(Luận văn thạc sĩ) Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN
VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN
HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2019


Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian
của lớp hệ tuyến tính phân thứ

16

2.1. Tính ổn định hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ

16

2.2. Tính bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ

20

3 Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian
của một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi
tuyến

26

3.1. Tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ phương trình vi phân
phân thứ có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Tính bị chặn hữu hạn thời gian của hệ phương trình vi phân
phân thứ có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1


LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân
phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do
những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật. Nhiều hệ
thống trong kỹ thuật, chẳng hạn như hệ thống viscoelastic, sự phân cực điện
môi (dielectric polarization), sự phân cực điện cực (the electrode-electrolyte
polarization), mô hình mạng nơ ron, được mô tả tốt hơn và chi tiết hơn bởi hệ
phương trình vi phân phân thứ [4, 6, 13]. Như chúng ta đã biết tính ổn định

là một tính chất quan trọng của mọi hệ động lực. Do đó bài toán nghiên cứu
tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ đã
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều công trình
chất lượng đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín trong những năm
gần đây (xem [5, 7, 11] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc
tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ trong
một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể
chấp nhận. M.P. Lazarevi´c cùng các cộng sự [9, 10] là những tác giả đầu tiên
nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả bởi
các hệ phương trình vi phân phân thứ. Khác với bài toán ổn định theo nghĩa
Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ phương trình vi
phân phân thứ trên một khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn
thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời
gian hữu hạn. Một số kết quả thú vị về bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu
hạn thời gian và bị chặn trong thời gian hữu hạn đã được công bố trên các tạp
chí quốc tế uy tín cho một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ như lớp
2


3

hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ [3, 14, 15], lớp hệ tuyến tính phân thứ
[13], lớp hệ phân thứ có trễ [12].
Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn
hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Luận văn
gồm có 3 chương gồm những nội dung như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy

nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [4, 5, 7, 8].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho
tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của của lớp hệ
tuyến tính phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu
từ tài liệu [13].
Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn
thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân
phân thứ có nhiễu phi tuyến. Kết quả này mở rộng kết quả trong bài báo [13].
Đây chính là nội dung nghiên cứu của luận văn.


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố
gắng của bản thân còn sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cũng như sự
động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên
cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Với tình cảm chân thành, tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy cô
trong khoa Toán - Tin và khoa sau đại học Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi
điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và
cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học
TS. Mai Viết Thuận, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ, động
viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến Hiệu trưởng cùng toàn thể thầy, cô giáo
trường THPT Thanh Lâm đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Tôi xin dành tất cả sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình, bố mẹ,
cô, cậu, các anh chị, em và người thân luôn là niềm động viên mạnh mẽ giúp

tôi thực hiên luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!

4


Danh mục ký hiệu

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x
Rn×r

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t 0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

5


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [4, 5, 7, 8].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α
t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau
Định lý 1.1. ([4]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi

6


7

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([4])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa của hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.2. [7] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.2, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.3. [7] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [8].


8

1.1.2.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.4. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)

:=

dn
dtn

n−α
x(t) =
t0 It

1
dn
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0

f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.4, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].

d
}.
dt


9

Mệnh đề 1.1. ([8]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t)

1
=
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )
ck =
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
k!

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

1
f (k) (t0 )
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2
Hệ quả 1.1. ([8]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

=

1
f (t0 )
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].


10

Chứng minh. Ta có

RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

1
dn
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

dn
µ
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.5. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ
cấp α.
Định lý 1.3. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1

Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).


11

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([8]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
α
C α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây
Định lý 1.5. ([8]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau


12

Định lý 1.6. [4] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].
Biến đổi Laplace L[f (t)](s) của một hàm khả tích f (.) được định nghĩa như
sau

+∞

e−st f (t)dt.

F (s) = L[f (t)](s) =
0

Định lý 1.7. (xem [7]) Cho hàm khả tích f (.) : R+ −→ R và α ∈ (0, 1), β >
0, h > 0, ta có các khẳng định dưới đây:
(i) L[Dα f (t)](s) = sα L[f (t)](s) − sα−1 f (0).
1

(ii) Với k ∈ N, Re(s) > h α , ta có
αk+β−1

L[t

1.2.

(k)
Eα,β (htα )](s)

k!sα−β
= α
.
(s − h)k+1

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,
t∈[0,T ]

( trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn ).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.1)

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)


13

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]
nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [4] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy
ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
ϕ(t, x0 ) = x0 +

1
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.2. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm
hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 )

không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương
lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên
đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lý 1.8. ([4] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G

T∗ =



 T, nếu M = 0,

 min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.


