Định lý tách hahn banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Thanh Nga

ĐỊNH LÝ TÁCH HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Thanh Nga

ĐỊNH LÝ TÁCH HAHN - BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Sư phạm Toán học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội – Năm 2018

Mục lục

Lời cảm ơn

2

Mở đầu

4

1 Một số kiến thức chuẩn bị

8

1.1

1.2

Tập affine - Tập lồi - Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.3

Phần trong tương đối và bao đóng tương đối . .

12

Bao lồi và định lý Carathedory . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1

Bao lồi, bao affine, bao nón lồi . . . . . . . . . .

15

1.2.2

Định lý Caratheodory . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Định lý tách Hahn - Banach
2.1

2.2

Siêu phẳng tách trong Rn

18
. . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1

Siêu phẳng tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2

Siêu phẳng tách yếu và mạnh . . . . . . . . . .

23

2.1.3

Bổ đề Farkas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Định lý tách Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . .

27

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

3 Một vài ứng dụng của định lý tách

31

3.1

Ứng dụng tồn tại của phép cầu phương . . . . . . . . .

36

3.2

Ứng dụng liên quan tới loại kết quả Farkas . . . . . . .

38

3.3

Ứng dụng về tính xấp xỉ dạng bảo toàn . . . . . . . . .

40

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

45

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Một số ký hiệu sử dụng trong Khóa luận này

R

Tập tất cả các số thực

Rn

Tập tất cả các vector có n chiều

x·y

Tích vô hướng giữa hai phần tử x và y

cl C

Bao đóng của C

int C

Phần trong của C

co E

Bao lồi của E

cone E

Nón sinh bởi tập E

ri C

Phần trong tương đối của tập C

aff D

Bao affine của tập D

1


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn người đã tận tình

hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tôi
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

2


Lời cam đoan
Khóa luận của tôi được hoàn thành dựa trên các bài báo [2] và [3],
cùng với sự tổng hợp, tham khảo và kế thừa thành quả của các nhà
khoa học khác. Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của đề
tài Định lý tách Hahn - Banach và ứng dụng không có sự trùng lặp
với kết quả của các đề tài khóa luận khác.

3


Mở đầu
Giải tích lồi là ngành toán học nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi
cùng với những vấn đề liên quan. Ngày nay, nó có vai trò quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và ứng dụng, đặc biệt là
trong tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng...
Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải
tích không trơn và giải tích phi tuyến,... các định lý tách hai tập lồi
có một vai trò trung tâm. Vào năm 1920, Hahn và Banach đã độc lập
chứng minh và công bố kết quả "Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến

tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M # thỏa mãn
f (m) ≤ ϕ(m), ∀m ∈ M.
Khi đó, tồn tại F ∈ X # sao cho
i. Mở rộng F |M = f ;
ii. Giá trị F (x) ≤ ϕ(x), với mọi x ∈ X.
Trong đó X # := L(X, R) là không gian các phiếm hàm tuyến tính
trên X".
Sau này, người ta đã chứng minh được kết quả trên tương đương
với định lý tách. Để ghi nhận công lao của Hahn và Banach, các nhà
toán học đã đặt tên hai Ông cho kết quả đó. Nối tiếp tư tưởng của
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Hahn và Banach, Murray đã mở rộng bài toán trên trong trường hợp
số phức bằng cách thay f (x) bởi Ref (x) − iRef (ix). Ngày nay, các
định lý tách cũng như định lý tách Hahn - Banach vẫn đang được
nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Hơn nữa, ứng dụng của nó ngày càng
đa dạng từ lý thuyết đến các vấn đề thực tế như là chẩn đoán trong
y học hoặc dự đoán sự phát triển của các doanh nghiệp,...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý tách Hahn - Banach
cũng như ứng dụng của nó để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân phục
vụ công tác học tập, giảng dạy sau này cùng với sự động viên và tận
tình giúp đỡ của thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, với
sự đam mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Định
lý tách Hahn - Banach và ứng dụng". Khóa luận của tôi được
hoàn thành dựa trên các bài báo [2] và [3]. Trong đó, hệ thống lại

