ôn đầu năm 12

ÔN TẬP ĐẦU NĂM
GIẢI TÍCH
A/ ĐẠO HÀM .
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM BẢNG ĐẠO HÀM
1/ (u+v-w)’=u’+v’-w’
2/ (k.u)’=k.u’
3/ (uv)’=u’.v+u.v’
4/
/
2
'. . 'u u v u v
v v
−
 
=
 ÷
 

5/ y’
x
=y’
u
.u’
x
(x
n
)’=nx
n-1
'
1
x

 
 ÷
 
=
2
1
x
−
'
k
x
 
 ÷
 
=
2
k
x
−
1
( )'
2
x
x
=
(u
n
)’=nu
n-1
'

1
u
 
 ÷
 
=
2
'u
u
−
'
k
u
 
 ÷
 
=
2
. 'k u
u
−
'
( )'
2
u
u
u
=
(sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx

2
1
(tan )'
cos
x
x
=
2
1
( t )'
sin
co x
x
= −
(sinu)’=u’.cosu
(cosu)’=-u’.sinu
2
'
(tan )'
cos
u
u
u
=
2
'
( t )'
sin
u
co u

u
= −
'
2
( )
ax b ad bc
cx d cx d
+ −
 
=
 ÷
+ +
 
'
2
( )
ax b ad bc
cx d cx d
+ −
 
=
 ÷
+ +
 
B/ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0
) thuộc đồ thò hàm số : y=f’(x
0

)(x-x
0
)+y
0
.
B
1
: Công thức : y=f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
.
B
2
: Viết x
0
=….? , y
0
=…?
B
3
: Tính f’(x)=….?
⇒
f’(x
0
)=…..
B
4

: Thế f’(x
0
) , x
0
, y
0
vào ct : y=f’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
• Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ta cần ba tham số : f’(x
0
) , x
0
, y
0 .
• Để tính f’(x
0
) ta tính f’(x) sau đó thế x
0
vào f’(x) .
B. Tính giới hạn :
1/
3
lim (2 3 )
x
x x
→−∞

+ −
2/
3
lim ( 2 3 )
x
x x
→+∞
− + +
3/
3
lim ( 2 5 5)
x
x x
→−∞
− + +
4/
3
lim ( 2 5 5)
x
x x
→+∞
− + +
.
5/
4 2
lim ( 8 1)
x
x x
→−∞
− + −

6/
4 2
lim ( 8 1)
x
x x
→+∞
− + −
7/
4 2
1 3
lim ( )
2 2
x
x x
→−∞
+ −
8/
4 2
1 3
lim ( )
2 2
x
x x
→+∞
+ −
9/
1
3
lim
1

x
x
x
+
→
+
−
10/
1
3
lim
1
x
x
x
−
→
+
−
11/
2
1 2
lim
2 4
x
x
x
+
→
−

−
12/
2
1 2
lim
2 4
x
x
x
−
→
−
−
13/
2
2 3
lim
2
x
x
x
+
→
+
−
14/
2
2 3
lim
2

x
x
x
−
→
+
−
.
C. Tính giá trò của hàm số :
Bài 1: Cho hàm số y=
1
5
2
x −
.Tính f(0) , f(1), f(-1), f(2),f(-2) ,f(3),f(-3) ,f(
1
2
) , f(-
1
2
) .
Bài 2: Cho hàm số y=
4 2
2x x−
.Tính f(0),f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(
2
),f(-
2
),f(
3

) .
D. Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ Oxy : A(2;1),B(-3;2),C(-4;-1),D(0;-4),E(3;0),F(-2;0) G(0;2)
E. Vẽ các đường thẳng sau trên hệ trục tọa độ Oxy : y=1 , y=2,y=-3 ,y=x , x=-2,x=3 , y=2x-2 , y=-3x+1 .
F / GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
I/ Phương trình bật nhất : ax+b=0 (a
0≠
) Cách giải :
0
b
ax b x
a
+ = ⇔ = −
.
1
II/ Phương trình bậc hai :
2
0 ,( 0)ax bx c a+ + = ≠
 Trường hợp 1: Pt đầy đủ hệ số a,b,c .Ta giải bằng cách tính
∆
hoặc
'∆
.

