Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải một số bài tập liên quan đến đồ thị y=f(x)

MỤC LỤC
1. Phần mở đầu.....................................................................................
1.1 Lý do chọn đề tài…………………………………….........
1.2. Mục đích nghiên cứu...........................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu..........................................................
1.4.Phương pháp nghiên cứu......................................................
2. Nội dung.............................................................................................
2.1. Cơ sở lí luận của skkn............................................................
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm....................................................................................................
.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.....................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………
3. Kết luận, kiến nghị. ..........................................................................
3.1. Kết luận................................................................................ .
3.2 Kiến nghị................................................................................

Tran
g
1
1
1
1
2
2
2
2
2
18
19

19
19


1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo Nghị quyết Số 29-NQ/TW “Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện
kinh tế thị trường’’ của Bộ GD&ĐT. Kể từ năm học 2016 – 2017 học sinh thi
theo hình thức trắc nghiệm gồm 50 câu thời gian 90 phút. Vì vậy học sinh cần
tư duy nhanh chóng và liên hệ kiến thức để hoàn thiện bài làm.
Môn toán học THPT là môn học với lượng lý thuyết và bài tập tương đối
nhiều, thời lượng học trên lớp có hạn. Vì vậy, việc hướng dẫn cho học sinh các
kỹ năng và phương pháp giải bài tập là vô cùng cần thiết.
Năm học 207-2018 tôi nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến đồ thị
'
hàm số y = f (x) và sáng kiến kinh nghiệm đó tôi đã được Hội đồng khoa học
ngành xếp loại C, vẫn mạch kiến thức về đồ thị tôi nghiên cứu sang các dạng
bài tập liên qua đến đồ thị hàm số y = f (x) , những bài tập mà từ đồ thị hàm số
y = f (x) tìm ra điều kiện của tham số để phương trình f ( u ( x ) ) = m có
nghiệm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số y = f ( u ( x ) ) , vv.. là phần bài tập vận dụng có tính liên hệ cao cả lý
thuyết lẫn thực hành, các dạng bài tập đa dạng phức tạp và đã xuất hiện trong
các đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 đề thi mẫu từ năm 2017 đến nay,
trong khi khả năng phân tích và xử lý các dạng bài tập này của học sinh còn
yếu. Trước thực trạng trên tôi đã mạnh dạn chọn đề tài “Sử dụng phương pháp
đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải một số bài tập liên quan đến đồ
thị hàm số y = f (x) ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên

quan đến đồ thị hàm số y = f (x) .
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc
nghiệm phần đồ thị hàm số y = f (x) .
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT,
đặc biệt phần đồ thị hàm số y = f (x) .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức:
+ Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất và đồ thị của hàm số (chương I- Giải tích 12)
+ Kĩ năng đọc đồ thị hàm số (chương II- Đại số 10)
- Học sinh lớp 12A1,12A2 của trường THPT Đông Sơn 2 năm học 18-19
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết
trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và
tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng
tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên
quan đến đồ hàm số y = f (x) .
2


- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để
hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét
lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực
tiễn.
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử
lí số liệu thu thập được.
2. Nội dung.
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN.

* Từ đồ thị sẵn có của một hàm số nào đó ta làm được:
+ Tìm giao điểm của nó với trục Ox
+ Cực trị của hàm số
+ Xét tính tương giao của nó với đường thẳng y = m
+ Nếu lim y = a hoặc lim y = a thì y = a là TCN của đồ thị hàm số.
x →+∞

x →−∞

y = +∞ hoặc lim y = −∞ thì x = b là TCĐ của đồ thị hàm số.
+ Nếu lim
x →b
x →b

* Công thức tính đạo hàm hàm hợp y = f ( u ( x ) ) ⇔ y′ = f ′ ( u ( x ) ) .u′ ( x )
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sau nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 12 tôi nhận ra rằng:
- Phần lớn học sinh khả năng phân tích nhận dạng các bài tập vận dụng
có liên quan đến đồ thị hàm số y = f (x) còn tương đối yếu.
- Rất nhiều học sinh lúng túng khi giải các bài tập có liên quan đến đồ thị
hàm số y = f (x) trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi mẫu từ năm 2017 đến nay,
đề thi thử TNTHPT các trường,....
2.3. Các giải pháp đã sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để giúp học sinh hình thành kỹ năng giải quyết các bài tập có liên quan
đến đồ thị hàm số y = f (x) tôi nghiên cứu hình thành SKKN theo các bước
sau:
- Đầu tiên tôi nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo
cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân
loại và hệ thống bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số
- Sau đó tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư

duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên
quan đến đồ thị hàm số y = f (x) .
* Dạng 1: Từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f (x) tìm ra
điều kiện của tham số m để phương trình f ( u ( x ) ) = m có nghiệm thỏa mãn
điều kiện cho trước.
- Phương pháp:
+ Bước 1: Đặt u (x) = t , tìm khoảng giá trị của t.
+ Bước 2: Biện luận số nghiệm của phương trình f (t) = m dựa vào đồ thị
hàm số y = f (x)
- Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như
3


hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để
3
phương trình f ( x − 3x ) = m có 6 nghiệm

phân biệt thuộc đoạn [ −1;2] ?
A. 3

B. 2

C. 6

D. 7

3
2
Cách giải: Đặt t = x − 3x, x ∈ [ 1;2] , ta có t ' ( x ) = 3 x − 3 = 0 ⇔ x = ±1

BBT:
x
t '( x )

-1
-

1
0

2
+

2

t

2

-2
⇒ t ∈ [ −2;2] . Ứng với t = 2 có 1 giá trị x ∈ [ −1;2] , ứng với t ∈ (−2;2] có 2 giá
trị x ∈ [ −1;2]
3
Phương trình f ( x − 3 x ) = m có 6 nghiệm thuộc [ −1;2] khi và chỉ khi phương
trình f ( t ) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc (−2;2]

Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta có: Phương trình f ( t ) = m có 3 nghiệm
phân biệt thuộc (−2;2] khi m = 0, m = -1 (Do m ∈ ¢ ). Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như

hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương
trình

1
3

x 
f  + 1÷+ x = m có nghiệm thuộc đoạn
2 

[ −2;2] ?

A. 11

B. 9

Cách giải: Ta có

1
3

C. 8

D. 10

1
x 
f  + 1÷+ x = m ⇔
3
2 

x 
x 
f  + 1 ÷+ 2  + 1 ÷ − 2 = m
2 
2 

x
+ 1 = t , với x ∈ [ −2,2] thì t ∈ [ 0,2] . Bài toán trở thành: hỏi có bao nhiêu
2
1
số nguyên m để phương trình f ( t ) + 2t − 2 = m có nghiệm thuộc đoạn [ 0,2] .
3
1
1
Xét hàm số h ( t ) = f ( t ) + 2t − 2 có h ' ( t ) = f ' ( t ) + 2 . Vì hàm số y = f ( x )
3
3
Đặt

4


đồng biến trên nên ( 0,2 ) . Do đó f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0,2 ) h ' =

1
f ' ( t ) + 2 > 0 với
3

1

f ( t ) + 2t − 2 đồng biến trên [ 0,2] . Suy ra:
3

∀t ∈ [ 0,2] hay hàm số h ( t ) =

1
f ( 2 ) + 2.2 − 2 = 4 ;
[ 0,2]
3
1
−10
1
Min h ( t ) = h ( 0 ) = f ( 0 ) + 2.0 − 2 =
f ( t ) + 2t − 2 = m
.
Để
phương
trình
[ 0,2]
3
3
3
−10
≤ m ≤ 4 . Hay m ∈ { −3, −2, −1,0,1,2,3,4} .
có nghiệm thuộc đoạn [ 0,2] thì
3
Vậy có 8 giá trị nguyên của m.
Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên
Max h ( t ) = h ( 2 ) =

tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương

)

(

2
trình f 2 − 2 x − x = m có nghiệm

A. 6

B. 7

C. 3

D. 2

Cách giải:
Xét hàm số t ( x ) = 2 − 2 x − x 2 , x ∈ [ 0;2] ,
x −1

có t ′ ( x ) =

2x − x

2

, t ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 . Hàm số t ( x ) liên tục trên [0;2]

t ( x ) = 1, maxt ( x ) = 2
có t ( 0 ) = t ( 2 ) = 2, t ( 1) = 1 ⇒ min
[ 0;2]
[ 0;2]
x ∈ [ 0;2] ⇒ t ∈ [ 1;2] . Khi đó bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm t ∈ [ 1;2]
Quan sát đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn [1;2] ta thấy phương trình f ( t ) = m
có nghiệm ⇔ 3 ≤ m ≤ 5
Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ { 3;4;5} : có 3 giá trị của m thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Ví dụ 4:
4
3
2
Cho hàm số y = f ( x ) =ax + bx + cx + dx + e có

đồ thị như hình vẽ bên, trong đó a,b,c,d ,e là các hệ
số thực. Số nghiệm của phương trình

f
A.3.

