Ứng dụng của đa diện newton vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức lojasiewicz và một số vấn đề của lý thuyết tối ưu

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM
VI›N TO•N HÅC

•NG V‹N

O„T

ÙNG DÖNG CÕA
A DI›N
NEWTON V€O VI›C NGHI–N CÙU
C•C B‡T
•NG THÙC
LOJASIEWICZ V€ MËT SÈ V‡N — CÕA
LÞ THUY˜T TÈI ×U

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

H Nëi - 2018


VIN HN LM KHOA HC V CặNG NGH VIT NAM

VIN TON HC

NG VN

OT

NG DệNG CếA
A DIN
NEWTON VO VIC NGHIN CU

CC BT
NG THC
LOJASIEWICZ V MậT Sẩ VN CếA
Lị THUYT TẩI ìU

LUN N TIN S TON HC
Chuyản ng nh: GiÊi tẵch
MÂ số: 9 46 01 02

Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH. H Huy Vui
PGS.TS. PhÔm Tián Sỡn

H Nởi - 2018


Tõm t-t
Trong nhiãu vĐn ã cừa lỵ thuyát ký d v hẳnh hồc Ôi số, a diằn
Newton õng vai trỏ rĐt quan trồng, nõ chựa nhiãu thổng tin hẳnh
hồc, Ôi số, tờ hủp v giÊi tẵch cừa hằ phữỡng trẳnh a thực. Vẳ vêy,
vợi khĂi niằm a diằn Newton, nhiãu kát quÊ quan trồng cừa lỵ thuyát
ký d, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo h m riảng ... Â
ữủc thiát lêp.
Trong luên Ăn n y, chúng tổi Ăp dửng a diằn Newton nghiản
cựu mởt số vĐn ã cừa tối ữu v giÊi tẵch. Luên Ăn  nhên ữủc cĂc kát
quÊ sau:
1) ữa ra mởt iãu kiằn ừ mởt a thực khổng Ơm l tờng bẳnh
phữỡng cừa cĂc a thực. iãu kiằn n y ữủc phĂt biu thổng qua a diằn
Newton cừa a thực.
2) Chựng minh rơng tỗn tÔi mởt têp nỷa Ôi số m, trũ mêt trong
khổng gian tĐt cÊ cĂc a thực cõ cũng mởt a diằn Newton cho trữợc,

sao cho vợi mội a thực thuởc têp n y v b chn dữợi, b i toĂn tẳm
infimum to n cửc l t chnh.
3)

ữa ra mởt tiảu chuân cừa sỹ tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz

to n cửc. Tiảu chuân n y cung cĐp mởt phữỡng phĂp cho trữớng hủp
hai bián, kim tra sỹ tỗn tÔi cừa bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc.

Cho mởt Ănh giĂ cĂc số mụ Lojasiewicz thổng qua bêc cừa a
thực v cĂc số mụ khĂc dạ tẵnh toĂn hỡn.
4)

Trong trữớng hủp hai bián, tẵnh toĂn mởt cĂch tữớng minh số mụ

Lojasiewicz cừa mởt a thực. c biằt, khi a thực hai bián khổng suy
bián theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ hÔn, chúng tổi cụng tẵnh toĂn
ữủc số mụ Lojasiewicz theo phƯn chẵnh Newton tÔi vổ hÔn cừa nõ.
Hỡn nỳa, ữa ra mởt dÔng tữớng minh cừa bĐt ng thực kiu
Hormander, trong õ cĂc số mụ xuĐt hiằn vợi nhỳng giĂ tr cử th.


Abstract
In many problems of singularity theory and algebraic geometry,
Newton polyhedra play a very important role. Newton polyhedra
con-tain many geometric, algebraic, combinatorial and analytic
informa-tion of polynomial systems. Using Newton polyhedra,
many impor-tant results of singularity theory, algebraic geometry,
and differential equation theory have been established.
In this thesis, we apply Newton polyhedra to study some of problems of optimization and analysis. We obtain the following results:

1) A sufficient condition for a non-negative polynomial to be the
sum of squares is given. This condition is expressed in terms of
the Newton polyhedron of the polynomial.
2)

Well-posedness of almost every uncontrain polynomial optimiza-

tion problem is proved: exists an open and dense semialgebraic set in
the space of all polynomials having the same Newton polyhedron, such
that if f is a polynomial from this set and if f is bounded from below,
then the problem of finding the global infimum of f is well-posed.
3)

A new criterion of the existence of the global Lojasiewicz in-

equality is given. This criterion provides a method, for the case of two
variables, examining the existence of the global Lojasiewicz inequality.

It is shown that the Lojasiewicz exponents of a polynomial
can be estimated via the degree and some exponents, which are
much easier to compute.
4)

In the case of two variables, the Lojasiewicz exponents of an
arbi-trary polynomial are computed explicitly; the Lojasiewicz
exponents of non-degenerate polynomials are expressed in terms
of Newton poly-hedra; explicite values of some exponients in one
of Hormander in-equality are given.

