ÔN TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 6

ễN TP V BI DNG TON LP 6
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN
S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th khụng
cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp hp
con ca tp hp B, kớ hiu l A B hay B A.
Nu A B v B A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc tr-ng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.

c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

1


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1 đến 256.
Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:
Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
3
4

N

1,2,3,4

N

N*

N

7

N*

N*

0

N*

Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc tr-ng của các phần tử thuộc tập hợp
đó
a. A = 1;3;5;7;............;49
b. B = 11;22;33;44;........;99
c. C = 3;6;9;12;...............;99
d. D = 0;5;10;15;..............;100
Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc tr-ng của các phần tử thuộc tập hợp đó
a. A = 1;4;9;16;25;36;49
b. B = 1;7;13;19;25;31;37
A 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100

B 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90

Bài toán 5: Cho

a) A x N x 2; x 3; x 100





A x N x ab; a 3.b

b) B x N x 6; x 100

B x N 20 x c) C x N x 11.n 3; n N ; x 300

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = b. B = x N / x 2 ; 2 x 100 c. C = x N / x 1 0 d. D = x N / x 3
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 7. Cho A = 1 ; 2 ;3
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = 1;2;3;4
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b. Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử

d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

2


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số , C là
tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng bằng 5 .
Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bài 12 . Cho tập hợp A = 4;5;7 , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các
phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm tập hợp con
chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = 9;5;3;1;7
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ng-ời học tiếng
Anh , 27 ng-ời học tiếng Pháp, còn 18 ng-ời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi;
36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền;
15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một
môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A a, b, c, d , e .

a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các tr-ờng hợp sau.
a) A 1;3;5 ; B 1;3;7
b) A x, y ; B x, y, z
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B; A B. Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp
B 1; 2;3
B 3; 4;5
Bài toán 4: Cho các tập hợp A 1; 2;3; 4 ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; 4 .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A 1;3;6;8;9;12 và B = x N * / 2 x 12
a) Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của các
phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho A x N x 2; x 4; x 100
; B x N x 8; x 100

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B A b) Viết tập hợp M sao cho B M , M A . Có bao nhiêu tập hợp M nh- vậy.

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

3


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Bài toán 14: Cho A x N x 7.q 3; q N ; x 150 .
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 . Tìm x; y M biết 30 x y 40
Bài toán 10: Cho a) A 1; 2 ; B 1;3;5
b) A x, y
; B x, y , z , t
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Các phép toán trong N
1. Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi i ch cỏc s hng trong mt tng thỡ tng khụng i
Khi i chừ cỏc tha s trong mt tớch thỡ tớch khụng i.
2. Tớnh cht kt hp ca phộp cng v phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
3. Tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cng.:
a(b+ c) = ab + ac
4. iu kin a chia ht cho b ( a,b N ; b 0) l cú s t nhiờn p sao cho a= b.p.
5. Trong phộp chia cú d
s b chia = s chia x thng + s d ( a = b.p + r)
s d bao gi cng khỏc 0 v nh hn s chia.
Nếu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
II. Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.

Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí

a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87

nhất:

Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:

b) 189 + 424 +511 + 276 + 55

a/ 8 . 17 . 125

c) (321 +27)+ 79

b/ 4 . 37 .25

a) 463 + 318 + 137 + 22

Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:

d) 185 +434 + 515 + 266 + 155

a/ 997 + 86

e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73

b/ 37. 38 + 62. 37

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001

, 998. 34

c/ 43. 11

d/ 67. 99;

f) 347 + 418 + 123 + 12

67. 101

B i 4: Tính nhanh các phép tính:

Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:

a/ 37581 9999

c/ 485321 99999

a) 5. 125. 2. 41. 8

b/ 7345 1998

d/ 7593 1997

c) 8. 12. 125. 2

Bài 5: Tính nhanh:
a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72

125.18

d) 4. 36. 25. 50

Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c =
d) 55. 14

a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)

Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25. 12

b) 25. 7. 10. 4

b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302

e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:

e)

g) 123. 1001

6. 38. 63 + 37. 38
b) 12.53 + 53. 172 53. 84

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

4

ễN TP V BI DNG TON LP 6
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45

d,

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41

39.8 + 60.2 + 21.8
*Chỳ ý: Mun nhõn 1 s cú 2 ch s vi 11 ta cng

A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050

2 ch s ú ri ghi kt qu vỏo gia 2 ch s ú.

