Tính chất của không gian cầu trường được

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN

TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành học: SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Giảng viên hướng dẫn:

TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng, N˚
am 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
————————

NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN

TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: Sư phạm Toán học

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng - Năm 2018


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1 Không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô 9

1.1.2

Bao đóng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép đồng phôi . . . . . . . 13
1.4 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Không gian chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tính chất của không gian cầu trường được

16

2.1 Định nghĩa và một số kết quả liên quan . . . . . . . . . . 16
2.2 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
KẾT LUẬN

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

33


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian thực hiện đề tài, tuy gặp không ít khó khăn nhưng
nhờ sự giúp đỡ từ phía thầy cô, gia đình, bạn bè cùng với sự nỗ lực của
bản thân, em đã tự tìm tòi, học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân
và hoàn thành khóa luận này.
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Lương Quốc Tuyển và anh

Ông Văn Tuyên đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên em trong suốt
quá trình thực hiện khóa luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả quý thầy
cô giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của mình
dưới mái trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng.
Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Văn Trung Tín

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

DANH MỤC KÝ HIỆU
Trong toàn bộ khóa luận này, khi cho các không gian X, G thì ta
hiểu rằng X, G là các không gian tôpô và em quy ước tất cả các không
gian là T1 , còn các khái niệm và thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm
thì được hiểu thông thường.

N

Tập hợp các số nguyên dương

R

Tập hợp các số thực

A\B

Hiệu của hai tập hợp

A ∩ B Giao của hai tập hợp
A ∪ B Hợp của hai tập hợp
f ◦g
|A|

Phép hợp thành hai ánh xạ
Số phần tử của tập hợp A

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Năm 1936, G. Birkhoff đã giới thiệu nhóm tôpô ([4]). Sau đó, M.
M. Choban đã giới thiệu không gian cầu trường được và V. V. Uspenskij

chứng minh được rằng mọi nhóm tôpô đều là không gian cầu trường
được, nhưng tồn tại một không gian cầu trường được không phải là một
nhóm tôpô ([5,9]). Từ đó đến nay, rất nhiều kết quả liên quan đến không
gian này được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [6, 7, 8]).
Tuy nhiên, khái niệm không gian cầu trường được còn khá xa lạ
với nhiều sinh viên khoa Toán. Mặt khác, số lượng các tính chất của
không gian này còn khá khiêm tốn so với những không gian khác. Hiện
nay, còn khá nhiều câu hỏi mở vẫn chưa được giải đáp trong [3, 4, 6].
Với mong muốn cung cấp khái niệm, một số tính chất cơ bản, đồng thời
nêu lên một số tính chất mới của không gian này, dưới sự hướng dẫn
của TS. Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất của
không gian cầu trường được.
II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
Giới thiệu về không gian cầu trường được, đồng thời chứng minh
chi tiết một số định lý và bổ đề liên quan, để từ đó trong phần Kết
quả chính đưa ra các tính chất mới của không gian cầu trường được
và chứng minh tính đúng đắn của chúng.
III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, bố cục khóa luận
của em bao gồm hai chương:
Chương 1 của khóa luận trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
không gian tôpô, như định nghĩa không gian tôpô, lân cận, cơ sở lân cận
và cơ sở của không gian tôpô; định nghĩa và các định lý của ánh xạ liên
tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép đồng phôi.
Chương 2 của khóa luận trình bày các định nghĩa và bổ đề liên
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

quan, để từ đó trong phần kết quả chính, em nêu ra một số kết quả mới
mà em nghiên cứu được về không gian cầu trường được.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Khóa luận của em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý
thuyết. Đồng thời, nghiên cứu kết quả của các tác giả đi trước để đưa
ra các kết quả mới.
V. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Mở đầu.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô
1.1.2. Bao đóng của tập hợp
1.2. Ánh xạ liên tục
1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng. Phép đồng phôi.
1.4. Không gian con
1.5. Không gian compact
1.6. Không gian chính quy.
Chương 2. Tính chất của không gian cầu trường được
2.1. Một số định nghĩa và kết quả liên quan
2.2. Kết quả chính
Kết luận.
VI. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
1. Đề tài góp phần cung cấp khái niệm và một số tính chất cơ bản
của không gian cầu trường được.
2. Đề tài trình bày một số tính chất mới của không gian cầu trường
được. Điều này được thể hiện ở Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 và Định lý