2
4b ac∆ = −
2
' 'b ac∆ = −
với b’=
2
b

.
•
∆
< 0 : Pt vô nghiệm .
•
∆
= 0 : Pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
•
∆
> 0 : Pt có 2 n
0
phân biệt :
1
2
2
2
b
x
a
b
x
a
− + ∆
=

− − ∆
=
•
'∆
<0 : Pt vô nghiệm .
•
'∆
= 0 : Pt có nghiệm kép
1 2
'b
x x
a
= = −
•
'∆
> 0 : Pt có 2 n
0
phân biệt :
1
2
' '
' '
b
x
a
b
x
a
− + ∆
=

− − ∆
=
Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau bằng cách
tính
∆
hoặc
'∆
.
• 1/
2
1 0x x+ + =
2/
2
1 0x x+ − =
• 3/
2
2 1 0x x+ + =
4/
2
2 2 1 0x x− + + =
5/
2
3 2 0x x− + =
. 6/
2
2 (1 2) 1 0x x+ − − =
7/
2
3 1 0x x+ − =
8/

2
2 5 0x x− + + =
9/
2
( 3 3) (2 3) 0x x− + + − + =
 Trường hợp 2: Pt khuyết c , tức là c=0 .
Cách giải : Đặt thừa số chung đưa về pt tích :

2
0
0
0 ( ) 0
0
x
x
ax bx x ax b
b
ax b
x
a
=

=


+ = ⇔ + = ⇔ ⇔


+ =
= −




Bài tập áp dụng : Giải các pt sau bằng cách đặt thừa số chung :
1/
2
2 6 0x x+ =
2/
2
3 27 0x x− + =
3/
2
2 6 0x x+ =
4/
2
2 3 2 0x x− =
5/
2
22 2 0x x− + =
.
Trường hợp 3: Pt khuyết b , tức là b=0 . Giải bằng cách chuyển vế lấy căn bậc hai 2 vế
Cách giải :
2 2
0
c
x
c
a
ax c x
a

c
x
a

= −


+ = ⇔ = − ⇔

= − −


. Chú ý :
0
c
a
− >
.
Bài tập áp dụng : Giải các pt sau bằng cách chuyển về và lấy căn hai vế :
1/
2
4 0x − =
2/
2
4 64 0x − =
3/
2 2
( 1) 1 0m x m− − + =
4/
2

100 4 0x− + =
5/
2
2 4 0x − =
.
 Trường hợp 4 : Pt khuyết b,c , tức là b=0 , c=0 .
2
0 0ax x= ⇔ =
(chú ý : a
0
≠
)
VD :
2
1/ 2 0 0x x= ⇔ =
2/
2
2009 0 0x x− = ⇔ =
3/
2
(3 3) 0 0x x+ = ⇔ =
4/
2
10 0 0x x− = ⇔ =
G/ XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT f(x)=ax+b (a
0≠
) .
B
1
: Tìm nghiệm x=

b
a
−
B
2
: Lập bảng xét dấu :
Bài tập: Xét dấu các nhò thức sau : 1/ f(x)=2x-2 2/ f(x)=-3x-1 3/ f(x)=-2x
H/ XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI : f(x)=
2
ax bx c+ +
(a
0
≠
) .
1/ Trường hợp 1: f(x) vô nghiệm
⇒
f(x) cùng dấu với a .
x
-
∞

b
a
−
+
∞
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
2

Lập bảng xét dấu :

