Giải BT bằng cách lập PT, HPT

Lời nói đầu
Trong các môn khoa học kỹ thuật Toán học giữ một vị trí nổi bật nó có tác
dụng lớn đối với các ngành khoa học đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến
đấu. Toán học quả là có tác dụng to lớn đối với các ngành khoa học khác vì ngày
nay toán học không chỉ là tập hợp các sự kiện dới dạng định lý mà đó là một hệ
thống các phơng pháp, đó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và phơng pháp trong
các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và đời sống thực tiễn.
Thông qua việc học tập môn toán, học sinh nắm đợc vững hệ thống kiến
thức và phơng pháp toán học cơ bản, phổ thông theo quan điểm hiện đại, biết vận
dụng những kiến thức và phơng pháp toán học vào kỹ thuật, lao động, quản lý kinh
tế, vào việc tự học tự nghiên cứu khoa học.
Hơn nữa chúng ta đều biết toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học khác
vì thế nó đóng vai trò rất quan trọng trong nhà trong phổ thông nó đòi hỏi ngời
thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp để dạy
các em học sinh học toán và giải toán. Trong chơng trình THCS hiện nay hệ thống
bài tập toán rất đa dạng, phong phú và cũng có rất nhiều loại bài tập phức tạp làm
cho học sinh gặp khó khăn trong việc giải chúng. Giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình hoặc hệ phơng trình là một loại toán khó đối với học sinh bởi vì đặc trng
của loại toán này là đề bài thờng bằng lời văn và thờng xen trộn nhiều dạng ngôn
ngữ: ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ vật lý, hoá học, bài thơ
cổ học sinh phải suy luận tốt mới tìm đ ợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến
lập phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Trong chơng trình Tiểu học và THCS bài toán giải phơng trình có mặt hầu
hết từ lớp 1 cho đến lớp 9 đợc cho ở nhiều dạng khác nhau ví dụ nh ở lớp 1, 2 thì
giải phơng trình cho dới dạng điền vào ô trống, toán đố; ở lớp 3 thì bài toán đố tiếp
tục đợc nâng cao hơn về số lơn hơn, kiến thức đa dạng hơn; ở lớp 4, 5, 6 thì dạng
toán đóo đã mở rộng tơng đối phong phú có kiến thứ toàn diện hơn với nội dung
có liên quan đến số học, hình học, toán chuyển động, toán tìm tuổi, toán về đoạn
thẳng, về phần trăm %, toán tính ngợc, toán giải bằng giả thiết tạm nói chung là
cho dới dạng phức tạp hơn nhiều. ở lớp 7, 8, 9 vẫn những mối quan hệ nh trên nh-
ng không gọi là toán đố nữa mà gọi là giải toán bằng cách lập phơng phơng trình

hoặc hệ phơng trình. Muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩ phân tích
lời văn của bài toán để tìm các dữ kiện đã cho yếu tố phải tìm từ đó thiết lập mối
quan hệ dẫn đến lập phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Tuy nhiên trong giới hạn toán học THCS tới lớp 8 học sinh mới có khái
niệm chính thức về phơng trình và cách giải phơng trình bậc nhất một ẩn
số ax + b = 0 (a0) đồng thời làm quen với dạng toán giải bài toán bằng cách lập
phơng trình. Tới lớp 9 học sinh đựơc học thêm về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
số và phơng trình bậc hai một ẩn số dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a0) rồi tiếp tục làm
quen với dạng toán giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Dạng toán này có một đặc thù riêng là hầu hết các bài toán đều gắn liền với nội
dung thực tế. Do vậy khi giải các em học sinh thờng hay mắc sai lầm thoát ly thực
tế dẫn đến dễ quên điều kiện của bài, các em thơng rất khó tìm đợc những quan hệ
toán học trong lời văn của bài toán dẫn đến lúng túng hoặc không lập đợc phơng
trình hoặc hệ phơng trình. Vì thế trong thực tế học sinh rất ngại làm dạng toán này
vì các lý doc nguyên nhân sau đây:
Thứ nhất: Trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ kiến thức theo tinh thần sách giáo khoa mà cha phân loại đợc
các loại toán, mỗi loại lại cha khái quát đợc một đờng lối giải quyết nhất định.
Thứ hai: Trong sách giáo khoa mới chỉ liệt kê các bài toán giải bằng các
lập phơng trình hoặc hệ phơng trình chứ không phân chia theo một trình tự nhất
định cho mỗi loại bài, mỗi dạng bài và trong các bài ấy không có lời giải mẫu.
Thứ ba: Kỹ năng phân tích t duy tổng hợp của học sinh còn yếu trong qúa
trình đặt ẩn, lập phơng trình hoặc hệ phơng trình và giải phơng trình hoặc hệ ph-
ơng trình
Chính vì vậy muốn giải toán loại giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình điều quan trọng nhất là phải biết cách diễn đạt những mối
quan hệ đã cho trong đề bài để hình thành quan hệ toán học. Khi hỡng dẫn cho
học sinh nghiên cứu giải loại toán này phải dựa trên một quy tắc chung là yêu cầu