2.2.4. Những tính chất này đã góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa
tập đóng và tập compact trong không gian này, đồng thời làm rõ tính
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

chất đếm được thứ nhất của không gian con cầu trường được. Các kết
quả này là cơ sở quan trọng để nhận được hai bài báo:
[1] Ông Văn Tuyên và Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính
chất mới của không gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học và Giáo
dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept.
[2] Ông Văn Tuyên và Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất
đếm được thứ nhất của không gian con cầu trường được”, Tạp chí Khoa
học và Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, em sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không
gian tôpô như định nghĩa, lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian

tôpô, bao đóng của tập hợp. Đồng thời, em còn đề cập tới định nghĩa
và định lý liên quan tới ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, ánh xạ mở, phép
đồng phôi và không gian compact, không gian chính quy, nhằm phục vụ
cho việc chứng minh các bổ đề và định lý trong Chương 2.

1.1

Không gian tô pô

Định nghĩa 1.1.1 [10] Cho một tập X. Một họ τ các tập con của
X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:

(1) X và ∅ thuộc τ ;
(2) Hợp tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ;
(3) Giao hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ.


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô.
Để chỉ rõ τ là tôpô của của không gian tôpô X, ta viết (X, τ ).
Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập U ∈ τ được gọi là một tập mở
của X. Tập con F của X được gọi là một tập đóng nếu X\F là tập mở.

Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:
1. ∅, X là các tập mở;
2. Hợp tùy ý các tập mở là tập mở;
3. Giao hữu hạn các tập mở là tập mở.

Ví dụ 1.1.1 Với mọi tập X, P (X) = {U : U ⊂ X} là một tôpô trên
X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian

rời rạc.
Ví dụ 1.1.2 Với mọi tập X, τ = {∅, X} là một tôpô trên X, gọi là
tôpô thô.
Ví dụ 1.1.3 Cho X là một tập. Một hàm d : X 2 −→ R là một mêtric
trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
(1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x);
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Một tập X cùng với một mêtric d trên X gọi là không gian mêtric
(X, d); d(x, y) gọi là khoảng cách từ x đến y.

Với mỗi a ∈ X và ε > 0, đặt B(a, ε) = {x ∈ X|d(x, a) < ε},
B(a, ε) gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε. Tập con G của X là

mở nếu với mọi a ∈ G tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ G.
Với mọi không gian mêtric (X, d), họ các tập mở theo mêtric d
là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không

gian mêtric luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.

1.1.1

Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không
gian tôpô

a) Lân cận:
Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X , A ⊂ X.
Khi đó:
∗ Tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn

tại tập mở V sao cho A ⊂ V ⊂ U.
∗ Nếu lân cận U của A là tập mở thì U được gọi là lân cận mở

của A.
∗ Nếu A = {x} thì U được gọi là lân cận của x.

Nhận xét 1.1.2 ∗ Nếu tập U là mở thì U là lân cận của mọi điểm
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

thuộc nó.
∗ Nếu U , V là hai lân cận của x thì U ∩ V là lân cận của x.

∗ Nếu U là lân cận của x và U ⊂ V thì V cũng là lân cận của
x.
∗ Tập A là mở khi và chỉ khi với mọi điểm x ∈ A, tồn tại lân

cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ A.
b) Cơ sở lân cận:
Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Một họ
Ux các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu

với mọi lân cận V của x đều tồn tại một lân cận U ∈ Ux sao cho
U ⊂ V.