14

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1)

với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lý 1.9. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán
(1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [2]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [2]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu




X Z

T

Z −Y



 < 0.

Bổ đề 1.3. [5] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác
định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục. Khi đó ta có
bất đẳng thức sau đúng
C α
0 Dt

α
xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t),

∀t ≥ 0.

Bổ đề 1.4. [16] Giả sử x(t) và a(t) là hai hàm không âm, khả tích địa phương
trên [0, T ], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm, liên tục trên 0 ≤ t <
T, g(t) ≤ M, với M là một hằng số, α > 0 thỏa mãn
t

(t − s)α−1 x(s)ds,

x(t) ≤ a(t) + g(t)
0

t ∈ [0, T ].


15

Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T ] thì ta có bắt đẳng thức dưới đây

x(t) ≤ a(t)Eα (g(t)Γ(α)tα ),
ở đó Eα là hàm Mittag-Leffler một tham số.

t ∈ [0, T ],


Chương 2

Tính ổn định hữu hạn thời gian và
bị chặn hữu hạn thời gian của lớp
hệ tuyến tính phân thứ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định
hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân
thứ. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [13]. Để thuận tiện
cho việc trình bày các kết quả của chương này, đạo hàm phân thứ Caputo cấp
α của một hàm f (t) sẽ được ký hiệu là Dα f (t).

2.1.

Tính ổn định hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính
phân thứ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính


 Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0,

(2.1)



 x(0) = x0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A là ma trận thực, vuông cấp
n.
Định nghĩa 2.1. Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một
ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) được gọi là ổn định
hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu điều kiện sau đây đúng
xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ].
16


17

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời
gian cho hệ tuyến tính phân thứ (2.1).
Định lý 2.1. [13] Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma
trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian
tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một hằng số γ > 0, một ma trận đối
xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn

P A + AT P − γP < 0,
c2
Eα (γT α )cond(Q) < ,
c1
1

1

ở đó P = R 2 QR 2 và cond(Q) =

(2.2a)

(2.2b)

λmax (Q)
λmin (Q) .

Chứng minh. Xét hàm V (x(t)) = xT (t)P x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính
được đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (x(t)) như sau
Dα V (x(t)) ≤ xT (t) P A + AT P x(t).
Từ điều kiện (2.2a), ta có đánh giá dưới đây
Dα V (x(t)) < γV (x(t)).

(2.3)

Từ điều kiện (2.3), tồn tại một hàm không âm M (t) thỏa mãn
Dα V (x(t)) + M (t) = γV (x(t)).

(2.4)

Áp dụng biến đổi Laplace hai vế của (2.4), ta thu được
sα V (x(s)) − V (x(0))sα−1 + M (s) = γV (x(s)),
ở đó V (x(s)) = L[V (x(t))](s), M (s) = L[M (t)](s). Từ đẳng thức trên suy ra
V (x(s)) = (sα − γ)

−1

V (x(0))sα−1 − M (s) .

(2.5)

Áp dụng biển đổi Laplace ngược vào đẳng thức (2.5), ta thu được

t
α

M (τ ) (t − τ )α−1 Eα,α (γ(t − τ )α ) dτ.

V (x(t)) = V (x(0))Eα (γt ) −
0


18

Vì (t − τ )α−1 và Eα,α (γ(t − τ )α ) là các hàm không âm nên ta có
V (x(t)) ≤ Eα (γtα )V (x(0)).
1

1

Bất đẳng thức trên suy ra xT (t)P x(t) ≤ Eα (γtα )xT (0)P x(0). Vì P = R 2 QR 2
nên ta có
1

1

1

1

xT (t)R 2 QR 2 x(t) < Eα (γtα )xT (0)R 2 QR 2 x(0).
Từ đó suy ra
λmin (Q)xT (t)Rx(t) < λmax (Q)Eα (γtα )xT (0)Rx(0).

Kết hợp điều kiện xT (0)Rx(0) ≤ c1 và (2.2b) ta suy ra xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈
[0, T ]. Định lý được chứng minh.
Ví dụ dưới đây được đưa ra để minh họa cho kết quả lý thuyết của Định lý
2.1.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo dưới
đây


 D0.5 x(t) = Ax(t),

t ≥ 0,

(2.6)

2
 x(0) = x0 ∈ R ,


1 1
. Cho R = I, c1 = 1, c2 = 2.7. Ta thấy các điều
ở đó x(t) ∈ R2 và A = 
−1 1
kiện trong Định lý 2.1 được thỏa mãn với γ = 0.1 và


−4.1146 0.0000
 × 108 .
Q=
0.0000 −4.1146
Vậy hệ (2.6) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (1, 2.7, I).

