Tổng hợp lý thuyết môn toán giải tích 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

MỤC LỤC

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 1


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu
định trên

K
K

là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
ta có:

( )

y=f x
•

( )

y=f x

Hàm số

được gọi là đồng biến (tăng) trên

( )

K

xác

nếu:

( )

∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2

( )

y=f x
•

Hàm số

được gọi là nghịch biến (giảm) trên

( )

( )

K

nếu:

∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
* Nhận xét:

•

•
•
•

được gọi chung là đơn điệu trên

⇔

( )

f x
•

K

x2 − x1

( )

( )

( )

Nếu

( )

> 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2.

f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒

( )

( )

f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒
Nếu

( )

Nếu

( )

Nếu

( )

( )

( )

( )

f x
hàm số

( )

nghịch biến trên khoảng

f x
hàm số

đồng biến trên khoảng

không đổi trên khoảng

( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) .

f x
•

( )

Hàm số
đồng biến trên K
Khi
đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

f x2 − f x1
⇔
< 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2.
f x
x2 − x1
Hàm số
nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒
f x
a;b .
Nếu
hàm số
đồng biến trên khoảng

f x
•

( )

f x2 − f x1

K

nghịch biến trên khoảng

( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) .

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142

Page 2

( a;b) .

( a;b) .


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
•

Nếu thay đổi khoảng

( a;b)

bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải

( )

f x
bổ sung thêm giả thiết “hàm số
khoảng đó”.
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

( )

( )

liên tục trên đoạn hoặc nửa

u = u x ; v = v x ;C :

Quy tắc tính đạo hàm: Cho
′
u ± v = u′ ± v′.
• Tổng, hiệu:
′
′
uv
. = u′.v + v′.u ⇒ C .u = C .u′.
• Tích:

(

)

( )

(

)

 u  u′.v − v′.u
 C ′
C .u′
=
,
v
≠
0
⇒
=

−
 ÷

÷
v2
u2
v
u

(

•

Thương:

là hằng số .

)

( )

( )

y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ .ux′
•

Đạo hàm hàm hợp: Nếu

.

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ Đạo hàm của hàm hợp
cấp
′
′
C =0
xα = α .xα −1
(C là hằng số).
′
′
xα = α .xα −1
uα = α .uα −1.u′

( )

( )

( )

( )

 1 ′
1
 ÷ = − 2 (x ≠ 0)
x
x

 1 ′
u′
 ÷ =− 2 u ≠ 0

u
u

( x ) ′ = 21x ( x > 0)

( u ) ′ = 2u′u ( u > 0)

( sinx) ′ = cosx

( sinu) ′ = u′.cosu

( cosx) ′ = − sin x

( cosu) ′ = −u′.sinu

( tan x) ′ = cos1 x

( tanu) ′ = cosu u

( cot x) ′ = − sin1 x

( cot u) ′ = − sinu u

2

2

(

)

′

2

′

2

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 3


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

( e ) ′ =e
x

( e ) ′ = u′.e

x

u

u

( a ) ′ = a .lna

( a ) ′ = u′.a .lna

( ln x ) ′ = x1

( ln u ) ′ = uu′

( log x ) ′ = xln1 a

u′
( log u ) ′ = u.ln
a

x

x

u

a

u

a

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
 ax + b ′
ad − bc
.

÷ =
2

 cx + d 
cx + d

(

•

)

a   b

x2 + 2

a   c

x+

d   f
 ax2 + bx + c ′ d   e
=
 2
÷
 dx + ex + f 
dx2 + ex + f

(

•

)

b   c
e   f

2

.

1.5. Đạo hàm cấp 2
1.5.1. Định nghĩa
′
f ′′ ( x) =  f ′ ( x) 

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

()

s=f t
Gia tốc tức thời của chuyển động
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
f

* Một số chú ý:

( n)

( )

n −1

Nếu hàm số

( )

( )

( )

là:

gx
và

( )

.

cùng đồng biến (nghịch biến) trên

f x +g x
số

( )

a t0 = f ′′ t0 .

′

( x) =  f ( ) ( x)  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2)

f x
•

tại thời điểm

t0

cũng đồng biến (nghịch biến) trên

( )

K.

