TEST NHANH CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12

HTB –THPT HR

ĐỀ TEST NHANH HÌNH HỌC 12
CÁC DẠNG BÀI DÙNG CÔNG THỨC TÍNH NHANH
THỜI GIAN : 25 PHÚT

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

ĐỀ BÀI
Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a .
2 2a3
2a 3
2a 3
3
A.
.
B. 2 2a .
C.
.
D.
.
3
4
12
Cho khối tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA  a ; OB  b ; OC  c .

Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây
1
1
1
A. V  a.b.c .
B. V  a.b.c .
C. V  a.b.c .
D. V  3a.b.c .
6
3
2
Cho hình chóp S . ABC với các mặt  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vuông góc với nhau từng đôi một.
Tính thể tích khối chóp S . ABC . Biết diện tích các tam giác SAB , SBC , SAC lần lượt là 4a 2 ,
a 2 , 9a 2 .
2
A. 6a 3 .
B. a 3 .
C. 6 2a3 .
D. 2 2a3 .
3
Cho tứ diện S.ABC có SA  1 , SB  2 , SC  3 và ASB  BSC  CSA  60 . Tính thể tích khối
tứ diện S.ABC .
A.

Câu 5.

2
.
12

B.

2
.
2

C.

3
.
2

D.

2.

Cho hình chóp S. ABC có AB  AC  4, BC  2, SA  4 3, SAB  SAC  30 . Tính thể tích
khối chóp S. ABC .
A. VS . ABC  12 .
B. VS . ABC  6 .
C. VS . ABC  8 .
D. VS . ABC  4 .

Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng 2a ; mặt bên tạo với đáy góc 60 0 . Thể tích khối
chóp S. ABC là
a3
a3 2
a3 3
a3 3
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
3
24
3
24
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4 a; AC  BD  5a; AD  BC  6a . Tính thể tích khối tứ
diện ABCD .
15a 3 6
15a 3 3
15a 3 6
5a 3 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
2
4
Câu 8. Cho hình chóp S. ABC có SA  x (0  x  3) ; tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 . Tìm x để

khối chóp S. ABC có thể tích lớn nhất.
3
3
6
6
A. x 
.
B. x 
.
C. x 
.
D. x 
.
2
3
3
2
Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành có thể tích là V . Gọi M ; P lần lượt là trung
điểm của SB; SD . Mặt phẳng ( AMP ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP .
1
5
1
11
A. V .
B. V .
C. V .
D. V .
6
6
12

12
'
' ' ' '
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của BB ; điểm P thuộc
1
cạnh DD ' sao cho DP  DD ' . Mặt phẳng ( AMP ) cắt CC ' tại N . Tính thể tích khối đa diện
4
ABCDMNPQ .
Câu 6.


11 3
9
D. a 3 .
a .
3
4
Câu 11. Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
a
a
a
a
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
2

3
5
2
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

A. 2a 3 .

B. 3a 3 .

C.

3a 34
a 34
4a 34
9a 34
.
B.
.
C.
.
D.
.
34
34
34
34
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA  a và vuông góc
với đáy  ABC  . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
A.

a 42
a 21
a 21
a 21
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
7
3
6
Câu 14. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD .
a 42
a 21
a 21
a 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

6
7
3
6
Câu 15. Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A,
SN 1
 ,
M , P cắt cạnh SC tại N với M , P là các điểm thuộc các cạnh SB , SD sao cho
SB 2
SP 2
 . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNP .
SD 3
23
29
30
23
.A.
V.
B.
V.
C.
V.
D.
V.
15
30
23
30
Câu 16. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. Biết rằng SA  a , SB  SC  k
. Đặt SB  x . Tính thể tích tứ diện SABC theo a , k , x và xác định SB , SC để thể tích tứ

diện SABC lớn nhất.
ak 2
ak 2
ak 2
ak 2
.A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
4
12
24

A.

HẾT.


CẤU TRÚC ĐỀ TEST NHANH CÔNG THỨC TÍNH NHANH
(KHÔNG PHÂN MỨC ĐỘ NHẬN THỨC)
CÂU
1
2
3
4

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1.A
11.D

DẠNG BÀI TẬP
THỂ TÍCH TỨ DIỆN ĐỀU
THỂ TÍCH TAM DIỆN VUÔNG
TAM DIỆN VUÔNG CÓ 3 DIỆN TÍCH 3 MẶT
THỂ TÍCH KHI BIẾT 3 CẠNH BÊN VÀ 3 GÓC Ở ĐỈNH
THỂ TÍCH KHI BIẾT GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH CỦA 2 CẠNH ĐỐI
THỂ TÍCH BIẾT GÓC NHỊ DIỆN
THỂ TÍCH TỨ DIỆN CÓ 3 CẶP CẠNH ĐỐI BẰNG NHAU
THỂ TÍCH TỨ DIỆN CÓ 5 CẠNH BẰNG NHAU VÀ 1 CẠNH KHÁC
TÍNH NHANH TỶ SỐ CHÓP ĐÁY TỨ GIÁC
TÍNH NHANH TỶ SỐ LĂNG TRỤ
TÍNH NHANH BÁN KÍNH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐỀU
BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC
BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC

