Từ quy trình giải các bài toán cơ bản hướng dẫn học sinh giải toán hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TỪ QUY TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện: Đinh Thế Ninh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán

1. MỞ ĐẦU

THANH HÓA, NĂM 2019


MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lý do chon đề tài
1.2 Mục đính nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của SKKN
2. Bội dung sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

2
2

3
3
3
4
4
17
17
18

1. MỞ ĐẦU
Hình học không gian là một phần rất quan trọng của hình học phổ thông, nó
có liên quan mật thiết với hình học phẳng ở cấp THCS. Việc học tốt hình học
không gian không những giúp học sinh học tốt hình học tọa độ trong không gian
mà còn giúp học sinh phát triển tư duy rất tốt.
Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học không gian học sinh thường rất
thiếu tự tin , một phần vì học sinh ngại hình học không gian vì cứ nghĩ hình học
không gian là khó, một phần là vì học sinh không có những “tư duy định sẵn” như
đại số, giải tích. Do đó hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán,
phương pháp giải toán cũng không rõ ràng.
Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương
pháp suy luận giải toán hình học không gian. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh
1


nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải bài toán
hình học không gian” từ cách xây dựng các “quy trình giải các bài toán cơ
bản”.
1.1. Lý do chon đề tài
Đứng trước một bài toán hình học không gian học sinh thường lúng túng và đặt
ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?”. Một số học sinh có

thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó
sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình
ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học không
gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều
góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Trong
đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một
điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện
kỹ năng định hướng và giải toán.
Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải
cho bài toán hình học không gian thường không suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh
không chú ý đến bản chất hình học của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán
hình học không gian nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như
bản chất của bài toán. Thậm chí một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều
đề thi mà học sinh vẫn làm miệt mài như lần đầu tiên giải nó, bởi không nhận biết
được dạng toán này đã từng làm ??.
1.2 Mục đính nghiên cứu
Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với
các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc
cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải
bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều.
Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học
sinh thói quen xem xét bản chất của bài toán hình học không gian và phát hiện các
dạng toán đặc trưng. Và vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học
không gian, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và hệ thống các bài toán hình
không gian cơ bản tương ứng, từ đó xây dựng các quy trình tựa thuật toán cho các
bài toán cơ bản.
2


Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được

áp dụng có hiệu quả. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các bài toán cơ bản
trong hình học không gian và tư duy tựa thuật toán tương ứng để định hướng tìm
lời giải bài toán hình học. Việc chỉ ra các bài toán cơ bản của bài toán hình học
không gian cùng với thuật toán tương ứng sẽ giúp học sinh định hướng và giải
toán có hiệu quả hơn, vững tin với việc giải toán hình học không gian. Qua đó
giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học không gian là tổng
hợp của nhiều bài toán cơ bản, việc nắm vững hệ thống các bài toán cơ bản là
mấu chốt cho quá trình suy luận giải toán”. Vì vậy phân tích bản chất bài toán cơ
bản của bài toán hình học không gian để từ đó định hướng tư duy cho việc giải bài
toán là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm
lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học không gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chương trình Hình học lớp 11
Đối tượng sử dụng đề tài học sinh các lớp 11A2, 11A8 trường THPT Hoằng
Hóa 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học
không gian và các quy trình của bài toán hình học cơ bản tương ứng.
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
4. Trong mỗi bài toán hình học không gian đều yêu cầu học sinh thực hiện
phân tích bản chất bài toán để phát hiện các bài toán cơ bản cũng như đưa ra các
quy trình giải bài toán.
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
1.5. Những điểm mới của SKKN
Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):
- Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện hình thành kỹ năng giải toán.

- Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán.
3


- Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai
và kỹ năng mà học sinh đạt được.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
B.1:Buổi học thứ nhất
Giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viên
hướng dẫn làm các ví dụ mẫu 1, 2,3. Qua đó, bằng cách phân tích trên hình không
gian tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc “ tư duy tựa thuật
toán những bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian” cũng như phân tích
cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên
mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất. Đó chính là cấu trúc
của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu” giữa các yếu tố
tạo nên bài toán. Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán hình học không
gian thông qua tổ hợp các bài toán cơ bản một mặt giúp học sinh hiểu được bản
chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời
giải bài toán.
Để buổi học này đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phần hình
học không gian ở lớp 11. Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học
thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về hình học
không gian. Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán
thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi :"bản chất bài toán ấy là
gì?,có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?"
Sau đây là sơ lược của buổi học về nội dung này
*Giáo viên: Bài toán hình học không gian xuất hiện thường xuyên trong các
đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Vì vậy để giải được
dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư
duy giải toán đặc trưng cho loại toán

Trong buổi học hôm nay chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp
tư duy giải toán: "Xây dựng quy trình giải bài toán cơ bản để giải bài toán hình
học không gian"
Trước hết ta cần chú ý xác định hình cho bài toán hình không gian trên cơ sở các
dữ kiện bài toán đã cho.

4


Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình không gian để định hướng tìm
lời giải bài toán theo quy trình của các bài toán cơ bản định sẵn.

Các ví dụ
Một bài toán hình học không gian có thể được giải theo các bước sau:
B1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
B2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
B3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã
chọn.
Qua quy trình này HS sẽ thấy được mức độ khó, dễ của mỗi bài toán cũng
như hiểu được bài toán có bao nhiêu bài toán cơ bản và mục tiêu kiến thức
muốn kiểm tra của tác giả bài toán.
Ví dụ 1
�  60o .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC
Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc
giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60o . Tính cosin của góc tạo bởi
đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
�  60o nên hoàn toàn xác định.

+ Đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC

Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết:
“Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 60o ”. Do đó ta phải giải bài
toán cơ bản : “Xác định góc giữa hai mặt phẳng”.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng”. Để giải bài toán này ta phải tìm hình chiếu của AC lên
(SCD) mà thực chất là xác định phương vuông góc với (SCD).
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình
đã chọn.
Lời giải
+ Tính SH từ giả thiết bài toán.

5


SABCD  2SABC  4a.4a.sin60o  8 3a2 Từ
1
giả thiết ta có: AH  HO  OC.
2

S

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi L là
chân đường cao hạ từ O của OCD .
A
Kẻ HK//OL (K �CD) � HK  CD (1)
H
Mà H là hình chiếu của S trên mặt

O
phẳng (ABCD) � SH  CD (2)
60
B
Từ (1), (2) � CD  (SHK )
4a
�  60o
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là SKH

M
D
o

60

L

o

K

C

�  60o � OL  OC.sin60o  2a�3  a 3.
OCD vuông tại O có OCD
2
OL OC 2
3
3 3a


 � HK  OL 
�
HK HC 3
2
2
3 3a
9a
SHK vuông tại H � SH  HK.tan60o 
�3  �
2
2
HCK có OL//HK �

+Tính góc giữa AO và mặt phẳng (SCD).
Trong mp (SHK) kẻ HM  SK (M �SG) � HM  (SCD) (do CD  (SHK ) )
� M là hình chiếu của H trên (SCD). Mà AO �(SCD)  C
� MC là hình chiếu của AO trên (SCD).
�
� Góc giữa đường thẳng AO và (SCD) là HCM

9
a
3 3a 3 9
HM
HM  HK.sin60 
�  a ; sinHCM
4  3 � cosHCM
� 
�  7�


2
2 4
HC 3a 4
4
o

Phân tích bài toán
Thông qua việc chỉ ra các bài toán cơ bản trong giải toán hình học không
gian, HS thấy rằng mỗi bài toán là tổ hợp của nhiều bài toán cơ bản có mối quan hệ
logic . Việc nắm vững các bài toán cơ bản cùng quy trình giải toán giúp học sinh
hoàn toàn chủ động trong tư duy giải toán cũng như thứ tự trình bày lời giải bài
toán.
Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Quy trình 1: Quy về góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
G2mp hai mặt phẳng đã cho.
Quy trình 2: Quy về hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng
và vuông góc với giao tuyến.
Quy trình 3: Sử dụng công thức hình chiếu
6


Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Gđmp Quy trình: Quy về góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt
phẳng đã cho.
GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
G2đt = “Xác định góc giữa hai đường thẳng”
Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho DH =

2AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC, biết góc giữa SB và mặt
phẳng (ABCD) bằng 300 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD.
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên hoàn toàn xác định.
Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết:
“Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 30o ”. Do đó ta giải bài toán : Gđmp
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau”. Bài toán này có nhiều quy trình và HS phải
lựa chọn để tư duy giải toán.
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình
đã chọn.
Lời giải
a
3

Ta có AH  , DH 

2a
, do SH  ( ABCD) �
3

SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD và
góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc
�  300 . Ta có:
SBH
� 
tan SHB

SH
a 30
� SH  HB.tan 300 
HB
9

7


Do M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC nên MN//SC
1
� MN / /( SDC ) � d ( MN ; SD)  d ( MN ;( SCD))  d ( N ;( SCD))  .d ( B;( SCD))
2
3
Mà AB//CD � AB / /( SC ) � d(B;(SCD))  d(A;(SCD))  .d ( H ;( SCD))
2
3
Do đó d ( MN ; SD)  .d ( H ; ( SCD)) .Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên
4
SD � d ( H ;(SCD))  HI .Ta có
1
1
1
2a 5
3 2a 5 a 5


� HI  .
 .
.Vậy d ( MN ; SD)  . .

2
2
2
HI
HS
HD
3 11
4 3 11 2 11

Phân tích bài toán
Mỗi bài toán cơ bản có tính độc lập tương đối, nếu suy tận cùng bản thân nó
cũng là một tổ hợp các vấn đề hình học cơ bản hơn. Chẳng hạn, bài toán xác định
khoảng cách hẳn nhiên phải sử dụng các quy trình của bài toán quan hệ vuông góc.
Do vậy cần nhắc nhở học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, xếp chúng vào một
hệ thống tư duy logic.
Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .

K2cn

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Quy trình 1: Tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng sau khi
trực tiếp dựng đường vuông góc chung.
Quy trình 2: Quy khoảng cách từ điểm thuộc đường này đến mặt
phẳng song song và chứa đường kia. Sau đó chuyển về đỉnh “tốt hơn”
theo tỉ số khoảng cách.
Quy trình 3: Sử dụng công thức thể tích (Lớp 12, GV giới thiệu).

GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
Kđmp = “Tính khoảng cách điểm và mặt phẳng”,
Kđđt = “Tính khoảng cách điểm và đường thẳng”.

Ví dụ 3 và ví dụ 4 sau đây chỉ ra rằng việc giải các bài toán cơ bản là rất cần thiết,
và đó là cơ sở xây dựng nên các quy tình giải toán. Học sinh vừa học được quá
trình suy luận, kĩ năng giải toán vừa hiểu được bản chất của quy trình đưa ra.
Ví dụ 3
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và
CD (AB  CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB .
8


Gọi P = SC  (ADN) và AN , DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Bài toán cơ bản về quan hệ song song, hình đã cho là xác định.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Chứng minh hai
đường thẳng song song”. .
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình
đã chọn.
Lời giải
Ta có :
S
I
SI  (SAB) �( SCD)
�
�
AB �( SAB)
�
� SI / / AB
�
CD

�
(
SCD
)
�
�
AB / / CD
�

N

M

B

A
P
C

D
E

Phân tích bài toán
Đây là một bài toán cơ bản trong quan hệ song song của hình học không
gian, việc cho HS làm việc với các dạng cơ bản này là rất hữu ích trong việc làm
quen và rèn kĩ năng giải toán. Vì vậy luôn nhắc nhở học sinh: “Học cơ bản, bám
sát nội dung SGK” , không nên bay bổng với các kiến thức khó mà quên cơ bản.
Đây là một thực trạng của HS khi học hình học không gian, hoặc là mất cơ bản
hoặc chỉ chăm chăm giải càng nhiều đề thi càng tốt. Một cách học ít hiệu quả và
thiếu bản chất, rất dễ xa vào học vẹt theo thói quen.

Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
Chứng minh hai đường thẳng song song

9


S2đt

Quy trình 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có
điểm chung .
Quy trình 2: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và áp dụng các
tính chất của hình học phẳng
Quy trình 3: Chứng minh bằng phản chứng hoặc sử dụng định lí về
giao tuyến.

GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
Sđtm = “Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng”
S2mp = “Chứng minh hai mặt phẳng song song ”
Ví dụ 4
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là
tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM  BP.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2007)
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Bài toán cơ bản về quan hệ vuông góc, hình đã cho là xác định. Ta cần xử lí giả
thiết: “Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy”,
đây thực chất là một quy trình trong “Chứng ming đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng”.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.

Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Chứng minh hai
đường thẳng vuông góc”. .
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình
đã chọn.
Lời giải.
S
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều
nên SH  AD
M
Vì (SAD)  (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra
SH  BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng
B
nhau, nên ta có
A
�  DCH
� � CBP
�  HCB
�  900 � BP  CH
N
(2)
CBP
H

D

P

C

10


Từ (1) và (2) suy ra: BP   SHC 
(3)
Do HC // AN, MN // SC �  SHC  / /  MAN  (4)
Từ (3) và (4) suy ra: BP   MAN  � AM  BP (đpcm)
Phân tích bài toán
Đây là một bài toán cơ bản trong quan hệ vuông góc của hình học không
gian, qua bài toán học sinh thấy được: “Mối quan hệ vòng quanh trong quan hệ
vuông góc”, đây là một tính chất đặc thù rất hay của quan hệ vuông góc hình học
không gian.
Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
V2đt

Quy trình 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 900
Quy trình 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng
chứa đường thẳng kia.

GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
Vđtm = “Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”
V2mp = “Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ”
Cuối buổi học tôi yêu cầu HS về nhà hoàn thiện các quy trình theo dạng cơ bản
cho từng vấn đề: Giao điểm, Thiết diện, quan hệ song song, quan hệ vuông góc,
tính góc, tính khoảng cách,… và tìm, làm các bài tập liên quan.
Một vấn đề được HS phát hiện đó là có thể “kí hiệu” cho mỗi bài toán theo dạng.
Chẳng hạn VD1 được “kí hiệu” là: “G2mp � Gđmp”, VD3 là : “ 0 � S2đt”.
Nhìn vào kí hiệu HS biết kiến thức kiểm tra của bài toán cũng như mức độ dễ khó
tương đối của bài toán, đây là một trợ giúp tư duy đoán nhận cho HS.

B.2. Buổi thứ hai
Với sự chuẩn bị của học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải
theo định hướng đã lựa chọn. Tuy nhiên vẫn khuyến khích sử dụng các phương
pháp khác để có lời giải đa dạng.
Sau đây là sơ lược về hệ thống các bài toán rèn luyện và lời giải sơ lược theo
phương pháp đưa ra.
1.Bài toán 1
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I
là trung điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600. Tính khoảng
11


cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Lời giải sơ lược
HS: “G2mp � K2cn”
S

z

y

x

C

H

A
E

I
K

B �O

B1: Xác định hình cho bài toán
Xác định chiều cao hình chóp theo giả thiết: “góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và
(ABC) bẳng 600”
HS1: Dùng QT2-G2mp.
Do hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD) � SI   ABC 
Dựng IH vuông góc với AC tại H � SH  AC ( Định lý 3 đường vuông góc)
� �SHI là góc giữa (SAC) và (ABC), theo giả thiết � �SHI  600
HI
AI
AI .BC 2a.3a 6a

� HI 


BC AC
AC
5a
5
SI
6 3a
Xét tam giác SHI có tan 600 
� SI  HI .tan 600 
HI
5

Ta có AHI : ABC �

HS2: Dùng QT3-G2mp.
Do hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD) � SI   ABC 
� ACI là hình chiếu của ACS lên mp(ABC)
1
Ta có : dt (ACI )  dt ( ACB)  6a 2 ; Đặt SI  h  0
2
a
25h 2  36a 2
SA  h 2 4a 2 , SC  h 2 13a 2 , AC  5a ... � dt ( SAC ) 
2
Áp dụng công thức hình chiếu ta có:
12


dt (ACI )  dt (ACS ).cos600 � 6a 2 

a
3
6 3a
25h 2  36a 2 .
�h
2
2
5

B2: Giải bài toán cơ bản cho bài toán
Dùng QT2-K2cn.