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100

Nu tng ln hn 9 thỡ ghi hng n v vỏo gia ri

s s hng l: (100-2):2+1 = 49

cng 1 vo ch s hng chc.

B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499

vd : 34 .11 =374

;

69.11 =759

c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 2 ch s vi 101

d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.

thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng cỏch vit

Bài 2: Tính các tổng:

ch s ú 2 ln khớt nhau

a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

vd: 84 .101 =8484

; 63 .101 =6363

;

b) B =

7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 3 ch s vi 1001

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng cỏch vit

=8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.

ch s ú 2 ln khớt nhau

Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .

Ví dụ:123.1001 = 123123

a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.

*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.

đến dãy số, tập hợp

Gii: lu ý: s cui = (s s hng - 1) .

1:Dãy số cách đều:

khong cỏch - s u

d) D

a. vy s th 100 = (100-1) .3 5 = 292

VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49

b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000

Ta tính tổng S nh- sau:
Bài 1:Tính tổng sau:

Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100

a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.

S s hng c dóy l: (100-1):1+1 = 100

b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.

Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

5


ÔN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. .
H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn.

Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ 2k  1 , k  N
C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k , k  N)
*D¹ng 3: T×m x
Bµi 1:Tìm x  N biết
a) (x –15) .15 = 0

c) 315+(125-x)= 435
Bµi 3:Tìm x  N biết :

b) 32 (x –10 ) = 32

Bµi 2:Tìm x  N biết :

a)x –105 :21 =15

a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445

b) (x- 105) :21 =15

Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0

b/ 541 + (218 – x) = 735

c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47)

– 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999.
tính tổng các chữ số của số đó.

1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số
gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được
tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được
tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các
chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng :
a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

4
10

2
8

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự
nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4

.hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

6


ễN TP V BI DNG TON LP 6
8.Mt s cú by ch s ,cng vi s c viets by ch s ú nhng theo th t ngc li thỡ c
tng l s cú by ch s.hóy chng t rng tng tỡm c cú ớt nht mt ch s chn.
9.Cho bng gm 16 ụ vuụng nh hỡnh v .hóy in vo cỏc
ụ bng ca bng cỏc s t nhiờn l t 1 n 31 (mi s ch
15
29
vit mt ln.) sao cho tng cỏc s trong cựng mt hng,
23
5
cựng mt ct , cựng mt ng chộo u bng nhau
3
17
10.Cho dóy s 1,2,3,5,8,13,21,34,.( dóy s phi bụ na xi) trong ú mi s (bt
9
u t s th ba) bng tng hai s ng lin trc nú.chn trong dóy s ú 8 s 27
liờn tip tựy ý.chng minh rng tng ca 8 s ny khụng phi l mt s ca dóy ó cho.
11. Mt s chn cú bn ch s, trong ú ch s hng trm v ch s hang chc lp thnh mt s
gp ba ln ch s hng nghỡn v gp hai ln ch s hang n v.tỡm s ú.
12.Tỡm cỏc s a,b,c,d trong php tớnh sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai ngi chi mt trũ chi ln lt bc nhng viờn bi t hai hp ra ngoi.mi ngi n lt
mỡnh bc mt s viờn bi tựy ý .ngi bc viờn bi cui cựng i vi cacr hai hp l ngi thng

cuc.bit rng hp th nht cú 190 viờn bi ,hp th hai cú 201 viờn bi.hóy tỡm thut chi m bo
ngi bc bi u tiờn l ngi thng cuc.
Bi tp củng cố
1. Tớnh giỏ tr ca biu thc mt cỏch hp lớ:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 11 12 + - 299 330 + 301 + 302;
2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc 1,ch
s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s ú.
5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v s
chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng
do nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s
hng n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s
phi tỡm vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B
cho 13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng l
233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng khụng i
v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.