BÁN KINH CẦU NGOẠI TIẾP CHÓP ĐẶC BIỆT KHÁC
TÍNH NHANH LIÊN QUAN CHIA KHỐI
TÍNH NHANH LIÊN QUAN MAX MIN

2.A
12.D

3.D
13.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5D
6.C
15.D
16.D

4.B
14.D

7.A

8.D

9.B

10.B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

[2H1-3.2-2] Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a .
2 2a3
2a 3
A.
.
B. 2 2a3 .
C.
.
3
4

D.

2a 3
.
12

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê
Chọn A

S

C

A
O
B

1

Giả sử tứ diện đều SABC . Gọi O là tâm của tam giác ABC . Ta có V  SO.S ABC .
3
1
2a 3
2a 6
S ABC  AB. AC.sin 60  a 2 3 , OA 
.
 SO  SA2  OA2 
2
3
3


V 

1
SO.S
3

ABC



2a3 2
.
3

* Dùng công thức tính nhanh :
Thể tích của khối tứ diện đều cạnh b :
Áp dụng công thức trên ta có: V  AB 3 .

Câu 2.

V 

b3 2
.
12

2
2 2a3 2
3
.
  2a 

12
12
3

[2H1-3.2-1] Cho khối tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA  a ;
OB  b ; OC  c . Thể tích khối tứ diện OABC được tính theo công thức nào sau đây
1
1
1
A. V  a.b.c .
B. V  a.b.c .
C. V  a.b.c .
D. V  3a.b.c .
6
3
2

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê
Chọn A
1
1
1
1
VOABC  Sh  .OA. OB.OC  a.b.c .
3
3
2
6

Câu 3.

[2H1-3.2-2] Cho hình chóp S . ABC với các mặt  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vuông góc với nhau
từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S . ABC . Biết diện tích các tam giác SAB , SBC , SAC lần
lượt là 4a 2 , a 2 , 9a 2 .
2
A. 6a 3 .
B. a 3 .
C. 6 2a3 .
D. 2 2a3 .
3
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê
Chọn D

 SAB    SAC 


 SC  SB
 SC   SAB   
.
 SAB    SBC 
 SC  SA

 SAC    SBC   SC
Chứng minh tương tự ta được:

SB  SA

1
1
1
1
VS . ABC  SC .dt  SAB   .SC . SB.SA  SA.SB.SC .
3
3
2
6

1
1
1
SA2 .SB 2 .SC 2 
SA.SB.SB.SC.SA.SC 
2 S1 .2 S2 .2 S3 
6
6
6

Cách 2:


2S1 .S2 .S3
3

 2 2a 3 .

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:
Cho hình chóp S . ABC với các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vuông góc với nhau từng đôi
một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt là S1 , S 2 , S3 . Thể tích khối chóp SABC là

VS . ABC 
VS . ABC 

2 S1 .S 2 .S3
3
2 S1 .S2 .S3
3

.

 2 2a 3 .


Câu 4.

[2H1-3.2-3] Cho tứ diện S.ABC có SA  1 , SB  2 , SC  3 và ASB  BSC  CSA  60 . Tính
thể tích khối tứ diện S.ABC .
2

2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. 2 .
12
2
2
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê
Chọn B

Cách 1:

Gọi B  , C  lần lượt là các điểm trên SB và SC thỏa SB  1 , SC  1 .
Khi đó tứ diện S. ABC  là tứ diện đều có cạnh là 1.
Do đó thể tích của khối tứ diện S. ABC  là VS . AB C  

2
.
12

Mặt khác ta lại có
VS . AB C  SB SC  1 1 1
6 2
2

.


    VS . ABC  6VS . ABC  

VS . ABC
SB SC 2 3 6
12
2

Cách 2:
Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:
Cho khối tứ diện S.ABC có SA  a , SB  b , SC  c , ASB   , BSC   , CSA   . Khi đó
thể tích khối tứ diện S.ABC được tính bằng công thức:

VS . ABC 

abc
1  2cos  .cos  .cos   cos2   cos2   cos2  .
6

Áp dụng vào bài giải ta được thể tích của khối tứ diện S.ABC là

VS . ABC 


Câu 5.

