Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (911.95 KB, 20 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Người thực hiện: Trịnh Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
1. Mở đầu 1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………...……………… …….......................1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………..………………………………………1
1.3. Đối tượng nghiên cứu………….………………………………………2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….....2
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2
2.1.
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2
2.2.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích
hình phẳng 3
2.3.1. Lý thuyết cơ bản 3
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề 4
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận…………………………………………5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..18
3. Kết luận, kiến nghị
3.1.
Kết luận
18
18
3.2. Kiến nghị…………………………………..…………………………...19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác,
lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ
các lớp dưới. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn
giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,
trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8,
9, 10, 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố
“trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu.
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chương
trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh
thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng. Khi học vấn đề này
nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự
phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc
không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ”
diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách
tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và
khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ
năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ
năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những
khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng. Từ đó giúp học
sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy
được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học,
học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích
phân. Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức độ thông hiểu, vận
dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất. Đây làm một tài liệu
tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi
THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai
thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích
phân trong tính diện tích hình phẳng các cấp độ kiến thức khác nhau.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các
dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp
độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp
các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như
3
phương pháp giải các bài toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Ứng dụng của tích phân trong hình học. Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo
khoa Giải tích 12.
Lập ma trận các dạng toán của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học.
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống
của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến
thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho
học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài học sinh
THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán ứng dụng của
tích phân trong tính diện tích hình phẳng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
4
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở
chương trình toán Giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp
học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số. Đây cũng là một nội dung thường
gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia. Nhìn chung khi học vấn đề
này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn,
sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình
phẳng. Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của
hình phẳng đã học trước đây. Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ
cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
- Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”
để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh
chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng đang học .
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề
này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy
móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ
diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải.
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng.
2.3.1. Lý thuyết cơ bản.
a;b�
a) Cho hàm số y f x liên tục trên �
.
�
�
Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới
hạn bởi: Đồ thị hàm số y f x ; trục Ox (
y 0 ) và hai đường thẳng x a; x b là:
b
S�
f x dx .
a
5
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị C1 : y f x , C2 : y g x và
hai đường thẳng x a, x b. Được xác
định bởi công thức:
b
S�
f x g x dx .
a
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề.
CÁC
CHỦ
ĐỀ
ỨNG
DỤNG
TÍCH
PHÂN
TÍNH
DIỆN
TÍCH
MIÊU TẢ
CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH
TỔNG
GIÁ
Vận
Thông Vận
dụng
hiểu
dụng
cao
Cho hình vẽ, hỏi công thức tính
diện tích hình phẳng được tô Câu 1
đậm
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đủ 4 đường cơ bản
y f x , y g x , x a, x b . Câu 2
Biểu thức trong trị tuyệt đối
không đổi dấu
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đủ 4 đường cơ bản
x a , Câu 3
y f x , y g x ,
x b . Biểu thức trong trị tuyệt
đối có đổi dấu
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi 2 đường y f x ,
Câu 4 Câu 5
y g x (phương trình hoành
độ có 1 hoặc 2 nghiệm)
Tính diện tích hình phẳng giới Câu 6 Câu 7
hạn bởi 2 đường y f x ,
1
1
1
2
2
y g x (phương trình hoành
độ có nhiều hơn 2 nghiệm)
6
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi nhiều hơn 2 đường có
Câu 8
công thức y ? , (cho hình hoặc
có thể vẽ hình).
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi nhiều hơn 2 đường có
công thức y ? , khó vẽ hình.
Ứng dụng diện tích hình phẳng
để so sánh các giá trị
f a , f b ,.... hoặc tính giá trị
biểu thức, …
Bài toán thực tế liên quan tính
diện tích hình phẳng (chọn hệ
trục, lập công thức đường …)
Các bài toán cực trị liên quan
tính diện tích hình phẳng
Câu 9
2
Câu
10
1
Câu
11, 12
2
Câu
13, 14,
15, 16
Câu
18
11
Câu 17 5
Câu
3
19, 20
3
20
TỔNG
6
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1. Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng phần
tô đậm được tính theo công thức nào?
3
f ( x ) dx .
A. �
1
1
f ( x) dx .
B. �
3
3
f ( x ) dx .
C. �
0
2
f ( x)dx .
D. �
1
Lời giải
Chọn C
3
f ( x) dx .
Vì f ( x ) �0 trên đoạn 0;3 nên S �
0
3
Câu 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường f1 x x x ,
f2 x x x2 , x 0 , x 1 .
