PHÁT TRIỂN tư DUY hàm TRONG bài TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ BẰNG PHƯƠNG PHÁP hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM
TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Người thực hiện

: Lê Thị Thu Huyền

Chức vụ

: Giáo viên

SKKN thuộc môn : Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.................................................2

2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.........................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận..................................................................................................3
2.2. Các giải pháp..................................................................................................4
2.3. Hiệu quả.......................................................................................................16
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.........................................................................17
3.1. Kết luận.......................................................................................................17
3.2. Kiến nghị và đề xuất.....................................................................................17


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Phương trình vô tỷ là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán
THPT. Mặc dù là một chuyên đề nằm ở chương trình lớp 10 nhưng có một số
bài toán khi sử dụng kiến thức hàm số của lớp 12, việc giải quyết bài toán trở
nên đơn giản hơn nhiều. Chính vì vậy trong rất nhiều phương pháp giải phương
trình vô tỷ thì phương pháp hàm số là một trong những ứng dụng quan trọng mà
học sinh phải nắm được. Ở đây tôi không có tham vọng trình bày được hết các
phương pháp giải phương trình vô tỷ, mà trong phạm vi đề tài này tôi muốn làm
sáng tỏ hơn việc giải quyết các phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số.
Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học ,
nó giữ vị trí trung tâm của chương trình Toán THPT ,toàn bộ việc giảng dạy
toán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này .
Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được
hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát
triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt
là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái
niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng
dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các
câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học
sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải

toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này
cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các
giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng
vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn
đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,
việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một
điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương
pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học
sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, nhiều năm học được nhà trường
phân công dạy các lớp mũi nhọn, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, khi
dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho bài dạy của mình
đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy
đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ
đó Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu chuyên đề này.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không
còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số, rèn luyện cho
các em kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến hàm số, đặc biệt là việc giải
phương trình chứa căn. Hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói
1


chung và liên quan đến Hàm số nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ
có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này tôi áp dụng với đối tượng học sinh lớp 12 được
trang bị cả kiến thức về phương trình vô tỷ và kiến thức về ứng dụng của đạo
hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức và thử nghiệm trên
từng nhóm đối tượng học sinh.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Đề tài đã giúp học sinh phối hợp kiến thức xuyên suốt chương trình toán
THPT, tạo ra một phương pháp giải rất tốt cho phương trình vô tỷ.

2


2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận
1. HS y = f(x) đồng biến trên (a, b) ۳

f ' x 

ۣ f ' x 
2. HS y = f(x) nghịch biến trên (a, b) 

0 với mọi x �(a, b).
0 với mọi x �(a, b).

3. HS y = f(x) đồng biến trên  a; b  thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)

4. HS y = f(x) nghịch biến trên  a; b  thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý:
 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị
hs y = f(x) với đồ thị hs y = g(x).
 Nếu hàm số y �0 ,  �(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì y �0  �

 a; b  .

 Bất phương trình f ( x) �m đúng x �I � Min f(x) �m x �I
 Bất phương trình f ( x) �m đúng x �I � Max f(x) �m x �I
 BPT f ( x) �m có nghiệm x �I � max f(x) �m x �I
 BPT f ( x) �m có nghiệm x �I � Max f(x) �m x �I
�Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b) thì phương trình f(x)= k nếu có
nghiệm x=x0
thì x=x0 là nghiệm duy nhất
�Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b),u(x),v(x) là các hàm số nhận giá
trị thuộc D thì ta có : f  u ( x )   f  v( x)  � u ( x)  v( x)

�Nếu f(x) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì y =
biến (nghịch biến ),

n

f ( x) đồng

1
với f(x) >0 là nghịch biến ( đbiến), y=-f(x) nghịch
f ( x)

biến (đồng biến )
�Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch
biến ) trên D
�Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm
đồng biến (nghịch biến ) trên D
�Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của
hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y
= f(x) với đường thẳng y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là

L,GTNN là n thì phương trình f(x)=m có nghiệm khi khi n �m �l
�Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực
hiện:
Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt
f(x) bằng một biểu thức nào đó.
�Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để
kết luận nghiệm của phương trình.
3


�Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu
học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của
hàm số
y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y =
f(x) với đường thẳng y = m
�Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất
phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau
- Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m)
- Tìm tập xác định của hàm số f(x)
- Tính f’(x)
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D.