Lới cam

oan

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ
hữợng dăn cừa thƯy H Huy Vui v thƯy PhÔm Tián Sỡn. CĂc kát quÊ viát
chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa v o
luên Ăn. CĂc kát quÊ nảu trong luên Ăn l trung thỹc v chữa ữủc ai
cổng bố trong bĐt ký mởt cổng trẳnh n o khĂc.
TĂc giÊ
ng Vôn

oÔt


Lới cĂm ỡn
Luên Ăn ữủc thỹc hiằn v ho n th nh tÔi Viằn ToĂn hồc - Viằn H n
lƠm Khoa hồc v Cổng nghằ Viằt nam. Trữợc hát, tổi xin b y tọ lỏng
biát ỡn sƠu s-c án PGS.TSKH. H Huy Vui, PGS.TS. PhÔm Tián Sỡn,
nhỳng ngữới thƯy  tên tẳnh hữợng dăn, dẳu d-t, ch bÊo tổi trong
suốt thới gian hồc têp, nghiản cựu thỹc hiằn luên Ăn.
Tổi xin cÊm ỡn Ban GiĂm ốc Viằn ToĂn hồc, cĂc cĂn bở nghiản
cựu cừa Viằn ToĂn hồc, c biằt cĂc cĂn bở phỏng Hẳnh hồc v Tổ
pổ, cĂc cĂn bở Trung tƠm o tÔo sau Ôi hồc - Viằn ToĂn hồc, Â tÔo
nhiãu iãu kiằn thuên lủi cho tổi hồc têp v nghiản cựu. Xin cÊm ỡn
Qu PhĂt trin khoa hồc v cổng nghằ Quốc gia  hộ trủ mởt phƯn
kinh phẵ cho tổi trong quĂ trẳnh thỹc hiằn ã t i. Tổi xin cÊm ỡn
Viằn Nghiản cựu cao cĐp vã ToĂn  ởng viản, trao giÊi thững
cổng trẳnh cừa Chữỡng trẳnh trồng im quốc gia phĂt trin toĂn

hồc giai oÔn 2010-2020 cho hai b i bĂo.
Tổi xin cÊm ỡn lÂnh Ôo S GiĂo dửc v o tÔo tnh LƠm ỗng, lÂnh
Ôo v têp th giĂo viản trữớng THPT Chuyản Thông Long LÔt  tÔo
iãu kiằn vã thới gian, hộ trủ mởt phƯn kinh phẵ tổi ho n th nh
nhiằm vử.
Tổi xin cÊm ỡn cĂc bÔn b, ỗng nghiằp, cĂc bÔn nghiản cựu sinh
trong Viằn ToĂn hồc luổn giúp ù, cờ vụ, ởng viản trong suốt
quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu.
c biằt, tổi cÊm ỡn gia ẳnh, nhỳng ngữới thƠn yảu nhĐt cừa
tổi luổn luổn ởng viản, chia s, giúp ù mồi mt vã vêt chĐt v tinh
thƯn trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tổi thỹc hiằn ữợc
mỡ cừa mẳnh. Quyn luên Ăn n y tổi d nh tng cho cĂc bố mà, vủ v
hai con trai yảu quỵ.
TĂc giÊ
ng Vôn

oÔt


CĂc kỵ hiằu sỷ dửng trong luên Ăn
N

Têp cĂc số tỹ nhiản
Têp cĂc số tỹ nhiản khĂc 0

N
Z

Z+
R

R+

Rn

Têp cĂc số nguyản
Têp cĂc số nguyản khổng Ơm
Têp cĂc số thỹc
Têp cĂc số thỹc khổng Ơm
Khổng gian Euclide thỹc n chiãu

R[x1; x2; : : : ; xn] Têp cĂc a thực thỹc n bián
infimum cừa têp hủp A
inf A
supermum cừa têp hủp A
sup A

min A

GiĂ tr nhọ nhĐt cừa têp hủp A

max A

GiĂ tr lợn nhĐt cừa têp hủp A

kxk

Chuân cừa vc tỡ x

dist(x; A)
limx!a f(x)

KhoÊng cĂch Euclide tứ im x án têp hủp A
Giợi hÔn cừa h m số f(x) khi x tián tợi a

rankA

HÔng cừa mởt ma trên A
Ôo h m cĐp d cừa h m số f theo bián t

d

f (t)
d
@ '
d

x

i

Ôo h m riảng cĐp d cừa h m ' theo bián xi

(f)

a diằn
a diằn Newton cừa a thực f

1

a diằn Newton tÔi vổ hÔn cừa a thực f

(f)

L0(V1)
L1(V1)
L0(f)

Số mụ Lojasiewicz gƯn têp cừa h m f trản têp V 1

L1(f)

Số mụ Lojasiewicz xa têp cừa h m f trản R

Số mụ Lojasiewicz xa têp cừa h m f trản têp V 1
n
Số mụ Lojasiewicz gƯn têp cừa h m f trản R

7

n


Mửc lửc
M Ưu
1 iãu kiằn ừ mởt a thực thỹc l tờng bẳnh phữỡng

3

cừa cĂc a thực

6

1.1 Giợi thiằu b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Kát quÊ v chựng minh . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tẵnh t chnh cừa b i toĂn tối ữu a thực

10
16

2.1 Giợi thiằu b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2 Kát quÊ v chựng minh . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 BĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc cừa h m a thực

31

3.1 Giợi thiằu b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 BĐt ng thực Lojasiewicz trản têp V1 . . . . . . . . .
3.3 BĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc . . . . . . . . . .

3.4 Số mụ cừa bĐt ng thực Lojasiewicz . . . . . . . . .

36

4 BĐt ng thực Lojasiewicz cừa h m a thực trản R2

42
47
56

4.1 Phữỡng phĂp kim tra sỹ tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz 57
4.1.1 Khai trin Puiseux . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.1.2 Phữỡng phĂp kim tra . . . . . . . . . . . . .

