KHOA SƯ PHẠM TOÁN TIN - Chuyên đỀ báo cáo môn EUCLID

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TOÁN – TIN


Chuyên đề báo cáo môn EUCLID

Họ và tên: Thái Thị Thu Ngân
Chuyên ngành: Sư phạm Toán – Tin
Lớp: ĐHSPTOAN15A
Khoá: 2015- 2019
Giảng viên hướng dẫn: thầy Trần Lê
Nam


Đồng tháp – 2017


PHẦN 1: Trả lời câu hỏi.
Chương 4: Bài 1: KHÔNG GIAN EUCLID
Câu 1: Định nghĩa không gian Euclid? Không gian Euclid và không gian Affine
khác nhau ở những điểm nào?
- Một không gian Affine thực được gọi là không gian Euclid n ếu không
gian vector liên kết là một không gian vector Euclit.
- Không gian Euclid và không gian Affine khác nhau ở ch ỗ không gian
Euclid có nền là không gian vector được trang bị thêm một tích vô
hướng.
Câu 2: Định nghĩa mục tiêu trực chuẩn trong không gian Euclid? To ạ đ ộ tr ực
chuẩn?
- Một mục tiêu Affine của gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu c ơ s ở tương
ứng là cơ sở trực chuẩn của .
- Toạ độ của điểm M E đối với mục tiêu trực chuẩn được gọi là toạ độ

trực chuẩn.
Câu 3: Giả sử M (xi), N (yi) đối với mục tiêu trực chuẩn thì được xác định bởi
những công thức nào? Tại sao?
- Trong En, xét công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu trực chuẩn sang mục
tiêu trực chuẩn là
.
Do A là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn nên
A là một ma trận trực giao.
Câu 4: Ma trận của phép đổi mục tiêu trực chuẩn trong không gian Euclid là
ma trận gì? Tại sao?
- Ma trận của phép đổi mục tiêu trực chuẩn trong không gian Euclid là
ma trận trực giao.
Câu 5: Định nghĩa hai cái phẳng trực giao? Bù trực giao và đối tr ực giao?
- Hai phẳng và trong không gian Euclid E gọi là trực giao nếu ph ương
của chúng là các không gian vector con trực giao.
- Nếu các phương , bù trực giao trong ta nói và bù trực giao v ới nhau.
- Hai phẳng được gọi là đối trực giao nếu các phẳng bù tr ực giao v ới
chúng là trực giao với nhau.


Câu 6: Cho hình hộp đứng , hãy chỉ ra những phẳng trực giao , bù trực giao,
đối trực giao? Hai mặt phẳng và có trực giao với nhau không? T ại sao?

Câu 7: Hai cái phẳng trực giao trong không gian có nhiều nhất bao nhiêu
điểm chung? Chứng minh?
- Hai cái phẳng trực giao trong không gian có không quá một đi ểm
chung.
- Chứng minh:
1
Giả sử: :

Ta được không trực giao . Vậy và cũng không trực giao.
Nên và có nhiều nhất một điểm chung.
Câu 8: Hai cái phẳng bù trực giao trong không gian có bao nhiêu đi ểm chung?
Chứng minh?
- Hai cái phẳng bù trực giao có một điểm chung
- Chứng minh: Giả sử
Dim = dim +dim +1 – dim
= n+1 – 0 =n +1 n (vô lý )
Do đó


Câu 9: Hai cái phẳng , cùng bù trực giao với một cái ph ẳng thì hai cái ph ẳng
có quan hệ gì ?
- Có thể đối nhau hoặc song song.
Câu 10: Qua một điểm M cho trước có bao nhiêu (n – m)-ph ẳng bù tr ực giao
với m-phẳng ? Tại sao?
- Qua một điểm M cho trước có một và chỉ một (n – m)- phẳng bù trực
giao với một m-phẳng đã cho.
- Chứng minh: là phần bù trực giao của
đi qua A có phương . Khi đó là (n – m)-ph ẳng bù vuông góc v ới
Giả sử (n – m)-phẳng cùng bù trực giao với và song song theo đ ịnh lí
1.2.4
Mà và cùng số chiều và có cùng 1 điểm chung
.

