Phương pháp nhiễu giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHÙNG THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

PHÙNG THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2018

t õ ữủ tọ ỏ t ỡ
s s

P t

ữớ trỹ t t t

ữợ ữợ tr sốt q tr
õ ừ ỗ tớ ụ t
ỡ t ổ tr tờ t t ổ tr
rữớ ồ ữ ở ừ t
t tốt õ õ t q ữ
ổ
ũ õ rt ố s tớ
t ỏ õ ổ t tr ọ ỳ
t sõt rt ữủ sỹ õ õ ỵ ừ t ổ
s ồ
t ỡ

ở t
õ

Pũ ữỡ


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣
❡♠ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ t❤➛②

P●❙✳❚❙✳ ❑❤✉➜t ❱➠♥ ◆✐♥❤

✳ ❚r♦♥❣

❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët
sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣ ❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❊♠ ①✐♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✿ ✏

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❣✐↔✐

✑ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥é ❧ü❝ ❤å❝

t➟♣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳
◆➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥

P❤ò♥❣ ❚❤à ❍÷ì♥❣


▼ö❝ ❧ö❝
▼Ð ✣❺❯

✶

✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✸

✶✳✶

✶✳✷

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤➣ ❜✐➳t ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ✳

✹

✶✳✶✳✸

❇➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤②

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
✶✳✷✳✶

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✈➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛

✶✳✷✳✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✣à♥❤ ❧þ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✳ ✳

✾

✷ P❍×❒◆● P❍⑩P ◆❍■➍❯ ●■❷■ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■
P❍❹◆
✶✵
✷✳✶

Þ t÷ð♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✷✳✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❦ý ❞à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✹

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧î♣ ❜✐➯♥

✸✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➌❚ ▲❯❾◆

✹✽
✐✐


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✺✵

✐✐✐


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❚♦→♥
❤å❝ ✈➔ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺✱
♥â ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ♥❤÷ ❧➔ ❝➛✉ ♥è✐ ❣✐ú❛ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ❱➻ ✈➟②✱
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠æ♥ ❤å❝ ✤÷ñ❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② rë♥❣ r➣✐ ð ❝→❝ tr÷í♥❣
✤↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ❝❤➾ ❝â ♠ët sè ➼t ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❧➔
❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â ♣❤➛♥ ❧î♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥↔② s✐♥❤ tø ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t✐➵♥ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ t➻♠ ✤÷ñ❝
♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❉♦ ✈➟②✱ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛ ❧➔ t➻♠ ❝→❝❤ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤
♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣✳ ❳✉➜t ♣❤→t tø ♥❤✉
❝➛✉ ✤â✱ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ t➻♠ r❛ ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❣➛♥
✤ó♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣✳
❱î✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ ❞÷î✐

P●❙✳❚❙✳ ❑❤✉➜t ❱➠♥ ◆✐♥❤
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥

sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
t➔✐✿ ✏

❡♠ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲
✑ ✤➸

t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❦ý ❞à ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧î♣
❜✐➯♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣✳

✶


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧þ ❧✉➟♥✳

✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tê♥❣ ❦➳t t➔✐ ❧✐➺✉✳

✺✳ ❈➜✉ tró❝ ✤➲ t➔✐
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✶✳✏❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✑✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥
t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐
tö ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❤➔♠ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ✏P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✑✳

▼ö❝

✤➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉ ✤➸ ❣✐↔✐
❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö →♣ ❞ö♥❣✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥

P❤ò♥❣ ❚❤à ❍÷ì♥❣

✷


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐
♣❤➙♥✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
❤➔♠ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦
tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱❬✷❪✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥
t❤÷í♥❣
✶✳✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠

✲ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ♠ët ❝â ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t✿

F (x, y, y ) = 0
tr♦♥❣ ✤â ❤➔♠

F

◆➳✉ tr♦♥❣ ♠✐➲♥

①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥

D✱

✭✶✳✶✮

D ⊂ R3 .

tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝

y = f (x, y)

✸

y✿

✭✶✳✷✮


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

t❤➻ t❛ ✤÷ñ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♠ët ✤➣ ❣✐↔✐ r❛ ✤↕♦ ❤➔♠✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳
❦❤♦↔♥❣
✐✳

I = (a, b)

①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉

(x, ϕ(x), ϕ (x)) ∈ D

✐✐✳F (x, ϕ(x), ϕ

y = ϕ(x)

❍➔♠ sè

✈î✐ ♠å✐

(x)) ≡ 0

I✳

tr➯♥

✲ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❜➟❝

x∈I

n

❝â ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t✿

F (x, y, y , y , ..., y (n) ) = 0
❍➔♠

F

①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠ët ♠✐➲♥

✭✶✳✸✮

G ♥➔♦ ✤➜② ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn+2 .