a) 1 2 3 4 ...... n
b) 2 4 6 8 .... 2.n
c) 1 3 5 ..... (2.n 1)
d) 1 4 7 10 ...... 2005
e) 2+5+8++2006
g) 1+5+9+.+2001
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

7


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Giải; a)

(n )n
2

b)số số hạng (2n 2) : 2 + 1= n Tổng =

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A 1 2 4 8 16 .... 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 .... n 2004
c) Chứng minh rằng: (1 2 3 .... n) 7 không chia hết cho 10 n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 .... 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B 1.1 2.2 3.3 ... 1999.1999
c) Tính nhanh : C 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50.
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong tr-ờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3;8;15;24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
d) 2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....
Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;.....
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1 1 2; S2 3 4 5; S3 6 7 8 9; S4 10 11 12 13 14;.. . Tính S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A

41.66 34.41
3 7 11 ... 79

b) B

1 2 3 .. 200
6 8 10 .. 34

c) C

1..5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai thừa số giống nhau :
11111111 2222
Bài 22. Tìm kết quả của phép nhân sau
a) A 33....3.99...9
b) B 33...3.33...3

2005c. s

2005c. s

2005 c. s

2005c. s

Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đ-ợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp
a. 111222 b. 444222 c. A= 11....122....2
n

Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 a b c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 11: Ng-ời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659 là
chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho S 7 10 13 ...... 100
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
n

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đ-ợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đ-ợc viết bằng 100 chữ số 6.
Hãy tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số
Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta đ-ợc một số

mới mà khi chia cho số cũ thì đ-ợc th-ơng là 2 d- 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng tr-ớc số đó thì đ-ợc
một số lớn gấp 4 lần so với số có đ-ợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

8


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một chữ
số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần
Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số ta đ-ợc một số mới có
3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đ-ợc một số mới có
bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1 đơn vị
thì sẽ đ-ợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ng-ợc lại nhân với số phải tìm
thì đ-ợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của
nó thì đ-ợc th-ơng là 18 và d- 4 . Tìm số đã cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số đ-ợc viết
theo thứ tự ng-ợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng nghìn
và hàng trăm thì đ-ợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đ-ợc số gồm bốn chữ số ấy
viết theo thứ tự ng-ợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đ-ợc số gồm bốn chữ số ấy
viết theo thứ tự ng-ợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đ-ợc số gồm năm chữ số ấy

viết theo thứ tự ng-ợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9 lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0 đó thì
số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và
hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu giữa
số đó với số viết theo thứ tự ng-ợc lại bằng 297

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

9


ễN TP V BI DNG TON LP 6

d. 61 (53 x) .17 = 1785
e. x 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) : 25 + 23

Bài 1. Tính nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8 +11
+14 + ......+ 38 + 41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) 1999
( 1435 + 213)
13
d. 2023 - ( 34 + 1560)

1972 ( 368 +
972)
e. 364 ( 364 111)
249 ( 75
51)
Bài 2. Tính nhanh các tổng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
e.
2+5+11+....+47+65
b. 1+3+5+7+....+ ( 2n 1) g.
3+12+48+...+3072+12288
c. 2+4+6+8+.....+2n h.
2+5+7+12+.....+81+131
d. 1+6+11+16+....+46+51
i. 4951+53-55+57-59+61-63+65
Bài 3. a. Tính nhẩm 204. 36 499.12
601.42 199.41
b. . Tính nhẩm bằng cách nhân thừa số này,
chia thừa số kia cho cùng một số
66.50 72.125 38.5
15.16.125
c. . Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị chia
và số chia với cùng một số khác không
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 :
125
d. Tính nhẩm bằng cách áp dụng tính chất ( a
b):c=a:c b:c
169 : 13 660 : 15 119 : 7 204 : 12
Bài 4 . Tìm x
a. (158 - x) :7 = 20

b. 2x 138 = 23 . 32
c. 231 - (x 6 ) =1339 :13
d. 10 + 2x = 45 : 43
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b. ( x 32) 17 . 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 40
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

15.x 364
= 17
x
x 350
g. 92.4 27 =
+ 315
x

f. 697 :

Bài 5. Tính nhanh
168.168 168.58
(456.11 912).37
13.74
110
864.48 432.96
45.16 17
b.
28 45.15
864.48.432
7256.4375 725
c.
3650 4375.7255
(315 372).3 (372 315).7
26.13 74.14
1978 .1979 1980 .21 1958
d.
1980 .1979 1978 .1979
27.45 27.55
2 4 6 ... 14 16 18
26.108 26.12
1.e.
127 .
32 28 24 20 16 12 8 4

a.