K

thì hàm

Tính chất này có

( )

f x −g x

•

thể không đúng đối với hiệu
.
f x
gx
Nếu hàm số

và
là các hàm số dương và cùng đồng biến

( )

(nghịch biến) trên

( )

K

( ) ( )

f x .g x
thì hàm số

cũng đồng biến (nghịch

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 4


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
biến) trên

K.

Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số

( ) ( )

f x ,g x

•

K.
không là các hàm số dương trên
u=u x
x ∈ a;b
Cho hàm số
, xác định với
và

( )

( )

( )

f u( x) 

( )

.

u=u x
Giả sử hàm số

( )

x ∈ a;b
đồng biến với

( )

( )

x ∈ a;b ⇔ f u
đồng biến với

( )

đồng biến với

u=u x
•

. Hàm số

x ∈ a;b

cũng xác định với
Ta có nhận xét sau:
•

( ) ( )

u x ∈ c;d

Giả sử hàm số

( )

nghịch biến với
x∈ ( a; b) ⇔ f ( u)

f u x 

nghịch biến với
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
f
K
Giả sử hàm số có đạo hàm trên

( )

f' x ≥0
với mọi

x∈K

. Khi đó, hàm số

u∈ ( c; d)

x ∈ ( a; b)

.
. Khi đó, hàm số

( )

u ∈ c;d
nghịch biến với

( )

f' x =0

•

Nếu

•

f
x∈ K
K
hạn điểm
thì hàm số đồng biến trên .
f' x ≤0
f' x =0
x∈K
Nếu
với mọi
và
chỉ tại một số hữu

( )

hạn điểm

và

chỉ tại một số hữu

( )

x∈K

thì hàm số

f

nghịch biến trên

K

.

Chú ý:

y=
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
y′
dấu đạo hàm
không xảy ra.

( )

ax + b 
d
x ≠ − ÷
cx + d 
c

thì dấu

"= "

khi xét

( )

y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c.
Giả sử

Hàm số đồng biến trên

¡

f u( x) 

Hàm số nghịch biến trên

¡

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 5

.


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 a > 0

 ∆ ≤ 0
⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a = 0 .

 b = 0

c>0
 

 a < 0

 ∆ ≤ 0
⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a = 0 .

 b = 0

c<0
 

( )

( )

( )

f x =d

a =b=c = 0

0

c

Trường hợp 2 thì hệ số khác vì khi
thì
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều
l
trên khoảng có độ dài bằng ta giải như sau:

(

)

y′ = f ′ x;m = ax2 + bx + c.
Bước 1: Tính

( x ;x ) ⇔ y′ = 0
1

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

2

có

2

nghiệm phân biệt

 ∆ > 0
⇔
a ≠ 0

( *)

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng

(

⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2

Bước 4: Giải

( *)

và giao với

)

2

− 4x1x2 = l 2 ⇔ S2 − 4P = l 2

( * *)

l

( * *)

để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
f

Giả sử hàm số
•

x0
x0

xác định trên tập K và

x0 ∈ K

là điểm cực tiểu của hàm số
sao cho

( a;b) ⊂ K

( )

f

. Ta nói:
nếu tồn tại một khoảng

( )

( ) { }

f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0
và

. Khi đó

( a;b)
f ( x0 )

f

gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 6

chứa
được

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
•

x0
x0

•
•
•
•

•

là điểm cực đại của hàm số

( a;b) ⊂ K

sao cho

( )

f

nếu tồn tại một khoảng

( )

( ) { }

f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0
và

( a;b)
( )

chứa

f x0
. Khi đó

được

f
gọi là giá trị cực đại của hàm số .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của
hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị
(hay cực trị) của hàm số.

Nếu

x0

( x ;f ( x ) )
0

là điểm cực trị của hàm số thì điểm

0

được gọi là điểm

f

cực trị của đồ thị hàm số
* Nhận xét:

.

