Tai lieu on thi hsg toan 6 (nam da in)

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Chuyên đề:
Phép chia hết , phép chia có d trên tập hợp số tự nhiên
I- lý thuyết cần nhớ.
1. Định nghĩa.
3. Các dấu hiệu chia hết. (9 dấu hiệu)
Cho số tự nhiên M = a n a n- 1 ...a 2 a 1 a 0 .
1) M 2
a 0 0; 2; 4; 6; 8
2) M 5
a 0 0; 5
3) M 3

(a n- 1 + a n-1 +...+ a 1 + a 0 )

4) M 9



5) M 4



6) M 25



7) M 8

8) M 125



9) M 11

(a 0 + a 2 +...) - (a 1 + a 3 +...)

3
(a n- 1 + a n-1 +...+ a 1 + a 0 ) 9
a1 a0 4
a 1 a 0 25
a2 a1 a0 8
a 2 a 1 a 0 125

11
(a 1 + a 3 +...) - (a 0 + a 2 +...) 11

4. Các phơng pháp giải các bài toán về chia hết.
Có các phơng pháp chính sau:
1.Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p,có thể xét mọi tr ờng
hợp về số d khi chia n cho p
Ví dụ1:Chứng minh rằng A(n)= n(n 2 -+1)(n 2 +4) 5 với mọi số nguyên n.
Giải:
Xét mọi trờng hợp:
Với n 5 ,rõ ràng A(n) 5
Với n=5k 1 n 2 = 25k 2 10 5 A(n) 5
Với n= 5h 2 n 2 = 25k 2 20k+4 5 n 2 +1 5 A(n) 5
A(n) là tích của ba thừa số trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho 5 vậy
A(n) 5

2. Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m,ta phân tích m ra thừa số.Giả
sử m=p.q.Nếu p và q là số nguyên tố,hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách
chứng minh A(n) p và A(n) q(từ đó suy ra A(n) p.q=m).
Ví dụ2: Chứng minh tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải:
Ta có A(n) = n(n+1)(n+2) và 6=2.3(2 và 3 là số nguyên tố),ta tìm cách
chứng minh A(n) 2 và A(n) 3
Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2
vậy A(n) 2
Trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3
vậy A(n) 3
A(n) 2 và A(n) 3 vậy A(n) 2.3=6
Nếu q và p không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số,chẳng
hạn A(n)=B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q
(suy ra A(n) =B(n).C(n) p.q = m )
Ví dụ 3 Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải:
Gọi số chẵn đầu tiên là 2n,số chẵn tiếp theo là 2n+2,tích của chúng sẽ là
A(n) = 2n(2n+2) ta có 8=4.2 và A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) đây là tích của hai thừa
số một thừa số là 4 4 và thừa số kia là n(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết
cho 2
Vì vậy A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8
3.Để chứng minh A(n) m, có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều số hạng và
chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng n 3 -13n 6 với mọi n thuộc Z
Giải:
Ta phải chứng minh A(n) = n 3 -13n 6
Chú ý rằng 13n=12n+n mà 12n 6 ,ta biến đổi A(n) thành
A(n) = (n 3 -n)-12n = n(n 2 -1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n

Gv : Lê Hoài Nam

1


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Mà (n-1)n(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên (n-1)n(n+1)
(Ví dụ 2)
Và 12n 6
Vì vậy (n-1)n(n+1)-12n 6 hay A(n) = n 3 -13n 6

6

4.Để chứng minh một tổng không chia hết cho m,có thể chứng minh một số hạng
của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m
ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số n lẻ :
n 2 +4n+5 không chia hết cho 8
Giải: Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta có :
n 2 +4n+5=(2k+1) 2 +4(2k+1) +5
= (4k 2 +4k+1+)+ (8k+4)+5
= (4k 2 +4k) +(8k+8)+2
Đây là tổng của ba số hạng số hạng đầu bằng (4k 2 +4k)=4k(k+1) 8
(ví dụ 3),Số hạng thứ hai chia hết cho 8 số hạng thứ ba không chia hết cho 8 vậy tổng
trên không chia hết cho 8
5.Phơng pháp phản chứng.
ví dụ 6: Chứng minh rằng a 2 - 8 không chia hết cho 5 với aN.
Giải: Chứng minh bằng phơng pháp phản chứng.
Giả sử A(n)=a 2 - 8 5,nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, suy ra a 2 (là
một số chính phơng) phải có chứ số tận cùng là một trong các chữ số 3;8 - Vô lý(vì
một số chính phơng bao giờ cũng có các chữ số tận cùng là:0;1;4;6;9)

Vậy a 2 - 8 không chia hết cho 5.
6.Phơng pháp qui nạp.
Ví dụ7: Chứng minh rằng 16 n -15n-1 225
Giải:
Với n=1 thì 16 n -15n-1=16-15-1=0 225
Giả sử 16 k -15k-1 225
Ta chứng minh 16 k+1 -15(k+1)-1 225
Thực vậy: 16 k+1 -15(k+1)-1=16.16 k -15 k -15-1
=(16 k -15k-1)+15.16 k -15
k
Theo giả thiết qui nạp 16 -15k-1 225
Còn 15.16 k -15=15(16 k -1) 15.15=225
Vậy 16 n -15n-1 225
II- Một số bài tập về phép chia hết và chia có d .
Bài 1: Khi chia số a cho số b ta đợc thơng là 18 và số d là 24. Hỏi thơng và số d thay
đổi thế nào nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần.
Giải: Theo định nghĩa của phép chia và theo đề bài ta có:
a = b18 + 24 (1) (b > 24)
Nếu số bị chia và số chia b giảm đi 6 lần thì từ (1) ta có:
a: 6
= (b18 + 24) 6
= b18 6 + 24 6
= (b 6) 18 + 4
(b 6 > 4)
Vậy nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần thì thơng không thay đổi còn số d giảm
6 lần.
Bài 2: Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta đợc số d là 3 còn khi chia a cho 9 ta đợc số
d là 5. Tìm số d trong phép chia a cho 36.
Giải: Theo đề bài ta có: a = 4q 1 + 3 = 9q 2 + 5
(q 1 và q 2 là thơng trong hai phép chia)

Suy ra a + 13 = 4q 1 + 3 + 13 = 4(q 1 + 4) (1)
a + 13 = 9q 2 + 5 + 13 = 9(q 2 + 2) (2)
Từ (1)(2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4; 9) = 1 nên alà bội của 4.9 = 36.
Ta có a + 13 = 36k (kN * )
a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23
Vậy a chia hết cho 36có số d là 23.