về giải bài toán. Quy tắc về giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng
trình là phân tích các dạng bài toán, dựa vào sự biến thiên của các đại lợng (tăng,
giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa cá đại l ợng dẫn đến lập phơng
trình hoặc hệ phơng trình đợc dễ dàng.
Trong đề tài của tôi về giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ ph-
ơng trình, tôi chỉ nêu một số quan điểm trong quá trình nghiên cứu giải bài toán
bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình và chọn ra một hệ thống bài tập ở
các dạng khác nhau để thuận lợi cho ngời dạy, ngời học và mục đích chính là giúp
các em học sinh có cách nhìn nhận về loại toán giải bài toán bằng cách lập phơng
trình hoặc hệ phơng trình một cách đơn giản hơn và hứng thú hơn trong việc học
và giải loại toán này.
Trong quá trình viết đề tài do kinh nghiệm, năng lực của bản thân và thời
gian còn hạn chế nên đề tài đợc viết cha đáp ứng đầy đủ nhu cầu của bạn đọc mà
chỉ nêu đợc những dạng toán có tính chất điển hình và không tránh khỏi còn nhiều
thiếu sót. Vì vậy tôi mong đợc nhận nhiều ý kiến đóng góp giúp đỡ từ phía các
thầy cô và ý kiến đóng góp phê bình từ phía bạn đọc và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ninh Bình, ngày 16 tháng 4 năm 2007
Tác giả

Mục lục
Phần thứ nhất: lời nói đầu
Phần thứ hai: nội dung
Chơng I:
Lý Luận chung
I. Phơng pháp nghiên cứu
II. Yêu cầu về lời giải một bài toán.
III. Các căn cứ, các yêu cầu chọn hệ thống bài tập.
Chơng II:
Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng

trình, hệ phơng trình và các giai đoạn giải bài
toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.
I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình, hệ
phơng trình.
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ
phơng trình.
Chơng III:
Những loại toán hớng dẫn học sinh thực hiện giải.
I. Dạng toán chuyển động.
II. Dạng toán có liên quan đến số học.
III. Dạng toán về năng suất lao động (Tỷ số phần trăm).
IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần ( Thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ
số của chúng ).
VI. Dạng toán có liên quan đến hình học.
VII. Dạng toán có nội dung Vật lý, hoá học.
Chơng IV:
Phần thực nghiệm.
Phần thứ ba: kết luận
Chơng I:
Lý Luận chung
I. Phơng pháp nghiên cứu.
Trong chơng trình toán trung học cơ sở ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu
về phơng trình bậc nhất có ẩn số . Giải các bài toán bằng cách lập phơng trình. ở
lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số. Một trong những ph-
ơng pháp hớng dẫn học sinh để giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung để giải
bài toán bằng cách lập phơng trình. Quy tắc này gồm những bớc sau:
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
- Chọn ẩn số: chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn
- Dùng ẩn và dữ kiện đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác, diễn