❚r♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ ❝â t❤➸ ✈➢♥❣ ♠➦t ♠ët sè tr♦♥❣ ❝→❝ ❜✐➳♥

x, y, y , ..., y (n−1)

♥❤÷♥❣

y (n)

♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ ❝â ♠➦t✳

◆➳✉ tø ✭✶✳✸✮ t❛ ❣✐↔✐ r❛ ✤÷ñ❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❝❛♦ ♥❤➜t✱ tù❝ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ ❝â ❞↕♥❣

y (n) = f (x, y, y , y , ..., y (n−1) )

✭✶✳✹✮

t❤➻ t❛ ✤÷ñ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♥ ✤➣ ❣✐↔✐ r❛ ✤è✐ ✈î✐ ✤↕♦
❤➔♠ ❝➜♣ ❝❛♦ ♥❤➜t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ ❧➔ ❤➔♠

y = ϕ(x)

❦❤↔ ✈✐ ♥ ❧➛♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✭❛✱❜✮ s❛♦ ❝❤♦
✐✳

(x, ϕ(x), ϕ (x), ..., ϕ(n) (x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)

✐✐✳ ◆â ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t➻♥❤ ✭✶✳✸✮ tr➯♥ ✭❛✱❜✮✳

✶✳✶✳✷ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤➣ ❜✐➳t ❝→❝❤ ❣✐↔✐
❛✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❜✐➳♥ sè ♣❤➙♥ ❧②

✹


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣

X(x)dx + Y (y)dy = 0
Ð ✤➙② ❤➺ sè ❝õ❛

dx

✭✶✳✺✮

❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❜✐➳♥ ①✱ ❤➺ sè ❝õ❛

❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❜✐➳♥ ②✳ ❚❛ s➩ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝→❝ ❤➔♠

X, Y

dy

❧➔ ❤➔♠

❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣

♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣

d[

X(x)dx +

Y (y)dy] = 0

❉♦ ✤â

X(x)dx +

Y (y)dy = C

✭✶✳✻✮

❇✐➸✉ t❤ù❝ ✭✶✳✻✮ ❝❤♦ t❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮✳
❜✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
tr♦♥❣ ✤â

M (x, y), N (x, y)

✭✶✳✼✮

❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝ò♥❣ ❜➟❝✳

✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐

✣÷❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✼✮ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜✐➳♥ sè ♣❤➙♥ ❧② ❜➡♥❣ ❝→❝❤
✤➦t

y = zx

✭tr♦♥❣ ✤â

z = z(x)

❧➔ ❤➔♠ sè ♠î✐ ❝➛♥ t➻♠✮✳

❝✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ♠ët
✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣

y + p(x)y = q(x)

✺

✭✶✳✽✮


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
tr♦♥❣ ✤â

p(x), q(x)

❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✭❛✱❜✮ ♥➔♦ ✤â✳

✰ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐

✣➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✽✮✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛
①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

y + p(x)y = 0

✭✶✳✾✮

✭✶✳✾✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✭✶✳✽✮✳ ❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ✭✶✳✾✮ ❞÷î✐ ❞↕♥❣

dy + p(x)ydx = 0
●✐↔ sû

y = 0✳

✭✶✳✶✵✮

❈❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✶✳✶✵✮ ❝❤♦ ②✿

dy
+ p(x)dx = 0
y

✭✶✳✶✶✮

❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮ t❛ ✤÷ñ❝

y = Ce−
◆❤➟♥ t❤➜②

y≡0

p(x)dx

, (C = 0)

✭✶✳✶✷✮

❝ô♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✾✮✳ ◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ❝â t❤➸ ♥❤➟♥

✤÷ñ❝ tø ✭✶✳✶✷✮ ♥➳✉ tr♦♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✭✶✳✶✷✮ t❛ ❧➜② ❝↔ ❣✐→ trà

C=0

❱➟② ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✭✶✳✾✮
❝â ❞↕♥❣

y = Ce−

p(x)dx

,C ∈ R

✭✶✳✶✸✮

✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✭✶✳✽✮
t❛ →♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❤➡♥❣ sè
♥❤÷ s❛✉✿ ❚r♦♥❣ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✭✶✳✶✸✮ t❛ ❝♦✐

✻

C

❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❤➡♥❣ sè ♠➔ ❧➔

P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
♠ët ❤➔♠ ❝õ❛

x : C = C(x)