59

4.2 Tẵnh số mụ Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2.1 Tẵnh số mụ L0(V1) . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2.2 Tẵnh số mụ L (V ) . . . . . . . . . . . . . . .
1 1

68

1


4.3
4.4

4.2.3 T½nh sè mô L0(f) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 T½nh sè mô L (f) . . . . . . . . . . . . . . .
1

a thùc khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n . . . . . . . . . . .
Mët d¤ng b§t ¯ng thùc Hormander . . . . . . . . . .

K¸t luªn

68
71
72
78
83

T i li»u tham kh£o

86

2


M

Ưu

a diằn Newton cừa mởt a thực nhiãu bián l bao lỗi cừa têp cĂc
số mụ cừa cĂc ỡn thực xuĐt hiằn trong a thực vợi hằ số khĂc khổng.
Trong nhiãu vĐn ã cừa lỵ thuyát ký d v hẳnh hồc Ôi số, a diằn
Newton õng vai trỏ nhữ mởt m rởng cừa khĂi niằm bêc cừa a thực,
v chựa rĐt nhiãu thổng tin hẳnh hồc, Ôi số, tờ hủp v giÊi tẵch cừa
hằ phữỡng trẳnh a thực. Chẵnh vẳ vêy, vợi khĂi niằm a diằn
Newton, nhiãu kát quÊ quan trồng cừa lỵ thuyát ký d, hẳnh hồc Ôi
số, lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo h m riảng ... Â ữủc thiát lêp (xem
[AGV] vã cĂc ựng dửng cừa a diằn Newton trong lỵ thuyát ký d,
[Ko], [Kh] vã ựng dửng cừa a diằn Newton trong hẳnh hồc Ôi số v
[GV] vã ựng dửng cừa a diằn Newton trong phữỡng trẳnh Ôo h m
riảng).
a diằn Newton ữủc nh nghắa khổng ch cho cĂc a thực
nghiản cựu cĂc vĐn ã mang tẵnh to n cửc, nõ cỏn ữủc xĂc nh cho
cĂc mƯm h m giÊi tẵch nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt tổ pổ cừa h m
giÊi tẵch tÔi lƠn cên im ký d. Nhiãu bĐt bián tổ pổ cừa im ký d
nhữ số Milnor, số mụ tiằm cên cừa tẵch phƠn dao ởng ... ữủc tẵnh
thổng qua a diằn Newton cừa h m giÊi tẵch (xem [Ko] v [AGV] v
danh mửc cĂc trẵch dăn cĂc t i liằu n y).
BÊn luên Ăn sỷ dửng khĂi niằm a diằn Newton nghiản cựu cĂc
vĐn ã sau Ơy:
1)

Tẳm iãu kiằn mởt a thực n bián thỹc khổng Ơm trản to n bở
n

R ; biu diạn ữủc dữợi dÔng tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a thực;

2) Nghiản cựu tẵnh t chnh cừa b i toĂn tối ữu a thực khổng r
ng buởc;
3)

Nghiản cựu iãu kiằn tỗn tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc
3


cừa mởt a thực n bián thỹc v tẵnh toĂn cĂc số mụ Lojasiewicz
cho trữớng hủp n = 2:
CĂc vĐn ã 1) v 2) ang l nhỳng vĐn ã thới sỹ cừa Tối ữu a thực. CĂc
bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc ( ối tữủng nghiản cựu cừa vĐn ã
3)) ữủc nghiản cựu lƯn Ưu tiản trong cổng trẳnh cừa [DHT]
v ang ữủc phĂt trin theo nhiãu khẵa cÔnh khĂc nhau, cÊ vã mt
lỵ thuyát [HNS], [DKL], [OR], lăn ựng dửng [Ha2], [DHP2].
Bơng viằc sỷ dửng a diằn Newton, luên Ăn  ữa ra mởt cĂch tiáp
cên hỳu hiằu nghiản cựu cĂc vĐn ã trản, v Ôt ữủc nhỳng vĐn ã mợi
m.
Luên Ăn gỗm 4 chữỡng. Trong Chữỡng 1, a diằn Newton ữủc sỷ
dửng cho mởt iãu kiằn ừ mởt a thực l tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc
a thực khĂc. Kát quÊ n y m rởng mởt cĂch Ăng k mởt kát quÊ gƯn
Ơy cừa J.B.Lasserre.
Trong chữỡng 2, sỷ dửng a diằn Newton v tẵnh khổng suy bián
cừa mởt a thực ối vợi a diằn Newton cừa A.G.Kouchnirenko [Ko],
chúng tổi chựng minh ữủc rơng, trong khổng gian tĐt cÊ cĂc a thực

cõ a diằn Newton l têp con cừa mởt a diằn cho trữợc, tỗn tÔi
mởt têp nỷa Ôi số U ; m v trũ mêt, sao cho náu f l mởt a thực b
chn dữợi v f 2 U thẳ b i toĂn
Tẵnh inf f(x)

n

x2R

l

t chnh theo nghắa cừa Zolezzi.