giải các bộ phận hình thành phơng trình hoặc hệ phơng trình.
- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài mà lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình.
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem xét có thích hợp không sau
đó trả lời bằng đánh số (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có nội dung quy tắc có nghĩa là cách hớng dẫn để giải các loại
toán trên song ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải bài toán này cấn làm
cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu để giải bài toán nói chung.
II. Yêu cầu về lời giải một bài toán.
Yêu cầu 1: Lời giải không sai sót.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này trớc hết ngời giáo viên cần
làm cho học sinh hiểu bài toán, nếu hiểu sai thì dẫn đến đáp số sai, có thể cái sai
sót là rất nhỏ có khi chỉ là những điều kiện của ẩn số. Nếu bỏ qua khi giải xong thì
bài toán có phần nào cha toàn diện.
Ví dụ: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử và mẫu
thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đó.
* Hớng dẫn học sinh: để học sinh hiểu rõ bài toán:
Gọi tử số của phân số phải tìm là x (xZ, x0) : ở đây học sinh dễ nhầm là đặt
điều kiện x > 0 (vì khi thêm cả tử và mẫu 2 đơn vị thì đợc 1/2 > 0). Chính vì thế
mà học sinh chỉ nghĩ xN chứ xZ, nếu tử số là x thì mẫu là 4x.
Theo bài rá ta có phơng trình:
1
22
2442
24)2(2
2
1
24

2
=
=
+=+
+=+=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
Ta có x = 1 thoả mãn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)
Vậy phân số cần tìm là 1/4
Yêu cầu 2: Lời giải của bài toán phải có lập luận.
Lời giải có lập luận là trong quá trình thực hiện từng bớc có logic chặt chẽ
với nhau xác định ẩn khéo léo mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm nổi
bật đợc ý phải tìm. Nhờ mồi liên quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đ-
(1)
ợc phơng trình và hệ phơng trình từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy ngời
giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đợc đau là ẩn số, đâu là dữ kiện? Có thể thoả
mãn đợc điều kiện hay không? Điều kiện đủ để xác định đợc ẩn hay không ? Từ
đó học sinh xác định đợc hớng đi và xây dựng kế hoạch giải.
Ví dụ: Một ôtô du lịch đi từ A đến C , cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên
đoạn đờng AC có một ôtô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ôtô gặp nhau ở C.
Hỏi ôtô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu biết rằng vận tốc ô tô tải bằng 3/5 vân
tốc ôtô du lịch.
* Hớng dẫn học sinh:
- Vẽ hình minh hoạ cho đoạn đờng BC, AC

Ôtô du lịch
B
A Ôtô tải C
- Thời gian ôtô du lịch đi từ A đến C mất bao lâu
- Thời gian ôtô tải đi từ B đến C mất bao lâu
- Nếu thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B là x thì thời gian ôtô du lịch đi từ B
đến C là bao nhiêu giờ? ( 5-x giờ)
- Vận tốc ôtô du lịch là bao nhiêu?
x

5
1
( Quãng đờng BC)
- Vận tốc ô tô tải là bao nhiêu?

5
1
( Quãng đờng BC)
Mà vận tốc của ôtô tải và ôtô du lịch có liên quan nh thế nào? Dựa vào các
mối quan hệ học sinh chọn ẩn và giải.
Lời giải:
Gọi thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B là x (giờ, 0<x<5)
thời gian ôtô du lịch đi từ B đến C là 5 - x (giờ)
Vận tốc của ôtô du lịch là
x

5
1
( Quãng đờng BC)
Vận tốc của ôtô tải là

5
1
( Quãng đờng BC)
Vận tốc của ôtô tải bằng
5
3
Vận tốc của otô du lịch nên ta có phơng trình:
5
1
=
5
3
(
x

5
1
) (1)
1 = 3.
5
3
5 x = 3 x = 2
Đối chiếu với điều kiện đầu bài thì x = 2 là thoả mãn và thoả mãn cả phơng
trình (1).
Vậy thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B hết 2 giờ.
Yêu cầu 3: Lời giải bài toán phải toàn diện.
Giáo viên cần cho học sinh thấy rõ kết quả của bài toán tìm đợc nó phải phù
hợp với mọi cái chung. Nếu ta thay đổi điều kiện bài toán rơi vào điều kiện đặc
biệt thì kết quả luôn luôn đúng.
Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng

4
3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng
thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm
2
.Tính
chiều cao và cạnh đáy.
* Hớng dẫn học sinh:
Giáo viên cần cho học sinh hiểu bất kỳ tam giác nào cũng có:
Diện tích tam giác =
2
1
(cạnh đáy x chiều cao)
Lời giải
Gọi chiều dài cạnh đáy là x (dm, x>0)
Chiều cao của tam giác là:
4
3
x
Ta có phơng trình:
2
1
(x - 2)(
4
3
x + 3) -
2
1
x.
4