8
3
A. S .
B. S
37
.
12
C. S
9
.
4
D. S
5
.
12
Lời giải
Chọn D
7
Ta có: f1 ( x) f 2 ( x ) 0 � x3 x 2 2 x 0 � x 2;0;1 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
f1 ( x) x3 x ,
f 2 ( x) x x 2 , x 0 , x 1 là
1
1
1
�x 4 x3
�
S�
x x 2 x dx �
x x 2 x dx �4 3 x 2 � 125 .
�
�0
0
0
3
3
2
2
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 , y 2 x 3,
x 2, x 0 .
2
2
A. .
B. .
C. 2 .
D. 4 .
3
3
Lời giải
Chọn D
2
Đặt f x x , g x 2 x 3 , ta xét dấu f x g x .
�
x 1� 0;2
2
f
x
g
x
0
�
x
2
x
3
0
�
Xét
�
.
x 3 � 0;2
�
Ta có bảng xét dấu
x
f x g x
0
1
0
-
2
+
Vậy diện tích hình phẳng đã cho
2
1
2
S �
x 2 x 3 dx �
x 2 x 3 dx �
x 2 2 x 3 dx
2
0
2
0
1
5 7
4.
3 3
Câu 4. Hình phẳng H được giới hạn bởi các đường y x 2 , y 3 x 2 . Tính
diện tích hình phẳng H
A.
2
.
3
1
.
3
B.
C. 1 .
D.
1
.
6
Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
x 2 3 x 2 � x 2 3x 2 0 � x 1;2 .
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
2
2
1
S�
x 3x 2 dx �
x 2 3x 2 dx .
6
1
1
2
Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy , diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
P : y x 2 4 , tiếp tuyến của P
tại M 2;0 và trục Oy là:
8
A. S
4
.
3
8
C. S .
3
Lời giải
B. S 2 .
D. S
7
.
3
Chọn C
y�
2 x ; y�
2 4 .
Phương trình tiếp tuyến của P tại M 2;0 : y 4 x 2 4 x 8 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là
2
2
8
S �x 2 4 4 x 8 dx �
x 2 4 x 4 dx .
0
0
3
Câu 7. Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đường cong
y x3 12 x 2 và y x 2 2 .
A. S
343
.
12
B. S
793
.
4
C. S
397
.
4
D. S
937
.
12
Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
3
2
x 3 12 x 2 x 2 2 � x x 12 x 0 � x 3;0;4 .
0
Ta có S
x
�
3
0
x
�
3
3
4
3
x 12 x dx �
x 3 x 2 12 x dx
2
0
4
x 2 12 x dx �
x3 x 2 12 x dx
0
99 160 937
.
4
3
12
Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và
y 2x2 2 .
37
.
6
A.
B.
37
.
12
C.
35
.
12
D.
35
.
6
Lời giải
Chọn B
3
2
Phương trình hoành độ giao điểm là x x 2 x 2 � x 1;1;2 .
Diện tích hình phẳng cần tìm
2
S
3
2
�x x 2 x 2 dx
1
1
2
1
1
x3 x 2 x2 2 dx �
2 x2 2 x3 x dx
�
37
12
Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x , y x 6 , trục hoành là:
A
22
.
3
B.
10
.
3
C.
53
.
5
D.
23
.
5
Lời giải
9
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x 6 x � x 4 . 6 x 0� x 6.
4
6
0
4
x 0� x 0.
x 6 dx
Diện tích cần tìm là: S �xdx �
22
.
3
Câu 10. Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số
S
y ln x , y 1 , y 1 x .
3
A. S e .
2
1
1
B. S e .
C. S e .
2
2
Lời giải
3
D. S e .
2
Chọn A
Ta có
1
e
x2
S�
1 1 x �
dx �
�
1 ln x dx
�
�
2
0
1
1
0
x 1 ln x
e
1
e
�
xd 1 ln x
1
e
e
1
1
1
3
1 �
x. dx x e .
2
2
x
2
1
1
Câu 11. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x , y x 3 và
y 1 là:
1
1
1
.
1.
A. S
B. S
ln 2 2
ln 2
47
1
3.
C. S
.
D. S
50
ln 2
Lời giải
Chọn A
10
Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có:
2x x 3 � x 1 ; 2x 1 � x 0 ; x 3 1 � x 2
Diện
tích
cần
tìm
1
1
2
là:
2
�2 x
� � x 2
� 1
1
S�
x 3 1 dx � x � � 2 x �
2 1 dx �
ln 2 2
�ln 2
�0 � 2
�
0
1
1
x
Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên �, đồ thị hàm
y f�
x như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án
A, B, C , D dưới đây là đúng?