BÀI 2: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH
Câu 1: Định nghĩa khoảng cách giữa hai cái phẳng? Cho và là hai cái ph ẳng
trong không gian . Với mọi điểm M và N , hai giá trị và có quan h ệ gì?

- Khoảng cách giữa hai điểm M, N trong , kí hiệu là đ ộ dài của vector
- Khoảng cách giữa 2 phẳng và trong kí hiệu là số , ,. Nh ư vậy:
Câu 2: Hai cái phẳng và trong không gian Euclid có đ ường vuông góc chung
khi nào? Khi nào, đường vuông góc chung đó là duy nh ất?
- Trong cho hai phẳng và là đường thẳng cắt . Nếu vuông góc c ả thì
được gọi là đường vuông góc chung của .
Nếu thì đường vuông góc chung là duy nhất.
Câu 3: Để xác định phương trình đường vuông góc chung của trong không
gian Euclid , chúng ta phải th ực hiện những bước nào? Cho ví dụ minh ho ạ?
- Ta thực hiện những bước sau:
B1: Tìm phương của .
B2: Lấy một điểm tổng quát A trên và một điểm tổng quát B trên .
B3: Dựa vào điều kiện tìm A và B.
B4: Đường vuông góc chung là đường thẳng qua A (hoặc B) nhận vector
làm vector chỉ phương.
- Ví dụ minh hoạ: Trong với mục tiêu trực chuẩn đã cho, cho m ặt ph ẳng
đi qua ba điểm và đường thẳng đi qua hai điểm . Viết ph ương trình
đường vuông góc chung của , tính độ dài đường vuông góc chung.
Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua có vector chỉ ph ương là:

Phương trình tham số của đường thẳng nhận làm vector chỉ phương là:

Gọi sao cho là đường vuông góc chung của . Khi đó ta có:

Do đường thẳng là đường vuông góc chung của mặt phẳng và đ ường
thẳng nên

Thay vào toạ độ của ta có và

Ta được phương trình tham số :

Khoảng cách của và là .
Câu 4: Định nghĩa hình chiếu trực giao của điểm lên -ph ẳng ? Nếu thì hình
chiếu của nó là điểm nào?
- Trong không gian Euclid , cho điểm và -phẳng gọi là cái ph ẳng c ủa bù
trực giao với .

Khi đó, cắt nhau tại được gọi là hình chiếu tr ực giao c ủa M lên
- Nếu thì hình chiếu của nó cũng chính là nó.
Câu 5: Để tính khoảng cách của hai cái phẳng song song nhau trong không
gian Euclid , chúng ta phải th ực hiện các bước nào?
1. khi đó
2. . Khi đó có đường vuông góc chung , với Gọi là một c ơ s ở bất kỳ c ủa .
Khi đó ta có
Do nên
Chú ý rằng nên ta có

Từ đó suy ra

Câu 6: Trong không gian vector Euclid cho các vector . Hãy tính đ ịnh th ức
Gram của 3 vector đã cho.


=0
Câu 7: Công thức tính khoảng cách của 2 điểm và khoảng cách gi ữa hai cái
phẳng trong không gian Euclid .
- Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm (tích vô h ướng chính t ắc).
- Công thức tính khoảng cách giữa hai cái phẳng .

Câu 8: Chứng minh công thức xác định khoảng cách gi ữa hai cái phẳng trong
không gian Euclid .
1. khi đó .
2. . Khi đó có đường vuông góc chung , với . Gọi là m ột c ơ s ở b ất kỳ
của . Khi đó ta có
Do nên
Chú ý rằng nên ta có

Từ đó suy ra
Câu 9: Để tính khoảng cách giữa hai cái phẳng trong không gian Euclid chúng
ta phải thực hiện những bước nào?
- Ta thực hiện những bước sau:
B1: Lấy các điểm và .
B2: Chọn một cơ sở của .
B3: Tính hai định thức và .
B4: Suy ra khoảng cách bằng
Câu 10: Công thức xác định khoảng cách từ điểm đến siêu ph ẳng . Ch ứng
minh công thức ?

M


được gọi là một vector pháp tuyến của siêu phẳng nếu nó tr ực giao v ới m ọi
vector chỉ phương : .
là vector pháp tuyến
: ,.
,
.

