣❤➽❛ ❧➔

❜➡♥❣

rank A = r

♥➳✉

✈➔ ♠å✐ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣

rank A = rank At .
f :V→W

❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➛✉ ❦❤✐ ✈➔

rank f = dim V.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦

A ∈ Mat(n × n, K).

❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A,

❝❤♦

A

0.

✤➲✉ ❜➡♥❣

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✷✳ ⑩♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤
❝❤➾ ❦❤✐

0

❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

Au = λu✳

❑❤✐ ✤â ✈❡❝tì

ù♥❣ ✈î✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣

❙è

♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ✈❡❝tì

u

λ∈K

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

u = 0, u ∈ Kn

s❛♦

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈❡❝tì r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

λ.
✽

A


õ tốt ồ

Pữỡ

ợ ồ tr
ồ tr r ừ tr


ừ tr

A



i =

AT A



vi

A Mat(n ì n, K)

AT A

t õ

ổ

A Mat(n ì n, K),

ồ

i

tr r

tỡ tữỡ ự tr ừ tr

i = Avi .

t
t ởt ừ t t ồ ự
ổ tỡ ữủ tr t ởt trú tổổ ũ ủ

t tỷ t t tử ỳ ú ớ ỳ
ừ t t ỗ tứ ổ tr ữỡ tr t
ừ s r t q ừ t t
ữ ữỡ tr ữỡ
tr r ỵ tt t ỹ tr ỵ
tt õ ú tổ s ởt số tự
q trồ s ữủ sỷ ử s tt ử t ở q
t õ t t tr t

ồ ổ ổ
t t ổ t t tr trữớ
ợ ởt tứ

X

t số tỹ

R, ã

tọ t s





(x X) x 0, x = 0 x = 0
(x X) K x = || x

K ũ

ồ


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✐✐✐✳

(∀x, y ∈ X)
x

❙è

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❝❤✉➞♥

x+y ≤ x + y .
x.

❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

(X, · )

❚❛ ❝ô♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤

X✳

❧➔

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì

Kn .

❱î✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ❜➜t ❦➻

x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn

t❛ ①➨t✿

n
✐✳

x−y

1

|xi − yi |✳

= d1 (x, y) =
i=1

n
✐✐✳

x−y

2

(xi − yi )2 ✳

= d2 (x, y) =
i=1

✐✐✐✳

x−y

∞

= d∞ (x, y) = max |xi − yi |✳
[1,n]

❑✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝❤♦ t❛ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ tr➯♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ ❉➣② ✤✐➸♠
❧➔ ❤ë✐ tö tî✐ ✤✐➸♠
❤❛②

x ∈ X,

♥➳✉

(xn )

Rn .

❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

lim xn − x = 0.

n→∞

❑➼ ❤✐➺✉

X

❣å✐

lim xn = x

n→∞

xn → x(n → ∞)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ❉➣② ✤✐➸♠
❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❝ì ❜↔♥✱ ♥➳✉

(xn )

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥

X

lim xn − xm = 0.

n→∞

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
♥❛❝❤ ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣

X

X

❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛✲

✤➲✉ ❤ë✐ tö✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✳ ✭◆❣✉②➯♥ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛❤♥✲❇❛♥❛❝❤✮ ▼å✐ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝

f

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝♦♥

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

X

X (X0 = X)

X0

❝õ❛

✤➲✉ ❝â t❤➸ t❤→❝ tr✐➸♥ ❧➯♥ t♦➔♥

✈î✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤æ♥❣ t➠♥❣✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝

♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝

F

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❝❤♦✿

✶✵

X

s❛♦


õ tốt ồ



Pữỡ

F (x) = f (x) (x X0 )
F

X

= f



X0

q ổ
ổ tở

X

X

ợ ộ tỷ

x0
f

tỗ t ởt t t tử

tr t ổ

X

s

f (x0 ) = x0

f = 1.

tr
tr t ữủ q t ự t tr
tứ ỳ ỵ tt ữủ
ự t tr t ữủ ỳ ự ử rở
r õ tr tr t ồ ụ ữ ỹ ớ số ở
ữ tr ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr
r ỵ tt tố ữ
t t t ữỡ s ú tổ
ởt số ỵ ụ ữ ởt số t q t ừ tr
s ữủ sỷ ử s tt ử t ở q t õ t
t tr t



X

X, Y

t ủ t ởt

t ủ ỗ t ủ ừ

Y

ữủ ỵ

ồ tr t

F : X Y.
x F(x) Y
ữ ợ ộ

x X, F (x)

ởt t ủ ừ



Y.