CĂc Chữỡng 3 v 4 nghiản cựu bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc
cừa mởt a thực.
Trong Chữỡng 3, chúng tổi ữa ra mởt tiảu chuân mợi cừa sỹ tỗn
tÔi bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc. KhĂc vợi tiảu chuân  biát
n

[DHT], Ơy, viằc kim tra trong R sỹ tỗn tÔi cừa bĐt ng thực
Lojasiewicz to n cửc ữủc ữa vã viằc kim tra sỹ tỗn tÔi cừa nõ trản
mởt têp con Ôi số, xĂc nh mởt cĂch ỡn giÊn v tỹ nhiản. Tiảu
4


chuân mợi n y m ữớng cho viằc ựng dửng cĂc kát quÊ cờ in vã a
diằn Newton (thuêt toĂn tẳm khai trin Newton-Puiseux cừa cĂc
ữớng cong Ôi số) v cĂc kát quÊ tữỡng ối gƯn Ơy ( iãu kiằn khổng suy
bián ối vợi a diằn Newton cừa A.G.Kouchnirenko) tẵnh toĂn, Ănh
giĂ số mụ Lojasiewicz.
Chữỡng 4 xt trữớng hủp n = 2: é Ơy, cĂc số mụ Lojasiewicz cừa
bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc cụng nhữ cĂc số mụ liản quan,
ữủc tẵnh toĂn bơng thuêt toĂn Newton-Puiseux. c biằt, náu a thực
hai bián l khổng suy bián theo lữủc ỗ Newton, thẳ cĂc số mụ trong
bĐt ng thực Lojasiewicz to n cửc ữủc biu diạn thổng qua cĂc

tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa lữủc ỗ Newton.

5


Chữỡng 1
iãu kiằn ừ mởt a thực thỹc l tờng
bẳnh phữỡng cừa cĂc a thực

CĂc a thực biu diạn ữủc dữợi dÔng tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a
thực khĂc õng vai trỏ quan trồng trong nhiãu lắnh vỹc khĂc nhau
cừa toĂn hồc nõi chung v lỵ thuyát tối ữu nõi riảng. Nõ cho php nợi
lọng b i toĂn tối ữu a thực (nõi chung ãu thuởc loÔi NP-khõ) vã mởt
b i toĂn quy hoÔch nỷa xĂc nh ([La], [La1], [La2],...). Tuy nhiản,
cĂc iãu kiằn ỡn giÊn nhên biát mởt a thực cõ l mởt tờng cĂc bẳnh
phữỡng hay khổng văn chữa cõ nhiãu. Trong [La3], J.B.Lasserre Â
ữa ra mởt iãu kiằn ừ mởt a thực l tờng bẳnh phữỡng cừa cĂc a
thực khĂc. Náu ta phiản dch iãu kiằn cừa J.B.Lasserre sang ngổn
tứ cừa a diằn Newton, thẳ ta thĐy rơng, cĂc a thực m J.B.Lasserre
nghiản cựu cõ a diằn Newton l nhỳng ỡn hẳnh cỡ bÊn. Mửc ẵch
cừa chữỡng n y l m rởng kát quÊ cừa J.B.Lasserre cho lợp a thực
vợi a diằn Newton bĐt ký. Chúng tổi s ch ra rơng, ối vợi b i toĂn
biu diạn tờng bẳnh phữỡng, têp cĂc nh hẳnh hồc cừa a
6


diằn Newton l chữa ừ nghiản cựu b i toĂn. Do õ chúng tổi  m
rởng têp cĂc nh hẳnh hồc th nh têp cĂc " nh số hồc". Nõi v-n t-t,
kát quÊ cừa chúng tổi ch ra rơng, náu viát a thực f dữợi dÔng

f(x) =

a x + g(x);

2V(f)

X

a x gỗm tĐt cÊ cĂc ỡn thực ựng vợi cĂc nh

2V (f)

trong õ, tờng
số hồc V(f)

cừa a diằn Newton, thẳ f l tờng bẳnh phữỡng náu cĂc

P
hằ số cừa g(x) l

ừ nhọ so vợi cĂc hằ số a ;

2 V(f):

Nởi dung chẵnh cừa Chữỡng n y ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh
cừa Van Doat Dang and Thi Thao Nguyen, Sufficient Conditions
for a real Polynomial to be a Sum of Squares of Polynomials.
Kodai J. Math., 39(2016), 253 275.

1.1

Giợi thiằu b i toĂn

Kỵ hiằu N l têp cĂc số tỹ nhiản v R l têp cĂc số thỹc. Kỵ hiằu R[x]
:= R[x1; x2; : : : ; xn] l v nh cĂc a thực thỹc n bián. Vợi
x

n

n

= (x1; x2; : : : ; xn) 2 R v = ( 1; 2; : : : ; n) 2 N , ta viát x =

x1

1

x nn v j j =

1

0

+ + n; quy ữợc 0 = 1. Sỷ dửng cĂc kỵ hiằu trản, mồi

a thực f 2 R[x] cõ th viát dữợi dÔng f =
ch cõ mởt số hỳu hÔn f 6= 0.