Từ Định lý 2.1, ta có hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.1. Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma trận
đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian
tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một hằng số γ > 0, một ma trận đối
xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn

AP + P AT − γP < 0,

(2.7a)


19

Eα (γT α )cond(Q) <
1

1

ở đó P = R 2 QR 2 và cond(Q) =

c2
,
c1

(2.7b)

λmax (Q)
λmin (Q) .

Tiếp theo, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hóa được hữu hạn thời gian

cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo.
Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo


 Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(2.8)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rl là véc tơ điều khiển,
A là ma trận thực, vuông cấp n, B ∈ Rn×l là ma trận hằng số cho trước.
Ta sẽ thiết kế một điều khiển ngược u(t) = Kx(t) để hệ đóng dưới đây


 Dα x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0,
(2.9)

 x(0) = x0 ∈ Rn ,
ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R).
Định lý 2.2. [13] Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma
trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ đóng (2.9) ổn định hữu hạn thời
gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một hằng số dương γ, một ma
trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n và một ma trận L ∈ Rl×n sao cho
các điều kiện dưới đây được thỏa mãn.
AP + P AT + BL + LT B T − γP < 0,
c2
Eα (γT α )cond(Q) < ,
c1
1

1

ở đó P = R 2 QR 2 và cond(Q) =

λmax (Q)
λmin (Q) .

(2.10a)
(2.10b)

Ngoài ra, luật điều khiển ngược được

cho bởi
u(t) = LP −1 x(t).
Chứng minh. Áp dụng luật điều khiển ngược u(t) = LP −1 x(t) vào hệ điều
khiển (2.8) ta thu được hệ đóng dưới đây


 Dα x(t) = A + BLP −1 x(t),

 x(0) = x0 ∈ Rn .

t ≥ 0,

(2.11)


20

Dễ thấy điều kiện (2.10a) có thể viết lại dưới dạng
(A + BLP −1 )P + P (A + BLP −1 )T − γP < 0.
Kết hợp điều kiện (2.10b) và Hệ quả 2.1, ta suy ra hệ đóng (2.9) ổn định hữu
hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R).

2.2.

Tính bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính
phân thứ

Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo có nhiễu đầu vào


 Dα x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,

(2.12)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rm là véc tơ nhiễu đầu
vào (disturbance input), A là ma trận thực, vuông cấp n, D ∈ Rn×m là ma
trận thực, hằng số cho trước. Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều
kiện dưới đây
ω T (t)ω(t) ≤ d,

(2.13)

ở đây d là một hằng số dương cho trước.
Định nghĩa 2.2. Cho các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ), d và R là một ma
trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.12) được gọi là bị chặn hữu

hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu điều kiện sau đây đúng
xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] với mọi véc tơ nhiễu đầu vào
ω(t) ∈ Rm thỏa mãn điều kiện (2.13).
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính bị chặn hữu hạn thời
gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ (2.12).
Định lý 2.3. ([13]) Cho các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ), R là một ma trận đối
xứng, xác định dương cho trước, véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn điều kiện
(2.13). Hệ (2.12) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d)


21

nếu tồn tại một hằng số dương γ > 0, hai ma trận đối xứng, xác định dương
P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m thỏa mãn các điều kiện dưới đây


T
AP + P A − γP DP2

 < 0,
P2 D T
−γP2
Eα (γT α )

c1
γdT α
+
λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 )

<

(2.14a)

c2
,
λmax (P1 )

(2.14b)

ở đó
1

1

P = R − 2 P1 R − 2 .
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov có dạng
V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t).
Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (x(t))
như sau:
Dα V (x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 Dα x(t)
T

= xT (t)P −1 [Ax(t) + Dω(t)] + [Ax(t) + Dω(t)] P −1 x(t)



(2.15)
−1
T −1
−1

P A+A P
P D
x(t)

.
= xT (t) ω T (t) 
T −1
D P
0
ω(t)
Nhân
bên trái
 và bên phải của (2.14a) với ma trận đối xứng, xác định dương

P −1 0
, ta có điều kiện (2.14a) tương đương với điều kiện dưới đây

0 P2−1


−1
T −1
−1
−1
P A + A P − γP
P D

<0
(2.16)
−1

T −1
D P
−γP2
Kết hợp điều kiện (2.15) và (2.16), ta có



−1
γP
0
x(t)