SA.SB.SC
1  2 cos ASB.cos BSC.cos CSA  cos2 ASB  cos 2 BSC  cos2 CSA

6

1.2.3
2
.
1  2 cos3 60  3cos 2 60 
6
2

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp S. ABC có AB  AC  4, BC  2, SA  4 3, SAB  SAC  30 .
Tính thể tích khối chóp S. ABC .
A. VS . ABC  12 .

B. VS . ABC  6 .

C. VS . ABC  8 .

D. VS . ABC  4 .

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thúy ; Fb:Thúy Lê


Chọn D

Cách 1:
Ta có SB 2  SA2  AB 2  2.SA. AB.cos 30  SB 2  16  SB  4 .
Tương tự ta cũng có SC  4  SBC là tam giác cân đỉnh S .
Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra BC  SM và BC  AM .
Có

BC  SM 
1
  BC   SAM  . Suy ra VS . ABC  2VS . ABM  2VB .SAM  2. .BM .S SAM
BC  AM 
3

BM  1 , SM  AM  SB 2  BM 2  16  1  15 .
2

Gọi H là trung điểm của SA  MH  SA và MH 
nên S

SAM

 15    2 3 

2

 3

1
1
2
 . 3.4 3  6 Vậy VS . ABC  2. .BM .SSAM  .1.6  4 .
2
3
3

Cách 2:

Ta áp dụng công thức tính thể tích sau:
Cho tứ diện ABCD . Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD ,  là góc giữa
1
hai đường thẳng đó.Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD  AB.CD.d .sin  .
6
Có

BC  SM 
  BC  SA .
BC  AM 

Gọi H là trung điểm của SA

 MH  SA
Ta có 
và MH 
 MH  BC

2

 15    2 3 

2

 3

1
1
VS . ABC  .SA.BC.d  SA, BC  .sin  SA, BC   .4 3.2. 3.sin 90  4 .
6

6

Câu 6.

[2H1-3.2-2] Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng 2a ; mặt bên tạo với đáy góc 60 0 .
Thể tích khối chóp S. ABC là
A.

a3 2
.
3

B.

a3 3
.
24

C.

a3 3
.
3

D.

a3
.
24

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm
Chọn C
Áp dụng công thức tính nhanh V 

x3 tan 
với x  2a;   600 ta có:
24


VS . ABC 

Câu 7.

(2a) 3 tan 600 a 3 3

24
3

[2H1-3.2-3] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4 a; AC  BD  5a; AD  BC  6a . Tính thể
tích khối tứ diện ABCD
A.

15a 3 6
.
4

B.

15a 3 3

.
4

C.

15a 3 6
.
2

D.

5a 3 6
.
4

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm
Chọn A
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích của tứ diện gần đều

VABCD 
VABCD 
Câu 8.

1
6 2
1
6 2

( x 2  y 2  z 2 )( x 2  z 2  y 2 )( y 2  z 2  x 2 ) với x  4 a; y  5a; z  6 a ta có:

(16a 2  25a 2  36a 2 )(16a 2  36a 2  25a 2 )(25a 2  36a 2  16a 2 ) 

15a 3 6
.
4

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp S. ABC có SA  x (0  x  3) ; tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 .
Tìm x để khối chóp S. ABC có thể tích lớn nhất.
A. x 

3
.
2

B. x 

3
.
3

C. x 

6
.
3

D. x 

6
.

2

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm
Chọn D
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích :

Câu 9.

VS . ABC 

1
1
1 1
1
SA. AB. 3 AB 2  SA2  x 3  x 2  . ( x 2  3  x 2 )  .
12
12
12 2
8

VS . ABC 

1
6
.
x
8
2

[2H1-3.2-3] Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành có thể tích là V . Gọi M ; P lần
lượt là trung điểm của SB; SD . Mặt phẳng ( AMP ) cắt SC tại N . Tính thể tích khối đa diện
ABCDMNP .
A.

1
V.
6

B.

5
V.
6

C.

1
V.
12

D.

11
V.
12

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm
Chọn B

Ta có a 

SA
SB
SC
SD
; d
 1; b 
2; c
 2 và a  c  b  d  c  3 .
SA
SM
SN
SP

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích hình chóp tứ giác với đáy là hình bình hành :
VS . AMNP a  b  c  d
1
1

 ta được VS . AMNP  V .
6
6
VS . ABCD
4abcd


Suy ra thể tích khối đa diện ABCDMNP bằng

5

V .
6

Câu 10. [2H1-3.2-3] Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của BB ' ;
1
điểm P thuộc cạnh DD ' sao cho DP  DD ' . Mặt phẳng ( AMP ) cắt CC ' tại N . Tính thể
4
tích khối đa diện ABCDMNPQ .
A. 2a 3 .