36 + 64. 127 27. 100

: {390 : [500 (125 + 35 . 7)]}
2.57 : 55 - 7 . 70
2.125.18 + 36.252 + 4.223.9
3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100
B = 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
4.24:{300 : [375 (150 + 15. 5]}
1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
5.56 : 53 + 3 . 32
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
6.20 + 22 + 24 +....96 + 98
H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
7.35 + 38 + 41 +... + 92 + 95
A = 46 ( 16 + 71.4) : 15 2
8.B = 24 . 5 131 ( 13 4 )2
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
9.33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
(5346 2808) : 54 + 51
10. 187 . (38 + 62) 87 .(62 + 38)
23 .16 - 23 . 14
11. 25.{32 : [12 4 + 4. (16 : 8)]}
25.{32 : [12 4 + 4. (16 : 8)]}

10

12


ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.

1. Đònh nghóa: a n  a.a……….a
n thừa số
1
0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a  0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:
a m .a n  a m  n

( n  N*)

(m, n  N *)

am : an  amn

(m, n  N *, m  n, a  0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n
n

6. Lũy thừa tầng: a m  a ( m )
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương
. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
b) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;

3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên
bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
n

i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
k. 410.230
b) 925.274.813
c) 2550.1255
d) 643.48.164
a) 5x.5x.5x
b) x1.x 2 .....x 2006
c) x.x 4 .x7 .....x100

d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003

a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
b, a . a . a + b . b . b . b =
c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 = (g,
12n: 22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

11


ễN TP V BI DNG TON LP 6
a) 38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 :813
a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528
b) 106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ; 183 : 93
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420
; 1253 : 254
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.
212.14.125 453.204.182
46.34.95
213 25
d,
e,
g,
210 22
1805
612
3536

a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 2 . 32 c,
3

e.

10

2

72 x 54
108
4

g.

3

.11 3 .5
10

9

4

10

h.

2

.13 2 .65

3 .2

10

8

y. ( 1253 . 75 1755 : 5 ) : 20012002

2 .104

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bài 4. Cho A = 5. 415. 99 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 Tính A : B
C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 Tính C : D
a) (217 172 ).(915 315 ).(24 42 )
b) (71997 71995 ) : (71994.7)
c) (12 23 34 45 ).(13 23 33 43 ).(38 812 )

d) (28 83 ) : (25.23 ) a)

b) (1 + 2 ++ 100)(12 + 22 + + 102)(65 . 111 13 . 15 . 37)

210.13 210.65
2 8.104

210.13 210.65
310.11 310.5
49.36 644
723.542

b)
c)
d)
C
B
D



164.100
28.104
39.24
1084
11.322.37 915
212.14.125
453.204.182
46.34.95
213 25
e) E
f) F 10 2
g) G
h) H
i) I
(2.314 )2
355.6
2 2
612
1805

a) A

Bài tập 5: Tìm x N biết
h) (7 x 11)3 25.52 200
i) 3x 25 26.22 2.30
l) 49.7 x 2041
m) 64.4x 45
n) 3x 243
p) 34.3n 37
Bài 6: Tìm n N biết:

a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125
d, (x 5)4 = (x - 5)6
x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n
thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết
a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243
49.7n = 2401
b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x 5 )4 = ( x 5 )6
e. x2006 = x2
Bài 4 : Tìm x N biết
a) 3x.3 243
b) x 20 x
c) 2 x.162 1024

d) 64.4 x 168
Bài 5 Tìm x N biết
g) 2 x 15 17
d/

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

a) 9 3n 81
a) 50 < 2n < 100

b) 25 5n 125
b) 50<7n < 2500

Bài 7 Tìm x biết
a) ( x 1)3 125
b) 2 x 2 2 x 96
c) (2 x 1)3 343
d) 720 : 41 (2 x 5) 23.5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x +
2
5) = 289
c) x. (x2)3 = x5 d) 32x+1 . 11 = 2673
Bài 8: Tìm n N * biết
a) 32 2n 128