3
x = 12
Giải phwong trình ta đợc: x = 20
Ta có x = 20 thoả mãn điều kiện đầu bài
Vậy chiều dài cạnh đáy của tam giác là 20dm, chiều cao của là 15dm.
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản
Đơn giản là phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu ở trên: không sai sót, có lập luận,
mang tính toán diện, đa số học sinh hiểu và làm đợc.
Ví dụ 4: Cha năm nay 48 tuổi, con 16 tuổi. Hỏi bao nhiêu năm nữa tuổi của
cha gấp 9 lần tuổi của con.
* Hớng dẫn học sinh:
Giáo viên gợi ý học sinh có thể hỏi bao nhiêu năm về trớc (quá khứ) để khi
chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn và khi kết quả là nghiệm âm thì học sinh không có gì
là băn khoăn. Mặt khác bao nhiêu năm ở đây cũng có thể gợi ý cho học sinh hiểu
là bao nhiêu năm về sau (tơng lai). Hiểu đợc nh vậy học sinh vững tâm giải, bài
toán trở nên hết sức đơn giản.
Lời giải
Gọi x năm nữa tuổi của cha gấp 9 lần tuổi của con (xZ, x0)
Khi đó x năm nữa tuổi của cha sẽ là 48 + x (tuổi); tuổi con là 16 + x (tuổi)
Theo bài ra ta có phơng trình:
48x = 9(16 + x) (1)
Giải phơng trình ta đợc x = -12
Vậy trớc đó 12 năm, tuổi của cha gấp 9 lần tuổi của con.
Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học.
Khoa học ở đây là mối liên hệ giữa các lời giải trong một bài toán phải logic
chặt chẽ với nhau, các bớc sau là đợc suy ra từ bớc trớc nó đã đợc kiểm nghiệm
chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ 5 : Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16.
Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì đợc một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị.
Tìm số đã cho.

* Hớng dẫn học sinh:
Tóm tắt các dữ kiện đã cho bằng ký hiệu số đã cho
ab
Tổng hai chữ số là 16 nên ta có : a + b = 16
Đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì đợc một số mới là
ba
khi đó ta có:
ba
-
ab
= 18
Yêu cầu học sinh nhắc lại quan hệ thứ tự giữa các số:
ab
= 10a + b
Nếu chữ số hàng chục là a = x thì chữ số hàng đơn vị là b = 16 x
Dựa vào quan hệ để lập phơng trình.
Lời giải
Gọi chữ số hàng chục là x (xN, 1x9) thì chữ số hàng đơn vị là : 16 x
Ta đợc số ban đầu là :
1691610)16(
+=+=
xxxxx
Đổi hai chữ số cho nhau ta đựơc:
xxxxx 9160)16(10)16(
=+=
Theo bài ra ta có phơng trình:
160 9x (9x + 16) = 18 (1)
Giải phơng trình ta có: x = 7
Ta có x = 7 thoả mãn điều kiện đầu bài và thoả mãn điều kiện phơng trình
(1). Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 9 nên số phải tìm là số 79.

Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng.
Lời giải bài toán phải rõ ràng là các bớc lập luận tiến hành lời giải không
chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau. Các bớc giải thật cụ thể, đúng, chính xác
đảm bảo khoa học, kết quả đúng dù tiến hành giải toán bằng nhiều cách.
Ví dụ 6: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các nghịch đảo của
chúng bằng 9/14
* Hớng dẫn học sinh:
Dạng toán này với học sinh thờng lúng túng, dễ nhầm lẫn tổng các số
nghịch đảo với nghịch đảo của một tổng nên từ chỗ nhầm lẫn dẫn đến kết quả sai.
Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là y
Số nghịch đảo của hai số là :
x
1
;
y
1
Lời giải:
Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là y (x, y 0)
Theo bài ra ta có phơng trình :
x + y = 9 (1)
Nghịch đảo của số thứ nhất là :
x
1
Nghịch đảo của số thứ nhất là :
y
1
Ta có phơng trình:
x
1
+

y
1
=
14
9
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:






=+
4
91
x
1
9 =y +x
y




=+
=+
xyyx
yx
91414
9

Ta có y = 9 x thế vào phơng trình còn lại ta đợc phơng trình
14x + 14 (9 x) = 9x(9 x)
14x + 126-14x = 81x = 9x
2
9x
2
81x +126 = 0
x
2
9x +14 = 0
= 81-56 =25
5
=

