DỰ BÁO THỜI TIẾT BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ- Lan Anh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA KHÍ TƯỢNG - THUỶ VĂN - HẢI DƯƠNG HỌC


BÀI THU HOẠCH

DỰ BÁO THỜI TIẾT BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Giảng viên:
GS. Trần Tân Tiến
Học viên:
Đặng Thị Lan Anh

TP.HCM-2018


1.

PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG SƠ DỒ SAI PHÂN HỮU HẠN
Để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn thì việc đầu tiên là phải chọn lưới không gian
và thời gian. Trong các mô hình chính áp, bài toán dự báo dự báo hai chiều, lưới
được chọn là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình tam giác. Thường thì hình vuông
được chọn nhiều hơn cả. Trong các mô hình tà áp, bài toán dự báo ba chiều, lưới
được chọn là lưới không gian với các mẫu là hình hộp chữ nhật hoặc lập phương.
Trong các điểm lưới nằm trên biên của miền dự báo là các điểm biên. Các điểm còn
lại là các điểm bên trong. Trong trường hợp biên miền dự báo không trùng với ccs
điểm lưới thì các điểm đường biên cắt các đường lưới sẽ tạo ra các điểm phụ. Tại
các điểm phụ này ta đặt điều kiện biên. Trong nhiều trường hợp người ta thay đường
biên cong bằng đường biên gấp khúc gồm các điểm lưới gần biên nhất. Các điểm
lưới mà ta có thể tiến hành sai phân huuwx hạn mà không có điểm ra ngoài biên của
miền lưới được gọi là các điểm điều hòa. Các điểm không điều hòa là các điểm biên

và các điểm bên trong nhưng khi tiến hành sai phân hữu hạn cho nó phải sử dụng
điểm lưới ra ngoài biên.
Sau khi xác định được lưới không gian, ta xây dựng các sơ đồ sai phân hữu hạn.
Phương pháp thong thường nhất là thay trực tiếp các đạo hàm bằng các sai phân hữu
hạn. Trên thực tế, người ta sử dụng các phương pháp khác như phương pháp hệ số
không xác định, phương pháp tích phân – nội suy.
Ta xét phương pháp hệ só không xác định qua thí dụ xây dựng sơ đồ sai phân với
phương trình khuếch tán:
(1.1)
ở đây là hệ số khuếch tán và được coi là hằng số.
Ta chọn lưới tính với các bước thời gian và bước không gian tương ứng với chỉ số
là s và q. Ta tiến hành sai phân hữu hạn phương trình (1.1) sẽ được:
(1.2)
Các hệ số và là các hệ số không xác định. Chúng sẽ được xác định để cho sơ đồ sai
phân hữu hạn (1.2) có bậc chính xác cao nhất có thể theo h và .
Sử dụng công thức phân tích hàm vào chuỗi Taylor:
Ta có :

2


Thay các biểu thức trên vào (1.2) và lấy kết quả trừ đi (1.1) ta tìm được dai số của
sơ đồ sai phân (1.2) gần đúng phương trình vi phân (1.1).
(1.3)

Để tìm được bậc gần đúng của phương trình (1.2) thì các hệ số của cá thành phần
trong chương trình (1.3) phải triệt tiêu, tức là:

(1.4)

Giải hệ phương trình đại số (1.4) ta tìm được:

Thay các hệ số này vào (1.2) ta được:
Đây là sơ đồ sai phân hữu hạn ẩn gần đúng phương trình 1.1) với độ chính xác bậc
hai theo không gian và bậc nhất theo thời gian. Phương pháp gần đúng sai phân hữu
hạn và phương pháp hệ số không xác định áp dụng cho các phương trình vi phân có
hệ và nghiệm lien tục, khả vi. Trường hợp phương trình vi phân không sử dụng
được phương pháp trên thì sử dụng phương pháp tích phân nội suy. Nội dung của
phương pháp này được trình bày qua thí dụ xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn đối với
phương trình bình lưu:
(1.5)
Với C= const.
Tương tự như trên ta sử dụng mẫu lưới hình 3.1 để xác định hàm
Tích phân phương trình (1.5) theo ô lưới giới hạn bằng các điểm và s, s+1.
Từ đây ta tìm được:
3


Đây là sơ đồ sai phân trung tâm hiện.
r

q+1

q

q-1

s-1

s

s+1

t

Hình 1.1 Mẫu lưới thời gian s, không gian q
Nếu ô lưới được thay bằng miền gồm các điểm ở các mực q-1,q+1,s-1,s+1 thì ta
nhận được sơ đồ sai phân hữu hạn trung tâm ẩn:
(1.6)
Trong trường hợp bài toán bình lưu ba chiều không tuyến tính, phương trình có
dạng:
(1.7)
Trên biên G, miền D không có sự trao đổi không khí với môi trường bên ngoài:
(1.8)
Ta xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn cho bài toán (1.6)-(1.8) bằng phương pháp tích
phân – nội suy trong miền D. Các điểm lưới có chỉ số Ta chọn các sao cho các
điểm biên của miền D đều trùng với điểm lưới.
Phương trình (1.6) kết hợp với (1.7) ta viết về dạng:
(1.9)
Mẫu lưới để tính được giới hạn bởi 4 điểm có chỉ số:
1:
2:
3:
4


4:
Trong không gian đây là khối hộp chữ nhật có trọng tâm là điểm các cạnh là .
Tích phân (1.9) theo các biến trong toàn mẫu lưới ta được:
Lấy tích phân theo thời gian, sử dụng công thức Ostrograski-Gauss ta được:

(1.10)
ở đây kí hiệu:

Phương trình sai phân hữu hạn (1.10) gần đúng (1.6) với độ chính xác bậc hai và
thỏa mãn phương trình liên tục.
Lấy tổng 2 vế của (1.10) và tính đến điều kiện biên (1.8) ta được:
(1.11)
Từ (1.11) ta thấy bảo toàn theo thời gan, tức là:
Sơ đồ (1.10) bảo toàn đại lượng trong miền D
2.

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN THEO KHÔNG GIAN VÀ
THỜI GIAN

Các trường khí tượng thủy văn là một hàm lien tục trong không gian và thời gian.
Việc xác định và tính toán các trường này chỉ có thể tiến hành trên một số điểm hữu
hạn, rời rạc trong miền xác định của bài toán đặt ra. Người ta thường đánh số các
điểm trong miền xác định của nó bằng các chỉ số I theo trục Õ, j theo trục Oy, k theo
trục Oz (hoặc theo áp suất) và s theo thời gian. Các chỉ số trên xác định bằng công
thức:
(2.1)
5


Ở đây là bước tính theo không gian và thời giantuwowng ứng. Tập hợp tất cả các
điểm trên trong miền không gian, thời gian tạo thành lưới không – thời gian và các
điểm lưới gọi là các nút lưới.
Trường khí tượng f(x,y,z,t) được cho tại các điểm lưới của miền tính. Giá trị của
hàm số tại các điểm nút được ký hiệu là . Như vậy một trường sẽ là tập hợp một số

giá trị hữu hạn . Việc tính toán với một trường khí tượng ta sẽ phải tính với các giá
trị của chúng tại các thời điểm rời rạc trong không gian và thời gian.
Sử dụng phương pháp lưới để xác định các toán tử thì giá trị của nó tìm được phụ
thuộc vào phương pháp gần đúng toán tử trên tập hợp giá trị hàm tại các nút lưới.
3.

XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH:

Bài toán: Xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình sau:

6


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Tân Tiến – Phương pháp số dự báo thời tiết – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội
2007

7