2Y

F

tứ

ữủ


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳ ❈❤♦ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

•

▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛

•

✣ç t❤à ❝õ❛

•

▼✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛

F

❧➔

F

❧➔ ✿

F :X⇒Y

dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅}✳

gr F := {(x, y)|x ∈ X, y ∈ F} ⊂ X × Y ✳

F

❧➔

F(x)✳

Im F =

x∈dom F

•

❍↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛

F

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳ ⑩♥❤ ①↕

❧➔

Ker F = {x ∈ dom F|0 ∈ F(x)}✳

F :R→R

F(x) =



0

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x=0

♥➳✉


[−1; 1]

♥➳✉

❝❤♦ t❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤❛ trà

F : R ⇒ R.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦

F : Kn ⇒ Km

✤❛ trà ✈î✐

x=0

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✭❤❛② →♥❤ ①↕✮

K = R ❤♦➦❝ K = C ♥➳✉ ✤ç t❤à ❝õ❛ F

t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

Kn × Km

t❤➻

F

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥

t➼♥❤✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✷✳
✐✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà
✐✐✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà

F :R⇒R

F(x) =

F

❧➔ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐



[0, 1]

♥➳✉


[−1; 0]
❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ✤ç t❤à ❝õ❛ t♦→♥ tû

R2

♥➯♥

F

F

x

♥➳✉

❧➔ sè ❤ú✉ t✛

x

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✶✷

❧➔ sè ✈æ t✛


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

F(0)

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

y ∈ F(x) ⇔ F(x) = y + F(0).

✭✶✳✶✮

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✶✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✱
t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ✈î✐ ♠å✐

x ∈ dom F(x)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦

t❛ ❝â

F : Kn ⇒ Km

t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â ❝❤♦ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì tr➯♥

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥

Kn

✈➔

Km

t❤➻ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

F

①→❝

✤à♥❤ ❜ð✐

F = sup { inf

y : x ∈ dom F, x = 1}.

✭✶✳✷✮

y∈F(x)

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✷✳
✐✳ ❚ø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹ t❛ ❝â
♥➳✉

F

inf ≤ F . x , ∀x ∈ dom F. ❉♦ ✤â✱

y∈F(x)

❧➔ ✤ì♥ trà t❤➻

F(x) ≤ F

x , ∀x ∈ dom F.

✐✐✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ❝❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡

✭✶✳✸✮

x =

√

x.x

t❤➻

tø ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â

y ∈ F(x), y ∗ ∈ F(0)⊥ ⇒ d(0, F(x)) = inf

z = y .

y∈F(x)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✺✳ ❈❤♦ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤

✭✶✳✹✮

F : Kn ⇒ Km .

❑❤✐

✤â

✐✳ ❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛

F

❧➔

F ∗ : (Km )∗ ⇒ (Kn )∗

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

F ∗ (v ∗ ) = {u∗ ∈ (Km )∗ : u∗ x = v ∗ y, ∀(x, y) ∈ gr F}.
✶✸

✭✶✳✺✮


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✐✐✳ ❚♦→♥ tû ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

F

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣
❧➔

F −1 : Im F ⇒ Kn

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

F −1 (y) = {x ∈ Rn : y ∈ F(x)}.
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤

✭✶✳✻✮

F : Kn ⇒ Km .

❑❤✐

✤â

✐✳

F∗

✈➔

F −1

❝ô♥❣ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤❛ trà✳

✐✐✳

(F ∗ )∗ = F,
✐✐✐✳

F

❧➔ t♦➔♥ →♥❤

❤❛②

F ∗−1

(F ∗ )−1 = (F −1 )∗ , F = F ∗ .