P

2Nn

f x , trong õ f 2 R v

nh nghắa 1.1.1. a thực f 2 R[x] bêc d; theo n bián ữủc gồi l
khổng Ơm (viát t-t PSD) náu

f(x)
Hin nhiản, náu
Têp cĂc

n

0; 8x 2 R :

a thực f khổng Ơm thẳ d l số nguyản dữỡng chđn.

a thực PSD bêc d; theo n bián kỵ hiằu l P d;n:

nh nghắa 1.1.2. a thực f 2 R[x] theo n bián ữủc gồi l biu diạn
tờng bẳnh phữỡng (viát t-t SOS) náu tỗn tÔi hỳu hÔn a thực
7


pi 2 R[x]; i = 1; 2; : : : ; k sao cho
k
Xi

f(x) =

2

=1

n

pi (x); 8x 2 R :

P

Têp cĂc a thực SOS bêc d; theo n bián kỵ hiằu l
Dạ thĐy, náu f l SOS thẳ f l PSD,

d;n

:

iãu ngữủc lÔi khổng úng.
P

Nôm 1888, D. Hilbert chựng minh ữủc d;n = Pd;n khi n = 1 hoc
d = 2 hoc (n; d) = (2; 4) [Hi]. Nôm 1891, trong [Hu], A. Hurwitz
cụng ch chựng minh ữủc rơng a thực

H(x1; x2; : : : ; x2d) = x

2 d
1

2 d

2

+x

++ x

2 d
2 d

2dx1x2:::x2d

l SOS. MÂi án nôm 1967, T. S. Motzkin ([Mo], Mằnh ã 1.2.2) mợi ữa
ra ữủc vẵ dử Ưu tiản, a thực
4 2

2 4

M(x; y) = x y + x y

2 2

3x y + 1

2

l PSD trản R những M(x; y) khổng l SOS. Sau õ, mởt số vẵ dử
khĂc l PSD những khổng l SOS cụng ữủc ữa ra, chng hÔn án nôm
1969 R. M. Robinson [Ro], nôm 1977 M. D. Choi and T. Y. Lam

[CL2], nôm 1979 K. Schmudgen [Sch], : : : : Tứ õ cƠu họi ữủc ữa

ra: Vợi a thực khổng Ơm thọa mÂn nhỳng iãu kiằn n o thẳ nõ cõ th

biu diạn tờng bẳnh phữỡng?
CƠu họi thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa mởt số nh toĂn hồc,
chng hÔn nhữ A. Hurwitz [Hu]; B. Reznick [Re1], [Re2]; T. S.
Motzkin [Mo]; R. M. Robinson [Ro]; J. B. Lasserre [La3]; M.
Marshall [Ma2], [Ma3], [Ma4]; : : :. Hồ tẳm cĂc iãu kiằn trản cĂc hằ
số cừa a thực khổng Ơm a thực õ l biu diạn tờng bẳnh phữỡng.
GiÊ sỷ f(x) = P 2Nn f x 2 R[x] l
a thực khĂc hơng v cõ

dÔng

f

2

n

f 6 gnf
; de ; : : : ; de g , trong
õ e1 = (1; 0; : : : ; 0); : : : ; e n = (0; : : : ; 0; 1). Do õ, ta viát lÔi f dữợi

bêc 2d. t :=

N

:

=0

X
f(x) = f0 + f x + f2de
2

02

n
X

i=1

8

1

i

x2d:
i

2

n


t

:= f 2 : f < 0 hoc tỗn tÔi

i 2 f1; : : : ; ngg:

i l vợi

Nôm 2007, trong b i [La3, nh lỵ 3], J. B. Lasserre  chựng minh rơng, náu
j
j
0
2dei
X
X
2d

f

f

j

v f

f

j

2

jj

; i = 1; : : : ; n;

2

thẳ f l SOS.
Tuy nhiản, trong cĂc iãu kiằn ừ trản, mởt iãu dạ thĐy, náu f 0 = 0
hoc f2dei = 0 vợi i n o õ, thẳ ko theo = ; v nhữ vêy f hin nhiản l
SOS. Vẳ vêy, kát quÊ n y văn cỏn hÔn chá. Kát quÊ cừa chúng tổi
trong chữỡng n y s kh-c phửc hÔn chá trản. Trữợc hát chúng tổi ữa ra
mởt v i khĂi niằm v kỵ hiằu.

Cho a thực

f(x) :=

X

fx:
n

2N

t
n

supp(f) := f 2 N : f 6= 0g:
n

nh nghắa 1.1.3. Bao lỗi cừa têp supp(f) trong R + ữủc gồi l a
diằn Newton cừa f; kỵ hiằu (f):
Kỵ hiằu V (f) l têp cĂc nh cừa (f). Dạ thĐy rơng, náu f l SOS thẳ

n

V (f) chựa trong (2Z) . Hỡn nỳa, V (f) = f0; 2de1; : : : ; 2deng náu
v

ch náu f0:f2de1 : : : f2den 6= 0:
Cho f(x1; : : : ; xn) 2 R[x] l a thực theo n bián, bêc 2d. t
xn
2d x1
f(x0; x1; : : : ; xn) := x f( ; : : : ;
):
0
x0

x0

nh nghắa 1.1.4. a thực f ữủc gồi l a thực thuƯn nhĐt hõa cừa f:

9


Mằnh ã 1.1.5. ([Ma1],Mằnh ã 1.2.4) Cho f l

a thực bêc 2d.

Khi õ, f l PSD náu v ch náu f l PSD; v f l

SOS náu v ch

náu f l SOS.