Chú ý 1.1.1 Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được
thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X đều có cơ sở lân cận đếm được.
c) Cơ sở của tôpô:

Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Một họ con
B của τ được gọi là một cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng

hợp của một họ các tập thuộc B. Nói cách khác, họ con B của τ là
cơ sở của τ nếu với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao
cho x ∈ V ⊂ U.
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

1.1.2

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Bao đóng của tập hợp

Định nghĩa 1.1.5 Cho A là tập con của không gian tôpô X. Khi
đó, giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A. Kí
hiệu: A hoặc Cl(A)

Mệnh đề 1.1.1 Một số tính chất của bao đóng tập hợp:
• Bao đóng của A luôn tồn tại;
• A là tập đóng nhỏ nhất chứa A;
• Nếu A ⊂ B thì A ⊂ B;
• A ∪ B = A ∪ B;
• A ∩ B ⊂ A ∩ B;
• (A) = A;
• Tập A đóng khi và chỉ khi A = A

Định lý 1.1.1 Cho A là tập con của không gian tôpô X và x ∈ X.
Khi đó, điểm x ∈ A nếu và chỉ nếu với mọi lân cận mở U của x, ta
có U ∩ A = ∅.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

1.2

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f :
(X, τ ) → (Y, σ). Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu

với mọi lân cận (mở) U của f (x0 ) trong Y đều tồn tại lân cận (mở)
V của x0 trong X sao cho f (V ) ⊂ U.

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi
điểm x ∈ X.

Định lý 1.2.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f :
(X, τ ) → (Y, σ). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(1) f liên tục trên X.
(2) Tạo ảnh của tập mở trong Y là tập mở trong X.
f −1 (U ) ∈ τ, ∀U ∈ σ.

(3) Tạo ảnh của tập đóng trong Y là tập đóng trong X.
(4) f (A) ⊂ f (A), ∀A ⊂ X.
(5) f −1 (B) ⊂ f −1 (B), ∀B ⊂ Y.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp

1.3

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép
đồng phôi

Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f :
(X, τ ) → (Y, σ). Khi đó,
f được gọi là ánh xạ mở nếu mọi tập mở U trong X, f (U )

là tập mở trong Y. Nói cách khác, ánh xạ f được gọi là mở nếu
f (U ) ∈ σ, ∀U ∈ τ.
f được gọi là ánh xạ đóng nếu mọi tập đóng F trong X, f (F )

là tập đóng trong Y.
Ánh xạ f được gọi là phép đồng phôi nếu f là song ánh và f,
f −1 liên tục.

Định lý 1.3.1 Cho f : (X, τ ) → (Y, σ) là một song ánh, liên tục.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là phép đồng phôi;
(ii) f là ánh xạ mở;
(iii) f là ánh xạ đóng.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

1.4

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Không gian con

Định nghĩa 1.4.1 Cho (X, τ ) là không gian tôpô và A là một tập
con của X. Khi đó, họ τA = {U ∩ A|U ∈ τ } là một tôpô trên A, gọi
là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X.
Không gian (A, τA ) gọi là không gian con của không gian tôpô
X.

Định lý 1.4.1 Cho (A, τA ) là không gian con của (X, τ ), E ⊂ A.
Khi đó, E đóng trong (A, τA ) khi và chỉ khi tồn tại tập F đóng trong
(X, τ ) sao cho E = A ∩ F.

1.5

Không gian compact

Định nghĩa 1.5.1 [10] Cho (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X. Khi
đó, tập con A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong
X đều có phủ con hữu hạn.

Không gian tôpô X gọi là không gian compact nếu X là tập compact.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

1.6

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Không gian chính quy

Định nghĩa 1.6.1 [10] Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, X
được gọi là không gian chính quy nếu với mọi điểm x ∈ X và với mọi
tập con F đóng trong X không chứa x, tồn tại các lân cận U của x,
V của F sao cho U ∩ V = ∅.