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là
B.4.

C.2.

D .0.
5


Cách giải:
Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị
b = d = 0 ⇒ f ( x ) = ax 4 + cx 2 + e

của

hàm

trùng

phương

nên

3
Ta có f ′ ( x ) = 4ax + 2cx.

 f ′ ( 1) = 0 4a + 2c = 0
a = 1



⇔ e = 0 ⇒ f ( x ) = x 4 + 2 x 2 .
Từ đồ thị ⇒  f ( 0 ) = 0 ⇔ e = 0


 a + c + e = 1 c = 2
f
1
=
1
(
)




⇒ f
Như vậy phương trình f

( x) = x

(

2

+ 2 x và f

)

(

)

f ( x) = f 2 ( x) + 2 f ( x) .

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0.

⇔ f 2 ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 với f ( x ) ≥ 0.
Đặt t = f ( x ) ( t ≥ 0 ) ta được phương trình g ( t ) = 0 với g ( t ) = t 2 − 3t − 2 t + 1.
Nhận thấy: + Hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và g ( 0 ) .g ( 1) < 0 nên

g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( 0;1) .
+ Hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [ 1; 4] và g ( 0 ) .g ( 1) < 0 nên

g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( 1; 4 ) .
Mà g ( t ) = 0 là phương trình bậc hai chỉ có tối đa hai nghiệm nên g ( t ) = 0 có
duy nhất một nghiệm thuộc ( 0;1) . Suy ra f

(

)

f ( x) + f ( x) + 2 f ( x) −1 = 0

có duy nhất một nghiệm f ( x ) ∈ ( 0;1) . Suy ra phương trình f ( x ) = a với

a ∈ ( 0;1) luôn có 4 nghiệm x phân biệt. Chọn đáp án B
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ
thị như hình vẽ bên. Phương trình

f 2 ( cosx ) + ( m − 2018 ) f ( cosx ) + m − 2019 = 0
có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 0; 2π ] thì số
giá trị nguyên của tham số m là:
A.5.
Cách giải:

B.3.

C.2.

D.1.

 f ( cosx ) = −1
2
Ta có f ( cosx ) + ( m − 2018 ) f ( cosx ) + m − 2019 = 0 ⇔ 
 f ( cosx ) = 2019 − m.
6


cos x = 0 ( 1)
f
cos
x
=
−
1
⇔
)
Dựa vào đồ thị ta có: (

cos x = k > 1 ( 2 )
PT(1) có 2 nghiệm thỏa mãn, PT(2) vô nghiệm. Yêu cầu: phương trình

f ( cosx ) = 2019 − m ( 2019 − m ≠ 1) có thêm 4 nghiệm thuộc [ 0; 2π ]

Nhận xét: + Với mỗi t ∉ [ −1;1] , phương trình cosx=t vô nghiệm.
+ Với mỗi t ∈ ( −1;1] , phương trình cosx=t có 2 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] .
+ Với t = −1 , phương trình cosx=t có đúng 1 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] .
Vậy −1 < 2019 − m ≤ 1 ⇔ 2018 ≤ m ≤ 2020 , do m ∈ ¢ nên m = 2018 ∨ m = 2019
Chọn đáp án C
Ví dụ 6. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f (2sin x + 1) = f (m) có
nghiệm thực ?
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3
t
=
2sin
x
+
1
∈
[
−
1;3],
∀
x
Cách giải: Đặt
phương trình trở thành f (t ) = f (m)
có nghiệm t ∈[−1;3]. Dựa trên bảng biến thiên để đường thẳng y = f (m) cắt đồ
thị hàm số y = f (t ) trên đoạn [−1;3] ta phải có −2 ≤ f (m) ≤ 2 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3. Vì
vậy m ∈ { 1;2;3} . Chọn đáp án D