Dỹa v o Mằnh ã 1.1.5, tứ nay ta ch xt trữớng hủp f l a thực
thuƯn nhĐt.
Phiản dch kát quÊ cừa J. B. Lasserre trong ([La3, nh lỵ 3])
dữợi dÔng a thực thuƯn nhĐt, ta cõ th phĂt biu lÔi mởt cĂch v-n t-t
nhữ sau: Cho f l a thực thuƯn nhĐt n bián, bêc 2d cõ dÔng
X

n

f(x) = aix2id + Q(x);
i=1

2d

trong õ ai 6= 0; i = 1; : : : ; n; v mồi ỡn thực x i ; i = 1; : : : ; n;
khổng xuĐt hiằn trong Q(x) vợi hằ số khĂc khổng. Khi õ, f l SOS
náu cĂc ai > 0 v " ừ lợn" so vợi cĂc hằ số cừa Q(x):
Chú ỵ rơng, trong trữớng hủp n y, (f) l mởt ỡn hẳnh vợi cĂc nh e i
= (0; : : : ; 1; : : : ; 0); i = 1; : : : ; n:
Trong trữớng hủp tờng quĂt, a diằn Newton cừa mởt a thực thuƯn
nhĐt khổng nhĐt thiát l mởt ỡn hẳnh. Vẳ vêy, thiát lêp kát quÊ
tữỡng tỹ cừa J.B.Lasserre cho a thực thuƯn nhĐt bĐt ký, chúng tổi
thay têp cĂc nh cừa a diằn bơng têp cĂc " nh số hồc".

1.2

Kát quÊ v chựng minh

Cho f l a thực thuƯn nhĐt n bián, bêc 2d v t (f) l a diằn Newton
cừa f. Kỵ hiằu

V (f) l têp cĂc nh cừa a diằn Newton (f); C(f)
:= (f) \ Zn;
A(f) :=

n

1
no
(s
+
t)
:
s;
t
2
(f)
\
(2
Z
)
;
2
10


V(f) := A(f) n

n

1
no
(s + t) : s 6= t; s; t 2 (f) \ (2Z) ;
2

:= f 2 supp(f) : hoc f < 0 hoc tỗn tÔi i l vợi i 2 f1; : : : ; ngg:
Nhữ vêy, ta luổn cõ

V(f) A(f) C(f):
Tứ ([HP1], nh lỵ 3.1) suy ra rơng, náu f l PSD thẳ têp V (f)
n

chựa trong (2Z) , v do vêy V (f) V(f).
1

m

nh nghắa 1.2.1. ([Re2]) Têp hủp U = fu ; : : : ; u g ữủc gồi l
i
i
i
n
i
khuổn (framework) náu u = (u 1; : : : ; u n) 2 (2Z) vợi u j
0v
số nguyản dữỡng d:
Pn
i
j =1 uj = 2d; vợi mồi i = 1; :::; m v

n

nh nghắa 1.2.2. ([Re2]) Cho U l mởt khuổn. Têp hỳu hÔn L Z
ữủc gồi l
U-trung bẳnh náu L chựa U v vợi mồi v 2 LnU; v l
trung bẳnh cởng cừa hai im chđn phƠn biằt trong L.
Cho U l

khuổn, kỵ hiằu C(U) l têp cĂc im nguyản trong bao

lỗi cừa U:
1

nh lỵ 1.2.3. ([Re2], nh lỵ 2.2) Cho U l
têp U

U

l

U -trung bẳnh thọa mÂnA U(

khuổn, khi õ tỗn tÔi

) := f (s + t) : s; t

2 Ug

2

C(U) v U chựa mồi têp U-trung bẳnh.

Vợi cĂc kỵ hiằu nhữ trản, kát quÊ dữợi Ơy cừa chúng tổi cho mởt
iãu kiằn ừ mởt a thực l biu diạn tờng bẳnh phữỡng.
nh lỵ 1.2.4. Cho f(x) =

P

2U

fx+

P

2

fx+

P

62(U[ )

fx
n

l a thực thuƯn nhĐt n bián thỹc, bêc 2d; cõ têp nh V (f) (2Z) ; trong
õ U l mởt khuổn thọa mÂn V (f) U V(f):
GiÊ sỷ cĂc iãu sau thọa mÂn:
(i)

2 U ; vợi mồi

2

;
11


P

(ii) minu2U fu
Khi õ f l

jf j.

2

P

= ;; ta t

SOS. Trữớng hủp

2

jf j := 0:

Kỵ hiằu R[x]2d l khổng gian vc tỡ cĂc a thực thỹc bêc khổng
n

vữủt quĂ 2d, vợi cỡ s chẵnh t-c (x ) = fx : 2 N ; j j 2dg:
Cho dÂy số thỹc y = (y ) cõ ch số ữủc Ănh số theo cỡ s chẵnh
t-c (x ), ta xĂc nh Ănh xÔ tuyán tẵnh Ly : R[x]2d ! R
X

f=
v

X

f x 7!Ly(f) =

fy;

Md(y) = (Md(y)( ; )) l ma trên moment sinh bi y = (y ); xĂc

nh

Md(y)( ; ) := Ly(x

+

)=y+; ;

n

2 N : j j; j j d:

Theo Nhên xt 2.2 [La3], Md(y) l nỷa xĂc nh dữỡng, kẵ hiằu Md(y)
2

0; khi v ch khi Ly(f ) 0; vợi mồi f 2 R[x]d: Hỡn nỳa, f l SOS khi v
ch khi Ly(f) 0; vợi mồi y sao cho Md(y) 0:
Do vêy, chựng minh nh lỵ 1.2.4 ữủc ho n th nh bơng cĂch sỷ
dửng Nhên xt 2.2 [La3] v Bờ ã sau
Bờ ã 1.2.5. Cho U d l mởt khuổn v L l têp U-trung bẳnh. GiÊ sỷ
Ây y = (y ) sao cho Md(y) 0. Khi õ
jL y( x )j max L (xu); vợi mồi
:
u

y

2L

2U

Chựng minh. Trữợc hát, ta chựng minh náu 2 LnU, thẳ tỗn tÔi k 1 v
mởt dÂy
i 1

1

= 2( i + i);

sao cho 0 = v
Thêt vêy, xt
X

0

i 6= i; i; i
k2

n

2 L \ (2Z) ; i = 1; : : : ; k;

U.