(F(Kn ) = Kn ) ⇔ F ∗

❧➔ ✤ì♥ →♥❤

✭✶✳✼✮

(F ∗−1 (0) = {0})

❧➔ ✤ì♥ trà✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦

F : Kn ⇒ Km , G : Km ⇒ Kl

❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤❛

trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤✐ ✤â

✐✳ ❚♦→♥ tû

G ◦ F : Kn ⇒ Kl

∀x ∈ dom F

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

(G ◦ F)(x) = G(F(x)),

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✐✐✳

F(0) ⊂ dom G ⇒ G.F ≤ G

F .

✭✶✳✽✮

✐✐✐✳

Im F ⊂ dom G ⇒ (G.F)∗ = F ∗ .G ∗ .
◆➳✉

G(x),

F

❧➔ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

tr♦♥❣ ✤â

FG = G

G ∈ Km×n

✈➔

x ∈ Kn

✳

✶✹

t❤➻ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

✭✶✳✾✮

F(x) = FG (x) =

FG

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤


õ tốt ồ

Pữỡ

ứ t tỷ ợ õ tr t
t t s sỷ ử

FG (x) = G(x).

t t tỷ ủ

(FG ) : (Km ) (Kn )
v (FG ) (v ) = v G
ụ t tỷ tr t t
ỡ t ỗ t

(FG )

ợ

G

t

(FG ) (v ) = G (v ) = v G,
t
t õ

G v

t ừ tr

v (Km ) .

G Knìm



tỡ ởt

v Km

(G v) = G (v ).

t t

r tỹ t t tt
tữớ q ở ỹ ổ t
ữỡ tr t ồ ợ tớ tử rớ r

x (t) = f (t, x(t), u(t)),

t0



x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)),
tr õ

x(t)

k = 0, 1, 2, . . .

tr t ổ t ố tữủ r

u(t)



ổ t ố tữủ ừ tố ố tữủ
tr ổ tố ữủ ổ t ữ ỳ
ỳ õ t ở q trồ ự ở ự ở

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❦❤→❝ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ✤➳♥ sü ✈➟♥ ❤➔♥❤ ✤➛✉ r❛ ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣✳
◆❤÷ ✈➟② t❛ ❤✐➸✉ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❧➔ ♠ët ♠æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝
✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❜✐➸✉ t❤à sü ❧✐➯♥ ❤➺ ✈➔♦ r❛

x(t)

u(t)

−−→ x (t) = f (t, x, u) −−→
❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝✉↔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❤➺ t❤è♥❣
❧➔ t➻♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭✤➛✉ ✈➔♦✮ s❛♦ ❝❤♦ ❤➺ t❤è♥❣ ✭✤➛✉ r❛✮ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤
❝❤➜t ♠➔ t❛ ♠♦♥❣ ♠✉è♥✳ ❚r♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤✐
t➻♠ ❤✐➸✉ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤✐ t✐➳t ✤➣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔②
tr♦♥❣ ❬✹✱✽✱✶✷❪✱ s❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì
❜↔♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳ ❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ x (t)
tr♦♥❣ ✤â

x ∈ Kn , A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×m

❣✐↔♥ t❛ ①➨t

K = R✮

t❤→✐ ❜❛♥ ✤➛✉
tç♥ t↕✐

✈î✐

= Ax(t)+Bu(t) (∗)

K = R ❤♦➦❝ C ✭ ✤➸ ❝❤♦ ✤ì♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ♥➳✉ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ tr↕♥❣

x(0) = x0 ✈➔ ❜➜t ❦➻ tr↕♥❣ t❤→✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❦➳t t❤ó❝ x1 t❤➻

T >0

✈➔ ♠ët ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤♦ ✤÷ñ❝

❦❤↔ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦

u(t) : [0; +∞] → Km ✱

x(0, 0, u) = x0 ✱ x(T, 0, u) = x1 .