khối kiến thức cơ bản về siêu phẳng tách yếu, siêu phẳng tách mạnh,
định lý tách Hahn - Banach. Ngoài ra Khóa luận còn trình bày một
vài ứng dụng của định lý tách Hahn - Banach. Trong phần ứng dụng
này, chúng tôi có đưa ra một định lý quan trọng là "Định lý hằng số
về phép cầu phương" như sau:
Cho Pn là kí hiệu tập các đa thức có bậc là n, ta coi nó là không gian
con của C[a, b] thì Pn được cung cấp cho x = max{|x(t)||a ≤ t ≤ b}.
Định nghĩa hàm tuyến tính x∗t trên X := Pn bởi
b
∗

x(t)dt, ∀x ∈ X.

x (x) :=
a

và
x∗t (x) := x(t), ∀x ∈ X.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Định lý hằng số phép cầu phương. Cho X = Pn thì tồn tại m ≤ n + 1
điểm a ≤ t1 < t2 < . . . < tm ≤ b và m vô hướng wi > 0 sao cho
m

wi x∗ti . Rõ ràng

∗

x =
1

m

b

wi x(ti ), ∀x ∈ X.

x(t)dt =
a

1

Dựa trên các kết quả đã có và các tài liệu tham khảo có liên quan tới
định lý tách Hahn - Banach. Trong Khóa luận này, tôi đã nghiên cứu
và trình bày khóa luận trong ba chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi
đi trình bày một số định nghĩa, tính chất và định lý về tập affine, tập
lồi, điểm trong và bao đóng tương ứng. Đây là những lý thuyết mở
đầu làm cơ sở và nền tảng xây dựng chương 2.
Chương 2. Định lý tách Hahn - Banach. Chương này nghiên cứu về
siêu phẳng tách yếu và mạnh, siêu phẳng tựa, định lý Hahn - Banach
đối với không gian định chuẩn và hai định lý tách Hahn - Banach quan
trọng.
Chương 3. Một vài ứng dụng của định lý tách Hahn - Banach. Ở
chương 3 này, chúng tôi có đưa ra ba ứng dụng có liên quan tới định

lý tách Hahn - Banach đó là: ứng dụng tồn tại của phép cầu phương;
ứng dụng liên quan tới loại kết quả Farkas và ứng dụng về tính xấp
xỉ dạng bảo toàn.
Mặc dù khóa luận hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song
do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi,
nên trong quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

sót. Tôi kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán trường
đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận.

Hà Nội, Ngày 21 tháng 5 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Thanh Nga

7


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

1.1.1

Tập affine - Tập lồi - Bao lồi
Tập affine

Định nghĩa 1.1. Cho hai điểm a, b trong không gian Rn . Tập tất cả
các vector x ∈ Rn có dạng
x = (1 − λ)a + λb, ∀λ ∈ R
được gọi là đường thẳng nối a và b. Tập
[a, b] = {x = (1 − λ)a + λb, ∀λ ∈ [0, 1]} ⊂ Rn
được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a, b.
Định nghĩa 1.2. Cho M là tập con của Rn . Ta nói M là tập affine
nếu M chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó. Tập affine
chứa gốc được gọi là không gian con của Rn .
Mệnh đề 1.1. Một tập khác rỗng M là tập affine khi và chỉ khi
M = a + L, trong đó a ∈ M và L là không gian con của Rn .
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Định nghĩa 1.3. Không gian L ở trong mệnh đề 1.1 được gọi là không
gian con song song (không gian nền của tập affine M ).
Nhận xét 1.1. Mỗi một tập affine M có một và chỉ một không gian
con song song với nó. Khi đó, ta có dim L = dim M . Đường thẳng có
số chiều là 1, siêu phẳng có số chiều là n − 1.
Mệnh đề 1.2. Cho M là không gian con của Rn có số chiều là r thì
M đều được biểu diễn dưới dạng M = {x ∈ Rn |Ax = b}, trong đó A