Dựng đường thẳng d đi qua B và song song với AC, gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi 2
đường thẳng SB và d. Ta có AC song song với mp(P) chứa SB
� d  AC ; SB   d  AC ;  P    d  H ;  P    2d  I ;  P  

Dựng IK vuông góc với d tại K, dung IE vuông góc với SK tại E
Suy ra: IE   P  � IE  d  I ;  P  
Xét tam giác SIE có

1
1
1
25
3 3a
 2 2 
� IE 
2
2
IE
IK
IS
27a
5

Nhận xét 1:
Đây là bài toán thu được nhiều ý tưởng giải toán rất hay từ học sinh, học sinh
cũng sôi nổi và mạnh dạn hơn trong cách trình bày tư tưởng giải toán. Điều đó cho
thấy hiệu quả của việc "Giải toán hình học không gian theo quy trình của các bài
toán cơ bản".
Qua bài toán này học sinh còn phát hiện được tính độc lập của giả thiết và kết luận
của bài toán, do đó có thể thay đổi vai trò của G2mp cho K2cn.

Cụ thể bài toán phát biểu là:
“Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi
I là trung điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABC), khoảngcách giữa hai đường thẳng SB và AC bẳng

3 3a
.
5

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) ”
Để giải bài toán này Học sinh nhận thấy chỉ cần trình bày hai phần đó đổi vị trí cho
nhau bằng cách tìm đường cao SI.
Qua bài toán học sinh nhận thấy: “Bài toán hình học không gian là tổ hợp
một số bài toán cơ bản trong mối quan hệ logic, chúng có tính độc lập tương đối
và có thể đổi vai trò cho nhau để tạo nên bài toán mới”. Điều này rất tốt khi
chúng ta cần nhiều bài toán tương đương để kiểm tra.
Có một vài học sinh giỏi còn đề xuất cách giải bằng phương pháp tọa độ và
phương pháp thể tích.
2.Bài toán 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2006)
Lời giải sơ lược
13


HS: “0 � K2cn”
+ BC // MN � MN // (A’BC)
� d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC))
Ta có : AI  A'B ( AB' � A'B = I)

BC  (BAA'B') � BC  AI
Lại có
Từ
đó AI  (A'BC) .Vì thế nếu kẻ
MH // AI (H � A'B) thì MH  (A'BC) và
d(M,(A'BC)) = MH =

A'

D'

B'

C'

I

A

H

D

M

N

B

C

1
a 2
AI =
2
4

Nhận xét 2:
Đây là bài toán mà khi giải toán đa số học sinh cùng lựa chọn quy trình giải giống
nhau. Điều này cho thấy tư duy của học
S
sinh đã hoàn thiện hơn sau buổi học thứ
nhất, học sinh đã biết lựa chọn quy trình
thích hợp cho bài toán cơ bản.Học sinh
cũng nhận thấy bài toán này không khó
bằng bài toán 1, vì không phải giải bài toán
K
cơ bản G2mp.
A
C
3.Bài toán 3
H
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
I
ABC vuông tại A, BC  2a, AC  a 3 . Tam
B
giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải sơ lược
HS: “Vđmp � Kđmp”

B1: Xác định hình cho bài toán
Xác định chiều cao hình chóp theo giả
thiết: “Tam giác SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt đáy ”
HS1: Dùng QT2-Vdtm.
- Gọi H là trung điểm AB
� SH  AB � SH  ( ABC )

a 3
Ta có : AB  BC 2  AC 2  a SAB là tam giác đều cạnh a � SH 
;
2

14


B2: Giải bài toán cơ bản cho bài toán
Dùng QT2-K2đmp.
Dựng HI  BC tại I � BC  ( SHI ) � (SBC )  (SHI ) (theo giao tuyến SI)
Dựng HK  SI tại K � HK  (SBC ) � HK  d ( H ;(SBC )) .
AC.BH a 3