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 1;3] và có bảng biến thiên
như sau:
x
1
2
3
−
y'
+
0
−1
y

−3
−6

Tổng các giá trị m ∈ ¢ sao cho phương trình f ( x − 1) =
nghiệm phân biệt trên đoạn [ 2;4] bằng
A. −75
B. −72

C. −294

m
có hai
x − 6 x + 12
2

D. −297

7


m
có hai nghiệm phân biệt trên
x − 6 x + 12
m
đoạn [ 2;4] ⇔ Phương trình f ( x ) =
có hai nghiệm phân biệt trên
2
( x − 2) + 3
Cách giải: Phương trình f ( x − 1) =

2

(
)
trên [ 1;3] . Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) .( ( x − 2 ) + 3) trên [ 1;3] có:
g ' ( x ) = f ' ( x ) .( ( x − 2 ) + 3) + 2 ( x − 2 ) . f ( x ) có nghiệm x = 2

đoạn [ 1;3] ⇔ Phương trình f ( x ) . ( x − 2 ) + 3 = m có hai nghiệm phân biệt
2

2

2

 f '( x ) > 0

2

( x − 2 ) + 3 > 0
⇒ g '( x ) > 0
Với 1 ≤ x < 2 thì 
x
−
2
<
0

f x <0
 ( )

 f '( x ) < 0

2
( x − 2 ) + 3 > 0
⇒ g '( x ) < 0
Với 2 < x ≤ 3 thì 
x
−
2
>
0

f x <0
 ( )
Ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau:
x
1
2

+
0
g '( x )

3
-

-3

g ( x)

-12
-24

(

)

Vậy để phương trình f ( x ) . ( x − 2 ) + 3 = m có hai nghiệm phân biệt trên
2

đoạn [ 1;3] thì m ∈ [ −12; −3) ⇒ m ∈ { −12; −11;...; −4} . Tổng các giá trị của m
thỏa mãn là: −12 − 11 − ... − 4 = −9.16 : 2 = −72 . Chọn đáp án B
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ¡ \ { −1;5} và có bảng biến thiên
như sau:
−∞
+∞
x
-1
0

5
f '( x)
+
0
3
f ( x) 1
5
−∞

3

3 −∞

8


Tìm giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2019;2019] để phương trình
f ( f ( x ) ) − m + 5 = 0 có nghiệm.
A. 2021.
B. 2027.
C. 2030.
Cách giải:
Ta có: f ( ( x ) ) − m + 5 = 0 ⇔ f ( ( x ) ) = m − 5

D. 2010.

Nhận xét: Tập giá trị của y = f ( x ) là ( −∞;3) ∪ (3;5] . Khi đó, tập giá trị của
f ( f ( x ) ) là ( −∞;1) ∪ (3;5]
m − 5 < 1
m < 6

⇔
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 
3 < m − 5 ≤ 5 8 < m ≤ 10
Mà m ∈ ¢ , m ∈ [ −2019;2019] ⇒ m ∈ { −2019; −2018;...;5} ∪ { 9;10} , có 2027 giá
trị của m thỏa mãn.
Chọn đáp án B
y
Ví dụ 9. (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 tỉnh Thanh Hóa
năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ có đồ thị
2
như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
1
π 
phương trình f 2 f ( cos x ) = m có nghiệm x ∈  ;π ÷.
-2
1
2 
-1 O
2 x
-1
A. 5 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .

(

)

-2

π 
Cách giải. Ta có, với x ∈  ; π ÷⇒ cos x ∈ ( −1;0]
2 
⇒ f ( cos x ) ∈ [ 0;2 ) ⇒ 2 f ( cos x ) ∈ [ 0;2 ) khi đó f

(

)

2 f ( cos x ) ∈ [ −2;2 ) .

π 
Do vậy phương trình đã cho có nghiệm x ∈  ;π ÷ khi và chỉ khi m ∈ [ −2;2 ) .
2 
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Chọn đáp án D
* Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm ra số nghiệm của phương
'
trình f (u ( x )) = 0 .
- Phương pháp:
+ Bước 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp.
y = f ( u ( x ) ) ⇔ y′ = f ′ ( u ( x ) ) .u′ ( x )

+ Bước 2: Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các nghiệm của phương trình
f '( x ) = 0 .
- Các ví dụ minh họa:

9

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ
thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đặt g ( x ) = f  f ( x )  .
Tìm số nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 .
A. 8.