là ma trận cấp (m × n), b ∈ Rm và có hạng rank A = n − r. Khi đó,
M chính là không gian nghiệm của hệ phương trình Ax = b. Ngược
lại, mọi không gian nghiệm của phương trình Ax = b đều là tập affine
có số chiều là r = n − rank A.
Hệ quả 1.1. Mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn dưới dạng tích vô
hướng a · x = α, trong đó a ∈ Rn \{0}, α ∈ R. Ngược lại, tập có dạng
H = {x|a · x = α}
là một siêu phẳng. Vector a được gọi là vector pháp tuyến của siêu
phẳng H. Tất nhiên a và α được xác định là có bội chung khác không
trong siêu phẳng H. Đường thẳng {λa|λ ∈ R} giao với H tại điểm
λa sao cho a.λa = α, λ =

α
a2

a · x = α và α = |λ| a bằng

. Nên khoảng cách từ 0 đến siêu phẳng
|α|
a .

Như vậy, cứ một vector pháp tuyến

a và một giá trị α thì ta xác định một siêu phẳng.
Nhận xét 1.2. Giao của họ các tập affine là tập affine. Cho một tập
E ⊂ Rn thì tồn tại ít nhất một tập affine chứa E ⊂ Rn . Khi đó, giao
của tất cả các tập affine chứa E là tập affine nhỏ nhất chứa E và được
9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

gọi là bao affine của tập E, kí hiệu là aff E.
Mệnh đề 1.3. Bao affine của E là tập chứa tất cả các điểm có dạng
x = λ1 x1 + . . . + λm xk sao cho xi ∈ E với i = 1, 2, ..., m, λ1 + λ2 +
. . . + λk = 1 và k là số tự nhiên.
Mệnh đề 1.4. Bao affine của tập gồm k phần tử x1 , . . . , xk (k > r)
trong không gian có số chiều là r khi và chỉ khi ma trận


1

k



x ... x


 .. . .

.
. .. 
 .


1 ··· 1

(n+1)×k

có rank = r + 1.
Hệ quả 1.2. Bao affine M của tập gồm k điểm độc lập x1 , . . . , xk
trong Rn là một tập affine có số chiều là (k − 1). Mỗi điểm x ∈ M có
thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng
k

k
i

x=

λi x ,
i=1

λi = 1.
i=1

Hệ quả 1.3. Có một siêu phẳng duy nhất đi qua n điểm độc lập affine
x1 , . . . , xn trong Rn . Mỗi điểm thuộc siêu phẳng này đều được biểu diễn
duy nhất dưới dạng
k

n
i

x=

λi x ,

i=1

λi = 1.
i=1

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Tập lồi

Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi, nó được định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4. Một tập C trong không gian Rn được gọi là một tập
lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó. Tức là,
C lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm {x1 , . . . , xk } nếu
k

k
j

x=

λj = 1, λj > 0, ∀j = 1, . . . k, .

λj x ,
j=1

j=1

Tương tự, x là tổ hợp affine của các điểm {x1 , . . . , xk } nếu
k

k
j

x=

λj x ,
j=1

λj = 1.
j=1

Tập hợp của các tổ hợp affine của {x1 , . . . , xk } thường được gọi là bao
affine của các điểm này.
Mệnh đề 1.5. Tập C ⊂ Rn là lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp
lồi các phần tử của nó. Tức là, với mọi k ∈ N, λ1 , . . . , λk > 0 ta có
k

k
1

k

λj xj ∈ C.