Gv : Lê Hoài Nam

2


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Bài 4: Tìm các chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 và 9.
Giải: Vì các số 5; 7; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z
sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
Suy ra 30 + xyz chia hết cho 315
Vì 30 30 + xyz < 1029 nên:
Nếu 30 + xyz = 315 xyz = 315 - 30 = 285
Nếu 30 + xyz = 630 xyz = 630 - 30 = 600
Nếu 30 + xyz = 945 xyz = 945 - 30 = 915
Vậy
x = 2; y = 8; z = 5
x = 6; y = 0; z = 0
x = 9; y = 1; z = 5
Bài 5: Tìm nN biết 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Giải:
Vì (2n + 7) (n + 1)
2n + 7 - 2(n + 1) n + 1

5 n + 1 n + 1 là ớc của 5
Với n + 1 = 1 n = 0
Với n + 1 = 5 n = 4
Đáp số: n = 0; n = 4
Bài tập:
1.Chứng minh :
a) 89 26 -45 21 2
; 2009 2008 -2008 2009 không chia hết cho 2
b) 10 n -4 3
; 9.10 n + 18 27
c) 41 10 -1 10
;9 2n -14 5
2. Chứng minh
a) (a 2 -1)a 2 12 với a >1
b) (n-1)(n+1)n 2 (n 2 +1) 60 với mọi n

( Sử dụng PP 2 )
3 Chứng minh với mọi n lẻ:
a) 4 n +15n-1 9
b)10 n +18n-28 27
(Gợi ý: dùng qui nạp)
4. Tìm số d trong phép chia sau:
a)bình phơng của một số lẻ cho 8
b) 2 1000 cho 5
c) 2 1000 cho 25
5.Chứng minh rằng với mọi n Z :
a) n 2 -n 2 ; b)n 3 -n 3 ; c) n 5 -n 5
(phân tích thành các tích và áp dụng PP1)
Chuyên đề:
Một số dạng toán về luỹ thừa trong chơng trình toán 6

I- lý thuyết:

Dựa vào một số kiến thức sau:
1) Định nghĩa luỹ thừa.
2) Các phép tính về luỹ thừa
3) Chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
4) Khi nào thì hai luỹ thừa bằng nhau ?
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức.
6) Tính chất chia hết.
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật.
8) Hệ thống ghi số.
II- Bài tập:

1. Viết biểu thức dới dạng một luỹ thừa:
a) Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố.
Bài 1: Viết biểu thức sau dới dạng một luỹ thừa ( bằng nhiều cách nếu có).
a) 410 . 815
b) 82 . 253
Bài giải:
a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265
Ta thấy 265 = (25)13 = 3213

Gv : Lê Hoài Nam

3


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
265 = (213)5 = 81925
Vậy ta có 3 cách viết là:

410 . 815
= 265
410 . 815
= 3213
10
15
4 .8
= 81925
2
3
b)
8 . 25
= (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106
6
Ta thấy 10 = (102)3 = 1003
106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có 3 cách viết là:
82 . 253
= 106
2
3
8 . 25
= 1003
2
3
8 . 25
= 10002
b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp.
Bài 2 Viết biểu thức sau dới dạng một luỹ thừa.
( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3)

Bài giải:
( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3)
= (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3)
= 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8
Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phơng.
a) 32 + 42
b) 132 -52
c) 13 + 23 + 33 + 43
Bài giải:
a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
2- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
* Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y, N)
n
XO = YO
n
X1 = Y 1
n
X 5 = Y5
X 6 Y 6

(n N *)
(n N *)

(n N *)
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau:
a) 42k ; 42k + 1.
b) 92k ; 92k + 1
( k N)

Bài giải:
42k = (42)k =

a) Ta có:

...6

k

42k + 1 = (42)k .4 =
b) Tơng tự ta có:

9

2k

=

2k + 1

...6
...6.4 ...4

...1
= ...9

9
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau.
a) 22005; 32006 b) 72007 ; 82007
Bài giải:

a) Ta có:

22005 = (24)501 . 2 =
3

b) Ta có:

2006

...6

4 501

= (3 )

501

.2 ...2
. 3 = (...1)
2

501

.9 ...9

72007 = (74)501 . 73 = ( ...1 )501.3 =
8

2007

4 501

= (8 )

. 8 = ( ...6)
3

501

...3
.2=

...2

3. Tính giá trị biểu thức:
a) Tính theo quy tắc thực hiện phép tính:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau.
33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252
Bài giải:
33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252
= 35 - 35 + 58- 58 = 0
b) Sử dụng tính chất phép tính.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất.

Gv : Lê Hoài Nam

4


Giáo án BDHS giỏi Toán 6

A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82
Bài giải:
A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56
= ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5)
15625 + 729 - 64 = 16290
B = 9 ! -8 ! - 7! .82
= 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8
= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0
c) Biểu thức có tính quy luật.
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy
A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy
B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202

25 A - A = 5202 - 1
Vậy
A = ( 5202 -1) : 24
b) Tơng tự

B=

6

= 56 + 36 - 26

=

7 304 1
7 3 1

Bài 3: Tính

1
1
+ 2 +
7
7
4
4
B=
+ 2 5
5
A=

1
1
+ ... + 100
3
7
7
4
4
+ ...+ 200
3
5
5

Bài giải:

1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
1
1
1
7A = 1 +
+ 2 + ... + 99
7

7
7
1
=> 7A - A = 1 - 100
7
1


A = 1 100 : 6
7
4
4
4
4
B=
+ 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5
4
4
4
5B = -4 +
+ 3 +...+ 201
5
5
5
4
4

B+5B = -4 + 200
B = 4 200 : 6
5
5

A=

Bài 3: Tính A =

25 28 25 24 25 20 ... 25 4 1
25 30 25 28 25 26 ... 25 2 1

Bài giải:

Gv : Lê Hoài Nam

5


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
Vậy A =

1
1

=
2
1 25
626

d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g.
Bài 1: Tính
A = 6 107 + 5.105+ 4.103+2.10
B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3
Bài giải:
A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
= 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100= 60504020
B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3
= (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3
= 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100= 1370050003.
4. Tìm x
a) Đa về cùng cơ số ( số mũ)
Bài1: Tìm x N biết
a) 4x = 2x+1
b) 16 = (x -1)4
Bài giải:
a) 4x = 2x + 1
(22)x = 2 x + 1
22x = 2x+ 1 2x = x +1 2x- x = 1
x=1
b) 16 = ( x -1)4
24 = (x -1)4
2= x - 1
x = 2+1
x=3

Bài 2: Tìm x N biết
a) x10 = 1x b) x10 = x
c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
d) x2<5
Bài giải:
a) x10 = 1x
x10 = 110
x=1
b) x10 = x
x10 - x = 0
x.( x9 - 1) = 0
Ta có: x = 0 hoặc x9 -1 =0
Mà x9 -1 = 0
9
9
x =1
x=1
Vậy x = 0 hoặc x =1
c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3
Vì hai luỹ thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( 0)
Suy ra 2x - 15 = 0 hoặc 2x - 15 = 1
+ Nếu 2x - 15 = 0
x = 15 : 2 N ( loại)
+ Nếu 2x - 15 = 1
2x = 15 + 1
x=8
2
2
2

d) Ta có x < 5
và x 0 => x
0; 1 ; 2 ; 3 ; 4
2
Mặt khác x là số chính phơng nên
x2 0 ; 1; 4 hay x2 02 ; 12 ; 22
x



