BAO CAO THAM LUN v CACH GII PHNG TR

BÁO CÁO THAM LUẬN VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC
CẤP.
Hai Riêng, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Người viết
Tổ toán trường THPT Nguyễn Du, Sông Hinh, Phú Yên

Phương trình, hệ phương trình là một bài toán bắt buộc trong các đề thi ( Đại
học, học sinh giỏi toán, ...). Hiện nay có rất nhiều phương pháp để giải bài toán
này, vấn đề đặt ra cần xây dựng một con đường( suy luận) ngắn nhất, cách giải cơ
bản chung nhất để tìm ra lời giải cho bài toán. Theo quan điểm cá nhân, chúng tôi
xin trình hai bước suy luận cơ bản như sau:
I. Bước 1:
- Phương trình: Biến đổi ( thêm bớt, nhân phương trình với lượng hợp lý ) và ẩn
phụ ( tạo ra phương trình hoặc hệ phương trình mới )
- Hệ phương trình: Biến đổi về dạng cơ bản ( đối xứng, đồng bậc) hoặc ẩn phụ.
Ví dụ về phương trình.
* Đặt 2 ẩn phụ và chuyển về hệ phương trình 2 biến u, v:
Giải phương trình:

2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0

(ĐH 2009 A)

VD 1.
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u = 3 3x − 2, v = 6 − 5 x
Giải phương trình:
HSG Trà
2
2
9x

−
3
=
4x
+
5x
+
1
−
2
x
−
x
+
1
VD 2.
Vinh 2013)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u = 4x 2 + 5x + 1; v = x 2 − x + 1
Giải phương trình:
(HSG Phú Yên 2003)
5 1 + x 3 = 2(x 2 + 2)
VD 3.
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u = x + 1, v = x 2 + x + 1
1
1 (HSG Phú Yên 2002)
+ 1−
VD 4.
x
x
1

1
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u = x − ; v = 1 −
x
x
Giải phương trình:

x= x−

Trang 1


* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về phương trình 1 biến u:
Giải phương trình:

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x2 + 5x + 3 − 16
VD 5.
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = 2 x + 3 + x + 1
Giải phương trình: 3
4 x − 1 − x 2 − 3x = 0
VD 6.
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến sin u = x hoặc u = 1 − x 2

VD 7.
Giải phương trình:
VD 8.

x + 1 + x 2 − 4x + 1 ≥ 3 x

Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = x +

(ĐH 2012B)

1
( chia 2 vế bất phương trình cho
x

x)

và chuyển bất phương trình về biến u
* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về hệ phương trình 2 biến u, x:
Giải phương trình: 2
( Đề 125, Bộ đề tuyển sinh đại học
x −5 = x +5

VD 9.
1997)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = x + 5 và chuyển về hệ phương trình biến u, x
Giải phương trình: 3
x + 1 = 2. 3 2 x − 1
VD 10.
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = 3 2 x + 1 và chuyển về hệ phương trình biến u, x
Một số tình huống cần thu gọn phương trình trước khi đặt ẩn phụ:
x3 −15 x 2 + 78x −141 = 5.3 2 x − 9
VD 11.
Cách giải: Đặt y = x – a, a là nghiệm của y”,với y = x3 − 15 x 2 + 78 x −141
4
x3 − 2 x2 + x − 2 = 3 81x − 8
VD 12.
3
* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về phương trình ẩn u, tham số x:

Giải phương trình:
(HSG tỉnh Phú Yên năm
6 1 + 2x = x 2 − 6x + 26
VD 13.
1997)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = 2 x + 1 và chuyển phương trình về biến u,
tham số x
Giải phương trình: 2
2 x + 2 x + 1 = (4 x − 1) x 2 + 1
VD 14.
Trang 2


Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u = x 2 + 1 và chuyển phương trình về biến u,
tham số x
Giải phương trình: 2
(HSG Long An
x + 6 x + 1 = (2 x + 1) x 2 + 2 x + 3
VD 15.
2013)
Giải phương trình: 2
( HSG Hà Nội
2 x − 2 x + 5 = (−4 x − 1) x 2 + 3
VD 16.
2013)
Nhận xét: Tất cả những cách làm trên có thể thay bằng phương pháp lấy lũy
thừa để khử căn, kết hợp với máy tính cầm tay để tách nhân tử chung.
Ví dụ về hệ phương trình.
* Đối xứng:

VD 17.