λj = 1, ∀x , . . . , x ∈ C =⇒
j=1

j=1

Mệnh đề 1.6. Giao của bất kì họ các tập lồi là tập lồi. Nếu C và D
là hai tập lồi thì C + D = {x + y|x ∈ C, y ∈ D}; αC = {αx|x ∈ C}
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

cũng là tập lồi (Vì thế, C − D = C + (−1)D cũng là tập lồi).
Nhận xét 1.3. Một tập con M của không gian Rn được gọi là nón
nếu x ∈ M, λ > 0 thì λx ∈ M. Gốc tọa độ 0 có thể thuộc hoặc không
thuộc M . Tập a + M được gọi là tịnh tiến của nón M bởi a thuộc
Rn , còn được gọi là nón với đỉnh tại a. Một nón M không chứa đường
thẳng nào thì ta nói là nhọn. Trong trường hợp này 0 cũng được gọi
là đỉnh của M và a + M là một nón với đỉnh tại a.
Mệnh đề 1.7. Giả sử M là tập con của Rn , Khi đó, M là một nón
lồi khi và chỉ khi
λM ⊂ M và M + M ⊂ M, ∀λ > 0.
Hệ quả 1.4. Tập con M ⊂ Rn là một nón lồi khi và chỉ khi M chứa
tất cả tổ hợp tuyến tính dương các phần tử của nó.

Hệ quả 1.5. Cho E là một tập lồi thì tập {λx|x ∈ E, λ > 0} là nón
lồi nhỏ nhất chứa E.
1.1.3

Phần trong tương đối và bao đóng tương đối

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu trên Rn là không gian thực
n chiều cùng với chuẩn Euclidean x =

n
2
i=1 |xi |

và tích vô hướng

x · y = x1 y1 + · · · + xn yn với x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈
Rn . Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp
B = {x ∈ Rn | x − a < r}.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp
B = {x ∈ Rn | x − a ≤ r}.
Bao đóng của của tập C là giao của tất cả các tập đóng chứa C, kí
hiệu là cl C. Phần trong của tập C là hợp của tất cả các tập mở chứa

trong C, kí hiệu là int C.
Nhận xét 1.4. Điểm a ∈ cl C nếu và chỉ nếu mọi hình cầu tâm a
đều chứa ít nhất một điểm của C. Điểm a ∈ int C nếu và chỉ nếu tồn
tại hình cầu tâm a nằm hoàn toàn trong C.
Hệ quả 1.6. Một điểm a của một tập lồi C ⊂ Rn là một điểm trong
của C nếu với mỗi x ∈ R thì tồn tại α > 0 sao cho a + α(x − a) ∈ C.
Mệnh đề 1.8. Một tập lồi bất kì khác rỗng C ⊂ Rn đều có một phần
trong tương đối khác rỗng.
Nhận xét 1.5. Số chiều của tập lồi được định nghĩa bằng số chiều
của bao affine của nó.
Mệnh đề 1.9. Bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi là
lồi.
Định nghĩa 1.5. Giả sử C là một tập con lồi chứa gốc tọa độ của
không gian Rn . Hàm ρC : Rn → R sao cho
ρC (x) = inf{λ > 0|x ∈ λC}
được gọi là hàm cỡ hay hàm Minkowski của C.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Mệnh đề 1.10. Cho hàm cỡ ρC của một tập lồi C ⊂ Rn có phần
trong chứa phần tử 0 thỏa mãn
i. Với mọi x ∈ Rn thì ρC (αx) = αρC (x), ∀α ≥ 0 (thuần nhất
dương);
ii. Với mọi x, y ∈ C thì ρC (x + y) ≤ ρC (x) + ρC (y) (dưới cộng tính);
iii. Hàm ρC (·) liên tục;