0; 1 ; 2



Dựa vào bài tập SGK lớp 6
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
Bài giải:
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2

b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2

552 =

2

99 1 = ( x - 2)2
1

2

502 = ( x -2 )2 50 = x -2
x = 50 + 2
( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn

x = 52

Gv : Lê Hoài Nam

6


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
7 3 = x 2 - y2
Ta thấy:
73 = x2 - y2
3
3
3
( 1 + 2 + 3 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:

x = 28; y = 21
b) Sử dụng chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
Bài 1: Tìm x ; y N* biết.
x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y!
Bài giải:
Ta thấy x2 là một số chính phơng
Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
Mà:
+ Nếu y = 1
Ta có x = 1 ! = 12 ( TM)
+ Nếu y = 2
Ta có: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Loại)
+ Nếu y = 3
Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM)
x=3
+ Nếu y = 4
Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( loại )
+ Nếu y 5
Ta có:
x2 = ( 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! ) + ( 5! + 6! + ...y! )
=
......3 + ......0 = ......3 ( loại)
Vậy x = 1 và y = 1
x = 3 và y = 3
Bài 2: Tìm x N* biết.
A =
111....1
777 ...7
là số chính phơng
2 x chữ số 1

x chữ số 7
Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111...1 - 777...7
= ......34 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
=1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
x
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35 + 9 5 vì ( 35x 5 ; 9 5 )
y
x
Mà 2. 5 5 ( vô lý vì 35 + 9 = 2.5y)
Vậy x = 0 và y = 1

y

Bài 2: Tìm a; b Z biết.
( 2a + 5b + 1 ) (2a + a2 + a + b ) = 105
Bài giải:
*) Nếu a = 0 ta có:
( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105
(5b + 1) . ( b + 1) = 105
Suy ra 5b + 1 ; b + 1 Ư (105) mà ( 5b + 1) 5 d 1
Ta đợc 5b + 1 = 21
b = 4 ( TM)

Gv : Lê Hoài Nam

7


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
* Nếu a 0
Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . ( 2a + a2 + a + b) = 105
Là lẻ
Suy ra 2a + 5b + 1 và 2a + a2 + a + b đều lẽ (*)
+ Nếu a chẵn ( a 0 ) và 2a + a2 +a + b lẻ
Suy ra b lẻ.Ta có: 2a + 5b + 1 chẵn ( vô lý)
+ Nếu a lẻ
Tơng tự ta thấy vô lý
Vậy a = 0 và b = 4
5. So sánh các số.
1) Tính:
Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau:

27 và 72
7
Bài giải:
Ta có:
2 = 128
72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
2) Đa về cùng cơ số ( hoặc số mũ)
Bài 2: So sánh các luỹ thừa sau.
a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
Bài giải:
a) Ta có:
95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
10
9
Vì 3
>3
nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100
nên 3200 > 2300
3) Dùng số trung gian.
Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
11
11
5 11
Bài giải:

Ta thấy 31 < 32 = (2 ) = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
100
Bài 2: Tìm xem 2
có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh
2100 với 1030 và 1031.
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So sánh 2100 với 1031
Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
100
Hay 2 < 1031 ( **)
Từ (*),( **) ta có:
1031
<
2100
< 1031

Số có 31 chữ số nhỏ nhất

Số có 32 chữ số nhỏ nhất

Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.

Bài 3: So sánh A và B biết.
a) A =

19 30 5
19 31 5

;

B =

19 31 5
19 32 5

Gv : Lê Hoài Nam

8


Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n 6
218  3
2 20  3
b)
;
B=

2 20  3
2 22  3
1  5  5 2  ...  5 9
1  3  3 2  ...  3 9
c) A =
;
B =
1  5  5 2  ...  5 8
1  3  3 2  ...  3 8
19 30  5
19 31  5
90
19.(19 30  5)
19 31  95
Nªn 19A =
=
=1+
31
31
31
19  5
19  5
19  5
31
19  5
B=
19 32  5
90
19.(19 31  5)
19 32  95

nªn 19B =
=
=1+
32
32
32
19  5
19  5
19  5
90
90
90
90
V×
>
Suy ra 1 +
>1+
Hay 19A > 19B
Nªn A > B
31
32
31
32
19  5
19  5
19  5
19  5
2 18  3
b) A =
2 20  3

9
2 2 .(218  3)
2 20  12
2 20  3
nªn 22 . A =
=
= 1 - 20
B=
2 3
2 20  3
2 22  3
2 22  3
9
2 2 .(2 20  3)
2 22  12
nªn 22.B =
=
= 1- 22
2 3
2 22  3
2 22  3
9
9
9
9
V× 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22

Hay 22 A < 22 B
Nªn A < B
2 3
2 3
2 3
2 3
1  5  5 2  ...  5 9
c) Ta cã:
A=
=
1  5  5 2  ...  5 8
1  (5  5 2  ...  5 9 ) 1  5(1  5  5 2  ...  5 8 )
1


 5  5 (1)
2
8
2
8
2
1  5  5  ...  5
1  5  5  ...  5
1  5  5  ...  5 8
1
 3  4 (2)
T¬ng tù B =
2
1  3  3  ...  3 8
1

1
Tõ (1) vµ (2) Ta cã
A=
+5>5>4>
+ 3 =B
nªn
2
8
2
1  5  5  ...  5
1  3  3  ....  3 8
Bµi gi¶i:

A=

A>B
6. Chøng minh: 1) Nhãm c¸c sè mét c¸ch thÝch hîp.
Bµi 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
Chøng minh:
a) A ∶ 13
b) A ∶ 40
Bµi gi¶i:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311)
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39.
2
(1 + 3 + 3 )
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13
Hay A ∶ 13

b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) = 40 + 34 . 40 + 38 . 40
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40
Hay A ∶ 40
2) Thªm bít mét lîng thÝch hîp.
Bµi 2: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k  N)
Chøng minh:
a) 102k - 1 ∶ 19
b) 103k - 1 ∶ 19
Bµi gi¶i:a) Ta cã:
102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1)

Gv : Lª Hoµi Nam

9


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
= (10k - 1). ( 10k + 1) 19 vì 10k -1 19
b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1)
Vì 10k - 1 19
102k - 1 19 ( theo câu a )
3) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt:
Bài 3: Cho n N ; n > 1
n
Chứng minh: 2 2 + 1 có tận cùng là 7
Bài giải:Vì n > 1 nên 2n 4
Suy ra 2n = 4k ( k N *)
n

Ta có: 2 2
+ 1 = 24k + 1 = (24)k + 1
= 16

k

Vì 16

+1 =
k

=

....6 + 1 = ....7

....6 ( k N (*))

Chuyên đề:

Một số phơng pháp tìm x,y nguyên
I/ Phơng pháp dùng tính chất chia hết:
1/ Phơng pháp phát hiện tính chia hết:
Ví dụ 1:
3x + 17y = 159 (1)
Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y
cũng chia hết cho 3, do đó y chia hết cho 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Đặt y = 3t ( t là số nguyên). Thay vào (1), ta đợc:
3x + 17.3t = 159
x + 17t = 53
=> x =53 - 17t