Maxf ( x),Minf ( x)

Tìm

x�D

x�D

�Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp ,ta có thể đặt
ẩn phụ thích hợp t  ( x) ,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với
bài toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thường
dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm t  ( x) ) để
có thể tìm được điều kiên chính xác của biến mới t)
�Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng
phương pháp hàm số như trên
2.2. Các giải pháp:
VD1: Giải phương trình : 5 x3  1  3 2 x  1  x  4 (1)
Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì
giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến
,vế phải bằng 4 là hàm hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn
điệu
1
5

Lg: Đk: x �3 ,
Đặt f(x)= 5 x3  1  3 2 x  1  x
f (x)= 
’

15 x 2
2 5x 1
3



2

1
 1 >0  x �( ; �)
3
5
3 3 (2 x  1)
2

1
5

Nên hàm số đồng biến trên �[ 3 ; �) . Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm .
VD 2 : Giải phương trình : 2 x3  3x 2  6 x  16  4  x  2 3
Nhận xét :
Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện
�
�
2 x 3  3 x 2  6 x  16 �0
( x  2)(2 x 2  x  8) �0
��
� 2 �x �4
4  x �0
4  x �0
�
�

Đk: �

Đặt f(x) = 2 x3  3x 2  6 x  16  4  x ,
4

f’(x)=

3( x 2  x  1)
2 x  3x  6 x  16
3

2



1
 0, x �(2; 4)
2 4x

Nên hàm số đồng biến ,f(1)= 2 3 nên x=1 là nghiệm
VD3 : Giải phương trình:

 x  2   2 x  1  3



1
Đk: x � Viết
2
2x 1  3



x6  4

lại

phương

 x  6   2 x  1  3
trình

dưới

x2

dạng

như

sau:



x2  x6 4

2 x  1  3 >0 � x >5
hơn nữa hàm g(x)= 2 x  1  3 , h(x) = x  2  x  6 dương đồng biến
với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 là nghiệm .
VD 4 : Giải phương trình x 5  x 3  1  3x  4  0 ( ĐH Ngoại thương
2000)
1
Lg: Đặt f(x) = x 5  x 3  1  3 x  4 , x � .
3

Nhận thấy

'
4
2
Ta có f ( x)  5 x  3 x 

3
1
 0x 
3
2 1  3x

1
Vậy f(x) đồng biến với x � ,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm
3
VD5: Giải phương trình : 3x(2  9 x 2  3)  (4 x  2)(1  1  x  x 2 )  0 (3)
Lg:Trước khi vận dụng phương pháp hàm số ,ta xét cách giải sau của
Thầy :
Nguyễn Tất Thu Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai
(Đăng trên báo toán học và tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷ
bằng phương pháp đánh giá)
Viết
lại
phương
trình
dưới
dạng
3x(2  (3 x) 2  3)  (2 x  1)(2  [(2 x  1) 2 ]  3

Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)<0 hay

1
�1 �
x �� ;0 �
. Nhận thấy nếu 3x= -(2x+1) � x   thì hai vế của phương trình
�2 �
5
bằng nhau .Vậy x  

1
là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm
5

1 �1 �
x   ��
 ;0 �
5 �2 �

1
5

Ta chứng minh x   là nghiệm duy nhất .

5


1
2

1
5

� Với   x   � 3x  2 x  1  0 �  3x    2 x  1
2

2

nên ta có

2  (3 x) 2  3)  2  (2 x  1) 2  3 � 3x(2  (3 x) 2  3)  (2 x  1)(2  [ (2 x  1) 2 ]  3

hay 3x(2  (3 x) 2  3)  (2 x  1)(2  [(2 x  1) 2 ]  3  0 suy ra phương trình vô
nghiệm trên khoảng

�1 1�
 ; �.
�
� 2 5�

1
�Với   x  0 làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô
5
1
�1 �
 ;0 �
nghiệm trên �
Vậy nghiệm của phương trình là x  
5
�5 �

Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm
duy nhất
Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số
Viết
lại
phương
trình
dưới
dạng:
3x(2  (3 x) 2  3)  (2 x  1)(2  [(2 x  1) 2 ]  3
2
'
2
Xét hàm số f(t)= t (2  t  3), f (t )  2  t  3 

t2
t2  3

 0 � hàm số luôn

đồng biến
Do đó (3) � f(3x)=f [(2 x  1)] � 3x=-2x-1 � x= 

1
5

Bình luận : Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý với tôi là
cách giải thứ hai hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu .Tôi đã
kiểm nghiệm phương trình này trên hai lớp ôn thi đại học và không có học sinh
nào giải theo cách giải của thày Thu vì nó thiếu sự tự nhiên không có ‘ Manh

mối ’ để tìm lời giải . Đây là bài toán khó đối với học sinh,các em rất khó
khăn trong việc sử dụng các phương Pháp khác để giải phương trình này .Vì
vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần
thiết của người thày .Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải
toán ,để học sinh có đủ ‘sức đề kháng’ trước các bài toán lạ.
VD6 :Giải phương trình : 2 x3  x 2  3 2 x3  3 x  1  3 x  1  3 x 2  2 (1)
Lg:Biến đổi (1) � 2 x3  3x  1  3 2 x 3  3x  1  x 2  2  3 x 2  2 (*)
1
Xét hàm số f(t)= t  3 t ;f’(t)=1  3 2  1, t �R \  0 � hàm số đồng biến
3 t
trên R \  0
(*)

� f(2x3-3x+1)=f(x2+2) � 2x3-3x+1=

x2+2 � (2x+1)(x2-x-1)=0

� 1 1� 5 �
� x ��
 ;
�
2 �
�2

VD7: Giải phương trình

3

x  2  3 2 x2  1  3 2 x2  3 x  1
6

Lg:
3

Ta

có

x  2  3 2 x 2  1  3 2 x 2  3 x  1 � 3 x  2  3 x  1  3 2 x 2  1  3 2 x 2 (*)
Xét hàm số f(t) = 3 t  3 t  1 dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên R \  0; 1
1
nên (*) � f(2x2)=f(x+1) � 2x2=x+1 � x=1 hoặc x= 

2

3
VD8: Giải phương trình
6 x  1  8 x3  4 x  1
Lg: Biến đổi phương trình tương đương với
3
6 x  1  8 x 3  4 x  1 � 6 x  1  3 6 x  1  (2 x)3  2 x (*)
Xét hàm số f(t)=t3+t dễ thấy f(t) đồng biến nên

(*) � f( 3 6 x  1 )=f(2x) � 3 6 x  1  2 x � 8 x3  6 x  1 � 4 x 3  3x 
Nếu |x|>1 thì | 4 x3  3 x |=|x|| 4 x  3 | >

1
(1)
2

1
(1) vô nghiệm
2

Nếu x �1 đặt x=cost t � 0;   phương trình trở thành

2
1
1
� cos3t =
�t� k
4cos3t-3cost =
chọn các nghiệm
2
2
9
3

5
7
,t 
trong khoảng t � 0;   ta có nghiệm t  , t 
từ đó suy ra các
9
9
9

5
7

ngiệm của phương trình là : x  cos ; x  cos ; x  cos
9
9
9
Bình Luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :
f(t) đơn điệu thì f(t1)=f(t2) � t1=t2 . Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng
được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến
đổi ,lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán ,đưa về dạng thích hợp có lợi cho
việc sử dụng công cụ giải toán .Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải
thường xuyên chú trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh
VD9: Giải phương trình
x 2  15  3x  2  x 2  8
Lg: xét f(x)= 3 x  2  x 2  8  x 2  15  0
Nếu

2
2
x � � 3x  2 �0, x 2  8  x 2  15  0 Vì vậy x � đều không là
3
3

nghiệm.
Nếu

� 1
2
x  , f ' ( x)  3  x �

2
3

� x 8

�
� 0
x  15 �
1

2

2
3

Vậy f(x) đồng biến khi x  ,f(1)=0
Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
VD10 : Giải phương trình: 4 x  2  4 4 x  2