( )

f x0
•

Giá trị cực đại (cực tiểu)
(nhỏ nhất) của hàm số

f

nói chung không phải là giá trị lớn nhất

trên tập D;

f

nhất) của hàm số
khác khi

x0

( )

f x0

trên một khoảng

( a;b)

chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ
nào đó chứa

•

( )

Giả sử hàm số

( )

đạt cực trị tại điểm

x0

( )

y=f x
. Khi đó, nếu

có đạo hàm

( )

f ′ x0 = 0.
thì

Chú ý:
•

sao

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng
f
K
Hàm số
có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập .
Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

y=f x

tại điểm

x0

( a;b) .

f

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:

x0

hay nói cách

điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa

f x0
cho

x0

Đạo hàm

f ′ ( x)

cực trị tại điểm

có thể bằng
x0

0

tại điểm

x0

nhưng hàm số

f

không đạt

.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 7


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
•
•

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo
hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm
0
số bằng hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
x0
f
f
Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số
có đạo hàm tại

điểm

x0

thì

f '( x0 ) = 0

.

( )

f′ x > 0
•

Nếu
thì

•

(x

0

trên khoảng

− h;x0

)

( )

f′ x < 0
và

( x ;x
0

trên khoảng

0

+h

)

( )

f x .

x0

là một điểm cực đại của hàm số
f′ x < 0
x0 − h;x0
f′ x > 0
( x0; x0 + h)
Nếu
trên khoảng
và

trên khoảng
thì

( )

x0

(

)

( )

( )

f x .
là một điểm cực tiểu của hàm số

2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:

( )

f′ x .
•
•

•

Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

xi

Bước 2: Tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
f′ x
f′ x
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
. Nếu
đổi

( )

dấu khi đi qua
Định lí 3:

( i = 1;2;...)

( )

xi

thì hàm số đạt cực trị tại

y=f x
Giả sử

0

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

( )

( )

f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < 0
•

Nếu

(x

( )

xi

.

− h;x0 + h

)

với

f

thì hàm số

f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > 0

đạt cực đại tại
f

Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
•

( )

h > 0.

Khi đó:

x0.
x0.

( )

f′ x .
•

Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 8

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
xi

( i = 1;2;...)

Bước 2: Tìm các nghiệm
của phương trình
f ′′ x
f ′′ xi .
• Bước 3: Tính
và tính
f ′′ xi < 0
xi .
f
∗ Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
f ′′ xi > 0
xi .
f
∗ Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
•

( )

( )

f ′ x = 0.

( )

( )
( )

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
y = ax3 + bx2 + cx + d.

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ
cho trước
Bài toán tổng quát:

(

)

y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d.
Cho hàm số

Tìm tham số m để hàm số

x1, x2

K
có cực đại, cực tiểu tại
thỏa mãn điều kiện
cho trước?
Phương pháp:
• Bước 1:

D =¡.
∗ Tập xác định:
y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C
∗ Đạo hàm:
• Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có
cực đại và cực tiểu)
⇔ y′ = 0
y′
có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt
A = 3a ≠ 0
a ≠ 0
⇔
⇔
⇒ m ∈ D1.
 2
2
2
∆y′ = B − 4AC = 4b − 12ac > 0
b − 3ac > 0
•

•

Bước 3:
x1, x2

y′ = 0.
Gọi
là hai nghiệm của phương trình

B
2b
x1 + x2 = − = −
A
3a .

C
c
x .x =
=
 1 2 A 3a
Khi đó:
Bước 4:
K
S
P
Biến đổi điều kiện
về dạng tổng
và tích . Từ đó giải ra tìm

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 9


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

m ∈ D2.
được
Bước 5:

•

Kết luận các giá trị m thỏa mãn:

m = D1 ∩ D2.

(

)

y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ 0 .
* Chú ý: Hàm số bậc ba:
y ' = 3ax2 + 2bx + c.

Ta có:

Điều kiện




b2 − 3ac ≤ 0

Kết luận
Hàm số không có cực trị.

b2 − 3ac > 0

Hàm số có hai điểm cực trị.

Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt trái dấu
⇔ AC
. = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.