B. 4.

C. 6.

D. 2.

Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số có hai điểm cực trị
x = 0
là x = 0 và x = a ∈ ( 2;3) . Do đó f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = a ∈ ( 2;3)
 f ( x ) = 0 ( 1)
 f '( f ( x ) ) = 0

⇔  f ( x ) = a ∈ ( 2;3)
Ta có: g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) . f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 f ' ( x ) = 0
f ' x =0 3
( )
 ( )
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
 x1 ∈ ( −1;0 )

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  x2 = 1
 x ∈ ( 3;4 )

 3

( 2)

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm của phương trình (1).
x = 0
Phương trình ( 3) có 2 nghiệm phân biệt 
 x = a ∈ ( 2;3)
6 nghiệm này hoàn toàn phân biệt. Vậy phương trình g ' ( x ) = 0 có 6 nghiệm
phân biệt.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên
2
dưới. Đặt g ( x ) = f ( x ) . Tìm số nghiệm của
phương trình g ' ( x ) = 0
A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

2
Cách giải: g ( x ) = f ( x ) → g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x )

g '( x ) = 0
10

x = 0
x = 0
x = 0

⇔ 2 x. f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
⇔  x = 0 ⇔ 
x = c
 f ′( x ) = 0
  x = c
(với 2 < c < 3 được biểu diễn bởi hình vẽ trên)
Vậy phương trình g ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm
Chọn đáp án D.
* Dạng 3: Từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) tìm
khoảng đồng biến, nghịch biến , cực trị của hàm số y = f ( u ( x ) ) .
- Phương pháp:
+ Bước 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp
y = f ( u ( x ) ) ⇔ y′ = f ′ ( u ( x ) ) .u′ ( x )
+ Bước 2: Xét dấu f ′ ( u ( x ) ) .u′ ( x ) . Từ đó ta tìm ra các khoảng đồng

biến, nghịch biến hay cực trị của hàm số y = f ( u ( x ) )
- Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( x 2 − 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. (−2;0).
B. (2; +∞ ).
C. (0;2).
D. (−∞ ; −2).
Cách giải. Với u = x 2 − 2 ta có y = f (u ) ⇒ y′ = u′f ′(u ) = 2 xf ′( x 2 − 2). Theo

yêu cầu bài toán ta cần tìm tập nghiệm của bất phương trình:
y′ = 2 xf ′( x 2 − 2) < 0 ⇔ −2 x ( x 2 − 2 − (−2) ) ( x 2 − 2 − 0 ) ( x 2 − 2 − 2 ) < 0
x > 2

⇔  −2 < x < − 2
0 < x < 2


Chọn đáp án B

3
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên.

Đặt g ( x ) = f

(

)

x 2 + x + 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

11


A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;2).
B. g ( x ) đồng biến trên khoảng (−1;0).
1
C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng (− ;0).
2

D. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1).

y

4

O

2

x

Cách giải.
3
2
'
2
Hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , f ( x ) = 3ax + 2bx + c có đồ thị như hình
vẽ. Do đó x = 0 ⇒ d = 4
x = 2 ⇒ 6a + 4b + 2c + d = 0
f ' (2) = 0 ⇒ 12a + 4b + c = 0
f ' (0) = 0 ⇒ c = 0 .
Tìm được a = 1; b = −3; c = 0; d = 4 . Vậy hàm số là y = x3 − 3x 2 + 4 .
Nên g ( x ) = f

(

x2 + x + 2

) =(

)

x2 + x + 2 − 3( x2 + x + 2) + 4
3

3
1
( 2 x + 1) x 2 + x + 2 − 3 ( 2 x + 1) = 3 ( 2 x + 1)  x 2 + x + 2 − 1÷
2
2

−1
g ' ( x ) = 0 khi x = ; x = 1; x = −2
2

⇒ g′ ( x) =

Bảng xét dấu của g ( x ) :

1
Vậy g ( x ) nghịch biến trên khoảng (− ;0). Chọn đáp án C
2
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và

có

đồ

thị

như

hình

vẽ.