BC
4
1
1
1
4
16

20
a 3 a 15

 2  2  2  2 � HK 

2
2
HK
SH
HI
3a 3a
3a
10
2 5

Ta có: VABC : VIBH � IH 

Do H là trung điểm AB nên d ( A;( SBC ))  2.d ( H ;( SBC )) 

a 15
5

Nhận xét 3:
Bài toán này, đa số học sinh giải rất nhanh phần xác định hình. Phần giải toán cơ
bản có một số học sinh giải thêm bằng QT1,QT3. Điều này cho thấy học sinh đã
biết lựa chọn phương pháp giải tương thích cho mỗi bài toán và sự linh động
trong tư duy giải toán của học sinh
4.Bài toán 4
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B' C ' có AB 1, CC ' m (m  0). Tìm m biết
A

rằng góc giữa hai đường thẳng AB' và BC ' bằng 60 0 .
Lời giải sơ lược
HS: “G2đt � m”
B
C
B1: Xác định hình cho bài toán
Xác định góc giữa hai đường thẳng
AB ' và BC ' bằng 60 0 .
A’
m
HS: Dùng QT1-G2đt.
1
( D  A' B ' )
-KÎ BD // AB'
B’ cơ0bản cho
B2: Giải bài toán
bài toánC’
0
120
1
 ( AB' , BC ' ) ( BD, BC ' ) 60
TH1: DBC '600
3
  DBC ' 60 0 hoÆc  DBC ' 120 0.
D trụ đều nên BB'  ( A' B' C ' ). Ta
Vì lăng
TH1:  DBC '600
có: BD BC '  m 2  1 và DC '  3.
V× l¨ng trô ®Òu nªn Kết hợp  DBC '600 ta suy ra BDC ' đều.
BB '  ( A' B ' C ' ).

Do đó m 2  1 3  m  2.
TH2:  DBC '1200
Áp dụng định lý cosin cho BDC ' suy ra m 0 (loại).
Vậy m  2 .
Nhận xét 4:

15


Đây là bài toán yêu cầu học sinh từ giả thiết bài toán phải xây dựng được đầy đủ
các trường hợp xảy ra của bài toán. Qua bài toán này học sinh nhận thấy rằng có
thể đưa thêm câu hỏi dạng tham số như trong giải tích, đại số.
B.3:Buổi thứ ba
Đây là buổi học mà giáo viên tổ chức cho học sinh kiểm tra để thu thập
thông tin. Đề kiểm tra sau đây được thực hiện trong thời gian 90 phút.
1. Đề thi
Câu 1: Tìm ít nhất hai lời giải cho bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < ) các cạnh còn
lại đều bằng 1. Tìm x , biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC bằng 3.
Câu 2: Giải bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; độ dài đoạn
AC = 2a 3 , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng

a 3
, tính góc
4

giữa đường thẳng BM với mặt phẳng ( SCD) .
Phát biểu cấu trúc bài toán và phát biểu các bài toán liên quan.

2. Một số kết quả sau bài kiểm tra
* Đối với câu 1 học sinh thực theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên bước xác định
hình học sinh có hướng lựa chọn giống nhau, chỉ khác nhau ở hướng giải quyết bài
toán cơ bản K2cn để tìm x. Và vì vậy số cách giải cho bài toán 1 đa số là 2. Một số
ít học sinh dựng đường vuông góc chung để tính.
* Đối với câu 2, học sinh phát hiện được cấu trúc của bài toán là:
“Kđmp � Gđmp”.
Phần xác định hình học sinh sử dụng nhiều quy trình cơ bản để giải toán.
Phần giải toán học sinh sử dụng giống nhau về lời giải.
Bài toán phát triển của nó, cụ thể là:
+ Bài toán : " Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; độ dài
đoạn AC = 2a 3 , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa đường thẳng BM với mặt phẳng ( SCD )
bằng  , tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
* Thông qua bài kiểm tra này cũng như thực hành cho hệ thống các bài tập trước
đó, học sinh nhận ra một điều rất quan trọng: "Bài toán hình học không gian là tổ
hợp nhiều bài toán cơ bản, mỗi bài toán cơ bản có nhiều quy trình giải toán, căn
cứ vào các quy trình ấy là một dữ kiện quan trọng để suy luận tìm lời giải ”. Đó
16