1

n

= f :9k 1 v i 1 = 2( i + i); i 6= i; i; i 2 L \ (2Z) ; i = 1; : : : ; k;
0

sao cho 0 = v k = g:
12


Vẳ X ữủc chựa trong L, têp X l hỳu hÔn, v do vêy bao lỗi cừa X cõ
cĂc nh thuởc U.

:= max 2L jLy(x )j. Khi

t

2 L sao cho

õ tỗn tÔi

= jLy(x )j.
Náu

u

2 U thẳ jLy(x )j

jLy(x )j = maxu2U jLy(x )j; vợi mồi

L:
Náu khổng, theo chựng minh trản, tỗn tÔi k

1

= 2( 1 + 1);

6=

1

1

1 sao cho
n

2 L \ (2Z) ;

1

n

1 = 2( 2 + 2); 2 6= 2 2 L \ (2Z) ;
:::::::::::::::::::::::::::::::::
k 1

1

= 2( k + k);

k

6=

k

n

2 L \ (2Z) ;

0, ta cõ

trong õ k 2 U: Vẳ Md(y)

q

= jLy(x )j = jLy(x1

2

( + )
1

1

)j

q

Ly(x 1 )Ly(x

1

)

Ly(x 1 ) :

Do õ Ly(x 1 ): Bơng cĂch lp lÔi lỵ luên nhữ trản, sau mởt số hỳu
hÔn bữợc, ta thu ữủc

Ly(x k )

u

max Ly(x ):
u2U

iãu n y ho n th nh chựng minh cừa Bờ

ã.

Chựng minh nh lỵ 1.2.4 Theo (2.2 [La3]), ta ch cƯn chựng
minh rơng Ly(f) 0; vợi mồi y = (y ) sao cho Md(y) 0.
u

LĐy y = (y ) sao cho Md(y) 0. t := maxfLy(x ) j u 2 Ug. Khi õ,
theo Bờ ã 1.2.5, ta cõ

jLy(x )j

vợi mồi

13

2U:

2


iãu n y cũng vợi cĂc
iãu kiằn (i) - (ii) suy ra
X
X
X
u
Ly(f) =
fuLy(x ) +
f Ly(x ) +
u2U
X

2

u

f Ly(x )

u2U
X

X

u

fuLy(x )jf jjLy(x )j
u2U

u2

u2U

62(U[ )

X

fuLy(x ) +

f Ly(x )

2

2

j

j
X

min f

f

0:

Vêy f l SOS.
Hằ quÊ 1.2.6. (Kát quÊ cừa J.B.Lasserre [La3]) Cho
n
X
X

f=

a2de
i=1

i

x

2d

i

+

2

X

ax;

ax+
2

= ; 6=2dei

l mởt a thực thuƯn nhĐt n bián thỹc, bêc 2d:
Náu
X

min a

jf j; i = 1; 2; :::; n;

2dei
2

thẳ f l SOS. Trong õ e1 = (1; 0; :::; 0); : : : ; en = (0; :::; 0; 1) l cĂc
n
vc tỡ ỡn v trong R :
Chựng minh. Vợi giÊ thiát trản, cĂc im 2de1; : : : ; 2den thuởc supp(f);

do vêy (f) l ỡn hẳnh vợi têp nh V (f) = f2de1; : : : ; 2deng: Khi õ A(f)
n

= (f) \ Z :
Ta thĐy, mồi
dữợi dÔng =

im
2 (f) n f2de1; : : : ; 2deng ãu cõ th viát
n
+ ; trong õ 6= v
; 2 (f) \ (2Z) ; nản
2

V(f) = f2de1; : : : ; 2deng:
Theo giÊ thiát trong nh lỵ 1.2.4, V (f) U V(f) = V (f) nản U = V
(f): Tứ õ 1.2.6 l Hằ quÊ cừa nh lỵ 1.2.4.
Chú ỵ 1.2.7. Trong iãu kiằn (ii) cừa nh lỵ 1.2.4, náu f u = 0 vợi u 2 U
n o õ, suy ra = ; v fu 0 vợi mồi u 2 U; trong trữớng hủp n y, f
hin nhiản l SOS.
14


C¡c iºm cõa tªp U nV (f) thäa m¢n i·u ki»n cõa
câ thº xem nh÷ l c¡c ¿nh sè håc cõa (f):