iv. Phần trong int C = {x|ρC (x) < 1} ⊂ C ⊂ cl C = {x|ρC (x) ≤ 1}.
Hệ quả 1.7. Nếu a ∈ int C, b ∈ cl C thì x = (1 − λ)a + λb ∈ int C
với mọi λ ∈ [0, 1]. Nếu một tập lồi C có phần trong khác rỗng thì
cl(int C) = cl C và int(cl C) = int C.
Định nghĩa 1.6. Cho C là tập lồi của không gian Rn . Một vector
y = 0 gọi là phương lùi xa của C nếu
{x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, ∀x ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Nón lồi gồm tất cả các phương lùi xa và vector không
được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu là rec C.
Mệnh đề 1.11. Cho C ⊂ Rn là tập lồi chứa một điểm a nằm trong
phần trong của nó. Khi đó,:
i. Với mỗi x = a thì nửa đường thẳng Γ(x, a) = {a+λ(x−a)|λ > 0}
nằm toàn bộ trong C hay cắt biên ∂C tại một điểm duy nhất σ(x),
sao cho mỗi điểm nằm trên đoạn [a, σ(x)] trừ điểm σ(x) đều là điểm
trong của C.
ii. Ánh xạ σ(x) xác định và liên tục trên tập Rn \(a + M ) trong đó
M = rec(int)C = rec(cl)C là một nón lồi đóng.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Nhận xét 1.6. Nếu C không đóng cũng không mở thì rec C có thể là
tập con thực sự của rec(int C) = rec(cl C).
Hệ quả 1.8. Một tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn bị chặn khi và chỉ khi
nón lùi xa của nó chỉ chứa điểm 0.

1.2

1.2.1

Bao lồi và định lý Carathedory
Bao lồi, bao affine, bao nón lồi

Định nghĩa 1.8. Bao lồi của một tập E là giao của tất cả các tập lồi
chứa E, kí hiệu là co E.
Định nghĩa 1.9. Bao affine của E là giao của tất cả các tập affine
chứa E, kí hiệu là aff E.
Định nghĩa 1.10. Bao nón lồi của tập E (còn gọi là nón lồi sinh bởi
E) là giao của tất cả các nón lồi chứa E, kí hiệu là cone E.
Nhận xét 1.7. Giao của các tập lồi (tập affine, nón lồi) cũng là tập
lồi (tập affine, nón lồi) nên bao lồi, bao affine và bao nón lồi được xác
định một cách duy nhất. Nhắc lại rằng, chiều của một tập E bất kỳ
được định nghĩa như là chiều của bao affine của nó. Tức là
dim E = dim(aff E).
Mệnh đề 1.12. Cho E là một tập lồi, Khi đó,
cone E = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0}.
Mệnh đề 1.13. Cho E là một tập bất kỳ. Khi đó:
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

i. Tập co E là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc E;
ii. Tập aff E là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc E;
iii. Tập cone E là tập hợp các tổ hợp không âm của các điểm thuộc
E.

1.2.2

Định lý Caratheodory

Theo mệnh đề trên, mọi phần tử x thuộc co E đều là tổ hợp lồi
của các phần tử thuộc E. Số phần tử của E tham gia trong tổ hợp
lồi này dĩ nhiên phụ thuộc vào mỗi điểm x. Định lý sau nói rằng nếu
dim E ≤ k thì mọi điểm thuộc co E đều biểu diễn được như là một tổ
hợp lồi của nhiều nhất là (k + 1) phần tử của E.
Định lý 1.1. Cho E là một tập được chứa trong một tập affine có số
chiều là k. Khi đó, mọi x ∈ co E đều có thể biểu diễn như là tổ hợp
lồi của nhiều nhất (k + 1) phần tử của E.
Ta nhắc lại các khái niệm điểm trong, điểm biên, tập compact,...
trong giải tích cổ điển.
i. Cho E ⊆ Rn , điểm a được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại
một lân cận mở U (a) của a sao cho U (a) ⊂ E. Kí hiệu tập hợp các
điểm trong của tập E là int E và B là hình cầu đơn vị, tâm ở gốc. Khi
đó, theo định nghĩa ta có
intE = {x| ∃r > 0, x + rB ⊂ E} .
ii. Điểm a được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của a đều
có điểm thuộc E và điểm không thuộc E.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

iii. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm
trong của E.