, ta được:

Ta có . Gọi là hình chiếu của lên . Khi đó:

Câu 11: Để tìm góc của 2 đường thẳng trong không gian , chúng ta ph ải th ực
hiện những bước nào?
- Ta thực hiện những bước sau:


B1: Tìm hai vector chỉ phương của .
B2: áp dụng công thức:
Câu 12: Để tìm góc của 2 siêu phẳng trong không gian , chúng ta th ực hi ện
những bước nào?
- Ta thực hiện những bước sau:
B1: Tìm hai vector pháp tuyến của .
B2: áp dụng công thức:
Câu 13: Để tìm góc giữa đường thẳng và siêu phẳng trong không gian , chúng
ta thực hiện những bước nào?
- Ta thực hiện những bước sau:
B1: Tìm vector chỉ phương của đường thẳng .
B2: Tìm vector pháp tuyến của siêu phẳng .
B3: áp dụng công thức :
Câu 14: Phát biểu công thức tính thể tích của m- h ộp và m- đ ơn hình? Cho ví
dụ minh hoạ trong .
- Giả sử lần lượt là m- hộp và m- đơn hình được sinh ra b ởi m vector . Ta
định nghĩa:


Chương 5: Bài 1: ÁNH XẠ ĐẲNG CỰ VÀ BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ
Câu 1: Định nghĩa ánh xạ đẳng cự, đẳng cấu đẳng cự, phép bi ến đổi đẳng c ự.

- Cho là hai không gian Euclid. Ánh xạ Affine gọi là ánh x ạ đ ẳng c ự t ừ
vào nếu là ánh xạ tuyến tính trực giao.
- Nếu là song ánh, tức là là một đẳng cấu tuyến tính tr ực giao, ta nói là
một đẳng cấu đẳng cự. Khi đó gọi là hai không gian đ ẳng cấu đ ẳng c ự.
- Một tự đẳng cấu đẳng cự từ vào chính nó gọi là một biến đổi đẳng cự.
Câu 2: Điều kiện cần để có một ánh xạ đẳng cự từ không gian Euclid là gì?
Hai không gian Euclid đẳng cấu với nhau khi nào?
- , được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu:
- Hai không gian Euclid đẳng cấu với nhau khi là một đẳng cấu tuy ến
tính trực giao.
Câu 3: Tính chất hình học đặc trưng của ánh xạ đẳng c ự là gì? Ch ứng minh?
- Một ánh xạ Affine trên không gian Euclid là một ánh xạ đẳng cự khi và
chỉ khi nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là: .
- trực giao .
Chứng minh:

Khi đó trên sao cho


Câu 4: Biểu thức của phép biến đổi đẳng cự đối với một mục tiêu tr ực chu ẩn
có dạng như thế nào?
- Một biến đổi đẳng cự sẽ có phương trình:
Câu 5: Có mấy loại phép biến đổi đẳng cự? Đó là nh ững loại nào?
- Có 2 loại phép biến đổi đẳng cự. Nếu det ta nói là phép d ời lo ại 1, hay
phép dời thuận. Nếu det ta nói là phép dời loại 2, hay phép d ời ngh ịch.
Câu 6: Tích của hai phép biến đổi đẳng cự là một phép biến đổi đẳng c ự lo ại
1 khi nào?
- Tích của hai phép biến đổi đẳng cự cùng loại thì là phép bi ến đ ổi đ ẳng
cự loại 1.
Câu 7: Biểu thức toạ độ dạng chính tắc của phép biến đổi đẳng c ự ?

Câu 8: Nhắc lại định nghĩa điểm bất động? Phương bất động? Ch ứng minh
định lý 5.1.3.2
- Cho là một phép biến đổi đẳng cự.
1. Điểm được gọi là điểm bất động của .
2. Vector được gọi là vector bất động của nếu
Ta kí hiệu.
- Chứng minh định lý 5.3.1.2:
1. Nếu Inv thì tồn tại một điểm I của sao cho . Gọi là cái ph ẳng qua và
có phương Inv. Khi đó:

Vậy Inv.