cũng chính là mục đích của SKKN nhằm cho học sinh thấy rằng bản chất của giải
toán hình học không gian là chúng ta lựa chọn quy trình hợp lí giải các bài toán cơ
bản. Từ đó định hướng cho học sinh phải chú trọng học những bài toán cơ bản,
kiến thức cơ bản.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận
Sau đây là bảng số liệu thu được trước buổi học thứ hai của lớp 11A2 (năm học
2013 - 2014)

Mức độ
Bài toán
Bài toán 1
Bài toán 2
Bài toán 3
Bài toán 4

MĐ1 MĐ2 MĐ3 T
10
22
18
20

12
20
24
20

20
6
6
3

48
48
48
48

Ghi chú:
MĐ1 là giải được bài toán và phát biểu được cấu trúc và bài toán phát triển.

MĐ2 là giải được bài toán và phát biểu được cấu trúc bài toán .
MĐ3 là giải được bài toán .
T là tổng số học sinh tham gia giải toán
Qua bảng số liệu ta thấy rằng số lượng học sinh giải được bài toán nhiều,
trong đó số học sinh phát hiện cấu trúc bài toán, phát biểu bài toán phát triển chiếm
số lượng lớn của học sinh giải được bài toán. Điều đó cho thấy hiệu quả của
phương pháp giải toán mà học sinh tiếp cận..
Có một lớp đối chứng của năm học trước đó lớp 11A2 năm học 2018 -2019.
Tôi cũng thực hiện với hệ thống bài tập như thế nhưng không đề cập tới cấu trúc lý
thuyết . Kết quả so sánh về khả năng giải toán và kết qủa bài thi thể hiện ở các
bảng sau:
Lớp
Giải được Giải không hoàn thiện Không giải được
11A2 ( 12 -13) 42%
22%
34%
11A2 ( 13 - 14) 82%
18%
0%
Điểm kiểm tra 9 10 78 56.
Lớp
5
11A2 ( 12 -13)
2
16 20
11A2 ( 13 - 14)
15
25 8

Dưới 5

10
0
17


Thông qua bảng số liệu có thể khẳng định một điều: Việc triển khai các buổi học
mở rộng mang lại hiệu quả rất nhiều. Và điều này sẽ càng phù hợp hơn đối với
chương trình SGK mới, nó có thể được thực hiện rất tốt cho các chuyên đề tự chọn
của học sinh.
Không những giúp học sinh trong việc định hướng giải toán với một nội dung
cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằng việc đi theo “ con đường” này
là rất tốt và có kết quả. Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho
mình những quy trình và lượng kiến thức cần thiết.
Nhìn chung vì quy trình đưa ra là đơn giản và có thể áp dụng cho phần nhiều
cho các bài toán. Do đó đa số các học sinh nắm vững được quy trình và có định
hướng rõ rệt trong quá trình giải toán. Tuy nhiên đối với một số học sinh trung bình
và trung bình khá thì khả năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là
trong các bài toán cần sự linh hoạt lựa chọn quy trình thích hợp hay khi gặp bế tắc
trong giải toán học sinh thường không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải
bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tư duy vẫn còn lớn). Vì vậy khi dạy cho học sinh nội
dung này, giáo viên cần tạo ra cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo
trong khi vận dụng quy trình . Đó cũng chính là nhược điểm của cách giải toán theo
phương pháp này, điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy
trình và cách giải toán linh hoạt đối với các bài toán.

3.2. Kiến nghị
Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩ rằng
chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học. Không nên dạy học
sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinh những quy
trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tư duy tìm ra con

đường giải toán.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản
thân thu được qua quá trình dạy một phạm vi học sinh nhỏ hẹp. Vì vậy sự phát
hiện những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc.
Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm
những ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này. Cuối
cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng
vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.
18


Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến,
phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Đinh Thế Ninh

19