A. f 2 f 1 f 0 .
B. f 0 f 1 f 2 .
C. f 0 f 2 f 1 .
D. f 1 f 0 f 2 .
Lời giải
Chọn B
Gọi S1 , S 2 là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.
0
f�
x dx f 0 f 1 0 � f 0 f 1 .
Ta có: S1 �
1
2
0
0
2
S2 �
f�
f�
x dx �
x dx f 0 f 2 0 � f 0 f 2 .
Mà S1 S2 � f 0 f 1 f 0 f 2 � f 1 f 2 .
11
Vậy f 0 f 1 f 2 .
Câu 13. Cho hàm y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x , biết đồ
thị hàm số y f x trên đoạn 2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có
diện tích S1 S 2
22
76
, S3
. Giá trị của F 2 F 1 F 1 F 2
15
15
bằng
A. I
36
.
5
B. I
32
.
15
C. I
18
.
5
D. I
32
.
15
Lời giải
Chọn A
2
f x dx S 2
Ta có: F 2 F 1 �
1
F 1 F 1
1
�f x dx S
1
F 1 F 2
3
76
.
15
1
�f x dx S
1
2
22
.
15
22
.
15
F 1 F 1 �
Vậy có: F 2 F 1 2 �
�
� F 1 F 2
22
76 22 108
108 36
.
2.
� F 2 F 1 F 1 F 2
15
15 15 15
15
5
Câu 14. Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính
AB 4m . Công ty cây xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai
đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính AB tại tâm
của hình tròn và cắt AB tại điểm C , C �thỏa mãn BC 1m (phần tô
đậm). Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc. Chi phí để
trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là 200.000 đồng /m 2 và 100.000
đồng /m 2 .
12
Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền
nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) ?
A. 1.523.000 đồng.
B. 1.532.000 đồng.
C. 1.790.000 đồng.
D. 1.980.000 đồng.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử phương trình của parabol phía trên trục hoành là
P : y ax 2 bx c a, b, c ��, a 0
Dễ có P có đỉnh là 0;2 và đi qua điểm 1;0 .
Ta có hệ phương trình
abc0
a 2
�
�
��
� P : y 2 x 2 2 .
�
b 0, c 2
b 0, c 2
�
�
Khi đó phương trình của parabol phí dưới trục hoành có phương trình là
y 2 x2 2 .
1
Diện tích phần trồng hoa giấy là: 2. �
2 x 2 2 d x
1
16
m2 .
3
16
m2 .
3
Chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế là:
16
16 �
�
.200000 �
4
.100000 �1.790.000
�
3
3 �
�
Câu 15. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều
rộng 8m , chiều cao 12,5m và được lắp kính. Biết mỗi m 2 kính có giá
là 300000 đồng. Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là
Diện tích phần trồng hoa cúc là: 4
13
A. 30000000 đồng.
C. 10000000 đồng.
B. 60000000 đồng.
D. 20000000 đồng.
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó parabol có phương trình dạng
y ax 2 c . Vì P đi qua đỉnh I 0;12,5 nên ta có c 12,5 .
P
cắt trục hoành tại hai điểm A 4;0 và B 4;0 nên ta có
0 16a c � a
c
25
25
25
.
. Do đó P : y x 2
16
32
32
2
4
� 25 2
� 200 2
x 12,5 �
dx
m .
Diện tích của cổng là: S �
�
32
3
�
�
4
200
.300000 20000000 đồng.
3
Câu 16. Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m 2 . Người ta muốn
trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một parabol bậc hai sao cho
đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như
hình vẽ bên. Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét
vuông. Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?
Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là:
A. 30 triệu đồng.
C. 50 triệu đồng.
B. 60 triệu đồng.
D. 40 triệu đồng
Lời giải
Chọn D
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n ( m n 0 ).
Ta có diện tích hình chữ nhật là S mn 200 m .
2
14
Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho đỉnh của parabol là
� m �
�m �
I 0; n và Parabol đi qua 2 điểm A � ;0 �và B � ;0 �
.
�2 �
�2 �
4n 2
Do đó phương trình parabol có dạng y 2 x n.
m
m
2
2mn
.