Dα V (x(t)) ≤ xT (t) ω T (t) 
−1
0
γP2
ω(t)

(2.17)

= γV (x(t)) + γω T (t)P2−1 ω(t).
Mặt khác, ta lại có
ω T (t)P2−1 ω(t) ≤ λmax (P2−1 )ω T (t)ω(t) ≤

d
.
λmin (P2 )

(2.18)

22

Từ (2.17) và (2.18), ta thu được ước lượng dưới đây
Dα V (x(t)) < γV (x(t)) +

γd
,
λmin (P2 )

t ∈ [0, T ].

(2.19)

Lấy tích phân phân thứ hai vế cấp α của (2.19) và sử dụng Định lý 1.5, ta thu
được đánh giá dưới đây
V (x(t)) < V (x(0)) +

t

γ
γdtα
+
λmin (P2 )Γ(α + 1) Γ(α)

(t − τ )α−1 V (x(τ ))dτ.
0

Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được đánh giá sau

V (x(t)) <
≤
1

γdtα
γ
Eα
Γ(α)tα
λmin (P2 )Γ(α + 1)
Γ(α)
γdT α
Eα (γT α ) .
V (x(0)) +
λmin (P2 )Γ(α + 1)

V (x(0)) +

(2.20)

1

Vì P = R− 2 P1 R− 2 nên ta có các đánh giá dưới đây
1

1

V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) = xT (t)R 2 P1−1 R 2 x(t)
≥

λmin (P1−1 )xT (t)Rx(t)

xT (t)Rx(t)
,
=
λmax (P1 )
1

(2.21)

1

V (x(0)) = xT (0)P −1 x(0) = xT (0)R 2 P1−1 R 2 x(0)
c1
≤ λmax (P1−1 )xT (0)Rx(0) ≤
.
λmin (P1 )

(2.22)

Từ các điều kiện (2.20)–(2.22), ta thu được
xT (t)Rx(t)
γdT α
c1
α
< Eα (γT )
+
.
λmax (P1 )
λmin (P2 )Γ(α + 1) λmin (P1 )

(2.23)

Từ điều kiện (2.14b) và (2.23), ta suy ra
xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ].
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ dưới đây được đưa ra để minh họa cho kết quả của Định lý 2.3
Ví dụ 2.2. [13] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ dưới đây


 D0.5 x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,

 x(0) = (1, 0)T ∈ R2 ,


23







1 1
1 0
, D = 
 , ω(t) = (0.1 sin t, 0.1 cos t)T ∈ R2 . Cho
ở đó A = 
−1 1
0 1
c1 = 1, c2 = 20, d = 0.01, T = 10 và ma trận R = I. Ta thấy các điều kiện của

Định lý 2.3 được thỏa mãn với γ = 0.01 và




0.0059 0.0000
0.0078 0.0000
 , P2 = 
.
P1 = 
0.0000 0.0059
0.0000 0.0078
Do đó theo Định lý 2.3, hệ đã cho bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với bộ
(1, 20, 10, I, 0.01).
Tiếp theo, chúng tôi ứng dụng Định lý 2.3 để nghiên cứu bài toán điều khiển
dưới đây.
Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo có nhiễu đầu vào


 Dα x(t) = Ax(t) + Dω(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(2.24)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rm là véc tơ nhiễu đầu
vào (disturbance input), u(t) ∈ Rl là véc tơ điều khiển, A là ma trận thực,
vuông cấp n, D ∈ Rn×m , B ∈ Rn×l là ma trận thực, hằng số cho trước, ω(t)
thỏa mãn điều kiện (2.13).
Ta sẽ thiết kế một điều khiển ngược u(t) = Kx(t), trong đó K là ma trận

sẽ được xác định sau để hệ đóng dưới đây


 Dα x(t) = [A + BK] x(t) + Dω(t),

t ≥ 0,

(2.25)


 x(0) = x0 ∈ Rn
bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R, d)
Định lý 2.4. ([13]) Cho các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ), R là một ma trận
đối xứng, xác định dương cho trước, véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn
điều kiện (2.13). Hệ đóng (2.25) bị chặn hữu hạn thời gian tương ứng với
bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu tồn tại một hằng số dương γ > 0, hai ma trận đối xứng,
xác định dương P1 ∈ Rn×n , P2 ∈ Rm×m và một ma trận L ∈ Rl×n thỏa mãn