Định lý 1.6.1 Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, X là không
gian chính quy khi và chỉ khi với mọi điểm x ∈ X và với mọi lân cận
mở U của x, tồn tại lân cận mở V của x sao cho x ∈ V ⊂ V ⊂ U.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 15


Chương 2

Tính chất của không

gian cầu trường được
Trong chương này, em sẽ trình bày một số định nghĩa và kết quả của
không gian cầu trường được, để từ đó nêu ra một số kết quả mới của
không gian này mà em nghiên cứu được. Đặc biệt, trong phần này có các
kết quả mới như Định lý 2.2.1, 2.2.2 và 2.2.4 đã được nhận đăng trong
hai bài báo [1] và [2].

2.1

Định nghĩa và một số kết quả liên
quan

Định nghĩa 2.1.1 [3] Nhóm tôpô G là một nhóm G với một tôpô
trên G sao cho ánh xạ tích p : G × G → G xác định bởi p(x, y) = xy


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

và ánh xạ ngược q : G → G xác định bởi q(x) = x−1 với mọi x, y ∈ G
là liên tục.
Định nghĩa 2.1.2 [6] Không gian G được gọi là không gian cầu
trường được nếu tồn tại một phép đồng phôi ϕ : G × G → G × G
và một phần tử e ∈ G sao cho π1 ◦ ϕ = π1 và với mỗi x ∈ G ta có
ϕ(x, x) = (x, e). Trong đó, π1 : G × G → G là phép chiếu lên tọa độ

thứ nhất.
Khi đó, phép đồng phôi ϕ được gọi là một phép cầu trường trên
G và e được gọi là phần tử đơn vị phải của G.

Định lý 2.1.1 [9] Nếu G là nhóm tôpô thì G là không gian cầu
trường được.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm tôpô với phần tử đơn vị e và xét
các ánh xạ ϕ : G × G → G × G xác định bởi ϕ(x, y) = (x, xy −1 ) và
ϕ1 : G×G → G×G xác định bởi ϕ1 (x, y) = (x, y −1 x). Khi đó, để chứng
minh G là không gian cầu trường được ta sẽ chứng minh ϕ là phép đồng
phôi thỏa mãn π1 ϕ = π1 và ϕ(x, x) = (x, e).
Trước tiên, ta chứng minh ϕ là phép đồng phôi. Thật vậy,
(1) Với mọi x, y ∈ G, ta có
ϕϕ1 (x, y) = ϕ(x, y −1 x) = (x, x(y −1 x)−1 ) = (x, xx−1 y) = (x, y)

và
ϕ1 ϕ(x, y) = ϕ1 (x, xy −1 ) = (x, (xy −1 )−1 x) = (x, yx−1 x) = (x, y).

Do đó, ϕϕ1 = 1G2 và ϕ1 ϕ = 1G2 . Như vậy, ϕ là một song ánh.
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

(2) Với mọi x, y ∈ G và ϕ(x, y) = (x, xy −1 ), ta sẽ chứng minh ánh
xạ ϕ liên tục. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của (x, xy −1 ). Khi đó, tồn
tại U1 , U2 lần lượt là lân cận mở của x, xy −1 sao cho U1 × U2 ⊂ U. Bởi
vì U2 là lân cận mở của xy −1 nên tồn tại V1 , V2 lần lượt là lân cận mở
của x, y −1 sao cho V1 V2 ⊂ U2 . Hơn nữa, vì G là nhóm tôpô nên tồn tại

V3 là lân cận mở của y sao cho V3−1 ⊂ V2 . Do vậy, V1 V3−1 ⊂ V1 V2 ⊂ U2 .
Bây giờ, nếu đặt V = V1 ∩ U1 , thì V lân lân cận mở của x,
V × U2 ⊂ U1 × U2 ⊂ U

và
V V3−1 ⊂ V1 V3−1 ⊂ U2 .