iv. Tập E được gọi là tập đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.
v. Tập E được gọi là một tập compact nếu E là một tập đóng và
bị chặn. Ta nói điểm a thuộc bao đóng của tập E nếu mọi lân cận của
a đều chứa điểm thuộc E.
Hệ quả 1.9. Nếu E ⊂ Rn là một tập compact thì co E cũng compact.
Định nghĩa 1.11. Bao lồi đóng của một tập E là tập lồi đóng nhỏ
nhất chứa E. Kí hiệu bao lồi đóng của một tập E là coE.
Tính chất lồi của một tập luôn được bảo toàn với việc lấy bao đóng
và lấy phần trong theo mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.14. Nếu E là một tập lồi thì E , int E và ri E cũng là
các tập lồi.
Mệnh đề 1.15. Bao lồi đóng của một tập E trùng với bao đóng của
bao lồi của E, tức là coE = co E.

17


Chương 2
Định lý tách Hahn - Banach
2.1

Siêu phẳng tách trong Rn

Trong chương này, chúng ta sử dụng siêu phẳng tách là công cụ
chính.
Định nghĩa 2.1. Cho p ∈ Rn khác không và c ∈ R là hằng số. Tập
H(p, c) bao gồm tất cả các vector x ∈ Rn sao cho
p · x = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = c
là một tập con của Rn được gọi là siêu phẳng. Hay, siêu phẳng
H(p, c) = {x ∈ Rn |p · x = c}.

Ta có siêu phẳng trong R2 là đường thẳng, siêu phẳng trong R3
là mặt phẳng. Hơn nữa, các siêu phẳng H(p, c) chia không gian Rn
thành hai nửa không gian. Chúng ta kí hiệu:
O(p, c) = {x ∈ Rn |p · x > c};

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

P(p, c) = {x ∈ Rn |p · x < c}.
Bao đóng của hai nửa không gian trên được gọi là các nửa không gian
con đóng:
O(p, c) = {x ∈ Rn |p · x ≥ c};
P(p, c) = {x ∈ Rn |p · x ≤ c}.
Chúng ta có thể coi p như là một vector trực giao với siêu phẳng tại
mọi điểm.
Định nghĩa 2.2 cho chúng ta khái niệm về siêu phẳng tách
Định nghĩa 2.2. i. Ta nói rằng hai tập A và B khác rỗng trong Rn
là tách bởi một siêu phẳng nếu tồn tại p ∈ Rn khác không và một hằng
số c ∈ R sao cho p · a ≥ c ≥ p · b với mọi a ∈ A, b ∈ B.
ii. Ta nói rằng hai tập A và B khác rỗng trong Rn là tách mạnh bởi
một siêu phẳng nếu tồn tại p ∈ Rn khác không và một hằng số c ∈ R
sao cho p · a > c > p · b với mọi a ∈ A, b ∈ B.
Định nghĩa trên xác định A và B nằm ở trong hai không gian
O(p, c) và P(p, c) và hai không gian O(p, c) và P(p, c) (trường hợp
tách mạnh). Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh kết quả tách đầu tiên.
Bổ đề 2.1. Cho A là một tập con đóng, lồi và khác rỗng của không

gian Rn . Giả sử x0 là một điểm trong Rn sao cho x0 ∈
/ A, Khi đó, tồn
tại một điểm a0 ∈ A và p ∈ Rn khác không sao cho p · x ≥ c = p · a0 >
p · x0 với mọi a ∈ A.
Chứng minh. Giả sử a0 ∈ A là khoảng cách tối thiểu từ một điểm bất
kì trong A tới x0 . Tức là a0 ∈ A, ta có x0 − a0 ≤ x0 − a , với mọi
a ∈ A.
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