7
2
59
1
=
+
=
x

2
2
59
1
=

=
x

Ta có x
1
= 7, x
2
= 2 thoả mãn điều kiện của bài toán.
Vậy nếu số thứ nhất là 7 thì số thứ hai là 2
nêú số thứ nhất là 2 thì số thứ hai là 7
III. Các căn cứ, các yêu cầu chọn hệ thống bài tập.
1. Các căn cứ chọn hệ thống bài tập.
- Căn cứ vào mục đích giảng dạy: Bài tập phải rèn luyện đợc kỹ anng t duy,
rèn luyện trí tởng tợng thông minh có những bài tiên nhấn mạnh từng mục đích,
có những bài rèn luyện tính thực tế.
- Căn cứ vào chơng trình, sách giáo khoa, sách hớng dẫn, sách tham khảo...
- Căn cứ vào tình hình cụ thể, chú ý tới tình huống phân hoá các lớp, các tr-
ờng, sự phân hoá trong một lớp học hiện nay.
- Căn cứ vào tình huống dạy học: Vừa dạy xong kiến thức ra bài tập ứng
dụng thờng ra bài tập đơn giản, không răc rối.
Bài tập để ôn tập chơng trình thờng là bài tập tổng hợp. Bài tập cho đội
tuyển thì chọn bài phức tạp hơn, những bài có tính chất tổng hợp kiến thức.
2. Yêu cầu của hệ thống bài tập.
- Bài tập phải đầy đủ, hợp lý cả nội dung và hình thức.
- Bài tập phải vừa sức, có những loại bài tập phù hợp với những đối tợng học
sinh yếu, trung bình, khá và giỏi.
- Bài tập phải cân đối với các bộ môn khác.
- Bài tập có những loại bài riêng cho 6 loại đồng thời, có nững loại bài tập
đan xen theo hai loại.
Chơng II:

Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng
trình, hệ phơng trình và các giai đoạn giải bài
toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình.
I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình,
hệ phơng trình .
Ta có thể chia các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
thành những loại sau
1. Dạng toán chuyển động.
2. Dạng toán có liên quan đến số học.
3. Dạng toán về năng suất lao động (Tỷ số phần trăm).
4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
5. Dạng toán về tỷ lệ chia phần ( Thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng ).
6. Dạng toán có liên quan đến hình học.
7. Dạng toán có nội dung Vật lý, hoá học.
II. các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình,
hệ phơng trình.
1. Cần làm cho học sinh hiểu đợc thế nào là bài toán bậc nhất 1 ẩn số.
Bài toán bậc nhất có một ẩn số là bài toán sau khi lập phơng trình biến đổi
về dạng nguyên có dạng ax + b = 0 (a 0)
Bài toán lập hệ phơng trình khi biến đổi về dạng nguyên có dạng:



=+
=+
'''
0
cbxa
bax

Trong đó a, b, c, a, b, c không đồng thời bằng 0 là hệ phơng trình bậc
nhất hai ẩn số.
Nếu phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) là phơng trình bậc hai một
ẩn số.
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và ba bớc trong quy tắc giải bài
toán bằng cách phơng trình và hệ phơng trình thì yêu cầu giải một bài toánở các
dạng phơng trình và hệ phơng trình ở trên cần phải qua 7 giai đoạn sau. Về thực
chất 7 giai đoạn giải bài toán này là cụ thể hoá rõ hơn ba bớc trong quy tắc giải bài
toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình.
Giai đoạn 1: Phân tích viết giả thiết của bài toán cho học sinh hiểu bài
toán cho những dữ kiện gì, có thể mô tả bằng hình vẽ đợc không?
Giai đoạn 2:
Nêu rõ các vấn đề để lập phơng trình và hệ phơng trình tức là chọn ẩn số thế
nào cho phù hợp điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn. Dùng các giả thiết đã biết
và ẩn số biểu thị những đại lợng khác trong bài toán.
Giai đoạn 3:
Lập phơng trình và hệ phơng trình. Nhờ sự liên quan đến các số liệu, ẩn số
đã chọn mà đặt phơng trình và hệ phơng trình.
(Ba giai đoạn này chính là Bớc 1 trong quy tắc giải bài toán bằng cách
lập phơng trình và hệ phơng trình)
Giai đoạn 4:
Giải phơng trình và hệ phơng trình vừa lập đợc
(Giai đoạn 4 là Bớc 2 trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình)
Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình bậc nhất một ẩn số, hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn, phơng trình bậc 2 một ẩn số để giải.
Giai đoạn 5:
Nghiên cứu nghiệm của phơng trình và hệ phơng trình để xác định lời giải