Vậy phần diện tích trồng cỏ là S 2 �4n x 2 n �
d
x
� 2
�
�
3
m
�
0�
2mn
2.200
.300000
.300000 40000000.
3
3
Câu 17. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông
cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng
parabol như hình bên. Biết AB 5 cm, OH 4 cm. Tính diện tích bề
mặt hoa văn đó.
Số tiền trồng cỏ cần là:
A
O
H
B
A.
160 2
cm .
3
B.
140 2
14 2
cm .
cm .
C.
3
3
Lời giải
D. 50cm 2 .
Chọn B
Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là
16 2 16
x x . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
25
5
16
16
P : y x 2 x , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x 5 là
25
5
P : y
5
40
� 16 2 16 �
S�
x x�
dx
. Tổng diện tích phần bị khoét đi:
�
25
5 �
3
0�
S1 4 S
160
2
cm 2 . Diện tích của hình vuông là Shv 100 cm .
3
15
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là S2 Shv S1 100
160 140
cm 2
3
3
.
Câu 18. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH 4m , chiều
rộng AB 4m , AC BD 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng
lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần
để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2.
Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới
đây?
A. 11445000 (đồng).
B. 7368000 (đồng).
C. 4077000 (đồng).
D. 11370000 (đồng).
Lời giải
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó
parabol có đỉnh G 2;4 và đi qua gốc tọa độ.
Gọi phương trình của parabol là y ax 2 bx c
b
�
c 0,
2
a 1, b 4
�
�
��
2a
Do đó ta có �
.
c0
2
�
�
2 a 2b c 4
�
Nên phương trình parabol là y f ( x ) x 2 4 x
4
4
� x3
� 32
( x 4x) dx �
2 x 2 � (m2 )
Diện tích của cả cổng là S �
� 3
�0 3
0
2
Do vậy chiều cao CF DE f 0,9 2,79 ; CD 4 2.0,9 2,2 .
2
Diện tích hai cánh cổng là SCDEF CD.CF 6,138 �6,14 m
Diện tích phần xiên hoa là S xh S SCDEF 10,67 6,14 4,53( m2 ) .
Nên tiền là hai cánh cổng là 6,14.1200000 7368000 đ
16
và tiền làm phần xiên hoa là 4,53.900000 4077000 đ .
Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng.
Câu 19. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và hàm số y f x . Biết
/
hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f a f b f c .
C. f c f a f b .
B. f a f c f b .
D. f c f b f a .
Lời giải
Chọn C
/
Từ đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng biến thiên của hàm số
y f x như sau
Từ đó suy ra f a f b , f c f b . (1)
b
Mặt khác:
c
�f x dx �f x dx � f x
/
a
/
b
f x b
a
b
c
� f b f a f c f b � f a f c
(2) Từ (1) và (2) suy ra f c f a f b .
2
Câu 20. Cho parabol P : y x và một đường thẳng d thay đổi cắt P tại hai
điểm A , B sao cho AB 2019 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất Smax của S .
A. Smax
C. S max
20193 1
.
6
20193 1
.
6
20193
B. Smax
.
3
20193
D. Smax
.
6
Lời giải
Chọn D
17
Giả sử A(a; a 2 ) ; B (b; b 2 ),(b a ) sao cho AB 2019 .
Phương trình đường thẳng d là: y (a b) x ab . Khi đó
b
b
S�
(a b) x ab x dx �
a b x ab x 2 dx
2
a
a
b
�
3
x2
x3 � 1
�
a
b
abx
� b a . Vì
2
3 �a 6
�
AB 2019 � b a b 2 a 2 2019 2 � b a 1 b a
2
2
2
20192 *
� b a �20192 �
b a� b a
2
Vậy Smax
2019
S
2
20193 .
6
2019
2019
20193
,b
khi b a và từ (*) ta suy ra a
.
6
2
2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng
tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính diện tích hình phẳng. Các em hứng thú học tập hơn,
ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải
các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này
vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua
các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Tổng
Lớp
số
2018
-2019
12
B2
12
B3
Điểm 8
trở lên
Số
Tỷ
lượng lệ
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
42
12
29%
26
61 %
4
10 %
41
7
17 %
28
68 %
6
15 %
18
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 3.
Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng là một nội dung
quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói
chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần
nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi
dạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng giáo viên
cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt
hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không
sao chép nội dung của người khác
Trịnh Thị Mai
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3]. Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &
Đào tạo.
[4]. Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT
trên toàn quốc.
20