12

b) 2.16 2n 4

ễN TP V BI DNG TON LP 6
d) (22 : 4).2n 4
1 n
.2 4.2n 9.25
2
i) 64.4n 45

g)

Bài 9: Tìm x N biết
a) 16 x 128
b) 5x.5x 1.5x 2 100...0 : 218

1 4 n
.3 .3 37
9
1
h) .27n 3n
9
k) 27.3n 243

e)

18 c / s 0

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta th-ờng đ-a về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m>n thì am>an (a>1).
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của
phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
H-ớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nh-ng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đ-a 3210 và 1615 về luỹ
thừa cùng cơ số 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818.
b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n N* )
H-ớng dẫn:
a) Đ-a về cùng cơ số 3.
b) Đ-a về cùng cơ số 5.
c) Đ-a về cùng số mũ 12.
d) Đ-a về cùng số mũ n
Bài 2: a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498
H-ớng dẫn:
a) Đ-a hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
b) Đ-a hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
c) Đ-a hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49
Bài 3: a) 19920 và 200315.

Vì 128 > 49 nên 27 > 72
b) 339 và 1121.
Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
H-ớng dẫn :
20
20
3
2 20
60
40
a) 199 < 200 = (2 .5 ) = 2 . 5 .
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545
273 = (33 )3 = 39
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
Vì 310 > 39 nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
2300 = (23) 100 = 8100
72 45-7244và 72 44-7243.
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
H-ớng dẫn:
c, 3500 và 7300
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
7244-7244=7244(72-1)=7244.71.
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
7
2
Bài 5: 2 và 7
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

13


ễN TP V BI DNG TON LP 6
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100

3032 = 33. 1012 = 9.1012

Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300

vậy 303202 < 2002303

d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47

f, 321 và 231

=> 85 < 3 . 47

321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810

e, 202303 và 303202

3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231

202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101

g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

Ta so sánh 2023 và 3032

371320 = (372)660 = 1369660

2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 <

Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979

2023
Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315

Vậy A = B

b/ A = 2 300 và B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100

và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333

c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
a) 5217 và 11972
b) 2100 và 10249
c) 912 và 277
d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010
f) 2711 và 818
Bài 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257
c) 32n và 23n (n N * )
d) 523 và 6.522
Bài 4: So sánh các số sau
a) 7.213 và 216
b) 2115 và 275.498
c) 19920 và 200315
d) 339 và 1121
Bài 5: So sánh các số sau
a) 7245 7244 và 7244 7243
b) 2500 và 5200
c) 3111 và 1714
d) 324680 và 237020
e) 21050 và 5450
g) 52n và 25n ;(n N )
Bài 6: So sánh các số sau
a) 3500 và 7300
b) 85 và 3.47
c) 9920 và 999910

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

14


ễN TP V BI DNG TON LP 6
d) 202303 và 303202
h) 1010 và 48.505
Bài 7: So sánh các số sau
a) 10750 và 7375

e) 321 và 231
i) 199010 19909 và 199110
b) 291 và 535

g) 111979 và 371320

c) 54 4 và 2112

Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
100
Muốn biết 2 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030
và 1031.
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So sánh 2100 với 1031

Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Từ (*),( **) ta có:
1031
< 2100 < 1031
Số có 31 chữ số nhỏ nhất
Số có 32 chữ số nhỏ nhất
100
Nên 2 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.
a) A =

19 30 5
19 31 5

;

B =

19 31 5
19 32 5

2 20 3
218 3
;

B
=
2 20 3
2 22 3
1 5 5 2 ... 5 9
1 3 3 2 ... 3 9
c) A =
;
B
=
1 5 5 2 ... 5 8
1 3 3 2 ... 3 8

b)