2. Giả sử biểu thức toạ độ của đối với mục tiêu nào đó của có dạng là
điểm bất động của khi và chỉ khi
Do Inv nên det . Do đó, phương trình có nghiệm duy nh ất hay là có
một điểm bất động.
Câu 9: Định nghĩa phép đối xứng qua m- phẳng? Chứng minh nó là m ột phép
biến đổi đẳng cự? Nó là phép biến đổi đẳng cự loại mấy? Minh hoạ phép đồi
xứng qua 1- phẳng trong không gian ? Khi nào phép biến đ ổi đ ẳng c ự tr ở
thành phép đối xứng qua m- phẳng?

- Trong không gian Euclid cho m- phẳng
,=n
bù trực giao với . Khi đó cắt tại điểm . Gọi là đi ểm sao cho . Phép đ ặt
tương ứng mỗi điểm M với mọi điểm theo quy tắc trên được gọi là
phép đối xứng theo quy tắc .
- Phép đối xứng qua M là phép biến đổi đẳng cự.
Do là một m- phẳng nên ta có thể chọn một mục tiêu trực chuẩn sao

cho đối với mục tiêu đó có phương trình dạng:
Giả sử
Toạ độ giao điểm của là nghiệm của hệ phương trình:

có ma trận
trực giao.
Từ đó suy ra phép đối xứng qua H m- phẳng là phép đẳng c ự.


- Trong , đối xứng qua 1 điểm là phép biến đổi đẳng c ự loại 1. Đ ối x ứng
qua 1 đường thẳng là phép biến đổi đẳng cự loại 2.
Trong , đối xứng qua 1 đường thẳng là loại 1. Đối x ứng qua 1 đi ểm
hoặc qua 1 mặt phẳng là loại 2.
- Minh hoạ phép đối xứng qua 1- phẳng trong không gian .

Ta có định thức:
Vậy là phép biến đổi dẳng cự loại 2.
- Phép biền đổi đẳng cự giữ bất động mọi điểm của siêu phẳng thì đ ược
gọi là phép đối xứng.
Câu 10: Định nghĩa phép quay quanh - phẳng? Nó là phép bi ến đ ổi đ ẳng c ự
loại mấy? Nó có điểm bất động nảo hay không? Có ph ương bất đ ộng hay
không? Là phép biến đổi loại mấy?
1. Do phép đối xứng qua siêu phẳng là phép dời loại 2, nên phép quay
quanh - phẳng là một phép dời loại 1.
2. Phép quay quanh - phẳng giữ bất động mọi điểm của . Ngược l ại, m ột
phép dời loại 1 giữ bất động một - phẳng sẽ là một phép quay quanh .
Khi đó ta có thê chọn hai siêu phẳng bằng nhiều cách khác nhau đ ể
tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng .

Bài 2: PHÂN LOẠI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ TRONG

Câu 1: Định nghĩa phép đối xứng trượt? Nó là phép dời hình loại m ấy? Có
điểm bất động, phương bất động không?
- Trên mặt phẳng Euclid cho là một phép đối xứng qua đ ường th ẳng d.
Tích của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến v ới gọi là m ột phép
đối xứng trượt.
- Khi = 0 phép đối xứng trượt là một phép đối x ứng. Phép đ ối x ứng tr ượt
là một phép dời hình loại 2.
- Phép đối xứng trượt không có điểm bất động.
Câu 2: Định lý phân loại các phép biến đổi đẳng cự? Ch ứng minh?


1. Mọi phép phản chiếu trong đều là phép đối xứng tr ượt hoặc đ ặc bi ệt
là phép đối xứng.
2. Mọi phép dời của hoặc là phép tịnh tiến hoặc là một phép quay. Trong
trường hợp là phép quay góc và có biểu thức to ạ độ có dạng:
Thì ta có
Câu 3: Cho ví dụ về phân loại chính tắc phép biến đổi đ ẳng c ự lo ại 1 (không
tầm thường)? Phép biến đổi đẳng cự loại 2?
- Ví dụ: Trong không gian Euclid cho , đối với một mục tiêu tr ực chu ẩn
cho phép biến đổi Affine có biểu thức tọa độ dạng:

Bài 3: PHÂN LOẠI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ TRONG
Câu 1: Xây dựng định nghĩa phép đối xứng trượt trong không gian ? Nó có
điểm bất động , phương bất động không? Nó có điểm bất đ ộng, ph ương b ất
động không? Nó là phep dời hình loại mấy? Để xác định phé đối x ứng tr ượt,
chúng ta phải biết những yếu tố nào?
- Phép đối xứng trượt là tích của một phép đối xứng qua mặt phẳng và
một phép tịnh tiến với .
- Phép đối xứng trượt là phép dời loại 2.
- Phép đối xứng trượt không có điểm bất động. Mọi vector đều là

phương bất động của .
- Với mọi điểm gọi là ảnh của qua phép đối xứng tr ượt và I là giao
điểm của và . Khi đó I là trung điểm của .
Câu 2: Xây dựng định nghĩa phép đối xứng quay trong ? Nó có đi ểm bất đ ộng
không? Nó là phép dời hình loại mấy? Để xác định phép đ ối x ứng quay, chúng
ta phải biết những đối tượng nào?
- Phép đối xứng quay trong không gian là tích của m ột phép đối x ứng
qua mặt phẳng và một phép quay quanh đường thẳng d trực giao v ới .
Mặt phẳng được gọi là nền của phép quay; đường th ẳng d đ ược g ọi là
trục quay; góc của phép quay quanh đường thẳng d được gọi là góc
quay của phép đối xứng quay.
- Phép đối xứng quay là phép dời loại 1.


- Phép đối xứng quay có một điểm bất động duy nhất đó là giao đi ểm
của mặt phẳng và đường thẳng d.
- Vector là một vector chỉ phương của đường thẳng d khi và chỉ khi
- Nếu biểu thức toạ độ của phép quay quanh đường thẳng có dạng
thì góc quay của được xác định bởi biểu thức
Câu 3: Xây dựng định nghĩa phép xoắn ốc trong không gian ? Nó có đi ểm b ất
động, phương bất động không? Nó là phép dời hình loại mấy? Để xác đ ịnh
phép xoắn ốc, chúng ta phải biết những yếu tố nào?
- Phép xoắn ốc là tích của một phép quay quanh đường th ẳng d v ới một
phép tịnh tiến , với . Đường thẳng d được gọi là trục quay; góc của phép
quay quanh đường thẳng d được gọi là góc quay; vector được gọi là
vector trượt.
- Phép xoắn ốc là một phép dời loại 1.
- Phép xoắn ốc không có điểm bất động nào.
- Vector là một vector chỉ phương của đường thẳng d khi và chỉ khi .
- Nếu biểu thức toạ độ của phép xoắn ốc có dạng thì góc quay của

được xác định bởi biểu thức:
Câu 4: Công thức xác định góc quay của các phép quay quanh đ ường th ẳng
xoắn ốc, đối xứng quay, giống và khác nhau ở những điểm nào?
- Công thức xác định góc quay của phép đối xứng quay:
- Công thức xác định góc quay của phép xoắn ốc:
- Giống nhau là đều dựa vào vết của ma trận A, khác nhau ở chỗ thêm
bớt ½.
Câu 5: Định lý phân loại chính tắc các phép biến đổi đẳng c ự trong không
gian ? Chứng minh định lý đó?
1. Mọi phép dời loại 1 trong hoặc là phép tịnh tiến, hoặc phép quay
quanh đường thẳng , hoặc là một phép xoắn ốc.
2. Mọi phép dời loại 2 trong hoặc là phép đối xứng hoặc là m ột phép đ ối
xứng trượt hoặc là một phép đối xứng quay.
Câu 6: Cho ví dụ về phân loại chính tắc phép biến đổi đ ẳng c ự lo ại 1, lo ại 2
trong không gian ?


- Ví dụ: Trong không gian Euclid cho cho phép biến đổi đẳng c ự có bi ểu
thức toạ độ đối với mục tiêu trực chuẩn dạng.
Hãy cho phép là phép gì?
Ma trận của đối với mục tiêu đã cho có dạng.
Do nên là phép biến đổi đẳng cự loại 1.
Toạ độ điểm bất động của nếu có là nghiệm của hệ phương trình:
Vô nghiệm.
Suy ra không có điểm bất động. Do đó là một phép xoắn ốc.
Góc quay của thoả
Giả sử là một vector chỉ phương của trục quay. Khi đó, ta có:
nằm trên trục quay
Hệ phương trình có nghiệm . Khi đó
Suy ra trục quay có phương trình

Vector trượt
Vậy là phép xoắn ốc