✈➔ t➻♠ ❝→❝❤ ❝❤å♥

y = C(x)e−

C(x)

s❛♦ ❝❤♦ ❜✐➸✉ t❤ù❝

p(x)dx

✭✶✳✶✹✮

t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✽✮✳ ❚❤❛② ✭✶✳✶✹✮ ✈➔ ✭✶✳✽✮ s❛✉ ✤â ❣✐↔ r❛ t❛ s➩
t➻♠ ✤÷ñ❝

C(x)✳

❚❤❛②

C(x)

✈ø❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✹✮ ✈➔♦

✭✶✳✶✸✮ t❛ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣
t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✭✶✳✽✮✿

y(x) = e−

p(x)dx

[C +

(q(x)e

p(x)dx

)dx]

❞✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❇❡❝♥✉❧❧✐
✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣

y + p(x).y = q(x).y α
tr♦♥❣ ✤â

p(x), q(x)

✭✶✳✶✺✮

❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✭❛✱❜✮ ♥➔♦ ✤â

✰

α=1

t❤➻ ✭✶✳✶✺✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝➜♣ ♠ët✳

✰

α=0

t❤➻ ✭✶✳✶✺✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝➜♣ ♠ët✳

✰

α = 0✱ α = 1
z = y 1−α

t❤➻ t❛ ❝❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✶✳✶✺✮ ❝❤♦

yα

s❛✉ ✤â ✤➦t

✈➔ ✤÷❛ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳

✼


Pề ì

õ tốt ồ

t
sỷ

(x0 , y0 , y0 , ..., y0 (n1) ) D Rn+1

t t


y (n) = f x, y, y , ..., y (n1) , x, y, y , ..., y (n1) D Rn+1
(n1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , ..., y (n1) (x0 ) = y0
(1.16)

tr õ

f

tr

D Rn+1

ồ t t


(1.16)

ồ

ộ ụ tứ

ộ ụ tứ ở tử ừ ộ
ụ tứ
ỵ ộ ụ tứ ởt
+

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ...



n=0

õ tỗ t ởt số

R (0 R +)

ộ ở tử tr
ộ
ồ

[r, r]
x

ợ





s

(R, R)

ở tử tr

0
|x| > R

ố tỹ

ộ ý

R>0

ừ ộ ụ tứ ỏ

õ tr ữủ ồ ở tử

(R, R) ữủ ồ ở tử ừ



Pề ì

õ tốt ồ
ộ ụ tứ

ỵ tr t ộ ụ tứ
ỵ sỷ ộ ụ tứ

+

an (x x0 )n

õ ở

n=0
+

tử

R>0



an (x x0 )n ; x (x0 R, x0 + R)

f (x) =

õ

n=0



f



f (n) (x0 )

, n = 0, 1, 2, ...
an =
n!

ổ tr

+



f (x) =
n=0

(x0 R, x0 + R).

f (n) (x0 )
(x x0 ), x (x0 R, X0 + R).
n!

ỵ sỷ f õ ồ tr ởt
õ ừ

x0

ỵ

Rn (x)

ữ r ừ ổ

tự r

f (n+1) (x0 ) + (x x0 )
Rn (x) =
(x x0 )n+1
(n + 1)!
õ ừ

x0 : lim Rn (x) = 0
n

tr ữủ t ộ r t

t

f (x)

õ t

x0 .

ỵ tr ởt (x0 , x0 +) ừ x0
số

f

õ ồ

f (n)

tỗ t ởt số

M >0



s

f (n) (x) M (n = 1, 2, ..)

ợ ồ

x (x0 , x0 + )

tr ữủ t ộ r t



x0 .

t

f

õ t


ữỡ
Pì PP
Pì P

ữỡ tr ởt số ữỡ ữỡ
tr õ ự t số ọ



ỗ ữỡ

ữỡ ý ữỡ ợ ũ ợ ởt số
ử tứ ữỡ ở ừ ữỡ ữủ t
tr t

ị tữ ữỡ
t ử s

ử ữỡ tr
y + y = 1,

y(0) = 0, y (0) = 0

ớ






P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✣➦t

z=y✳

❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ trð t❤➔♥❤

z + εz = 1
z = 1 − εz
dz
= 1 − εz
dx
dz = (1 − εz)dx
❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ t❛ ❝â

ln |1 − εz| = −εx − εC1
❚ø ✤➙② s✉② r❛

z=
❚❤❛②

z=y

1 − e−εx−εC1
ε

t❛ ✤÷ñ❝

1 − e−εx−εC1
y =
ε
❚✐➳♣ tö❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ t❛ ❝â

y=
❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

εx + e−εx−εC1
+ C2
ε2

y(0) = 0, y (0) = 0

s✉② r❛

❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔

y(x) =

e−εx + εx − 1
ε2

◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ✤÷ñ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ð ❍➻♥❤ ✶✳