Hàm số có hai cực trị cùng dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
∆y′ > 0

⇔
C
>0
P = x1.x2 =

A



Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt

∆y′ > 0

B
⇔ S = x1 + x2 = − > 0
A

C
P = x .x =
>0
1 2

A



Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt

∆y ' > 0


B
⇔ S = x1 + x2 = − < 0
A

C
P = x .x =
>0
1 2

A



Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị

x1, x2

thỏa mãn:

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 10


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
x1 < α < x2
x1 < x2 < α

α < x1 < x2
Hai cực trị



x1, x2

(

thỏa mãn

)(

x1 < α < x2

)

(

)

⇔ x1 − α x2 − α < 0 ⇔ x1.x2 − α x1 + x2 + α 2 < 0
x1 < x2 < α

x1, x2

Hai cực trị
thỏa mãn
 x − α x − α > 0
x .x − α x + x + α 2 > 0
1
2

1
2
⇔
⇔ 1 2
x
+
x
<
2
α
x
+
x
<
2
α
2
2
 1
 1



(

)(

)

(

)

α < x1 < x2

x1, x2

Hai cực trị
thỏa mãn
 x − α x − α > 0
x .x − α x + x + α 2 > 0
1
2
1
2
⇔
⇔ 1 2
x + x2 > 2α
x + x2 > 2α
 1
 1



(

)(

)

(

)

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
−b
x=
3a
khi có 1 nghiệm là
, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1


x = −3

d
a

nghiệm là
.
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm
cùng phía, khác phía so với một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

(

)

(

A xA ;yA , B xB ;yB

Cho 2 điểm

( ax

A

Nếu

)(

)

và đường thẳng

+ byA + c axB + byB + c < 0

hai phía so với đường thẳng

( ax

A

Nếu

)

)(

thì hai điểm

∆ : ax + by + c = 0.

A, B

nằm về

∆.

)

+ byA + c axB + byB + c > 0
thì hai điểm

A, B

nằm cùng

∆.
phía so với đường thẳng
Một số trường hợp đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục
Oy
⇔
hàm số có 2 cực trị cùng dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142

Page 11


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
•

⇔

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục
Oy

hàm số có 2 cực trị trái dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm trái dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục
Ox
yC Đ .yCT > 0
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
Đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với
trục Ox
yC Đ .yCT > 0

yC Đ + yCT > 0

y′ = 0
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với
trục Ox
yC Đ .yCT > 0

y + yCT < 0
y′ = 0
 C Đ
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

⇔

⇔

yC Đ .yCT < 0

y′ = 0

phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
⇔
đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

f x =0
⇔
phương trình hoành độ giao điểm
có 3 nghiệm phân
biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)
3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

( )

 2c 2b2 
bc
g x = −
÷x + d −
9a
 3 9a 

( )

g( x) = y −

y′.y′′
.
18a

( )

g x =y−

y′.y′′
3y′′′

hoặc
hoặc
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

AB =

4e + 16e3
a

e=

với

b2 − 3ac
9a

y = ax4 + bx2 + c,
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ
⇔ ab ≥ 0.
• Hàm số có một cực trị

( a ≠ 0)

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
• Hàm số có ba cực trị

⇔ ab < 0.

a > 0
⇔
b ≥ 0

• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu

a < 0
⇔
b ≤ 0

• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại

• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại

a > 0
⇔
b < 0
a < 0
⇔
b > 0

.

.

.

.

3.2.2. Một số công thức tính nhanh

Giả sử hàm số

y = ax4 + bx2 + c

có

3


b
∆
A(0;c), B  − − ; − ÷,C

2a 4a ÷



cực trị:
ABC
ab < 0
tạo thành tam giác
thỏa mãn dữ kiện:

·
BAC
=a
Đặt:


b
∆
 − ;− ÷

2a 4a ÷



α −b3
cot
=
2 8a
2

Tổng quát:

Dữ kiện

Tam giác
Tam giác
Tam giác
Tam giác
Tam giác
nội tiếp

Công thức
ABC
ABC
ABC

ABC

vuông cân tại

A

có diện tích

ABC

S∆ABC = S0
max(S0)

có bán kính đường tròn

r∆ABC = r0

thỏa mãn
b3 = −8a
b3 = −24a

đều
có diện tích

ab < 0;c ≠ 0

32a3(S0)2 + b5 = 0

S0 = −
r =

b5
32a3
b2


b3 
÷
4 a 1 + 1−

8a ÷



Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 13


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
ABC

Tam giác
ngoại tiếp

Tam giác

có bán kính đường tròn

R∆ABC = R
BC = m0

ABC

có độ dài cạnh
AB = AC = n0
ABC
Tam giác
có độ dài
B,C ∈ Ox
ABC
Tam giác
có cực trị
ABC
3
Tam giác
có góc nhọn
ABC
O
Tam giác
có trọng tâm
ABC
O
Tam giác
có trực tâm