Hỏi

hàm

số

y = f ( f ( x ) + 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 10

B. 11

C. 12

D. 9

Cách giải:
Ta có: y ' =  f ( f ( x ) + 2 )  ' = f ' ( x ) . f ' ( f ( x ) + 2 )
 f ' ( x ) = 0 ( 1)
y' = 0 ⇔ 
 f ' ( f ( x ) + 2 ) = 0 ( 2 )

12

 x = x1 ∈ ( 1;2 )

Xét (1): f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2
hay f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 x = x ∈ ( 2;3)
2

 f ( x ) + 2 = x1
 f ( x ) = x1 − 2 ∈ ( −1;0 )


Xét (2): f ' ( f ( x ) + 2 ) = 0 ⇔  f ( x ) + 2 = 2 ⇔  f ( x ) = 0
f x +2= x
 f x = x − 2 ∈ 0;1
( )
2
2
 ( )
 ( )
Phương trình f ( x ) = x1 − 2 có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm đơn và 1
nghiệm kép (bội hai).
Phương trình f ( x ) = x1 − 2 có 2 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình y ' = 0 có tất cả 3 + 4 + 2 + 2 = 11 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có 11 điểm cực trị. Chọn đáp án B
Chú ý: Một số em có thể sẽ quên mất khi xét số nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt mà không loại nghiệm kép dẫn đến chọn
nhầm đáp án C là sai.

* Dạng 4 : Từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) tìm số
tiệm cận của đồ thị hàm số g(x) nào đó có liên quan đến hàm y = f ( x )
+ Phương pháp:
+ Bước 1: Viết lại f ( x ) dưới dạng tích, thay vào g ( x )

+ Bước 2: Tìm các điểm làm cho g ( x ) không xác định và tính giới hạn
của hàm số y = g ( x ) khi x dần tới các điểm đó.
+ Bước 3: Sử dụng định nghĩa tiệm cận và kết luận.
Cho đồ thị hàm số y = f ( x )
+) Nếu lim y = a hoặc lim y = a thì y = a là TCN của đồ thị hàm số.
x →+∞

x →−∞

y = +∞ hoặc lim y = −∞ thì x = b là TCĐ của đồ thị hàm số.
+) Nếu lim
x →b
x →b
+ Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
3
2
Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡
có

đồ

(x
g ( x) =

thị
2

như

hình

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


cận đứng? A. 3
B. 2

vẽ.

Đồ

thị

)

hàm

số

có bao nhiêu đường tiệm
C. 6

D. 4

Cách giải
13


 x > 0
x ≠ 0


 x ≤ −1

2
x
+
x
≥
0
⇔
Điều kiện: 


 f ( x ) ≠ 0
2

( f ( x ) ) − 2 f ( x ) ≠ 0   f ( x ) ≠ 2

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x = −3
2

(bội 2) và nghiệm đơn x = x0 ∈ ( −1;0 ) nên ta viết lại f ( x ) = a ( x + 3) ( x − x0 )
Khi đó

(x
g ( x) =

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

(x
=

2

+ 4 x + 3) x 2 + x

2
x. f ( x )  f ( x ) − 2 
x ( f ( x ) ) − 2 f ( x ) 


Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại
ba điểm phân biệt x = −1, x = x1 ∈ ( −3; −1) , x = x2 < −3 nên ta viết lại
f ( x ) − 2 = a ( x + 1) ( x − x1 ) ( x − x2 )

Khi đó

x + 1) ( x + 3) x 2 + x
(

g ( x) =
2
x.a ( x + 3) .( x − x0 ) .a ( x + 1) ( x − x1 ) ( x − x2 )
x2 + x
= 2
a x ( x + 3) ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − 2 )

Dễ thấy x = x0 ∈ ( −1;0 ) nên ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0
g ( x ) = lim+ =
Ta có: +) xlim
→0 +
x →0

a2

x +1
= +∞
x ( x + 3) ( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − 2 )

⇒ x = 0 là đường TCĐ của đồ thị hàm số y = g ( x )

g ( x ) = lim g ( x ) = lim g ( x ) = +∞ ⇒ các đường thẳng x = −3, x = x1 , x = x2
+) lim
x →3
x→ x1
x → x2

đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g ( x ) . Vậy đồ thị hàm số
y = g ( x ) có tất cả 4 đường tiệm cận đứng. Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tổng

1
số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
là:
2 f ( x) −1
x

−∞

−
−

y'