7


f  x  4 x  2  4 4 x

Đặt

2 �x �4

với

1
�
 x  1 � 1

f�

3
3 �
�
4
4
4  x  2
 4 x �
�
 x  0 � x  2  4 x � x  3.
Ta có: f�
Nhìn
bảng
biến
thiên
suy
ra:
f  x �f  3  2 x� 2,4  Phương trình



x 0x0 1f  0 f

(x0)

f  x  4 x  2  4 4 x  2 có nghiệm duy nhất x  3
3

Giải phương trình sau:

VD 11 :

2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0

(1)

2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 3 2 x  1  3 2 x  2  3 2 x  3  0
3

Lg: Xét phương trình

Ta có:

f ' ( x) 

Suyra

hàm

2
3

(2 x  1)

số

2



2
3

(2 x  2)

f(x)



2

2
3

(2 x  3)

đồng

biến

2

 0; x 

trên

1
3

, 1,
2
2

tập

M=

1  1
3  3

 

  ,     , 1    1,     ,
2  2  
2  2



Ta thấy
f (

 x=-1 là

f(-1)=0

một

nghiệm

của

(1). Ta

có:

1
3
) 3; f ( )  3
2
2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x

-∞

f’(x)
F(x)

3
2

-1









1
2

+∞


+∞
0

3

-∞ -3
Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0  x = -1.vậy phương trình đã cho có
duy nhất 1 nghiệm
Bình luận: Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ
thích hợp sau đó đưa về hệ phương trình ,từ đó vận dụng hàm số để giải .
VD12: Giải phương trình :
x3  4 x 2  5x  6  3 7 x 2  9 x  4
Lg: Đặt y = 3 7 x 2  9 x  4
�x 3  4 x 2  5 x  6  y
�x 3  4 x 2  5 x  6  y
�
Ta có � 2
�
7 x  9 x  4  y3
( x  1)3  x  1  y 3  y
�

�
Xét hàm số f(t)=t3+t, f’(t)=3t2+1>0 t �R hàm số đồng biến .nên ta có

y=x+1
8


� 1 � 5 �
� x 3  4 x 2  6 x  5  o � x ��
5;
�
2 �
�

Bình Luận: Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là
vận dụng vào việc tìm Đk của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn
điều kiện cho trước.Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học
sinh hay gặp.
VD 13 ( ĐH KA-08): Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm
thực phân biệt
4
2x  2  x  2 4 6  x  2 6  x  m
Lg: Đặt f(x) = 4 2 x  2  x  2 4 6  x  2 6  x , x � 0;6
f ' ( x) 

1
2 4 (2 x)3



1
2 4 (6  x)3



4
(6  x)3  4 (2 x)3
1
1
6  x  2x



2x
6  x 2 4 (6  x)3 4 (2 x) 3
2x 6  x

Nhận thấy hai số hạng của f ’(x) cùng dấu với nhau nên f’(x) =0 khi 62x=2x hay x=2
Bảng biến thiên :
x
0
2
6
f’(x)

+

0

-

9
3 2
2

f(x)
2 6  24 6

4

12  2 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm thực phân
biệt khi 2 6  2 4 6 �m �4 12  2 3
Bình luận Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải
phương trinh.Việc tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh,nhưng việc
xét dấu của dạo hàm còn phức tạp hơn .Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức và kỹ năng vững vàng mới giải được .Đây là câu khó khăn
nhất của đ Khối A năm 2008. Ta xét thêm một số ví dụ khác .
VD 14 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương
x

11
� 7 �
 4�
1  2 � =m
2x
� x �

11

28
11
'
� 7 �
 4�
1  2 � ta có y  1  2  2
2x
2x
x 4 x 2  28
� x �
11
28
y '  0 � g ( x)  2 
1
2
2x
x 4 x 2  28

Lg: Đặt y= x 

Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất

9


x  3 � g ( x)  1 � y '  0

mà

x  3 � g ( x)  1 � y '  0

vì vậy ta có bảng biến thiên sau
X
0
’
y
�
y
+

+�

3
0

+

+�

15
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân
15
biệt m>
2
Bình Luận : Bài toán trên khó khăn cho học sinh không chỉ ở công
đoạn tính đạo hàm mà còn gây khó khăn cả trong việc giải phương trình y ’ =0
và xét dấu của đạo hàm .Để giải được phương trình y ’=0 và xét được dấu đạo
hàm ở bài toán trên có sự phục vụ rất lớn của đạo hàm .Ta có thể tiếp cận bài
toán trên theo cáh khác như sau :
lim y  lim ( x 

x �0

x �0

11
� 7 �
 4�
1 2 �
)  �,
2x
x
�
�

11
� 7�
 4�
1 2 �
)  �
x ��
x��
2x
� x �
Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki
lim y  lim ( x 