ABC
O
Tam giác
cùng điểm
tạo thành
hình thoi
ABC
O
Tam giác
có
là tâm đường tròn
nội tiếp
ABC
O
Tam giác
có
là tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC
BC = kAB = kAC
Tam giác
có cạnh
ABC
Trục hoành chia tam giác
thành
hai phần có diện tích bằng nhau
ABC
Tam giác
có điểm cực trị cách đều
trục hoành

C : y = ax4 + bx2 + c
Đồ thị hàm số
cắt
Ox
trục
tại 4 điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng
Định tham số để hình phẳng giới hạn

R=

am02 + 2b = 0
16a2n02 − b4 + 8ab = 0
b2 = 4ac
b(8a + b3) > 0

b2 = 6ac
b3 + 8a − 4ac = 0
b2 = 2ac
b3 − 8a − 4abc = 0
b3 − 8a − 8abc = 0

b3.k2 − 8a(k2 − 4) = 0

b2 = 4 2 ac
b2 = 8ac

( )

( C ) : y = ax

4

+ bx2 + c

b3 − 8a
8a b

b2 =

100
ac
9

b2 =

36
ac
5

bởi đồ thị
và trục
hoành có diện tích phần trên và phần
dưới bằng nhau.
∆ABC
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
là:

2 ∆


2 ∆ 
x2 + y2 −  −
+ c ÷y + c  −
÷= 0
 b 4a

 b 4a 
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 14


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
4.1. Định nghĩa.

( )

y=f x
Cho hàm số

xác định trên tập

D.

( )

y=f x
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

 f (x) ≤ M , ∀x ∈ D

∃x0 ∈ D, f (x0) = M

•

Số

m

trên

D

nếu:

M = max f ( x)
x∈D

. Kí hiệu:

.

( )

y=f x
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

 f (x) ≥ m, ∀x ∈ D


∃x0 ∈ D, f (x0) = m

trên

D

nếu:

m = minf (x)
x∈D

. Kí hiệu:
.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
f′ x = 0
f ′ ( x)
x1, x2,..., xn ∈ D
• Bước 1: Tính
và tìm các điểm
mà tại đó
hoặc
hàm số không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Bước 1:

( )

( )

y=f x
∗ Hàm số đã cho
∗ Tìm các điểm

xác định và liên tục trên đoạn

x1, x2,..., xn

trên khoảng

( a;b)

a;b .

( )

f′ x = 0
, tại đó

( )

f′ x
hoặc

không xác định.
f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .
• Bước 2: Tính

• Bước 3: Khi đó:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

{ ( ) ( )

( ) ( ) ( )}

( )

{ ( ) ( )

( ) ( ) ( )}

max f x = max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
∗

a,b

min f x = min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
∗

a,b

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
f ′(x)

• Bước 1: Tính đạo hàm
.
xi ∈ (a;b)
f ′(x) = 0
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm
của phương trình
và tất cả
các điểm

αi ∈ (a;b)

làm cho

f ′(x)

không xác định.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 15


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

A = lim+ f (x) B = lim− f (x) f (x ) f(α )
i
i
x→a
x→b
• Bước 3. Tính

,
,
,
.
M = maxf (x) m = minf (x)
(a;b)

• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

(a;b)

,
.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất).
Chú ý:
min f x = f a
 a;b

f x =f b
max
y=f x
a;b
 a;b
• Nếu
đồng biến trên
thì
.
min f (x) = f b
 a;b

.

max
f
(
x
)
=
f
a

y=f x
a;b
 a;b
• Nếu
nghịch biến trên
thì
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó.