VD 18.


y2 + 2
3
y
=

x2
Giải hệ phương trình: 

2
3x = x + 2 (ĐH 2002 B)
2

y

2
2
Giải hệ phương trình: ( x + 1) ( y + 1) = −9 xy ( HSG Phú Yên 2012)
 2
2
( x + 1) ( y + 1) = −10 xy

Giải hệ phương trình:  x + y + 2 xy = 2m + 1co nghiem x > 0, y > 0
 2
2
VD 19.

x y + y x = m
( HSG Phú Yên 2012)
2
3
2
Giải hệ phương trình:  x = y − 4 y + my co nghiem duy nhât ( HSG
 2
3
2
VD 20.
 y = x − 4 x + mx
Phú Yên 2007)
* Đồng bậc:
VD 21.

(2 x − y ) 2 = 4 + z 2
Giải hệ phương trình: ( z − y )2 = 2 + 4 x 2 (Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm

(2 x + z ) 2 = 3 + y 2


2011 – 2012)
 x 2 = a + ( y − z )2
Giải hệ phương trình:  y 2 = b + ( x − z ) 2 (Đề thi HSG Phú Yên 2005)

VD 22.
 z 2 = c + ( y − x)2


Trang 3

Giải hệ phương trình:  7 x + y − 2 x + y = 4 (Đề thi HSG Thái

VD 23.
2 2 x + y − 5 x + 8 = 2
Nguyên 2013)
*Ẩn phụ:
2
Giải hệ phương trình: ( x + 1) + ( x + 1) 2 + y + y − 5 = 0 (Đề thi HSG Phú


 x + 92 + x) 2 + y − 4 = 0
Yên 2013 - 2014 ) ( u = 2 + y ; v = x + 1 )

VD 24.

Giải hệ phương trình:  3x + y + x + y = 2 (Đề thi HSG Quảng Ninh


 x − y + x + y = 1
2011 - 2012 Bảng B ) ( u = 3x + y ; v = x + y )

VD 25.

3
Giải hệ phương trình:  x + y = 2


3

VD 26.
 x + 2 x + x + y + xy + 1 = 5
Yên 2011 - 2012 ) ( u = x + 1; v = 1 + y )

(Đề thi HSG Hưng

II. Bước 2:
- Phương trình: Nhân tử chung(*) và đánh giá ( hàm số (*) hoặc bất đẳng
thức(**))
- Hệ phương trình: Xử lý 1 phương trình(nhân tử chung- bậc hai theo 1 biến; đánh
giá) và thay vào phương trình còn lại( phương trình xử lý là một trong hai
phương trình đã cho, hoặc cộng hai phương trình với hệ số hợp lý)
• Ví dụ về phương trình.
VD 1. Giải phương trình 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0 (*)( ĐH 2010 B)
VD 2. Giải phương trình x3 − 4 = 2 x + 2 (*)( ĐH 2010 D)
VD 3. Giải phương trình 15 + x 2 = 8 + x 2 + 3x − 2(*)(HSG PY03)
VD 4. Giải phương trình x + 1 + x + 4 + x + 9 + x + 16 = x + 100 (*)
VD 5. Giải phương trình 3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15 (*)
VD 6. Giải phương trình 5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1
VD 7.

Giải phương trình 3x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4 (*)

VD 8.
VD 9.

Giải phương trình x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 (*)
Giải phương trình 7 − x + x − 5 = x 2 − 12 x + 38 (*)
Trang 4

VD 10. Giải phương trình 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14 (*)
VD 11. Giải phương trình x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2 (**)
VD 12.

x2 x
Giải phương trình + + 1 = 2 x3 − x 2 + x + 1(**)
2 2
4

VD 13. Giải phương trình x3 – x2 – 8x + 40 = 8 4 x + 4 (**)
VD 14. Giải phương trình x 2 + x − 1 + − x 2 + x + 1 = x 2 − x + 2 (**)
Thu gọn phương trình trước khi xử dụng hàm số
VD 15. Giải phương trình 2 3 2 x − 1 = 27 x3 − 27 x 2 + 13x − 2 ( HSG Hải Dương
2010-2011)
VD 16. Giải phương trình 2 x + 2 = x3 + x 2 − 3x − 1 ( HSG Long An 2010-2011)
VD 17. Giải phương trình 2 x 2 3 5 x − x3 = −2 x3 + 10 x 2 − 17 x + 8 ( HSG Bình Định
2009-2010)
* Ví dụ về hệ phương trình.
Rút trực tiếp một phương trình (*) và thay vào phương trình còn lại:
VD 18.
VD 19.
VD 20.

 x ( y + x + 1) − 3 = 0(*)

(9 D)
5
Giải hệ phương trình: 
2

( x + y ) − x 2 + 1 = 0
 xy + x + 1 = 7 y (*)
(9 B )
Giải hệ phương trình:  2 2
x
y
+
xy
+
1
=
13
xy

4
3
2 2
 x + 2 x y + x y = 2 x + 9
( DH 2008B )
Giải hệ phương trình:  2
 x + 2 xy = 6 x + 6(*)

* Đặt nhân tử chung cho phương trình (*):
VD 21.
VD 22.
VD 23.
VD 24.