2

2

2
2
7�
� 7� �
� 7�
� 7 �
3  � �
3.1  7
1  2 � 16 �
1 2 �
�� 9  7  �
�
x �
� x� �
� x �
� x �
2

� 7 � 1� 7�
� 4�
1  2 �� �
3 �
� x � 2� x �

11 1 � 7 � 3 � 9 �
3 x 7
 �
3  �  �x  �

� x  3 Từ x 

2x 2 � x � 2 � x �
1
x
3
9 3
15
 x � 6
Theo bất đẳng thức cô si ta có
Dấu bằng khi x=3
2
x 2
2
Dấu = xảy ra khi

11
� 7 � 15
 4�
 2 ��
2x
�x � 2
Lập bảng biến thiên ta được kết quả như trên
Bình Luận :Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét
dấu của đạo hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong
bất dẳng thức Cô si và Bunhia .Để luyện tập học sinh có thể làm bài tập tương
tự :
từ đó ta có x 

10

Tìm m để

phương trình sau có đúng

một nghiệm dương

1
3
 1  2 =m
2x
x
Nhận xét :Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình,
học sinh cũng hay mắc sai lầm trong việc kết luận về tổng,tích hai hàm đồng
biến... Ta xét thêm một ví dụ khác
VD15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 x

x x  x  12  m



2010  x  2009  x



Lg: Đk : 0 �x �2009
Viết lại phương trình dưới dạng:
( x x  x  12 )( 2010  x  2009  x ) =m
Xét hàm số f(x) =( x x  x  12 )(

2010  x  2009  x )
Ta có h(x) = x x  x  12 >0 và đồng biến trên 0 �x �2009
có

g(x)=

2010  x  2009  x

g’(x)

=

1
1
2010  x  2009  x


2 2010  x 2 2009  x 2 2010  x 2009  x

>0

với

0 �x �2009 nên hàm số đồng biến trên 0 �x �2009 , hơn nữa g(x) >0 với
0 �x �2009
vì vậy f(x) =h(x)g(x) đồng biến trên 0 �x �2009 .vì vậy phương trình
có nghiệm khi

f (0) �m �f (2009) � 12





2010  2009 �m �2009 2009  2021

Bình Luận:Khi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất của hàm số vào
giải phương trình người thầy cũng cần lưu ý học sinh:Khi xét trên tập D thì
tích của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch
biến) chỉ có tích của hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương mới là hàm số
đồng biến (nghịch biến ).
VD16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(4m  3) x  3  (3m  4) 1  x  m  1  0 (1)
Lg: Điều kiện 3 �x �1
Phương trình � m(4 x  3  3 1  x  1)  3 x  3  4 x  1  1
�m

3 x  3  4 x 1  1
(2) Vì
(4 x  3  3 1  x  1)



x3

 
2

1 x



2

4

2t
�
x3 2
�
�
1 t2
Nên ta đặt �
Với t � 0;1
2
1

t
�1  x  2
1 t2
�

11


12t  8  1  t 2   1  t 2

7t 2  12t  9

 f (t ) (3)

Khi đó (2) trở thành: m 
16t  6  1  t 2   t 2  1 5t 2  16t  7

(1) có nghiệm � (3) có nghiệm t � 0;1 có
�

7
9
7
 f (1) �f (t ) �f (0)  �
9
7
9

m

f�
(t )  

52t 2  8t  60

 5t

2

 16t  7 

2

 0t � 0;1

9
7

2t
�
x

3

2
�
�
1 t2
Bình luận : Giáo viên nên giải thích tại sao ta đặt ? �
2
�1  x  2 1  t
�
1 t2

xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá: x 2  y 2  a 2 ta đặt
2t
�
x

a
�
�x  asin

�

1 t2
tiếp tục đặt t  tan � �
�
2
2
�y=acos
�y  a 1  t
�
1 t2
VD 17 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
1  x  8  x  (1  x)(8  x)  m

Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là
đặt ẩn phụ t = 1  x  8  x sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham
số đẻ phương trình có nghiệm thoả mãn diều kiện cho trước .Tuy nhiên cách
đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức
bậc hai.Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải .Vì vậy
phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này
Lg: Đặt f(x)= 1  x  8  x  (1  x)(8  x)
f ' ( x) 

1
1
7  2x
8  x  1 x
7  2x





2 1 x 2 8  x 2 1 x 8  x 2 1  x 8  x 2 1 x 8  x

�
�
1
1
 (7  2 x) �

�
2 1 x 8  x ( 8  x  1 x ) 2 1 x 8  x �
�

Mà
x=

1
1

>0 nên f’(x)=0 � 7-2x=0 �
2 1 x 8  x ( 8  x  1 x ) 2 1 x 8  x

7
2

12


Bảng biến thiên
x

-1

f’(x)

7/2
+

8

0

-

9
3 2
2

f(x)

3

3
9
2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 3 �m   3 2
Bình luận :
- Qua bài toán trên ta thấy việc xét được dấu của đạo hàm là mộ t khâu
quan trọng trong ứng dụng của hàm số ,đòi hỏi người giải toán phải rất linh
hoạt trong biến đổi .

- Ngoài cách trên học sinh còn có thể đề cập đến phương pháp lượng
giác hoá

như sau: Đk: 1 �x �8 :Nhận xét



1 x

 
2

8 x



2

 9 � đặt

�
� 1  x  3sin u
��
, u ��
0;
�
� 2�
�
� 8  x  3cos u

Phương trình (1) trở thành 3sinu+3cosu+9sinucosu=m
�
1 �t � 2

�
Đặt t=sinu+cosu suy ra t2=1+2sinucosu � �2

t 1  2sin u cos u
�

Bài toán quy về tìm m để phương trình 9t2 +6t -9=2m có hai nghiệm thực
’
�
1; 2 �
1; 2 �
Xét hàm số f(x)= 9t2 +6t -9 trên D= �
�
�,f (t)=18t+6>0 trên �
�
Minf(t)=f(1)=6,Maxf(t)=f( 2 )=9+ 6 2 .Từ đó suy ra phương trình có

2m +
9 6 2
nghiệm khi 6 ��+�

3 m

9
3 2
2

Một số bài toán phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp
mới sử dụng được phương pháp hàm số . Ta xét ví dụ sau :
VD18 :( ĐHKA-07) Cho phương trình 3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 . (1)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Lg: Đk x �1 (1) � 3
Đặt t= 4

x 1
x2 1
x 1
x 1
 m  24
�3
 m  24
2
x 1
( x  1)
x 1
x 1

x 1
2
x 1
 1
 1 � t �[0;1)
>0,vì
x 1
x 1
x 1

Bài toán trở thành tìm m đẻ hệ

phương trình sau có nghiệm

�f (t )  3t 2  2t  m
�
0 �t  1
�

Ta có f’(t)=-6t+2, f’(t)=0 � t=

1
3

Bảng biến thiên
13


t

1
3

0

f’(t)

+

1
-

1
3

f(t)

0

-1
1
3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 1  m �

Bình luận :- Đối với các bài toán có chứa tham số :Khi đặt ẩn phụ ta
phải chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ .Khi đó ta mới xét được một hàm
số xác định trên một miền xác định . Từ đó tìm được điều kiện cho tham số
thoả mãn yêu cầu đã cho của đề bài
-Việc lựa chon ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc ,ta có thể đặt như
sau:
Đặt t= 4

x 1
 0 , tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo
x 1

x 1
2

 1
 1 � t �[1; �) Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác định
x 1
x 1

tương ứng .
- Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện
chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài
toán sau:
VD19: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm
dương
x 2  4 x  5  m  4 x  x 2 ( ĐH GTVT-2001) (1)
Lg:

Đặt t= x 2  4 x  5 , t’(x)=

Bảng biến thiên
x
t’(x)
t(x)