( )
( )

( )

( )
( )

( )
( )

( )

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1. Đường tiệm cận ngang
y = f (x)
Cho hàm số
xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

( a; +∞ ) , ( −∞;b)

( −∞; +∞ )

y = y0
). Đường thẳng
là đường tiệm cận ngang (hay
y = f (x)
tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều kiện

hoặc

lim f (x) = y0, lim f (x) = y0

x→+∞

x→−∞

sau được thỏa mãn:
5.2. Đường tiệm cận đứng

x = x0
Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của
y = f (x)
đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim+ f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim+ f (x) = −∞ , lim− f (x) = +∞
x→x0

x→ x0

x→x0

x→ x0

y=
Lưu ý:

Với đồ thị hàm phân thức dạng
y=

cận ngang là

a
c

và tiệm cận đứng

ax + b
c ≠ 0; ad − bc ≠ 0

cx + d

(

)
luôn có tiệm

d
x=− .
c

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 16


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
y = ax3 + bx2 + cx + d
6.1.1. Hàm số bậc ba
a>0
TRƯỜNG HỢP

( a ≠ 0)
a< 0

y/ = 0

Phương trình

có
2 nghiệm phân biệt

Phương trình
có nghiệm kép

Phương trình
vô nghiệm

y/ = 0

y/ = 0

y = ax4 + bx2 + c
6.1.2. Hàm số trùng phương
a>0
TRƯỜNG HỢP
Phương

( a ≠ 0)
a< 0

trình

y/ = 0

có
3 nghiệm phân
biệt
(ab<0)

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 17


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Phương

trình

y/ = 0

có
1 nghiệm.

y=

6.1.3. Hàm số nhất biến
D = ad − bc > 0

ax + b
cx + d

( c ≠ 0, ad− bc ≠ 0)
D = ad − bc < 0

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị

( C ) : y = f ( x)

( )
( )

 f x
y=f x =
 f −x

( )

Ta có:

suy ra đồ thị

( )

khi x < 0

* Cách vẽ

là hàm chẵn nên đồ thị

( C ′)

từ

(C )

.

khi x ≥ 0

y=f x
và

( C ′) : y = f ( x )

( C′ )

nhận Oy làm trục đối xứng.

:

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của

(C )

( C ) : y = f ( x)

.

, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ

qua Oy.
Ví dụ: Từ đồ thị
suy ra đồ thị

( C ) : y = f ( x) = x

( C ′) : y = x

3

3

− 3x

(C ) : y = x

3

( )

3

− 3x C ′ : y = x − 3 x

− 3x
.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 18


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Biến đổi

(C )

:

• Bỏ phần đồ thị của

trái

Oy,

giữ nguyên

(C )
(C )

bên
bên

Oy.
phải
• Lấy đối xứng phần đồ thị được

giữ qua

Oy

.

6.2.2. Dạng 2

( C ) : y = f ( x)

Từ đồ thị

( )
( )

 f x
y= f x =
 − f x

( )

Ta có:

suy ra đồ thị

( C ′)

* Cách vẽ

từ

( C)

( C ′) : y = f ( x)

( )
f ( x) < 0

.

khi f x ≥ 0
khi

:

( )

y=f x

• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Ox.
dụ:

Ví

Từ

( C ) : y = f ( x) = x

3

đồ

thị

− 3x

( C ′) : y = x

3

− 3x ( C ) : y = x3 − 3x

suy ra đồ thị

y = x3 − 3x
.

Biến đổi
•

( C)

Bỏ phần đồ thị của
dưới

•

:

Ox,

giữ nguyên
Ox.

(C )
(C )

phía trên
Lấy đối xứng phần đồ thị
Ox
bị bỏ qua
.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 19


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

( C ′′) : y =

3

x − 3x

( )

y= f x

Chú ý với dạng:

( )

y=f x
ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị

( )

y= f x

và
Ví

dụ:

Từ

( C ) : y = f ( x) = x

3

đồ

− 3x
suy ra đồ thị

3

(C )

y = x − 3x

. Biến đổi
đồ thị

( C ′) : y = x

( C ′) : y = x
( C ′′) : y =

3

thị

3

để được

− 3x
. Biến đổi

− 3x
ta được đồ thị
3

x − 3x

.
6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị

( C ) : y = u ( x) .v ( x)

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

u x .v x = f x
y = u x .v x = 
−u x .v x = f x

( ) ( )

Ta có:

suy ra đồ thị

* Cách vẽ

( C ′)

từ

( C)

( C ′) : y = u ( x) .v ( x)

( )
khi u ( x ) < 0

khi u x ≥ 0

:

( )

u x ≥0
•

Giữ nguyên phần đồ thị trên miền

( )

u x <0
•

Ví dụ
a)

Bỏ phần đồ thị trên miền
bỏ qua Ox.
Từ

.