15

ành lþ 1.2.4

Chữỡng 2
Tẵnh t chnh cừa b i toĂn tối ữu a
thực
Tẵnh t chnh l mởt trong nhỳng tẵnh chĐt mong muốn nhĐt
khi ta nghiản cựu cĂc b i toĂn tối ữu. KhĂi niằm t chnh lƯn Ưu tiản
ữủc ữa ra bi nh toĂn hồc Hadamard v o nhỳng nôm Ưu cừa thá
k 20. án nhỳng nôm 60 cừa thá k 20, Tykhonov ữa ra khĂi niằm t
chnh sau Ơy.
nh nghắa 2.0.8. ([Ty]) Cho X l khổng gian metric, xt f : X ! R l
mởt h m liản tửc. B i toĂn
Tẵnhinfx2X f(x)
ữủc gồi l

t chnh theo Tykhonov náu

H m f Ôt cỹc tiu tÔi im x0; im
cỹc tiu x0 l duy nhĐt;
Vợi mồi dÂy xn 2 X; thọa mÂn f(xn) ! f(x0); ta cõ xn ! x0:
án nôm 1993, Zolezzi ữa ra khĂi niằm t chnh, mởt dÔng
mÔnh hỡn cừa Tykhonov.
16


nh nghắa 2.0.9. ([Zo]) Cho X; A l cĂc khổng gian metric. Vợi
mởt h m liản tửc. B i toĂn
mội a 2 A cố nh, fa : X ! R l
Tẵnh infx2X fa(x)
ữủc gồi l t chnh theo Zolezzi náu

(i) GiĂ tr fa : = infx2X fa(x) l

hỳu hÔn v

nhĐt cừa X;
(ii) Vợi mội dÂy a n 2 A ; a n !

a; giĂ tr f : = inf

hÔn v vợi mồi dÂy x

an

n

2 X thọa mÂn f

an

Ôt tÔi im xa duy

(x n )

x2X

f an (x) l hỳu

f
an

!

0; ta cõ

xn ! xa:
Trong cĂc b i bĂo [IZ, ILR, IL1], cĂc tĂc giÊ Â chựng minh ữủc
tẵnh t chnh cừa nhiãu lợp cĂc b i toĂn tối ữu. c biằt, hồ Â chựng
minh ữủc rơng, tỗn tÔi mởt têp trũ mêt trong khổng gian cĂc
b i toĂn tối ữu, sao cho mồi b i toĂn thuởc têp n y l t chnh. Mởt
trong cĂc hằ quÊ cừa kát quÊ n y l , hƯu hát cĂc b i toĂn qui hoÔch to
n phữỡng ãu t chnh.
Trong chữỡng n y, bơng cĂch sỷ dửng a diằn Newton v iãu kiằn
khổng suy bián theo nghắa Kouchnirenko, chúng tổi chựng minh ữủc
n

rơng, náu l mởt a diằn thuên tiằn trong R ; v A l khổng gian cĂc a
thực cõ a diằn Newton l têp con cừa ; luổn tỗn tÔi mởt têp nỷa Ôi
số, m v trũ mêt U trong A ; sao cho mồi a thực f
b chn dữợi v f thuởc U thẳ b i toĂn
Tẵnh inf f(x)
n

x2R

l t chnh theo nghắa Zolezzi. é Ơy, số bián v bêc cừa a thực l tũy
ỵ.
Nởi dung chẵnh cừa Chữỡng n y ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh
cừa Van Doat Dang, Huy Vui Ha and Tien Son Pham, Wellposedness in unconstrained Polynomial Optimization Problems.
SIAM J. Optim., 26(3)(2016), 1411 1428.
17

2.1

Giợi thiằu b i toĂn

Nh-c lÔi rơng, N l

têp cĂc số tỹ nhiản, R l

têp cĂc số thỹc v

R+ l têp cĂc số thỹc khổng Ơm. Kỵ hiằu R[x] := R[x 1; x2; : : : ; xn]
n
l v nh cĂc a thực thỹc n
bián. Vợi x = (x1; : : : ; xn) 2 R v
n

= ( 1; : : : ; n) 2 N , ta viát x = x1 1
x nn v
0
quy ữợc 0 = 1.
n
giÊ sỷ f =
Cho a thực f : R ! R v
=0
P
ch cõ mởt số hỳu hÔn f 6 : Kỵ hiằu supp(f) l

jj=

1

+ + n;

2Nn f

x ; vợi f 2 R v
N
2 n
têp tĐt cÊ

sao cho f 6= 0:
Bản cÔnh khĂi niằm a diằn Newton cừa mởt a thực f; nghiản
cựu cĂc tẵnh chĐt hẳnh hồc v giÊi tẵch cừa a thực f tÔi vổ hÔn,
ta cƯn thảm khĂi niằm sau.
nh nghắa 2.1.1. Bao lỗi cừa têp supp(f)[f0g ữủc gồi l
Newton tÔi vổ hÔn cừa f v kỵ hiằu
1

1

a diằn

(f):

(f) gồi l thuên tiằn náu nõ giao vợi tĐt cÊ cĂc trửc tồa ở tÔi cĂc im

khĂc gốc 0.

a thực f gồi l
f

thuên tiằn náu

1

(f) thuên tiằn. Trữớng hủp

1

0; ta t (f) = ;:

Ta gồi biản Newton tÔi vổ hÔn cừa f, kỵ hiằu 1(f); ữủc xĂc nh
1
n
bi hủp cĂc mt cừa (f) m khổng chựa gốc tồa ở 0 trong R :

P

Vợi mội mt
cừa 1(f); t f =
2 fx:
KhĂi niằm dữợi Ơy õng vai trỏ quan trồng trong chữỡng.
nh nghắa 2.1.2. [Ko, Kh] a thực f ữủc gồi l khổng suy bián tÔi
vổ hÔn theo Kouchnirenko (nõi t-t l khổng suy bián tÔi vổ hÔn)
náu v ch náu vợi mồi mt cừa 1(f); hằ phữỡng trẳnh
@f
@f
(x) =

=

@x1

(x) = 0

@xn

n

khổng cõ nghiằm trong (R n f0g) :
18