2/ Trường hợp 2: f(x) có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
⇒
f(x) cùng dấu với a
2
b
x
a
∀ ≠ −
(Chú ý: Tại x=
2
b
a
−
f(x) bằng 0 )
Bảng xét dấu :
3/ Trường hợp 2: f(x) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
. Xét dấu trong trái ngoài cùng .
Bảng xét dấu :
Bài tập : Xét dấu các tam thức bậc hai sau : 1/ f(x)=
2
2 3x x+ +
2/ f(x)=

2
2 3x x+ +
3/ f(x)=
2
3 4x x− + +
4/ f(x)=
2
2x x− +
5/ f(x)=
2
2 1x x− +
6/ f(x)=
2
3x −
7/
2
( ) 4f x x= −

8/ f(x)=
2
2 (1 2)x x+ − +
9/ f(x)=
2
4 16x− +
10/ f(x)=
2
2x mx+
với m>0 . 11/ f(x)=
2
x a+

, a<0 .
I/ Giải phương trình bậc ba :
1/ Cách 1: Sử dụng máy tính .
2/ Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức đưa về pt bậc nhất và bậc hai .
Bài tập : Giải các phương trình sau : 1/
3 2
3 2 0x x x− + =
2/
3 2
3 3 0x x− − =
3/
3
3 27 0x x− =
4/
3
27 0x− + =
5/
3 2
3 2 0x x− + =
6/
3 2
3 2 0x x x− + − =
7/
3 2
3 4 0x x+ − =
J/ Xét dấu đa thức bậc ba : f(x)=
3 2
( 0)ax bx cx d a+ + + ≠
• Tìm nghiệm .
• Lập bảng xét dấu : Khoảng đầu tiên trái dấu với a , qua đơn kép đổi dấu , qua nghiệm kép không đổi dấu .

Bài tập : Xét dấu các đa thức : 1/ f(x)=
3
4 4x x−
2/ f(x)=
3
4x x− +
3/ f(x)=
3
4 4x x− −
4/ f(x)=
3
4x x−
5/ f(x)=
3
4x x− +
6/ f(x)=
3
4x x− −
7/
3
3 27 0x x− =
8/
3 2
3 2 0x x x− + − =
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN TẬP ĐẦU NĂM 2008-2009
1/ TAM GIÁC :


Chú ý : Tính diện tích và tính chiều cao của tam giác .
x -

∞
+
∞
f(x) Cùng dấu a
x
-
∞

2
b
a
−
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Cùng dấu a
x -
∞
x
1
x
2
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
3
H
C
B
A
1. Diện tích S=

1
.
2
AH BC
. S=
1
.
2
BH AC
. S=
1
.
2
CH AB

2. Diện tích S=
( )( )( )p p a p b p c− − −
(p=
2
a b c+ +
) .
3. Diện tích S=
1 1 1
. .sin .sin
2 2 2
ab sinC ac B bc A= =
•
2/ TAM GIÁC VUÔNG :
Gọi I là trung điểm của BC :
1. AI là đường trung tuyến .

2. IA=IB=IC (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một phận hai cạnh huyền) .
3. I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Người ta còn gọi I là tâm của tam giác vuông .
3/ TAM GIÁC CÂN :
1. AB=AC .
2. Gọi M là trung điểm BC , AM là đường trung tuyến và cũng là
đường cao , trung trực , phân giác .
3.
AM BC⊥
.Diện tích S=
1
.
2
AM BC
.
4. TAM GIÁC ĐỀU .
1. AB=AC=BC=a .
2. Gọi H là trung điểm BC , khi đó AH là đường trung tuyến và cũng là
đường cao , trung trực , phân giác .
3.
AH BC⊥
. AH=
3
2
a
(đường cao = độ dài cạnh nhân
3
chia cho 2 )
4. Diện tích S=
2
3