đồ

của

(C )

của đồ thị

( C ) : y = f ( x)

.

, lấy đối xứng phần đồ thị bị

thị
b) Từ đồ thị

( C ) : y = f ( x) = x x− 1

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 20


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

( C ) : y = f ( x) = 2x

3

− 3x2 + 1
suy ra đồ

( C ′) : y = x − 1 ( 2x

2

thị

( C ′) : y =

)

(

)

( )
( )

Đồ thị (C’):
• Giữ nguyên (C) với
• Bỏ (C) với

x<1

x−1

suy ra đồ thị

−x−1

 f x
y = x − 1 2x2 − x − 1 = 
− f x

x

 x
khi x ∈ 1; +∞

khi x < 1 y =
= x − 1
.
x − 1 − x
khi x ∈ −∞;1
 x − 1

khi x ≥ 1

x≥ 1
.

(
(

x

Đồ thị (C’):

. Lấy đối xứng
phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

•

Bỏ phần đồ thị của
x < 1,

giữ nguyên

)
)

(C )
(C )

với
với

x > 1.
•

Lấy đối xứng phần đồ thị bị
Ox.
bỏ qua

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện
phép suy đồ thị nên lấy đối xứng
các điểm đặc biệt của (C): giao điểm
với Ox, Oy, CĐ, CT…
Nhận xét: Đối với hàm phân thức
thì nên lấy đối xứng các đường
tiệm cận để thực hiện phép suy
đồ thị một cách tương đối chính
xác.
7. TIẾP TUYẾN
7.1. Tiếp tuyến
y = f ( x)

Cho hàm số

(

)

( )(

có dạng:

(

)

y = f ′ x0 x − x0 + y0

M 0 x0;y0 ∈ (C )
Trong đó:

, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

)

.

M 0 x0;y0 ∈ (C )
Điểm
được gọi là tiếp điểm. ( với
số góc của tiếp tuyến.

( )

y0 = f x0

( )

k = f ' x0
) và

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 21

là hệ


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
7.2. Điều kiện tiếp xúc

y
y0
x

x0 O

Ch

( C ) : y = f ( x)

o hai hàm số

chỉ khi hệ phương trình:

và

( C ') : y = g( x)

( ) ( )
( ) ( )

 f x = g x
 /
/
 f x = g x

. Đồ thị

(C )

và

( C ′)

tiếp xúc nhau khi

có nghiệm.

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

(C 1)

và

y = g(x)

(C 1)

có đồ thị

(C2 )

.

()

f (x) = g(x) 1

(C2 )

Phương trình hoành độ giao điểm của
và
là
. Khi đó:
(C 2)

(C1)
( 1)
• Số giao điểm của
và
bằng với số nghiệm của phương trình
.
•
•

Nghiệm

x0

của phương trình

Để tính tung độ

y0

( 1)

chính là hoành độ

x0

của giao điểm, ta thay hoành độ

của giao điểm.
x0

( )

y=f x
vào

( )

y=g x

•

Điểm

.
M ( x0 ; y0 )

là giao điểm của

(C 1)

và

(C 2)

.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 22

hoặc


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
(C m )
f
y = f (x, m)
Xét họ đường cong
có phương trình
, trong đó
là hàm đa thức
x
m
theo biến với
là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố
m
định thuộc họ đường cong khi
thay đổi?
Phương pháp giải:
y = f (x, m)
m
• Bước 1: Đưa phương trình
về dạng phương trình theo ẩn
có

dạng sau:
• Bước 2:

Am + B = 0

hoặc

Am2 + Bm + C = 0

Cho các hệ số bằng

A = 0

B = 0

phương trình:
• Bước 3: Kết luận:

hoặc

0

, ta thu được hệ phương trình và giải hệ

A = 0

B = 0
C = 0


- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong

.

.