Do đó

x 53 17t

y 3t

(t

Z )

Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) đợc nghiệm đúng.
Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên đợc biểu thị bởi công thức:

x 53 17t

y 3t

(t

Z )

2/ Phơng pháp đa về phơng trình ớc số:
Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn :
x.y - x - y = 2
(x -1). (y Giải: Ta có: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2 x. (y - 1) - (y - 1) = 3
1) = 3
Do x, y là các số nguyên nên x - 1, y - 1 cũng là các số nguyên và là ớc của 3. Suy ra các trờng
hợp sau:

x 1 3

;

y 1 1

x 1 1

y 1 3

;

x 1 1

y 1 3

;

x 1 3

y 1 1

Giải các hệ này ta có các cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
3. Phơng pháp tách ra giá trị nguyên:
Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ở ví dụ 2 bằng cách khác
Giải: Ta có:
x.y - x - y = 2
x.(y-1) = y+2
Ta thấy y 1 ( vì nếu y=1 thì x.0 = 3 (không có giá trị x,y nào thoả mãn )

y2
3

1
y 1
y 1
3
Do x nguyên nên
nguyên. => y-1 là ớc của 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1
y 1
Do đó x =

Gv : Lê Hoài Nam

10


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Ta cũng có đáp số nh ở ví dụ 2
II/ Phơng pháp xét số d từng vế:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng không có x,y nguyên nào thoả mãn các biểu thức sau:
a/ x2- y2 = 1998
b/ x2+ y2 = 1999
Giải: a/ Ta thấy x2 ; y2 chia cho 4 chỉ có số d là: 0 ; 1
nên x2 - y2 chia cho 4 có số d là : 0 ; 1 ; 3 còn vế phải 1998 chia cho 4 d 2.
Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn.
b/ Tơng tự ta có x2 + y2 chia cho 4 có số d là : 0; 1; 2 còn vế phải 1999 chia cho 4 d 3
Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn
Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mãn :
9x + 2 = y2+y (1)
Giải: Ta có phơng trình (1) 9x+2 = y(y+1)
Ta thấy vế trái của phơng trình là số chia cho 3 d 2 nên y.(y+1) chia cho 3 cũng d 2.
Chỉ có thể: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k Z )

9x 9k .( k 1)
x k .( k 1)
Khi đó: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)
Thử lại:
x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phơng trình đã cho.

x k .( k 1)

y 3k 1

Vậy phơng trình (1) có nghiệm tổng quát:

k Z

III/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức:
1. Phơng pháp sắp thứ tự các ẩn:
Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải: Gọi các số nguyên dơng phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)
Do x, y, z có vai trò nh nhau ở trong phơng trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn nh sau:

1 x y z

Do đó : x.y.z = x + y +z 3z
Chia cả hai vế cho số dơng z ta đợc:
Do đó: x.y =

1; 2; 3

x.y 3

+Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta đợc 2 +z = z loại
+Với x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vào (1) ta đợc x = 3
+Với x.y = 3 => x=1, y=3 thay vào (1) ta đợc z = 2 loại vì trái với sắp xếp y z
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3
2. Phơng pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn:
Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mãn :

1 1 1

x y 3

Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử
khoảng giá trị của số nhỏ y
Ta có:

1 1
y 3 (1)
y 3
1 1
y
1
Mặt khác do x
x y
1 1 1 1 1 2
2
Do đó
3 x y y y y
y
Từ (1) và (2) ta có :

1
3

nên

x y , dùng bất đẳng thức để giới hạn

y 6 (2)

3 y 6 . Do y Z y 4; 5; 6



1 1 1
x 12
x 3 4
1 1 1 2
+ Với y = 5 ta đợc:

loại vì x không là số nguyên
x 3 5 15
+Với y =4 ta đợc:

Gv : Lê Hoài Nam

11


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
+ Với y = 6 ta đợc:

1 1 1
x6
x 3 6

Vậy các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)
3. Phơng pháp chỉ ra nghiệm nguyên:
Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x
x

Giải:

x

2 3
5 5 1 (1)


Chia hai vế cho 5x, ta đợc:

+Với x=0 vế trái của (1) bằng 2 (loại)
+ Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 ( đúng)
+ Với x 2 thì:
x

x

2 2 3 3
5 5 ; 5 5

x

x

2 3 2 1
Nên: 1 ( loại) Vậy x = 1
5 5 5 5

IV/ Phơng pháp dùng tính chất của một số chính phơng:
1. Sử dụng tính chất chia hết của một số chính phơng:
Các tính chất thờng dùng:
1. số chính phơng không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2. Số chính phơng chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p 2
3. Số chính phơng chia cho 3 thì có số d là 0; 1, chia cho 4 có số d là 0; 1, chia
cho 8 có số d là 0; 1; 4
Ví dụ 11:
Tìm các số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp
Giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên thì 36x+20 = 4n2+4n
=> 36x+21= 4n2+4n+1
=> 3(12x+7) = (2n+1)2
(1)
2
2
Từ (1) => (2n+1) M
3 , do 3 là số nguyên tố => (2n+1) M9
Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết cho 3 nên 3(12x+7) không chia hết cho 9
Vậy chứng tỏ không tồn tại số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.
2. Tạo ra bình phơng đúng:

Ví dụ 12:
Tìm x,y nguyên thoả mãn : 2x2+4x+2 = 21-3y2
(1)
Giải:Phơng trình (1)



2 x 1 3 7 y 2
2



(2)

Ta thấy vế trái chia hết cho 2 => 3(7-y2) M
2 7 y 2 M2 y lẻ
Ta lại có 7-y2 0 (vì vế trái 0) nên chỉ có thể y2 = 1.
Khi đó phơng trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18

x 1 3 x 4; 2 .

Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mãn phơng trình (2) nên là nghiệm của
phơng trình đã cho.
3. Xét các số chính phơng liên tiếp:
Hiển nhiên giữa hai số chính phơng liên tiếp không có số chính phơng. Do đó với mọi
số nguyên a, x ta có:
1. Không tồn tại x để a22. Nếu a2Ví dụ 13:Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trớc không tồn tại số nguyên dơng x sao
cho x(x+1) = k(k+2)

Giải: Giả sử x(x+1) = k(k+2) với k nguyên, x nguyên dơng.
Ta có x2+x = k2+2k => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2
Do x>0 nên x2(1)
Cũng do x>0 nên (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2
(2)
Từ (1) và (2) => x2 < (k+1)2 < (x+1)2
Vô lí.
Vậy không tồn tại số nguyên dơng x để : x(x+1) = k(k+2)
4. Sử dụng tính chất: " nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính ph ơng
thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 "
Ví dụ 15: Tìm x,y nguyên thoả mãn :
x2+xy+y2=x2y2
(1)
Giải: Thêm xy vào hai vế của phơng trình (1), ta đợc: x2+2xy+y2=x2y2+xy

x y xy( xy 1)
2

(2)

Ta thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn tại một
số bằng 0.
Nếu xy = 0 từ (1) => x2+y2=0 nên x=y=0
Nếu xy+1=0 => xy= -1 nên (x; y)=(1;-1) hoặc (x;y)=(-1;1).