❑❤✐ ✤â t❛ ❝ô♥❣ ♥â✐ r➡♥❣ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥

(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m

❧➔ ✤✐➲✉

❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✷✳ ❍➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
✭●❈✮ ♥➳✉ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ❤❛✐ tr↕♥❣ t❤→✐

t1 > 0

s❛♦ ❝❤♦

(x0 , x1 )

(∗)

❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥

x0 , x1

s➩ t➻♠ ✤÷ñ❝ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥

❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ s❛✉ t❤í✐ ❣✐❛♥

✶✻

t1 .


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✸✳ ◆➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❣è❝

(∗)

❤➺

❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr♦♥❣

V (0) ⊂ Rn

V (0),

s❛♦ ❝❤♦

t❤➻ ❤➺ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭▲❈✮✳

✶✳✺ ▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣
❜✉ë❝
❳➨t ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤



x = Ax + Bu

✭✶✳✶✶✮


x(0) = x0 , x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , t ≥ 0

tr♦♥❣ ✤â

A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m .

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳✶✳ ✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤↕♥❣ ❑❛❧♠❛♥✮
❍➺ ✭✶✳✶✶✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
✈î✐

rank(A|B) = n

(A|B) = (B, AB, . . . , An−1 B) ∈ Mat(n, n × m).

❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤↕♥❣ ❑❛❧♠❛♥ ❝á♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ s❛✉

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳✷✳ ✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❍❛✉t✉s✮ ❍➺ ✭✶✳✶✶✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

rank(A − λI, B) = n,

❱➼ ❞ö ✶✳✺✳✶✳ ❳➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺✿

❚❛ ❝â

x = Ax + Bu

✈î✐

∀λ ∈ C✳



x1 =

x2 + u


x = x1 + 2x2 + 2u
2


 
0 1
1
 , B =  ✳
A=
1 2
2
✶✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛❧♠❛♥ ✈î✐ ♥❂✷ t❛ ❝â


rank(A|B) = rank(B, AB) = rank 

1 2
2 5


=2

♥➯♥ t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤↕♥❣ ❑❛❧♠❛♥ t❤➻ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥
t♦➔♥✳

❚ø ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧➼ tr➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺✳✸✳ ❈❤♦ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭✶✳✶✶✮✱ ❦❤✐ ✤â ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
✐✳ ❍➺ ❧➔

GC✳

✐✐✳ ❍➺ ❧➔

LC✳

✐✐✐✳

rank(A|B) = n✳

✐✈✳

rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ✤ë❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ❝â t❤➸ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❬✹✱✺❪✳
❙❛✉ ♥➔② ♥â✐ ✤➳♥ ❤➺ ✭✶✳✶✶✮ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ q✉② ÷î❝ ✤â ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳

✶✽


❈❤÷ì♥❣ ✷
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚❛ ❝â ❝➦♣

(A, B)

✈➔ t❛ ♠♦♥❣ ♠✉è♥
♥➳✉ ♥❤✐➵✉

(A, B)

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✱ s❛✉ ✤â ♥❤✐➵✉

(A, B)

(A, B)

(A, B)

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ▼ët ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t ✤â ❧➔✱

(A, B)

♠ët ❧÷ñ♥❣

✤õ ❜➨✱ ❤❛②

A=A+
B=B+
t❤➻ t❛ t❤➜②

(A, B)

✈➝♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ❈➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ❧➔ ✤ë ❧î♥ ❝õ❛

♥❤✐➵✉ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ❧➔ ✤õ ❜➨✳ ❉ü❛ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â✱ t❤➯♠ ♥ú❛ ▲❡❡ ▼❛r❦✉s
✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ t➟♣ ❝→❝ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✱
♥➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤
♥❤ä ♥❤➜t tø ♠ët t➟♣ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤➳♥ t➟♣ ❝→❝ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ❈ö t❤➸ ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ð ❝→❝ ♠ö❝ ❞÷î✐ ✤➙②✳

✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ❝➦♣

(A, B)

(A, B)

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✱ ♥❤✐➵✉

(A, B) = (A, B) + (∆1 , ∆2 ) = (A + ∆1 , B + ∆2 )
✶✾

✈î✐

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
(∆1 , ∆2 ) ∈ Kn×(n+m) .
❝➦♣