+∞

1
2

0

+

1

1

y
−3

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0
14


Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy:
1
1
= lim
= 1 ⇒ y = 1 là
x →−∞ 2 f ( x ) − 1
x→+∞ 2 f ( x ) − 1

lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1 ⇒ lim

x →−∞

x →+∞

TCN của đồ thị hàm số y =

1
2 f ( x) −1

Xét phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) =

1
2

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f ( x ) =
x = x1 , x = x2 do đó đồ thị hàm số y =

1
có 2 nghiệm phân biệt
2

1
có 2 TCĐ.
2 f ( x) −1

Vậy tổng số TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y =

1
là 3.
2 f ( x) −1

Chọn đáp án C.
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị
như hình bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số g ( x ) =
A. 1

1
là

f ( x) + 1

B. 2

C. 3

D. 4
1
Cách giải: Xét hàm số g ( x ) =
f ( x) + 1
 x = x1 ∈ ( −2;1)

Ta có: f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 ⇒  x = 0
 x = x ∈ ( 1;2 )
2

⇒ lim f ( x ) = lim
x → x1

x → x1

lim g ( x ) = lim
x →0

x →0

1
=∞
f ( x) + 1

1
1
= ∞; lim g ( x ) = lim
=∞
x → x2
x → x2 f ( x ) + 1
f ( x) +1

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =

1
có 3 đường TCĐ.
f ( x) + 1

Chọn đáp án C

15


3
2
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d
có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng
x 2 − 3x + 2 ) x − 1
(
của đồ thị hàm số y =
là
x.  f 2 ( x ) − f ( x ) 

A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Cách giải:
Hàm số xác định

x ≥1


x −1 ≥ 0
x≠2

 x ≥1



⇔
x≠0
⇔  f ( x) ≠ 0 ⇔ 
⇔ 1 < x ∉ {a,2, b}.
x ≠1
 f 2 ( x) − f ( x) ≠ 0  f ( x) ≠ 1  x ≠ a ∈ (1;2)



 x ≠ b ∈ (2; +∞)

Do đó đồ thị hàm số cần tìm có tối đa 4 tiệm cận đứng.
( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 = 0 ⇒ x = 1
lim+ y = lim+
không là tiệm cận đứng, ở đây vì là
x →1
x →1
xf ( x )  f ( x ) − 1
hàm đa thức bậc ba nên

( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 = ∞,
x →2 xf ( x )  f ( x ) − 1



lim y = lim
x →2

x −1
1
y = lim y = ∞
=
Ta có lim
2
x →a
x →b
f ( x ) − 1 mx + nx + p
ở đây

x−2
1

=
vì f ( x ) tiếp
f ( x ) ( x − 2 ) ( rx + s )

xúc trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 . Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm
cận đứng. Chọn đáp án D
* Dạng 5: Từ đồ thị hàm số y = f (x) tìm giá trị của tham số m để bất
phương trình f ( u ( x ) ) ≤ m hay f ( u ( x ) ) < m có nghiệm trên (a;b)
+ Phương pháp:
+ Bước 1: Đặt u ( x) = t , tìm điều kiện của t trên (a;b)
+ Bước 2: Xét hàm f ( t ) và lập bảng biến thiên.
+ Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m sao cho bất phương
trình có nghiệm.
f ( x)
Bất phương trình f ( t ) < m có nghiệm trên (a;b) khi m > min
[ a ;b ]
f ( t) ≤ m
Bất phương trình f ( t ) ≤ m có nghiệm nếu min
[ a ;b]

+ Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ . Tìm tất cả các giá trị của
2
tham số m để bất phương trình 2 f ( x ) + x > 4 x + m nghiệm đúng với mọi
x ∈ ( −1;3) .
A. m < −3 B. m < −10 C. m < −2 D. m < 5
16


Cách giải: Ta có:

− x2 + 4 x + m
2 f ( x) + x > 4x + m ⇔ f ( x ) >
2
2

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ( −1;3)
− x2 + 4x + m
x ∈ ( −1;3) ⇔ f ( x ) >
, ∀x ∈ ( −1;3)
2
− x2 + 4 x + m
⇔ g ( x) =
< min f ( x ) = −3, ∀x ∈ ( −1;3) hay
( −1;3)
2
− x2 + 4x + m
< −3, ∀x ∈ ( −1;3)
2
⇔ − x 2 + 4 x + m < −6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m < x 2 − 4 x − 6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m < min h ( x )
( −1;3)

2
với h ( x ) = x − 4 x + 6 .
2
Xét h ( x ) = x − 4 x + 6 trên ( −1;3) có h ' ( x ) = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ∈ ( −1;3) .