Gv : Lê Hoài Nam

12

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Thử các cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) đều là nghiệm của phơng trình (1)
V/ Phơng pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn):
Ví dụ 16:
Tìm x,y nguyên thoả mãn : x3+2y3=4z3
(1)
Giải: Từ (1) ta thấy x M
2 , đặt x=2x1 với x1 nguyên. hay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta
đợc 4x31+y3=2z3
(2). Từ (2) ta thấy y M
2 , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) rồi chia hai vế
cho 2 ta đợc: 2x31+4y31=z3
(3)
Từ (3) ta thấy z M
2 đặt z = 2z1 với z1 nguyên. Thây vào (3) rồi chia hai vế cho 2, ta
3
3
3
đợc: x1 +2y1 = 4z1
(4)
Nh vậy nếu (x; y; z) là nghiệm của (1) thì (x 1; y1; z1 ) cũng là nghiệm của (1). Trong đó x =
2x1; y = 2y1; z = 2z1.
Lập luận tơng tự nh vậy ta đi đến x, y, z chia hết cho 2 k với k N . Điều này chỉ xảy ra khi x
=y=z=0
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất : x = y = z = 0
C. Bài tập:Bài 1: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
a. 5x-y = 13

b .23x+53y= 109

c. 12x-5y = 21

d. 12x+17y = 41

Bài 2: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
a/ 1+y+y2+y3 = t3
b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4
Bài 3: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
a/ 5(x+y)+2 = 3xy
b/ 2(x+y) = 5xy
c/ 3x+7 = y(x-3)
Bài 4: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt
Bài 5: Tìm 12 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Bài 6: Chứng minh rằng, với n là số tự nhiên khác 0.ít nhất cũng có một giá trị trong tập hợp số
tự nhiên khác 0 sao cho:
x1+x2+x3+..+xn= x1x2x3.xn
Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :

xy yz zx

3
z
x
y

Bài 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
a/ 4(x+y+z) = xyz
b/ x+y+z+9-xyz

=0
Bài 10: Chứng minh phơng trình 2x2-5y2=7 không có nghiệm nguyên
Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
x 2 y 2 z 2 z 1 2( x y xy )
Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :

1
1 1 1
2 2 2 1
2
x
y z
t

Chuyên đề:
Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số

A. Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo"
thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các
phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phơng pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự
thờng đợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan
trọng.
B. Nội dung cần truyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Dùng số 1 làm trung gian.

a
c
a

c
> 1 và
< 1 thì
>
b
d
b d
a
c
Nếu
=1+M;
= 1 +N
b
d
a c
mà M>N thì

b d
a) Nếu

b)

M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho.
* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phần
thừa" lớn hơn thì lớn hơn.

Gv : Lê Hoài Nam

13

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
199
1
200
1
=1+
;
=1+
198
198
199
199
1
1
199
200
Vì
>
nên
>
198 199
198
199
a
c
a
c
c) Nếu
= 1- M ;

= 1 + N nếu M > N thì
<
b
d
b
d
Ví dụ:

M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã

cho.

* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần
bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn.

2005
1
2006
1
=1;
=1+
2006
2006
2007
2007
1
1
2005
2006
Vì

>
nên
<
2006
2007
2006
2007
Ví dụ:

2. Dùng một số phân số làm trung gian.
Ví dụ : So sánh

18
15
và
31
37

Giải: Xét phân số trung gian

18
( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có
37

mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:

18
18
18
15

18
15
>
và
>
suy ra
>
( tính chất bắc cầu)
31
37
37
31
31
37
15
(Ta cũng có thể lấy phân số
làm phân số trung gian).
31
12
19
b) Ví dụ : So sánh
và
47
17
12
19
1
1
Giải: cả hai phân số
và

đều xấp xỉ
nên ta dùng phân số
làm trung gian.
47
77
4
4
12
12
1
19
19
1
Ta có:
>
=
;
<
=
47
48
4
77
76
4
12
19
Suy ra
>
47

77
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh

n 1
n
và
( n N*)
n2
n 3
64
73
Hớng dẫn: b) Dùng phân số
(hoặc
) làm phân số trung gian.
81
85
n 1
n
b) dùng phân số
(hoặc
) làm phân số trung gian.
n 3
n2
a)

64
73
và
85

81

b)

Bài 2: So sánh
a)

67
73
và
83
77

b)

456
123
và
461
128

c)

2003.2004 1
2004.2005 1
và
2003.2004
2004.2005

Hớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng

"phần bù"của hai phân số tới đơn vị .
Bài 3: So sánh:
a)

11
16
và
12
49

b)

so sánh

58
36
và
89
53

Gv : Lê Hoài Nam

14


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
11
16
1
1

và
đều xấp xỉ
nên ta dùng phân số làm trung gian .
32
49
3
3
58
36
2
2
b) Hai phân số
và
đều xấp xỉ
nên ta dùng phân số
làm phân số
89
53
3
3

Hớng dẫn: a) Hai phân số

trung gian .
Baì 4: So sánh các phân số .
A=

2535.232323
353535.2323

;

B=

3535
3534

;

Hớng dẫn : Rút gọn A = .......= 1; B = 1 +

C=

2323
2322

1
1
; C = 1 +
3534
2322

Từ đó suy ra : A < B < C.
Bài 5: So sánh :
A =

5.(11 .13 22.26)
22.26 44.52

Hớng dẫn : Rút gọn

Vì

và

A = ......=

B =

5
1
=1+
;
4
4

138 2 690
137 2 548
B = ......=

138
1
=1+
137
137

1
1
>
nên A > B
4

137

Bài 6: So sánh .

53
531
25
25251
và
;
b)
và
57
571
26
26261
53
530
40
531
40
Hớng dẫn : a)
=
=1;
= 157
570
570
571
571
25

1
1010
25251
1010
b)
=1 +
=1 +
;
=1+
26
26
26260
26261
26261
Bài 7: Cho a , b , m N*
am
a
Hãy so sánh
với
.
bm
b
a
a
a
Hớng dẫn : Ta xét ba trờng hợp
=1 ;
<1;
> 1.
b

b
b
a
am
a
a) Trờng hợp :
= 1 a = b thì
=
=1
b
bm
b
a
b) Trờng hợp :
<1 ab
am
b a
a
b a
=1 ;
= 1bm
bm
b
b
a
c) Trờng hợp :
> 1 a > b a+m > b + m ......
b
1011 1

1010 1
Bài 8: Cho A =
.
; B 11
1012 1
10 1
a)

Hãy so sánh A với B.

Hớng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu

a
am a
1 thì
với m>o.
b
bm b

Bài 9: So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu.
A=

54.107 53
.
53.107 54

B=

135.269 133
.