2
2

3
5 x y − 4 xy + 3 y − 2( x + y ) = 0
Giải hệ phương trình:  2 2
(ĐH 2011 A)
2
( x + y ) xy + 2 = ( x + y ) (*)

 2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3 x − 2 y + 1 = 0(*)
Giải hệ phương trình:  2 2
(ĐH 2013 B)
 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (*)
Giải hệ phương trình: 
(ĐH 2008 D)
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y
 3 x − y = x − y (*)
Giải hệ phương trình: 
(ĐH 2002 B)
 x + y = x + y + 2
 2 2 x + y = 3 − 2 x − y (*)

VD 25. Giải hệ phương trình: 

2
2
 x − 2 xy − y = 2

(ĐH 2008 D)

Trang 5

VD 26.


( x − y )2
 2x + 1 + 2 y + 1 =
2
Giải hệ phương trình: 
(HSG Bình Phước
( x + y )( x + 2 y ) + 3 x + 2 y = 4(*)


2013)
Sử dụng phương pháp tìm hệ số bất định để tạo ra phương trình cần xử lý:
VD 27.

 x 3 + 3 xy 2 = 25 (1)
[ *: (1) − 3.(2)] (HSG
Giải hệ phương trình:  2
2
 x + 6 xy + y = 10 x + 6 y − 1 (2)

Cần Thơ 2013)
VD 28.

 x 4 − y 4 = 240 (1)
[ *: (1) − 8.(2)]
Giải hệ phương trình:  3
3

2
2
 x − 2 y = 3( x − 4 y ) − 4( x − 8 y ) (2)

(HSG Quốc Gia 2010)
VD 29.

 x 3 + y 3 = −98 (1)
[ *: (1) + 3.(2)] (HSG
Giải hệ phương trình:  2
2
 −3 x + 5 y + 9 x + 25 y = 0 (2)

Quốc Gia 2004)
* Đánh giá phương trình (Hàm số: *; bất đẳng thức:**)
VD 30.
VD 31.
VD 32.

 x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y (*)

Giải hệ phương trình:  2 2
( ĐH 2012 A)
1
x + y − x + y =

2
( y − 3) 5 − 2 y + x(4 x 2 + 1) = 0(*)
Giải hệ phương trình:  2 2
( ĐH 2010 A)

 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7
 x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y (*)
Giải hệ phương trình:  2
( ĐH 2013 A)
2
 x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0

VD 33. Giải hệ phương trình:
 x 2 + 2 y 2 = 4 x − 8 y − 6
(HSG Bắc Giang
 2
2
2
3 x − 8 x + 2( x − 1) x − 2 x + 2 = 2( y + 2) y + 4 y + 5(*)
2013)
VD 34.

 x 3 − y 3 + 3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0(*)
Giải hệ phương trình: 
(HSG Hà Nội
2
2
 2 4 − x − 3 3 + 2 y − y − 3 x + 2 = 0

2013)
 x3 + 2 x 2 = 5 − 2 y
VD 35. Giải hệ phương trình: 
(HSG
(15 − 2 x) 6 − x = (4 y + 9) 2 y + 3(*)
Long An 2013)

VD 2.

2 2
2
 x y − 8 x + y = 0(**)
Giải hệ phương trình:  2
(Đề thi HSG Phú Yên
3
 2 x − 4 x + 10 + y = 0

2010)
Trang 6


VD 3.

 x + y + z = 3

Giải hệ phương trình: 

3
(1 + x)(1 + y )(1 + z ) = (1 + 3 xyz ) (**)

(Đề thi HSG

Phú Yên 2009)
VD 36.

 x(1 − 2 x) + y (1 − 2 y ) = 2 / 9


( HSG QG 09)
2
Giải hệ phương trình:  1 + 1
=
(**)

2
1 + 2 xy
1+ 2 y2
 1 + 2x

HẾT.

Trang 7