(C m )

không có điểm cố định.
(C m )
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của
.
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên
(C )
y = f (x)
Cho đường cong
có phương trình
(hàm phân thức). Hãy tìm những
điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ
của điểm đó đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
• Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
• Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
(C)
y = f (x)
Cho đường cong
có phương trình
. Tìm những điểm đối xứng nhau
qua một điểm, qua đường thẳng.
Bài toán 1: Cho đồ thị

( C ) : y = Ax

điểm đối xứng nhau qua điểm
Phương pháp giải:

3

I (xI , yI )

+ Bx2 + Cx + D
trên đồ thị

(C )

tìm những cặp

.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 23


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

)

(

M a;Aa3 + Ba2 + Ca + D , N b;Ab3 + Bb2 + Cb + D
• Gọi

xứng nhau qua điểm

• Ta có

I

(

)

(

a,b

)

đối

(C )

+ Bx2 + Cx + D

3

Bài toán 2: Cho đồ thị
điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

(

.

từ đó tìm được toạ độ M, N.

( C ) : y = Ax

. Trên đồ thị

) (

M a, Aa3 + Ba2 + Ca + D , N b, Ab3 + Bb2 + Cb + D
• Gọi

là hai điểm trên

(C )

.

a + b = 2xI

3
3
2
2
A(a + b ) + B a + b + C a + b + 2D = 2yI

Giải hệ phương trình tìm được

)

)

tìm những cặp

là hai điểm trên

( C)

đối

xứng nhau qua gốc tọa độ.

• Ta có

a + b = 0

3
3
2
2
A(a + b ) + B a + b + C a + b + 2D = 0

(

)

(

)

.

a,b
• Giải hệ phương trình tìm được

Bài toán 3: Cho đồ thị

( C ) : y = Ax

3

từ đó tìm được toạ độ
+ Bx2 + Cx + D
trên đồ thị
d : y = A1x + B1

điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
Phương pháp giải:

(

)

(

xứng nhau qua đường thẳng

• Ta có:

I ∈ d
(1)
 uuuur r
MN .ud = 0 (2)

d

(C )

.

tìm những cặp

.

M a; Aa3 + Ba2 + Ca+ D , N b; Ab3 + Bb2 + Cb+ D
• Gọi

M ,N

)

là hai điểm trên

(với
là trung điểm của

d
phương của đường thẳng ).
• Giải hệ phương trình tìm được M, N.

MN

và

r
ud

là vectơ chỉ

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
9.4.1. Lý thuyết:

(

) (

• Cho hai điểm

)

đối

.

I

A x1;y1 ;B x2;y2

( C)

⇒ AB =

(x

2

− x1

) + (y
2

2

− y1

)

2

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 24


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

M x0;y0
• Cho điểm

đến

d

(

)

h M ;d =

)

và đường thẳng

d : Ax + By + C = 0

, thì khoảng cách từ

M

Ax0 + By0 + C
A2 + B 2

là

.

ax + b
cx + d

y=
• Cho hàm phân thức:

tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M
MAB
là trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác
không đổi:
SMAB =

2
ad − bc
c2

.
9.4.2. Các bài toán thường gặp
y=

(

)

ax + b
c ≠ 0, ad − bc ≠ 0
cx + d

(C )

Bài toán 1: Cho hàm số
có đồ thị
. Hãy tìm trên
(C )
A
B
AB
hai điểm
và
thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách
ngắn nhất.
Phương pháp giải:

•

(C )

x=−
có tiệm cận đứng

d
c

do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm

về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số

• Nếu

xA < −

A

thuộc nhánh trái:

Nếu
• Sau đó tính:
•

(

AB 2 = xB − xA

thuộc nhánh phải:

) + (y
2

B

− yA

)

2

(

là hai số dương.

d
d
d
⇒ xA = − − α < −
c
c
c yA = f (xA )
;
.
xB > −

B

α, β

) (

d
d
d
⇒ xB = − + β > −
c
c
c yB = f (xB )
;
.

)

2

(

=  a + β − a − α  + yB − yA



)

2

.

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.

(C )

y = f (x)
M
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
có phương trình
. Tìm tọa độ điểm
(C)
M
thuộc
để tổng khoảng cách từ
đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 25