Do đó,
ϕ(V, V3 ) = V × (V V3−1 ) ⊂ V × U2 ⊂ U.

Như vậy, ánh xạ ϕ liên tục.
Chứng minh tương tự ta cũng có ϕ1 là ánh xạ liên tục.
Như vậy, ánh xạ ϕ là phép đồng phôi.
Tiếp theo, ta chứng minh π1 ϕ = π1 . Thật vậy, với mọi x, y ∈ G,
π1 ϕ(x, y) = π1 (x, xy −1 ) = x. Do đó, π1 ϕ = π1 .
Cuối cùng, với mọi x ∈ G, ϕ(x, x) = (x, xx−1 ) = (x, e).
Nhận xét 2.1.1 [6] Nếu G là nhóm tôpô thì G là không gian cầu
trường được. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Định lý 2.1.2 [6] Không gian G là cầu trường được khi và chỉ khi
tồn tại hai ánh xạ liên tục p : G × G → G và q : G × G → G sao cho
với bất kỳ x ∈ G, y ∈ G, tồn tại e ∈ G thỏa mãn
p(x, q(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y và q(x, x) = e.
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử ánh xạ ϕ : G × G → G × G là một phép
cầu trường trên không gian cầu trường được G và e là phần tử đơn
vị phải của G. Nếu ta đặt p = π2 ϕ−1 và q = π2 ϕ thì p, q là các ánh
xạ liên tục. Bây giờ, ta sẽ chứng minh với bất kỳ x ∈ G, y ∈ G ta có
p(x, q(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y và q(x, x) = e. Thật vậy, vì π1 ϕ = π1
nên ϕ(x, y) = (x, y ) và ϕ(x, y ) = (x, y) với y , y ∈ G. Do đó,
q(x, p(x, y)) = π2 ϕ(x, p(x, y)) = π2 ϕ(x, π2 ϕ−1 (x, y))
= π2 ϕ(x, π2 (x, y )) = π2 ϕ(x, y ) = π2 (x, y) = y.

Hơn nữa,
p(x, q(x, y)) = π2 ϕ−1 (x, q(x, y)) = π2 ϕ−1 (x, π2 ϕ(x, y))
= π2 ϕ−1 (x, π2 (x, y )) = π2 ϕ−1 (x, y ) = π2 (x, y) = y

và q(x, x) = π2 ϕ(x, x) = π2 (x, e) = e.
Điều kiện đủ. Giả sử p, q là hai ánh xạ liên tục và e ∈ G thỏa điều
kiện p(x, q(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y và q(x, x) = e với mọi x ∈ G, y ∈
G.
Đặt ϕ(x, y) = (x, q(x, y)) và ϕ−1 (x, y) = (x, p(x, y)) với mọi x, y ∈
G.

Trước tiên, ta chứng minh ϕ là một phép đồng phôi. Thật vậy,
(1) Với mọi x, y ∈ G, ta có
ϕϕ−1 (x, y) = ϕ(x, p(x, y)) = (x, q(x, p(x, y))) = (x, y)

và
ϕ−1 ϕ(x, y) = ϕ−1 (x, q(x, y)) = (x, p(x, q(x, y))) = (x, y).

Do đó, ϕϕ−1 = 1G2 và ϕ−1 ϕ = 1G2 . Như vậy, ϕ là một song ánh.

(2) Với mọi x, y ∈ G và ϕ(x, y) = (x, q(x, y)), ta sẽ chứng minh ánh
xạ ϕ liên tục. Thật vậy, với mọi U là lân cận mở của (x, q(x, y)), tồn tại
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

U1 , U2 lần lượt là lân cận mở của x, q(x, y) sao cho U1 ×U2 ⊂ U. Hơn nữa,
vì U2 là lân cận mở của q(x, y) và q liên tục nên tồn tại V1 , V2 lần lượt
là lân cận mở của x, y sao cho q(V1 , V2 ) ⊂ U2 . Nếu ta đặt V = V1 ∩ U1 ,
thì V × U2 ⊂ U1 × U2 ⊂ U và q(V, V2 ) ⊂ U2 . Do đó,
ϕ(V, V2 ) = V × q(V, V2 ) ⊂ V × U2 ⊂ U.