B. 3a 3 .

C.

11 3
a .
3

D.

9 3
a .
4

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phú Hà; Fb:Phú Hà Phạm
Chọn B
Ta có VABCD. A' B'C 'D'  8a 3 .

Đặt x 

AA
BM 1
CN
DP 1
3
; t
0; y
 ; z
 và x  z  y  t  z  .
'
'
'
'
AA
BB
2
CC
DD 4
4

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích của khối lăng trụ ta có :
VABCD . MNPQ 

x y z t
3
.VABCD . A' B'C 'D '  .8a 3  3a 3 .
4
8

Câu 11. [2H2-2.2-3] Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
bằng a .
a
a
a
a
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
2
3
5
2
Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều tất cả cạnh đều bằng a : R 

SA2
SA2


Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều R 
2 SO 2 SA2  OA2

SA
a

.
2
2

a2
 a 
2 a2  

 2

2



a
.
2

Câu 12. [2H2-2.2-3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính
bán kính mặt ầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.


A.

3a 34
.
34

B.

a 34
.
34

C.

4a 34
.
34

D.

9a 34
.
34

Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D

Công thức nhanh hình chóp tứ giác đều: R 

SA2
.
2 SO

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , suy ra SO   ABCD  .

Ta có: AO 

AC
a

.
2
2
2

a 34
 a 
Xét tam giác SAO vuông tại O ta có SO  SA  OA  (3a )  
  2 .
 2
2

2

2

2

SA2
SA2
 3a   9a 34 .
Áp dụng công thức R 


2SO 2 SA2  OA2

34
a 34
2
2

Câu 13. [2H2-2.2-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA  a và
vuông góc với đáy  ABC  . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC .
A.

a 42
.
6

B.

a 21
.
7

C.

a 21
.
3

D.

a 21
.
6

Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D

Công thức nhanh hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy: Gọi h là chiều cao hình chóp
và r bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có


2

h
R     r2
2
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC :
r  AG 

2
a 3
AM 
, h  SA  a
3
3
2

2
a 21
a a 3
Áp dụng công thức ta có R     
.

 
6
 2  3 

Câu 14. [2H2-2.2-3] Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABCD .
A.

a 42
.
6

a 21
.
7

B.

a 21
.
3

C.

D.

a 21
.
6

Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D

Công thức nhanh hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy: Gọi Rb , Rd là bán kính đường tròn
ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy.
Ta có

R  Rb2  Rd2 

GT 2
4

Giao tuyến của  SAB  với ( ABCD ) là AB .
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy Rd  AO 

a
.
2
a
.
3

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên Rb  SG 
2

2

GT 2

 a   a  a 2 a 21
Áp dụng công thức R  R  R 
 
 
  4  6 .
4
 2  3
2
b

2
d

Câu 15. [2H1-3.3-3] Cho hình chóp S. ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt
phẳng qua A, M , P cắt cạnh SC tại N với M , P là các điểm thuộc các cạnh SB , SD sao
cho

SM 1 SP 2
 ,
 . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNP .
SB 2 SD 3


.A.

23
V.
15

B.

29
V.
30

30
V.
23

C.

D.

23
V.
30

Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D
Công thức nhanh: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình
SM
SN
SP
SQ
hành lần lượt tại M , N , P, Q sao cho
 x,
 y,
 z,
 t ta có

SA
SB
SC
SD

VS .MNPQ
VS . ABCD



xyzt  1 1 1 1 
1 1 1 1
     và    .
4 x y z t
x z y t

Ứng dụng công thức vào bài toán

Ta có x 

SA
SM 1
SN
SP 2
1 1 1 1
1
3
2
 1, y 
 ,z 

,t 
 và     1   2   z  .
SA
SB 2
SC
SD 3
x z y t
z
2
5

Do đó VS . AMNP 

xyz  1 1 1 1 
7
23
    V  V  VABCD.MNPQ  V .
4 x y z t
30
30

Câu 16. [2H1-3.3-3] Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. Biết rằng SA  a ,

SB  SC  k . Đặt SB  x . Tính thể tích tứ diện SABC theo a , k , x và xác định SB , SC để thể
tích tứ diện SABC lớn nhất.
.A.

ak 2
.
6

B.

ak 2
.
4

C.

ak 2
.
12

D.

ak 2
.
24

Lời giải
Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Thanh Phong
Chọn D


Thể tích tứ diện:
2

VSABC

1

1
1  x  k  x  ak 2
 SA.SB.SC  ax(k  x)  a 
.
 
6
6
6 
2
24


Dấu bằng xảy ra khi x  k  x  x 

k
.
2
HẾT.