Đầu tiên chú ý rằng, chuẩn Euclidean . là liên tục. Mặt khác,
A = ∅. Vì thế, tồn tại một điểm z ∈ A. Cho Z = A ∩ B
trong đó B

z−x0

z−x0

(x0 ),

(x0 ) là hình cầu đóng với bán kính z − x0 , tâm

tại x0 . Do Z là tập đóng thực sự và bị chặn nên Z là compact. Chú
ý rằng x0 ∈
/ Z, do đó, chúng ta sử dụng định lý giá trị cực (mỗi
hàm giá trị thực liên tục trên tập compact đạt được giá trị cực trên

tập đó), tìm được một điểm thuộc Z mà khoảng cách từ x0 tới điểm
đó là tối thiểu, ta gọi điểm này là a0 . Do A\Z khác rỗng nên a0 là
khoảng cách nhỏ nhất từ x0 tới tập A, nghĩa là a0 là một điểm sao
cho x0 − a0 ≤ x0 − a , với mọi a ∈ A.
Giả sử p = a0 − x0 và c = p · a0 thì ta có p = 0 vì x0 ∈
/ A nhưng
a0 ∈ A. Ta cần chứng tỏ rằng có giá trị thỏa mãn p · x0 < c và p · a ≥ c,
với mọi a ∈ A. Bất đẳng thức đầu tiên ta dễ dàng chứng minh được.
Thật vậy
p · x0 = p · x0 − p · a0 + p · a0
= p · (x0 − a0 ) + p · a0
= p · (−p) + p · a0
=− p

2

+ p · a0

< p · a0 = c.
Ta có − p

2

+ p · x0 < p · x0 vì p = 0, − p

2

là âm.

Cuối cùng, ta cần chứng minh p · a ≥ c, với mọi a ∈ A. Từ tính

lồi của A, ta có w = ta + (1 − t)a0 ∈ A, với mọi t ∈ [0, 1] và với mọi

20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THANH NGA

a ∈ A. Vì thế, ta xét
x0 − a0

2

− x0 − w

2

= x0 − a0

2

− x0 − (ta + (1 − t)a0 )

= x0 − a0

2

− x0 − ta − a0 + ta0

2

2

=(x0 − a0 ) · (x0 − a0 )−
[(x0 − a0 ) + t(a0 − a)] · [(x0 − a0 ) + t(a0 − a)]
=(x0 − a0 ) · (x0 − a0 ) − [(x0 − a0 ) · (x0 − a0 )+
2t(a0 − a) · (x0 − a0 ) + t2 (a0 − a) · (a0 − a)]
= − 2t(a0 − a) · (x0 − a0 ) − t2 (a0 − a) · (a0 − a)
= − 2t(a0 − a) · (−p) − t2 a0 − a

2

=t[2p · (a0 − a) − t a0 − a 2 ].
Bằng phương pháp phản chứng, ta chứng tỏ rằng p · a < c = p · a0
không đúng, nghĩa là p · a ≥ c. Giả sử ngược lại p · a < c thì ta có
p · (a0 − a) = p · a0 − p · a
= c − p · a > 0 (do p · a < c).
Tiếp tục các thao tác trên, ta có với t đủ nhỏ thì 2p.(a0 −a) > t a0 −a
là đúng. Suy ra x0 − a0

2

− x0 − w

2

2

> 0 với t đủ nhỏ. Hay, ta có

x0 − a0 > x0 − w . Điều này chứng tỏ rằng khoảng cách từ w tới
x0 nhỏ hơn khoảng cách từ a0 tới x0 , mâu thuẫn vì a0 là khoảng cách
tối thiểu từ một điểm bất kì trong A tới x0 . Vì thế, ta có p · a ≥ c,
với mọi a ∈ A. Do đó, ta có p · a ≥ c = p · a0 > p · x0 , với mọi a ∈ A.
Định lý đã được chứng minh.

21