134.269 135

Hớng dẫn: Tử của phân số A
54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =...
Tử của phân số B

Gv : Lê Hoài Nam

15


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
135.269-133= (134+1).269 - 133=...
Bài 10: So sánh:
a, (

1 7
1 6
) với (
).
80
243

b, (

3 5
5 3
) với (
).
8

243

Hớng dẫn:

1 7
1
1
) ( ) 7 28
80
81
3
1 6
1
(
) 30 .
243
3
3 5 243
b, ( ) 15
8
2
5 3 243
(
) 15 .
243
3
243
Chọn phân số 15 làm phân số trung gian để so sánh.
3
1 1

1
1
1
5
Bài 11: Chứng tỏ rằng:
...

.
15 16 17
43 44 6
5 3 2 15 15
Hớng dẫn: Từ
.
6 6 6 30 45
1
1
1
1
=(
.... ) ( ... ) .
30
30
45
45
a =(

Từ đó ta thấy:

1 1
1

1
1
1
...


... ( Có 15 phân số).
15 16
29 30 30
30
1
1
1
1
1
1
...


... (Có 15 phân số).
30 31
44 45 45
45
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

đề 1: ( Tĩnh gia 07-08)
Câu I(2 điểm) :

một số đề thi cấp huyện giải thử

5 8
2
4
7




9
15 11 9 15
20072007
200720072007
2- So sánh 2 phân số :
và
20082008
200820082008
71.52 53
3- Rút gọn phân số A=
mà không cần thực hiện phép tính ở tử
530.71 180
1- Tính nhanh: A =

Câu II( 3 điểm)
1-Tìm x ,y Z :

Gv : Lê Hoài Nam

16

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
a-

x 4 4

y 3 3

b-

(x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55

2- Cho A=

với x y =5

3n 5
n4

Tìm nZ để A có giá trị nguyên
Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=700 và số đo yOz = 300
a. Xác định số đo của xOz
b. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB
lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài MB với
trung bình cộng độ dài OB và AB.
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 2008

5 8 2 4
7 5 4 2 8 7


=



9 15 11 9 15
9
9
11 15 15
2
2
=-1 +
1 =
11
11
20072007
200720072007
2) So sánh 2 phân số
và
20082008
200820082008
20072007 2007 10001 2007
Ta có P/S :
=
.

20082008 2008 10001 2008

200720072007
2007 100010001 2007
P/s :
=
.

200820082008
2008 100010001 2008
Câu I: 1) Tính nhanh A=

Vậy 2 phân số trên bằng nhau

71.52 53
không biến đổi tử số
530.71 180
71.52 53
71.52 53
71.52 53
71.52 53
1
=
=
=
=
=
10.(53.71 18) 10.[(52 1).71 18] 10.[71.52 71 18] 10.[71.52 53] 10

3)Rút gọn A=

CâuII: 1) Tìm x Điều kiện y 3 ta có : 3x 12 = 4y-12 3x=4y

Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55 (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5

x 1 11

Ta có
3 y 2 5

x 12

7

y 3

(Loại)

x 1 5
x 4

3 y 2 11
y 3

Hoặc

* Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-5)(11)

x 1 5

Ta có :
3 y 2 11

x 6

13

y 3

(Loại ) Hoặc

x 1 11 x 10


3 y 2 5 y 1

Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)

3n 5
có giá trị nguyên
n4
3n 5
17
A=
=3+
n4
n4
3) Tìm nZ để A=

Gv : Lê Hoài Nam

17


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
17
17
có giá trị nguyên . Vậy để
có giá trị nguyên thì n+4
n4
n4

để A có giá trị nguyên khi

phải là ớc của 17 .
Ta có các ớc của 17 là U-17= 1;1; 17;17
Lập bảng
x+4
-1
1
-17
n
-5
-3
-21
Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên
Câu III.a)
y

z
y
z
300
30 0
700
O

17
13

700
(A)

x

O

(B)

x

- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 700-300 = 400
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 700+300 = 1000
b)

BO AB BO BA

2
2
2
BO BA BA AO BA AO
- Ta lại có BO=BA+AO nên




BA (I)
2
2
2
2
2

- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là

- Mặt khác ta có BM = BA + AM

mà M là trung điểm của OA nên

AO
BM =
BA (II)
2
- Từ (I) và (II) suy ra BM =

BO BA

. Hay số đo BM bằng trung bình cộng số đo của
2

BO và BA
CâuIV: Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1.
ta có a.b = d.m.d.n.
-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó nên .

a.b
d 2 .m.n
-Ta có BCNN [a,b] =
=d.m.n

( a , b)
d
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
d
m.n+1
m.n
m
n
1
14
1
15
14
2

7
3
5
4
1
4
5
3
2
1
2
Vậy ta tìm đợc các số sau:
(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
Đề2:
Bi 1: ( 2.5 im)
a. Cho

ababab
2

l s cú sỏu ch s. Chng t s
3

4

5

6

ababab

a
1
2
3
5

b
14
7
12
10

l bi ca 3.

2004

b. Cho S = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 . Chng minh S chia ht cho 126 v chia ht cho 65.
Bi 2 : (2,0 im)
Tỡm s t nhiờn x bit :
a. x (x 1) (x 2) (x 2010) 2029099

Gv : Lê Hoài Nam

18


Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n 6
b. 2  4  6  8    2x 210
Bài 3: (2,0 điểm) Thực hiện so sánh:

a.
b.

2009 2009  1
2009 2010  1
51 52 53 100
C = 1. 3. 5. 7 … 99 với D =
. . ...
2 2 2
2
A=

2009 2008  1
2009 2009  1

với

B=

Bài 4: ( 1,5 điểm)Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng
số học sinh giỏi bằng

3
số còn lại. Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên
7

2
số còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.
3

Bài 5: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

CA  CB
2
CA  CB
b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM 
.
2
a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì

CM 

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: ( 2.5 điểm)

ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab .
- Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3.
-

Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5. 126 + 52.126 + 53.126
2
3
4
5
6
 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 chia hết cho 126.
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.
 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.

0,50
0,50

0,50
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2 : (2,0 điểm)
2011x  1  2    2010 2029099
2010.2011
 2011x 
2029099
2
2010.2011
 2011 x 2029099 2
2010.2011 

 x  2029099  : 2011 4
2



0,25

-

 2(1  2  3    x) 210

0,25

-

2

0,25

-



0,25

-

-



x( x  1)
210
2
x( x  1) 210

- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)

0,25
0,25

0,25

0,25

Bài 3: (2,0 điểm)
- Thực hiện qui đồng mẫu số:
C=

(20092008  1)(20092010  1) 20094018  20092010  20092008  1

(20092009  1)(20092010  1)
(20092009  1)( 20092010  1)

Gv : Lª Hoµi Nam

0,25

19


Gi¸o ¸n BDHS giái To¸n 6
D=

(20092009  1)(20092009  1) 20094018  20092009  20092009  1


(20092010  1)(20092009  1)
(20092010  1)(20092009  1)

0,25

2009 2010  2009 2008 2009 2008 (2009 2  1)
2009 2009  2009 2009 2009 2008 (2009  2009)
Do ( 2009 2  1) > ( 2009  2009) nên C > D

0,25

0,25

(Có thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D).
Cách khác: Có thể so sánh 2009 C với 2009 D trước.