(A, B)

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

❑❤✐ ✤â ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝

rK (A, B)

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

rK (A, B) = inf{ (∆1 , ∆2 ) : (∆1 , ∆2 ) ∈ Kn×(n+m)
s❛♦ ❝❤♦

✈î✐

·

❝õ❛

(A, B) + (∆1 , ∆2 ) ❦❤æ♥❣

❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳ ❙è

❝➦♣ ♠❛ tr➟♥

(A, B)

✭✷✳✶✮

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝}

rK (A, B)

❝❤♦ ❜✐➳t t❛ ❝➛♥ ♥❤✐➲✉

❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ✤➸ ❦❤æ♥❣ ♣❤→ ✈ï t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✶✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ ❝õ❛ ❊✐s✐♥❣✱ ♥❣÷í✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝

rC (A, B) = inf σmin ([A − λI, B])
λ∈C

✈î✐

σmin

✭✷✳✷✮

❧➔ ❣✐→ trà ❦➻ ❞à ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✮ ❧➔

❝❤✉➞♥ ♣❤ê ❤♦➦❝ ❝❤✉➞♥ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳

❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ①➨t ♥❤✐➵✉ ❝➜✉ tró❝ ❞↕♥❣

(A, B)
tr♦♥❣ ✤â

(A, B) = (A, B) + D∆E

D ∈ Kn×l , E ∈ Kq×(n+m)

❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤➣ ❝❤♦ ✈➔

♠❛ tr➟♥ ♥❤✐➵✉✳ ❈→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝➜✉ tró❝
♥❤✐➵✉
❧➔

D∆E.

❑❤✐

D, E

D∆E = (∆1 , ∆2 )

D, E

✭✷✳✸✮

∆

❧➔

①→❝ ✤à♥❤ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛

❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ✈➔

∆ = (∆1 , ∆2 ),

tù❝

t❤➻ ♥❤✐➵✉ ❞↕♥❣ ✭✷✳✸✮ trð ✈➲ ♥❤✐➵✉ ✤➣ ❜✐➳t ð ✤à♥❤

♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✷✳ ❈❤♦ ♠ët ❝❤✉➞♥
✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❝➦♣

(A, B)

·

tr➯♥

Kl×q , ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥

❝❤à✉ ♥❤✐➵✉ ❞↕♥❣ ✭✷✳✸✮ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

✷✵


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à P❤÷ì♥❣

D,E
rK
(A, B) = inf{ ∆ : ∆ ∈ Kl×q

s❛♦ ❝❤♦

(A, B) = (A, B) + D∆E

❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝}.
✭✷✳✹✮
◆➳✉ ❝➦♣

(A, B)

∆ ∈ Kl×q

✈î✐

t❤➻ t❛ ✤➦t

(A, B) = (A, B) + D∆E

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✈î✐ ♠å✐

D,E
rK
(A, B) = +∞.

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✷✳ ❑❤✐

D, E

❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ✈➔

∆ = (∆1 , ∆2 )

t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✹✮ trð ✈➲ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮✳

✷✳✷ ❈→❝❤ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
❙❛✉ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❊✐s✐♥❣✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔
✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳ ❚r♦♥❣ ♣❤↕♠
✈✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠î✐ sû ❞ö♥❣ →♥❤ ①↕ ✤❛
trà t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✵✱ ✶✶❪✳ ❚r÷î❝ t✐➯♥✱ t❛ ❝â ♠ët ✈➔✐
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉
❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱

∀λ ∈ C,

t♦→♥ tû ✤ì♥ trà t✉②➳♥ t➼♥❤

Wλ : Kn+m −→ Kn
z −→ Wλ (z) = (A − λI, B)z
✈➔ t♦→♥ tû ✤❛ trà t✉②➳♥ t➼♥❤

EWλ−1 D : Kl ⇒ Kq
u −→ (EWλ−1 D)(u) = E(Wλ−1 (Du))
tr♦♥❣ ✤â

Wλ−1 : Kn ⇒ Kn+m

❧➔ t♦→♥ tû ✤❛ trà ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

✷✶

Wλ .