4
a
, S=
1
.
2
AH BC
5. HÌNH BÌNH HÀNH :
• AB//DC và AB=DC , AD//BC và AD=BC .
• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường .
• AH=h là đường cao .Khi đó AH
⊥
DC và diện tích S=
1
. .
2
AH DC a h=
.
6. HÌNH THANG :
• AB//DC , AB=b đáy nhỏ , DC=a đáy lớn . .
• AD và BC là cạnh bên , AD không bằng BC .
• AH=h là đường cao . Khi đó : AH
⊥
DC . Diện tích S=
1
( )
2
a b h+
.
• AD không song song và không bằng BC . Hai đường chéo

Không bằng nhau .
7. HÌNH THANG CÂN :
4
1.
AB AC
⊥
và
AH BC
⊥
.
2. Diện tích : S=
1
.
2
AH BC
. S=
1
.
2
AB AC
.
3. Đònh lý pitago :
2 2 2
BC AB AC= + hay
2 2 2
a b c= +
4. (Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông ) .
5.
2 2 2
a b c= + suy ra :

2 2 2 2 2 2
,b a c c a b= − = −
.
6. ah.=bc ,
2 2 2
1 1 1
h b c
= =
,
2 2 2
'. ' , . ' , . 'h b c b a b c a c= = =
Tỉ số lượng giác :
1. Tìm sin lấy đối chia huyền , cosin lấy kề chia huyền
2.
sin
AC
B
BC
=
,
AB
cosC
BC
=
, tanB=
sin
cos
B AC
B AB
=

, cotB=
cos
sin
B AB
B AC
= =

b'
c'
h
a
b
c
H
I
A
C
B
M
B
C
A
a
H
C
A
B
h
a
H

D
A
B
C
h
a
b
H
D
C
A
B
h
a
b
H
A
D
C
B
• AB//DC , AB=b đáy nhỏ , DC=a đáy lớn .
• AD và BC cạnh bên . AD=BC .
• Hai đường chéo AC và BD : AC = BD , AC cắt BD tại trung điểm mổi đường .
• AH là đường cao . Khi đó : AH
⊥
DC . Diện tích S=
1
( )
2
a b h+

.
8. HÌNH CHỮ NHẬT :
• AB=DC=a , AD=BC =b . Góc :
µ µ
)
µ
0
90A B C D= = = =
.
•
AB ⊥
BC , AD
⊥
DC , DC
⊥
BC
• 2 đường chéo = nhau , cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường .
• OA=OB=OC=OD . 2 đường chéo không vuông góc với nhau .
• O là tâm hình chữ nhật . Hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Hình chữ nhật . Người ta gọi hình chữ nhật nội tiếp đường tròn .
• Diện tích : S=a.b .
9. HÌNH VUÔNG :
• AB=BC=CD=DA=a . Góc :
µ µ
)
µ
0
90A B C D= = = =
.
•

AB ⊥
BC , AD
⊥
DC , DC
⊥
BC
• 2 đường chéo = nhau , cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường .
• OA=OB=OC=OD . 2 đường chéo vuông góc với nhau . AC
⊥
BD .
• O là tâm hình vuông , hay Olà tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông .
• Diện tích : S=a.a=a
2

10 .HÌNH THOI :
• AB=BC=CD=DA . AC
⊥
BD . BD không bằng AC .
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường : OA=OC , OB=OD .
• Diện tích S=
1
. '
2
d d
.
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .
1/ Các hình biểu diễn cửa hình tứ diện ABCD .
2/ Các hình biểu diễn của hình chóp tứ giác S.ABCD .
3/ Đònh nghóa hình chóp đều : Một hình chóp gọi là hình chóp đều , nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng
nhau .

• Một hình chóp là hình chóp đều
⇔
đáy của nó là đa giác đều và đường cao của nó đi qua tâm của đáy (tâm của
đáy chính là tâm của tròn tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
5
O
a
b
C
A
D
B
a
a
O
D C
A
B
d
d'
O
D
C
A
B

D
B
C
A

D
B
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
D
A
B
C
S

D
A
B
C
S

D
A
B
C
D
A

B
C
S