1. 3. 5. 7  99 .2.4.6...100
A 1. 3. 5. 7  99 
2.4.6...100
1. 3. 5. 7  99 .2.4.6...100

(1.2).( 2.2).(3.2)..(50.2)
1.2.3...50.51.52.53...100

1.2.3...50.2.2.2...2
51 52 53 100
 . . ...
2 2 2
2

0,25

0,25

0,25
0,25

Bài 4: ( 1,5 điểm)
3
số học sinh cả lớp.
10
2
- Số học sinh giỏi cuối bằng
số học sinh cả lớp.
5
2 3
- 4 học sinh là
số học sinh cả lớp.
5 10
1
1
số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 :
= 40.
10
10
- Số học sinh giỏi kỳ I bằng

0,50
0,25

0,50
0,25

Bài 5: (2,0 điểm)
A

CA = MA + CM
CB = MB - CM
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB)


CM 

CM 

C

B

CA  CB
2

CA = CM + MA
CB = CM - MB
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB)


M

0,25

A

M

CA  CB
2

§Ò 3: n¨m häc:

0,25
0,25
0,25

B

C

0,25
0,25
0,25
0,25

2009-2010

C©u 1 (2 ®iÓm):
a/ TÝnh nhanh: 21. 62 – 11.62+ 90.82 - 64.80
b/ TÝnh:

4

�5
�5
 1  0,25�:  75%.
�
12 3
�
�8

c/ So s¸nh : 351 vµ 534

Gv : Lª Hoµi Nam

20


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
Câu 2 (2 điểm):
a/ Tìm x, biết:

5
1
x 0,125 .
4
8

b/ Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, biết a chia cho 5 d 4, chia cho 6 d 5.
Câu 3 (2 điểm):
a/ Hãy thay các chữ số vào các chữ cái a, b trong Q= 47a13b , để Q chia hết cho 5 và 9.
b/ Tìm các số nguyên tố P để: P+6; P+8; P+12; P+14 đều là số nguyên tố.
Câu 4 (2 điểm): Biết rằng bạn An và Hoa mua 25 quyển vở, Hoa và Thuỷ mua 35 quyển

vở, An và Thuỷ mua 30 quyển vở.
a/ Tính xem cả ba bạn An, Hoa, Thuỷ đã mua bao nhiêu quyển vở ?
b/ Tính mỗi bạn An, Hoa, Thuỷ đã mua bao nhiêu quyển vở ?
Câu 5 (2 điểm): Trên một nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho

800,xOz
300 .
xOy

a/ Trong 3 tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?
b/ Vẽ Ot là tia phân giác của

.
yOz

Hãy liệt kê các góc trong hình và cho biết số đo độ

các góc đó ?
Đáp án:
Câu 1 (2 điểm):
a/ 62(21-11) + 64(90-80) = 360+640=1000

5 7 1 5 3
b/ :
12 3 4 8 4


=

5 28 3 8 3

15 8 3 19
. = . =
.
12
5 4
6 5 4
4

c/ 351 = 2717 và 534=2517 => 351 > 534
Câu 2 (2 điểm):
a/ Tìm x, biết:

( 0,75 điểm)
( 0,75 điểm)
( 0,5 điểm)

5
1
5
1 1
5
1
1
x 0,125 => .x => .x => x= .
5
4
8
4
8 8
4

4

( 1 điểm)

b/ Từ giả thiết bài toán => a+1 là BSCNN( 5; 6) = 30 => a= 29
( 1 điểm)
vậy với a=29 thoả mãn đề bài.
Câu 3 (2 điểm):
a/ Do Q M5 => b=0; 5.
Nếu b=5 => a= 7=> số phải tìm là : 477135
( 1 điểm)
Nếu b=0 => a= 3=> số phải tìm là : 473130.
b/ Tìm số nguyên tố P để P+6; P+8; P+12; P+14 đều là số nguyên tố.
Xét P=2; P=3 không thoả mãn.
Xét P=5 thoả mãn. Nếu P> 5 mà P nguyên tố, nên P: 5 d 1; 2; 3; 4.
Nếu P: 5 d 1=> P+14 M5 => không phải nguyên tố, nên không thoả mãn.
Nếu P: 5 d 2=> P+8 M5 => không phải nguyên tố, nên không thoả mãn.
Nếu P: 5 d 3=> P+12 M5 => không phải nguyên tố, nên không thoả mãn.
Nếu P: 5 d 4=> P+6 M5 => không phải nguyên tố, nên không thoả mãn.
Vậy với P=5
là số nguyên thì: P+6; P+8; P+12; P+14 đều là số nguyên tố
Câu 4 (2 điểm):
a/ Cả ba bạn đã mua là:

25 35 30
45 quyển vở ?
2

( 1 điểm)

b/ Bạn An đã mua 45- 35= 10 quyển vở ?
Bạn Hoa đã mua 45- 30= 15 quyển vở
( 1 điểm)
Bạn Thuỷ đã mua 45- 25= 20 quyển vở
Câu 5 (2 điểm): Trên một nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho

800,xOz
300 .
xOy

Gv : Lê Hoài Nam

21


Giáo án BDHS giỏi Toán 6

a/ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy vì xOy

y

b/ Ta có.

t


xOz
yOz

=800;

=300 ; xOy
= 550; xOz
xOt

=500; tOy
=250; zOt
=250
zOy
z

x

O

Đề 4:
Câu 1:( 2 điểm )
Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?

23
23232323
2323
232323
;
;
;
99
99999999
9999
999999

Câu 2:( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức sau:
A=(

1
1
1
1
1
1
+
):(
+
+
7
23 1009
23
7 1009

Câu 3 :( 2 điểm )

1
1
1
.
.
) + 1:(30. 1009 160)
7 23 1009

1
1

1
23
+
+...+
).x=
1.2.3
2.3.4
8.9.10
45
1
1
30
a
b,Tìm các số a, b, c , d N , biết :
=
1
b
43
1
c
d
a, Tìm số tự nhiên x , biết : (

Câu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 d 58, chia cho 135 d 88. Tìm a, biết a bé
nhất ?
Câu5( 2 điểm ) : Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao?
Câu 6 ( 1 điểm) : Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đờng thẳng. Tìm a , biết vẽ đợc tất cả 170 đờng thẳng .
Đáp án:

23 23.101 2323 23 23.10101 232323

;


99 99.101 9999 99 99.10101 999999
23 23.1010101 23232323


99 99.1010101 99999999
23 2323 232323 23232323
Vậy;