Như vậy, ánh xạ ϕ liên tục.
(3) Với mọi x, y ∈ G và ϕ−1 (x, y) = (x, p(x, y)), ta sẽ chứng minh
ánh xạ ϕ−1 liên tục. Thật vậy, với mọi U là lân cận mở của (x, p(x, y)),
tồn tại U1 , U2 lần lượt là lân cận mở của x, p(x, y) sao cho U1 × U2 ⊂ U.
Hơn nữa, vì U2 là lân cận mở của p(x, y) và ánh xạ p liên tục nên tồn tại
V1 , V2 lần lượt là lân cận mở của x, y sao cho p(V1 , V2 ) ⊂ U2 . Bây giờ,
nếu ta đặt V = V1 ∩ U1 , thì V × U2 ⊂ U1 × U2 ⊂ U và p(V, V2 ) ⊂ U2 .
Do đó,
ϕ−1 (V, V2 ) = V × p(V, V2 ) ⊂ V × U2 ⊂ U.
Do vậy, ánh xạ ϕ−1 liên tục.
Do đó, ánh xạ ϕ là một phép đồng phôi.
Tiếp theo, ta chứng minh π1 ϕ = π1 . Thật vậy, với mọi x, y ∈ G, ta
có π1 ϕ(x, y) = π1 (x, q(x, y)) = x = π1 (x, y). Do vậy, π1 ϕ = π1 .

Cuối cùng, ta chứng minh ϕ(x, x) = (x, e) với mọi x ∈ G. Thật vậy,
với mọi x ∈ G, ta có ϕ(x, x) = (x, q(x, x)) = (x, e).
Theo Định nghĩa 2.1.2 ta suy ra G là không gian cầu trường được.
Nhận xét 2.1.2 [6] Trong Định lý trên, đôi khi chúng tôi viết x.y
thay vì p(x, y) và A.B thay vì p(A, B) với A, B ⊂ G. Khi đó, q(x, y)
là phần tử sao cho x.q(x, y) = y, x.e = x.q(x, x) = x và x.q(x, e) = e.
Bổ đề 2.1.1 Giả sử G là không gian cầu trường được. Cố định x ∈
G, xét các ánh xạ fx : G → G xác định bởi fx (y) = p(x, y) và gx :
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

G → G xác định bởi gx (y) = q(x, y), với mọi y ∈ G. Khi đó, fx và gx

là các phép đồng phôi.
Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh fx và gx là các song ánh. Thật
vậy, với mọi y ∈ G, ta có
fx gx (y) = fx (q(x, y)) = p(x, q(x, y)) = y

và
gx fx (y) = gx (p(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y.

Điều này chứng tỏ rằng fx gx = 1G và gx fx = 1G . Do đó, fx và gx là các
song ánh.
Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạ fx liên tục. Thật vậy, với mọi U

là lân cận mở của fx (y) = p(x, y), vì p liên tục nên tồn tại U1 , U2 lần
lượt là lân cận mở của x, y sao cho
fx (U2 ) = p(x, U2 ) ⊂ p(U1 , U2 ) ⊂ U.

Do đó, ánh xạ fx liên tục.
Cuối cùng, ta chứng minh ánh xạ gx liên tục. Thật vậy, với mọi V
là lân cận mở của gx (y) = q(x, y), vì q liên tục nên tồn tại V1 , V2 lần
lượt là lân cận mở của x, y sao cho
gx (V2 ) = q(x, V2 ) ⊂ q(V1 , V2 ) ⊂ V.