✶✶

C1 = 0, C2 =

−1
ε2


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❍➻♥❤ ✶✳ ✣ç t❤à ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝

y(x)

ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐→ trà ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛

◗✉❛♥ s→t ❍➻♥❤ ✶ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ♠ët sü t❤❛② ✤ê✐ ♥❤ä ❝õ❛ t❤❛♠ sè

ε

❝â

❣➙② r❛ ♠ët ✤ë ❧➺❝❤ ♥❤ä ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✷✳
εy − y = 1,

y(0) = 0, y (1) = 0

◆❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔

y=

1 − εx − e−εx
ε2

◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ✤÷ñ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ð ❍➻♥❤ ✷✳

✶✷

✭✷✳✷✮

ε✳


Pề ì

õ tốt ồ

ỗ t

y(x)

ự ợ tr ừ

é t ố ợ ử trữợ t õ t t r ởt sỹ t
ờ ọ ừ t số


sỹ t ờ ở ợ ừ t

x = 1.

ứ t ữ r ởt số t s
số

t ử tr ữủ ồ t số

õ õ ữ ừ t ỹ tr
sỹ t ờ õ ữớ t t t ữ s
t
t ý
r õ t ỳ t sỹ t
ờ ọ ừ t số r sỹ t ờ ọ ừ ỏ
t ý t ỳ t sỹ t ờ ọ






P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❝õ❛ t❤❛♠ sè ♥❤✐➵✉ ❧↕✐ ❣➙② r❛ sü t❤❛② ✤ê✐ ❧î♥ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✳
❱➔ ð ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤✐➵✉ tr➯♥ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝â t❤➸ t➻♠ r❛
✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥â✱ ♥❤÷♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ù❝
t↕♣ ❤ì♥ t❤➻ ✈✐➺❝ t➻♠ r❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ trð ♥➯♥ ❦❤â ❦❤➠♥✳ ❱➟② ✤➸
❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ ✈➟② t❤➻ t❛ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
s❛✉✳

✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤✐➵✉
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥

y (n) = f (ε, x, y , ..., y (n−1) )

✭✷✳✸✮

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✸✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♥ ❝â ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè
❚r♦♥❣ ✤â

(n−1)

y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , ..., y (n−1) (x0 ) = y0

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐
❇÷î❝ ✭✐✮✳

P❤➙♥ t➼❝❤

y(x)

ε.

.

t❤➔♥❤ ♠ët ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛

ε✳

❚ù❝ ❧➔

y(x) = yo (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ... ✈➔ ❣✐↔ sû ♥â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✱ ð ✤â

❇÷î❝ ✭✐✐✮✳
❇÷î❝ ✭✐✐✐✮✳

❚❤➳

yo (x), y1 (x), ...

y(x)

✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳

✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉✳

▼ð rë♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤÷ ♠ët ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛

❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❤➺ sè ❝â ❝ò♥❣ sè ♠ô ❝õ❛
✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝❤♦

ε✱

ε✳ ❙❛✉ ✤â ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

yo (x), y1 (x), ...

✣➸ ❤✐➸✉ ❤ì♥ ✈➲ ❝→❝ ❜÷î❝ ❧➔♠ tr➯♥ t❛ ①❡♠ ①➨t ♠ët sè ✈➼ ❞ö s❛✉✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✶✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
y + εy 2 = 0,

y(0) = 1, y (1) = 0
✶✹

✭✷✳✹✮


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
▲í✐ ❣✐↔✐
●✐↔ sû ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔

y(x) = yo (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ...
❚❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✹✮ ✤➣ ❝❤♦✱ t❛ ✤÷ñ❝

(y0 + εy1 + ε2 y2 + ...) + ε(yo + εy1 + ε2 y2 + ...)2 = 0
❈➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛

εo

t❛ ❝â

y0 = 0
❚ø ✤➙② s✉② r❛

y0 (x) = C1 x + C2
yo (0) = 1, yo (1) = 0

❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

C1 = 0, C2 = 1
❑❤✐ ✤â

yo (x) = 1
❚✐➳♣ tö❝ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛

ε1

t❛ ✤÷ñ❝

y1 + yo2 = 0
❚❤❛②

yo (x) = 1

✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ t❛ ❝â

y1 = −1
✶✺

t❛ s✉② r❛


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❙✉② r❛

1
y1 (x) = − x2 + C1 x + C2

2
❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

y1 (0) = 0, y1 (1) = 0

t❛ t➻♠ r❛ ✤÷ñ❝

C1 = 1, C2 = 0
❑❤✐ ✤â

1
y1 (x) = − x2 + x
2
❚✐➳♣ tö❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❤÷ tr➯♥
❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔

1
y(x) = 1 + ε(− x2 + x) + ...
2

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✷✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
y + εy = 1,

y(0) = 1, y (0) = 0

▲í✐ ❣✐↔✐
●✐↔ sû ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔

y(x) = yo (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ...
❚❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉✱ t❛ ✤÷ñ❝

(yo + εy1 + ε2 y2 + ...) + ε(y0 + εy1 + ε2 y2 + ...) = 1

✶✻

✭✷✳✺✮


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❈➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛

ε0

t❛ ❝â

y0 = 1
❚ø ✤➙② s✉② r❛

1
y0 (x) = x2 + C1 x + C2
2
❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

y0 (0) = 1, y0 (0) = 0

t❤➻ t❛ t➻♠ r❛ ✤÷ñ❝

C1 = 0, C2 = 1

❑❤✐ ✤â

1
y0 (x) = 1 + x2
2
❈➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛

ε1

t❛ ❝â

y1 + y0 = 0
❙✉② r❛

y1 + x = 0
❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ t❛ ✤÷ñ❝

x3
y1 (x) = − + C1 x + C2
3!
❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

y1 (0) = 0, y1 (0) = 0

❑❤✐ ✤â

x3
y1 (x) = −
3!

✶✼

s✉② r❛

C1 = 0, C2 = 0


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❚÷ì♥❣ tü ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè ❝õ❛

ε2 ,

t❛ ✤÷ñ❝

x4
y2 (x) =
4!
❈ù t✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥❤÷ ✈➟② t❛ s✉② r❛ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣
❝❤♦ ❧➔

❈❤ó þ✳

4
x2
x3
2 x
y(x) = 1 +
+ ε(− ) + ε ( ) + ...

2!
3!
4!
◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ r❛ ✤÷ñ❝ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠

①➜♣ ①➾ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♥â ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❝❤✉é✐ ✈æ ❤↕♥✳ ❉♦ ✈➟② ♥➳✉
t❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝➔♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝→❝ sè ❤↕♥❣

y0 (x), y1 (x), y2 (x), ...

t❤➻ ♥❣❤✐➺♠

❝➔♥❣ ❝❤➼♥❤ ①→❝✱ ♥❤÷♥❣ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tr➻♥❤ ❜➔② ❝â t❤➸ ❣➦♣ ♥❤✐➲✉ ❦❤â
❦❤➠♥ ♥➯♥ t❛ ❝❤➾ t❤÷í♥❣ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❤ú✉ ❤↕♥ sè ❤↕♥❣✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝ò♥❣
q✉❛♥ s→t ♠ët sè ✈➼ ❞ö t✐➳♣ t❤❡♦✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✸✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
y + y + εy 3 = 0,

y(0) = 1, y (0) = 0

✭✷✳✻✮

▲í✐ ❣✐↔✐
●✐↔ sû ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔

y(x) = yo (x) + εy1 (x) + ε2 y2 (x) + ...
❚❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉✱ t❛ ✤÷ñ❝

(yo +εy1 +ε2 y2 +...)+(yo +εy1 +ε2 y2 +...)+ε(y0 +εy1 +ε2 y2 +...)3 = 0

❈➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè

ε0

t❛ ❝â

y0 + y0 = 0
✶✽


P❍Ò◆● ❚❍➚ ❍×❒◆●

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✣➸ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ✤➛✉ t✐➯♥ t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣

λ2 + 1 = 0
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠

λ=i

✈➔

λ = −i✳

❑❤✐ ✤â✱ t❛ s✉② r❛

y0 (x) = C1 cosx + C2 sinx
❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉

y0 (0) = 1, y0 (0) = 0

t❛ t➻♠ r❛ ✤÷ñ❝

C1 = 1, C2 = 0
❉♦ ✤â

yo (x) = cosx
❈➙♥ ❜➡♥❣ ❤➺ sè

ε1

t❛ ❝â

y1 + y1 + y03 = 0
⇔ y1 + y1 = −cos3 x
⇔ y1 + y1 =

−cos3x − 3cosx
4

✣➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ t❛ ❣✐↔✐ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ s❛✉

y1 + y1 =

−cos3x
4

✭✷✳✼✮

y1 + y1 =

−3cosx
4

✭✷✳✽✮

✈➔

✶✾