Bài giải:
19.(19 5)
19 31 95
19 5
90
Nên
19A
=
=
= 1 + 31
31
31
31
19 5
19 5

19 5
19 5
31
32
31
19.(19 5) 19 95
19 5
90
B = 32
nên 19B =
=
= 1 + 32
32
32
19 5
19 5
19 5
19 5
90
90
Vì 31
> 32
19 5
19 5
90
90
Suy ra 1 + 31
> 1 + 32
Hay 19A > 19B Nên A > B
19 5

19 5
2 2 .(218 3)
218 3
2 20 12
9
b) A = 20
nên 22 . A =
=
= 1 - 20
20
22
2 3
2 3
2 3
2 3
30

30

A=

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

15


ễN TP V BI DNG TON LP 6
2 2 .(2 20 3)
2 22 12
2 20 3

9
2.
nên
2
B
=
=
= 1- 22
22
22
22
2 3
2 3
2 3
2 3
9
9
9
9
Vì 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 3
2 3
2 3
2 3

B=

Nên A < B
c) Ta có:
1 5 5 2 ... 5 9 1 (5 5 2 ... 5 9 ) 1 5(1 5 5 2 ... 5 8 )
1


5 5 (1)
=
2
8
2
8
2
8
2
1 5 5 ... 5
1 5 5 ... 5
1 5 5 ... 5
1 5 5 ... 5 8
1
3 4 (2)
T-ơng tự B =
Từ (1) và (2) Ta có
2
1 3 3 ... 38
1
1
A=

+5>5>4>
+ 3 =B nên A > B
2
2
8
1 3 3 .... 38
1 5 5 ... 5

A=

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
Viết A + 1 d-ới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bài giải:
3

3

3

3

a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54

b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2

2

99 1
1 = ( x - 2)2

2


2

502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
73 = x2 - y2
Ta thấy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết.
A =
111....1
- 777 ...7 là số chính ph-ơng
2 x chữ số 1

x chữ số 7
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

16


ễN TP V BI DNG TON LP 6
Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111...1 - 777...7 = ......34 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 4
Suy ra A không phải là số chính ph-ơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9 5 vì ( 35x 5 ; 9 5 )
Mà 2. 5y 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)

Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
2
100
A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 2 2 ; 2 22 23 ; 2 22 23 24
b) Chứng minh rằng: A 2 22 23 ..... 22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34 35 36 37
b) Chứng minh rằng: B 1 3 32 .... 399 40
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) S1 5 52 53 ... 52004 6;31;156
b) S2 2 22 23 .... 2100 31
c) s3 165 215 33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A 20 21 22 .... 22006
b) B 1 3 32 .... 3100
TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

17

ễN TP V BI DNG TON LP 6
c) C 4 42 43 .... 4n
d) D 1 5 52 .... 52000
Bài 6 Cho A 1 2 22 23 .... 2200 . Hãy viết A+1 d-ới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho B 3 32 33 ..... 32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho C 4 22 23 .... 22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 55 54 53 7
b) 76 75 74 11
c) 109 108 107 222
e) 106 57 59
g) 3n 2 2n 2 3n 2n 10n N *
h) 817 279 913 45
i) 810 89 88 55
k) 109 108 107 555
Bài 10 Tính nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
b) T-ơng tự B =

7 304 1
73 1

Bài 3: Tính
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5

A=

Bài giải:
1
1
1

1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
1
1
1
7A = 1 + + 2 + ... + 99
7
7
7
1
1

=> 7A - A = 1 - 100
A = 1 100 : 6
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5
4

4
4
5B = -4 + + 3 +...+ 201
5
5
5
4
B+5B = -4 + 200
5
4

B = 4 200 : 6
5


A=

Bài 3: Tính

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

18


ễN TP V BI DNG TON LP 6
A =

25 28 25 24 25 20 ... 25 4 1
25 30 25 28 25 26 ... 25 2 1

Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
Vậy A =

1
1
=
2
626
1 25

Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó.
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a b c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

19


ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
A/. Mơc tiªu:
- Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiƯu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp.
- VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.

- RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t- duy l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp.
B/. Chn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun.
C/. Néi dung chuyªn ®Ị.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b  0 ).
a  b.q  a b  a là bội của b  b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu a b và b c  a c
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a m và b m thì a  b m và a  b m
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu a m, b n  ab mn
Hệ Quả: Nếu a b  a n b n
Nếu a m, a n ,(m, n)  1  a mn
A/ LÝ THUYẾT:
Gọ i A = an an 1...a2 a1a0 Tacó :
A 2  a0 2, A 5  a0 5
A 4  a1a0 4, A 25  a1a0 25
A 8  a2 a1a0 8, A 125  a2 a1a0 125
A 3  an  an 1  ...  a2  a1  a0 3
A 9  an  an 1  ...  a2  a1  a0 9

BÀI TẬP:

1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

20

thì


ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
b/ Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: a/ 275x 5  x  0;5 ; 275x

25  x  0 ; 275x

125  x  0

b/ 9 xy 4 2  x, y 0;1;2;...;9 ; 9 xy 4 4  x 0;1; 2;...;9 , y 0, 2, 4,6,8
9 xy 4 8  x 0;2;4;6;8 ; y 2;6 hoặ c x 1;3;5;7;9 ; y 0;4;8 :

LUYỆN TẬP
1) Cho n  N, chứng minh rằng:
a/ 5n – 1 4
b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10n - 1 9
d/ 10n + 8 9
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4
+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4
Vậy với n  N, 5n – 1 4 .

b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1
là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 8 72
b/ 88 + 220 17
Giải: a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9
(1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
28
Số 10 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72.
b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17
vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Giải:
Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng
bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.
Giải: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

21

ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
a) ab  ba chia hết cho 11.
b) ab  ba Chia hết cho 9 với a > b.
a) Ta có ab  ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vậy ab  ba 11.
b) Ta có : ab  ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9
Chú ý : Nếu ab  cd 11  abcd 11
Bµi 2 Cho abc  deg 7. Cmr abc deg 7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy
viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số abc 27 Chứng minh rằng số bca 27
Giải:
1)Ta có : abc deg  1000abc  deg 1001abc  (abc  deg )
 7.143abc  (abc  deg )

Mà : 7.143 abc 7 và abc  deg 7. Vậ y abc deg 7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a  9, 0  b  9, a,b  N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
abba  1000a  100b  10b  a
 1001a  110b  7.11.13a 11.10b 11
Vậ y : abba 11

3) abc 27
 abc0 27
 1000a  bc0 27
 999a  a  bc0 27
 27.37a  bca 27
 bca 27 ( Do 27.37a 27)

LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp
thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không
chia hết cho 10.
3) Tìm n  N để:
a) 27 – 5n n
b) n + 6 n + 2
c) 2n + 3 n – 2
d) 3n + 1 11 – 2n
4) Cmr nếu ab  cd  eg 11 thì abc deg 11
5) Cho abc  deg 37. Cmr abc deg 37
6) Cho 10 k – 1 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu ab  2cd  abcd 67
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

22


ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không
chia hết cho 4.

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì
không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10.
3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n  Ư(27) = 1;3;9; 27 nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n  1;3
b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, mà n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2  1; 2; 4 => n
 0; 2

c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2  1;7 => n  3;9
d*) 3n + 1 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n
=> 11 – 2n  1;5;7;35 nhưng vì n < 6 nên n  5;3; 2

4) Ta có : abc deg 10000ab 100cd  eg  9999ab  99cd  (ab  cd  eg )
Do 9999 11; 99 11;(ab  cd  eg ) 11
Vậy : abc deg 11
5) Tacó : abc deg 1000abc  deg  999abc  (abc  deg)
 27.37abc  (abc  deg)
Do 27.37abc 37; (abc  deg) 37; Vậ y : abc deg 37
6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)
Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19
Vây 102k – 1 19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k  N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n =
2k + 1 (k  N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.

Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

23


ƠN TẬP VÀ BỒI DƯỠNG TỐN LỚP 6
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia
hết cho 2.
+ Trường hợp: n = 3k (k  N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
(1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A
chia hết cho 3.
(2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A
chia hết cho 3.
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có abcd  100ab  cd
Mà:
ab  2cd
Suy ra: abcd  2cdcd  200cd  cd  201cd  3.67cd 67
Vậy:
abcd 67
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên
sau:

a) Số đó chia hết cho 5;
b) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5
là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và
cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số 123 x43 y . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số 123 x43 y  5 nên y = 0 hoặc y = 5.
 Với y = 0 , ta có số 123x430 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3  3
hay 12 + (x+ 1)  3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số 123x435 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5  3 hay
18 + x  3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài 5:
1. Điền chữ số vào dấu * để được số :
a) Chia hết cho 2 : 3 * 46 ; 199 * ; 20 *1 ;
b) Chia hết cho 5 : 16 * 5 ; 174 * ; 53 * 6 ;
2. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
b) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC HƯỚNG DƯƠNG

24

ễN TP V BI DNG TON LP 6
b) Trong sỏu s t nhiờn bt kỡ bao gi cng chn c hai s cú hiu chia ht cho 5;
6. Chng t rng:
a) (5n + 7 )(4n + 6) 2 vi mi s t nhiờn n;
b) (8n + 1 )(6n + 5) . . . 2 vi mi s t nhiờn n;
7. Ngi ta vit cỏc s t nhiờn tựy ý sao cho s cỏc s l gp ụi s cỏc s chn. tng cỏc s ó vit
cú chia ht cho 2 hay khụng? Vỡ sao?
8. Cú 5 t giy .ngi ta xộ t giy ú thnh 6 mnh . li ly mt trong s mnh giy no ú, xộ mi
mnh thnh 6 mnh.c nh vy sau mt s ln , ngi ta m c 2001 mnh giy.hi ngi ta m
ỳng hay sai?
9. Cho sỏu ch s : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.
a) c bao nhiờu s cú ba ch s ,cỏc ch s trong mi s u khhacs nhau, c lp thnh t cỏc ch
s trờn?
b) Trong cỏc s c lp thnh cú bao nhiờu s nh hn 400? Bao nhiờu s l s l ? bao nhiờu s
chia ht cho 5?
Bi tp củng cố:
1.in ch s vo du * :
a) 2001 + 2 * 3 chia ht cho 3;
b) 5 * 793 * 4 chia ht cho 9;
2. in ch s vo du * c s chia ht cho 3 m khụng chia ht cho 9 :
51 * v 745 *
3.Dựng ba trong 4 ch s 3,6,9,0 hóy ghộp thnh s t nhiờn cú ba ch s sao cho s ú:
a) Chia ht cho 9;
b) Chia ht cho 3 m khụng chia ht cho 9.
4. Phi thay cỏc ch s x, y bi ch s no s 123 x44 y 3
5. Tng (hiu) sau cú chia ht cho 3 , cho 9 khụng?
102001 + 2 ; 102001 1 .
6. Tỡm cỏc ch s x,y bit rng s 56 x3 y chia ht cho 2 v 9.

7. Tỡm cỏc ch s x,y bit rng s 71x1y chia ht cho 445.
8. Tỡm tt c cỏc s cú dng 6a14b , bit rng s ú chai ht cho 3 , cho 4 v cho 5.
9. Tỡm hai s t nhiờn liờn tip , trong ú cú mt ch s chia ht cho 9 , bit rng tng ca hai s
ú tha món cỏc iu kin sau:
a) L sú cú ba ch s;
b) L s chia ht cho 5;
c) Tng ca ch s hng trm v ch s hng n v l s chia ht cho 9;
d) Tng ca ch s hng trm v ch s hng chc l s chia ht cho 4;
Các ph-ơng pháp chứng minh chia hết
Ph-ơng pháp 1: để chứng minh A b
( b 0 ). Ta biểu diễn A b.k trong
đó k N
Bài 1: Cho n N . Chứng minh rằng: (5n)100 125
Bài 2: Cho A 2 22 ..... 22004 . Chứng minh rằng: a) A 6
b) A 7
c) A 30
2
1998
Bài 3: Cho S 3 3 ... 3 . Chứng minh rằng : a) S 12
b) s 39
2
100
Bài 4: Cho B 3 3 ... 3 Chứng minh rằng: B 120
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 3636 910 45
b) 810 89 88 55
c) 55 54 53 7
d) 76 7 5 74 11
e) 2454.5424.210 7263
g) 817 279 913 45

TRUNG TM BI DNG KIN THC HNG DNG

25