Do đó, ánh xạ gx liên tục.
Như vậy, fx và gx là các phép đồng phôi.
Bổ đề 2.1.2 Giả sử G là không gian cầu trường được. Khi đó, V là
lân cận mở của phần tử đơn vị phải e ∈ G, thì với mỗi x ∈ G ta có
x.V là lân cận mở của x.
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Chứng minh. Với mỗi x ∈ G, vì G là không gian cầu trường được nên
nhờ Định lí 2.1.2 ta suy ra x = p(x, q(x, x)) = p(x, e) ⊂ p(x, V ) = x.V.
Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.1.1 ta suy ra fx là ánh xạ mở. Vì vậy x.V =
p(x, V ) = fx (V ) là tập mở trong G. Do đó, x.V là lân cận mở của x.
Định nghĩa 2.1.3 [7] Giả sử A là tập con của không gian cầu trường
được G. Khi đó, A được gọi là không gian con cầu trường được của G

nếu p(A, A) ⊂ A và q(A, A) ⊂ A.

Bổ đề 2.1.3 [6] Giả sử G là không gian cầu trường được. Khi đó,
G là không gian chính quy.

Chứng minh.
Giả sử e là phần tử đơn vị của không gian cầu trường được G và
U ∈ Ue . Khi đó, vì p(e, e) = e và p là ánh xạ liên tục nên tồn tại
O1 , O2 ∈ Ue sao cho p(O1 × O2 ) ⊂ U. Do đó, với V
O1 ∩ O2 , ta có
(e, e) ∈ p(V × V ) ⊂ U.
Lấy bất kì x ∈ V . Do q(x, x) = e nên tồn tại O ∈ Ue thõa mãn
q(xO, x) ⊂ V. Hơn nữa, ta có xO là một lân cận mở của x, vì vậy
(xO) ∩ V = ∅. Suy ra tồn tại y ∈ O, v ∈ V sao cho xy = v. Do đó ta
có:
x = (xy).q(xy, x) ∈ vV ⊂ p(V × V ) ⊂ U.

Suy ra V ⊂ U. Vậy G là không gian chính quy.
Định nghĩa 2.1.4 X được gọi là k − F rechet − U rysohn tại x ∈ X
nếu với mọi tập con U mở trong X, tồn tại xn ⊂ U sao cho xn −→ x.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển

Định nghĩa 2.1.5 Giả sử ξ và µ là hai họ gồm những tập con khác
∅ nào đó của X.
(1) ξ được gọi là một bộ lọc trên X nếu với bất kì A ∈ ξ và
B ∈ ξ, ∃C ∈ ξ sao cho C ⊂ A ∩ B.

(2) Bộ lọc ξ trên X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu với mọi
lân cận mở của x đều chứa một phần tử của ξ.
(3) Nếu x ∈ X và x ∈

P : P ∈ ξ với ξ là bộ lọc trên X, ta nói

rằng ξ tụ tại x hay x là một điểm tụ của ξ.
(4) Hai lọc ξ và µ được gọi là đồng bộ nếu với mọi A ∈ ξ và
B ∈ µ, A ∩ B = ∅.

(5) Một dây xích trong X là một lọc ξ trong X sao cho với mọi
A, B ∈ ξ thì A ⊂ B hoặc B ⊂ A.

Một dây xích ξ gồm những tập con mở của X được gọi là một
tổ trong X.

Định nghĩa 2.1.6 Ta có các định nghĩa sau đây:
(1) X được gọi là song dãy nếu với mọi bộ lọc ξ trong X và mỗi
điểm tụ x của ξ, tồn tại một lọc đếm được µ trong X hội tụ đến x
và đồng bộ với ξ.
(2) X được gọi là biradial nếu với mọi lọc ξ trong X tụ tại x ∈ X
tồn tại một dây xích trong X hội tụ đến x và đồng bộ với ξ.
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín

Trang 23