0
5

x2
2 x2  4 x  5

2
0

0� x2

+

�

1

(1) � f(t) =t2+t-5=m Nhận thấy với mỗi t � 1; 5  thì phương trình (1)
có 2nghiệm x>0.Bài toán quy về Tìm m để phương trình t 2+t-5=m có nghiệm t



� 1; 5



Ta có f’(t)=2t+1>0  t � 1; 5  nên hàm số đồng biến .Ta có bảng biến

thiên
t

1

5

14


f’(t)

+
5

f(t)

-3

Từ bảng biến thiên ta có 3  m  5
VD 20 ( ĐH A-06):Chứng minh rằng với mọi tham số m dương thì
phương trình
sau
luôn có hai nghiệm thực phân biệt
x 2  2 x  8  m( x  2) (1)
�
Lg:
Do
m>0
nên
x �2
(1)
( x  2)( x  4)  m( x  2) �  ( x  2)( x  4)   m( x  2)
2

x2
�
� ( x  2) �
( x  2)( x  4) 2  m �
�
� 0 � �

x3  6 x 2  32  m  0(*)
�

Ycầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có nghiệm trong
(2; �)

Xét f(x)= x3  6 x 2  32 với x>2, f’(x)=3x2+12x>0 x �(2; �)
Bảng biến thiên
�
x
2
’
f (x)
+
�

f(x)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 .
VD21 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 x 2  2(m  4) x  5m  10  3  x  0 (*)
Lg: (*) � 2 x 2  2(m  4) x  5m  10  x  3 , Đk x �3
� 2 x 2  2( m  4) x  5m  10 =x2-6x+9 � m 

x2  2x  1
 f ( x) ,
2x  5

Xét hàm số
x2  2x  1

2x  5
2 x 2  10 x  8
� f ' ( x) 
0�
2x  5
f ( x) 

x 1
�
�
x4
�

.

Bảng biến thiên
x
f’(x)

-3
4

4
0

�

+
�

f(x)
3
Bình luận: Với cách làm như trên có thể giải quyết nhiều câu hỏi khác
nhau của bài toán. Như tìm điều kiện của m để pt có 1 nghiệm ,vô nghiệm ,2
nghiệm ...
15


VD 22 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
x 2  mx  2  2 x  1 (ĐHKB-06) (*)
1
1
�
�
�x �
�x �
��
2
2
Lg: (*) � �
2
�x 2  mx  2  4 x 2  4 x  1 �
3x  4 x  1  mx
�
�

Nếu x=0 thì m=0
Nếu x �0 � m =

3x 2  4 x  1

1
1
1
 3x  4   g ( x), g ' ( x)  3  2  0x �
x
x
x
2

Nên g(x) luôn đồng biến .Ta có bảng biến thiên sau
�
x -1/2
0
g’(x)
+
+
�

g(x) 9/2

�

�
9
2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm khi m �

2.3. Hiệu quả:
Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì

số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua
các bài kiểm tra thử như sau :
Điểm từ 5 đến
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
Tổng
8
Năm học
Lớp
Số
Số
Số
số
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
lượng
2017-2018
12A1 38
7
18 %
20
53 %
11
29 %
2018-2019
12A1 39
11

28 %
22
57 %
6
15 %
Như vậy tôi thấy phương pháp có hiệu quả tương đối. Đặc biệt đối với
nhóm học sinh khá khi được tiếp cận đề tài này các em thể hện sự hào hứng rõ
rệt trong học tập. Theo tôi khi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên
cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt
hơn.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình
giảng dạy tại trường PT Nguyễn Mộng Tuân.

16


Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn
toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một
mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương
trình vô tỉ. Sau khi học sinh được trang bị kiến thức về ứng dụng của đạo hàm để
xét tính đơn điệu của hàm số, giáo viên cho học sinh áp dụng để giải quyết một
loạt các bài tập phương trình vô tỷ mà với phạm vi kiến thức lớp 10 các em gặp
khó khăn. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em
học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học
sinh biết áp dụng tăng rõ rệt

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất
lượng học tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠNVỊ

Đông Sơn, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết , không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lê Thị Thu Huyền

17