của bài toán, tức là so sánh nghiệm với điều kiện bài toán, với thực tiễn xem có
phù hợp không?
Giai đoạn 6: Trả lời bài toán.
Kết luận nghiệm số của bài toán có mấy nghiệm hay một nghiệm, vô số
nghiệm.
(Giai đoạn 5,6 này chính là Bớc 3 trong quy tắc giải bài toán bằng cách
lập phơng trình và hệ phơng trình).
Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải.
Phần này cần mở rộng cho học sinh đối tợng khá và giỏi, sau khi đã giải
xong bài toán đó rồi cần tìm cách gợi ý biến đổi bài toán đã cho thành một bài
toán khác ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn và thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết) nhằm
phát triển t duy toán học cho học sinh.
2. Một số ví dụ minh hoạ chó các giai đọn giải đoạn giải bài toán bằng
cách lập phơng trình và hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành
phố B cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên
đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
* Hớng dẫn cách giải: A B
- Giai đoạn 1:
+ Hai ô tô đi cùng chiều từ A đến B 120km
+ Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h
+ Xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ
- Giai đoạn 2:
+ Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h) , x > 0
+ Vận tốc của xe thứ hai là x 10 (km/h)
+ Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là :
x
120
+ Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là :

10
120

x
- Giai đoạn 3:
Vì xe thứ hai đi lâu hơn xe thứ nhất 1 giừo nên ta có phơng trình:
x
120
+ 1 =
10
120

x
(1)
- Giai đoạn 4:
Ta có (1) 120(x - 10) + x(x 10) = 120x
x
2
- 10x 1200 = 0
= (-10)
2
- 4(-1200) = 4900
70
=
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
40
2
7010
1
=

+
=
x

30
2
7010
2
=

=
x
- Giai đoạn 5:
Vì x > 0 nên ta loại x
2
= -30
Thử lại : 120 : 40 = 3 (giờ) 3 + 1 = 4 giờ
- Giai đoạn 6:
Vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h
Vận tốc của xe thứ hai là 30km/h
- Giai đoạn 7:
Có thể gợi ý cho học sinh thay đổi dữ kiện xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ
hai là
2
1
giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Ví dụ 2: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m. Hai cạnh góc
vuông hơn kém nhau 2 m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác vuông
* Hớng dẫn cách giải: B
- Giai đoạn 1:

Ta có BC = 10m
AB và AC hơn kém nhau 2m tức là : AC AB = 2 A C
Ta có: BC
2
= AC
2
+ AB
2
- Giai đoạn 2:
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m, x > 0)
Cạnh góc vuông thứ hai là x + 2 (m)
áp dụng định lý Pitago ể lập phơng trình.
- Giai đoạn 3:
Cách Quá trình AB AC BC Phơng trình cần tìm
1
Cha bình phơng
Bình phơng
x
x
2
x + 2
(x + 2)
2
10
10
2

x
2
+ (x + 2)

2
= 10
2
(1)
2
Cha bình phơng
Bình phơng
x
x
2
y
y
2
10
10
2





=+
=+
222
10
2
yx
yx
(2)
- Giai đoạn 4:

Giải phơng trình (1) ta có:
x
2
+ (x + 2)
2
= 10
2
x
2
+ x
2
+ 4x + 4 = 100
2x
2
+ 4x 96 = 0
x
2
+ 2x 48 = 0
= 1
2
+ 48 = 49
7
=

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
6
1
71
1
=

+
=
x

8
1
71
2
=

=
x
- Giai đoạn 5:
Vì x > 0 nên loại x = -8
Thử lại ta có: 6
2
+ 8
2
= 10
2
- Giai đoạn 6:
Cạnh góc vuông thứ nhất là 6m
Cạnh góc vuông thứ hai là 8m
- Giai đoạn 7:
+ Hớng dẫn học sinh giải hệ phơng trình (2) rồi so sánh kết quả nghiệm với
phơng trình (1)
+ Có thể hớng dẫn học sinh thay đổi: Hai số hơn kém nhau 2 đơn vị. Biết
trằng tổng các bình phơng của chúng bằng 100. Tìm hai số đó.