99 9999 999999 99999999
Câu 1: a, Ta thấy;

b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17
Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17
Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17
4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17
9x + 5y chia hết cho 17
Ngợc lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1
2x + 3y chia hết cho 17
Câu 2 ; Ta viết lại A nh sau :

Gv : Lê Hoài Nam

22

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
1 1
1

).23.7.1009
1
23
7
1009
A=
+
1 1
1
1 1 1
(23 7).1009 161 1
(
. .
).23.7.1009
23 7 1009 23 7 1009
7.1009 23.1009 23.7
1
=
+
=1
7.1009 23.1009 23.7 1
23.1009 7.1009 23.7 1
1
1

1
1
1
1
23
Câu 3; a,
(
).x=



...
2 1.2 2.3 2.3 3.4
9.10
45
1 1 1
23


x=2
.( ) . x =
2 2 90
45
1
1
1
1

43
13
1
1
30
1
1
1
b,
= 30
4
1
30
2
2
43
1
13
3
4
(

=> a =1 ; b = 2 ; c = 3
Câu 4;

Ta có

;

d=4

a 120 . q1 58

a 135. q2 88

(q1, q2

N)

Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a
(3)
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta đợc a = 1080 . q 180
Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất
=> q = 1
=>
a = 898
B- Phần hình học
Câu 5; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2
t,
kề bù góc xOy và yOz
Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 a

1
1
a
t,Oy =
( 180 a)
2
2
1

1
=> tOt, = a (180 a ) = 900
2
2
Khi đó ; tOy =

9 a 1080 q1 522

8 a 1080. q2 704
y

t

z
O

Câu 6; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đờng thẳng vẽ
đợc là; 19 . 20:2 = 190
Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đờng thẳng vẽ đợc là ; (a 1 ) a :
2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ đợc 1 đờng thẳng. Vậy ta có ; 190 ( a- 1)a : 2 + 1
= 170
=> a = 7
Đề 5
Câu 1: Cho 2 tập hợp

A n N / n(n 1) 12
B x Z / x 3

a) Tìm giao của 2 tập hợp.
b) Có bao nhiêu tích ab (Với a A; b B ) đợc tạo thành, cho biết những tích là ớc của 6.

Câu 2: a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34........+ 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40.
b) Cho các số 0,1,3,5,7,9. Hởi có thể thiết lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6
chữ số đã cho.
Câu 3: Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2
tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm.
Câu 4: a) Cho góc xoay có số đo 1000. Vẽ tia OZ sao cho góc ZOY = 350. Tính góc XOZ trong
từng trờng hợp.
b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau.
Đáp án
Câu 1: Liệt kê các phân tử của 2 tập hợp
a) A = {0,1,2,3}; B = {-2,-1,0,1,2}
0,5đ

Gv : Lê Hoài Nam

23


Giáo án BDHS giỏi Toán 6
A B 0,1,2

0,5đ
0,5đ

b) Có 20 tích đợc tạo thành
-2
0
-2
-4
-6

0
1
2
3

-1
0
-1
-2
-3

0
0
0
0
0

1
0
1
2
3

2
0
2
4
6

Những tích là ớc của 6: 1,2,3,6
0,5đ
Câu 2: a) B = (3 + 32 + 33 + 34) +......+(397 + 398 + 399 + 3100 )
= 3(1+3+32+33) +......+ 397(1+3+32+33)
0,5đ
= 40.(3+35+39+.......+ 397):40
0,5đ
b) Mỗi số có dạng abc0, abc5
0,5đ
- Với abc0
+ Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0) 0,5đ
+ Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm
0,5đ
+ Có 6 cách chọn chữ số hàng chục
Vậy 5.6.6 = 180 số.
0,5đ
- Với abc5 Cách chọn tơng tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập đợc 360 số có 4 chữ số chia
hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho.
0,5đ
Câu 3: 1/2 Tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm
0,5đ
Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm.
nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. 1đ
Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi.
0,5đ
3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi
0,5đ
3/4 tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi.
0,5đ
Câu 4:

a) Có 2 cách vẽ tia OZ(có hình vẽ)
Góc XOZ = 650 hoặc 1350
1,0 đ
b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau
M là trung điểm của đoạn thẳng AB

MA MB AB


MA MB

AB

MA MB
2


Đề 6:
Cõu 1: (4đ) a) Rỳt gn phõn s sau:

23.33.53.7.8
3.24.53.14

Tính B = 14: ( 4

b)

1
5
1 2

2 ) + 14.
12
8
4 3

Cõu 2: (4đ)Tỡm x bit:
a/ 3 + 2x -1 = 24 [42 (22 - 1)]
b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 205550
c/

x 5 = 18 + 2.(-8)

d/ (3x 24 ) .75 = 2.76.

1
20090

Cõu 3: (2đ)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :(2x+1)(y-5)=12
Cõu 4: (4đ)
a) Tớnh tng: S=

2



2



2

1.2 2.3 3.4

b) Chng minh rng:

.......

2



2

98.99 99.100

3 32 33 34 ..... 3100 M40

Cõu 5: (2đ)
Cho biểu thức A =

5
n2

a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.

Gv : Lê Hoài Nam

24

Giáo án BDHS giỏi Toán 6
b, Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A là số nguyên
Cõu 6: (4đ)Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt
là tia phân giác của góc xMy.
a. Tính góc AMy.
b. Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.
hớng dẫn chấm
Cõu 1: (4đ) Mỗi câu 2 đ
a/ Kết quả 18

11

b/Kết quả

14
15

Cõu 2: (4đ)

a) 3 + 2x-1 = 24 [42 (22 - 1)]
3 + 2x-1 = 24 42 + 3
2x-1 = 24 42
2x-1 = 22
(0,5đ)
x -1 = 2
x =3
(0,5đ)

b) ( x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550
x+x+x+...+x+1+2+3+...+100=205550

100x+5050=205550
(0,5đ)
100x=200500
x=2005
(0,5đ)
c/ x=7 hoặc x=3;
(1đ mỗi nghiệm 0,5 đ )
d/ x=30
(1đ)
Cõu 3: (2đ)
Ta có 2x+1; y-5 Là ớc của 12
12= 1.12=2.6=3.4
(0,5đ)
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3
(0,5đ)
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9
(0,5đ)
vậy (x,y) = (0,17); (1,9)
(0,5đ)
Cõu 4: (4đ S =

= 2(

=2(

= 2(

2

2



1



2



1

1.2 2.3 3.4
1

1.2 2.3 3.4

.......
.......

2



2

1

98.99 99.100
1

98.99 99.100

1 1 1 1 1 1
1 1
1
1
...
)
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100

1 1
99 99
49

) = 2.
=
1
1 100
100 50
50

) (0,5đ)

(0,5đ)

(1đ)

Cõu 5: (2đ) a/ n Z và n 2

b/(n - 2 )

Ư( -5) = 1; 5

n 2 1 n 1N

n 2 1
n 3 N




n 2 5
n 3 N


n 2 5
n 7 N

Vậy n = 1;3;7
Cõu 6: (4đ)
Hình vẽ:

Gv : Lê Hoài Nam

25