Bảng biến thiên:
x
h '( x )
h( x)

−1

−

2
0

3
+
−9

−1
−10

Do đó m < −10. Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình
vẽ
bên.
Bất
phương
trình
x
x
f ( e ) < m ( 3e + 2019 ) có nghiệm x ∈ (0;1)
khi và chỉ khi
4
4
A. m > −

B. m ≥
1011
3e + 2019
2
f ( e)
C. m > −
D. m >
1011
3e + 2019
x
x
Cách giải: Xét bất phương trình f ( e ) < m ( 3e + 2019 ) (*)

0 1
x
Đặt e = t ( t > 0 ) . Với x ∈ (0;1) ⇒ t ∈ ( e ; e ) ⇒ t ∈ (1;e) Ta được bất phương trình

f ( t)
(1) (vì 3t + 2019 > 0 với t ∈ (1; e))
3t + 2019
Để bất phương trình (*) có nghiệm x ∈ (0;1) thì (1) có nghiệm t ∈ (1; e) . Ta xét
f ( t ) < m ( 3t + 2019 ) ⇔ m >

17


f ' ( t ) ( 3t + 2019 ) − 3 f ( t )
f ( t)
trên (1;e) có g ' ( t ) =
2

( 3t + 2019 )
3t + 2019
Nhận xét rằng đồ thị hàm số y = f ( t ) có tính chất giống với đồ thị hàm số
y = f ( x ) nên xét trên khoảng (1;e) ta thấy rằng f ( t ) < 0 và đồ thị hàm số đi lên
từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên (1;e) nên f ' ( t ) > 0.
f ' ( t ) ( 3t + 2019 ) − 3 f ( t )
> 0 với t ∈ (1; e) hay hàm số g ( t ) đồng
Từ đó g ' ( t ) =
2
( 3t + 2019 )
hàm g ( t ) =

biến trên (1;e). Ta có BBT của g ( t ) trên [1;e]
t
1
+
g '( t )
g( t)

−

2
1011

Từ BBT ta thấy để bất phương trình m >

e

f ( t)
có nghiệm t ∈ (1; e) thì

3t + 2019

2
. Chọn đáp án C.
[1;e ]
1011
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên:

m > min g (t ) ⇔ m > −

x
y'
y

−∞

1
0
2

+

−

-4

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f
B. m ≥ 1

+

+∞

−5

A. m ≥ −4

+∞

3
0

C. m ≥ 2

(

)

x + 1 + 1 ≤ m có nghiệm?
D. m > −5

Cách giải: Đặt t = x + 1 + 1 thì t ∈ ( 1; +∞ ) . Với x = 3 thì t = 3 .
Bảng biến thiên của f ( t ) :
t
f '( t )

1

f ( t)

2

−

3
0

+∞
+
+∞

-4
Do đó bất phương trình f ( t ) ≤ m có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ −4
Chọn đáp án A
* Dạng 6: Từ đồ thị hàm số y = f (x) giải các bài tập liên quan đến đồ
thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối y = f ( x ) , y = f ( x ) hay y = f ( x ) .
18


+ Phương pháp:

+ Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x )

hay y = f ( x ) hay y = f ( x )

+ Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách lấy đối
xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành và giữ nguyên phần phía trên trục
hoành.
+ Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách giữ đồ
thị hàm số y = f (x) bên phải trục tung, xóa đi phần đồ thị hàm số bên trái trục
tung và lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x) bên phải trục tung qua trục tung.

+ Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách giữ đồ
thị hàm số y = f (x) bên phải trục tung, xóa đi phần đồ thị hàm số bên trái trục
tung sau đó lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f (x) bên dưới trục hoành qua trục
hoành rồi ta lấy đối xứng phần nhận được qua trục tung.
+ Bước 2: Dựa vào đồ thị vừa vẽ ta tìm ra yêu cầu bài toán.
+ Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình vẽ. Với giá trị nào của tham số m thì
phương trình f ( x ) = m có năm nghiệm phân
biệt thuộc đoạn [ 0;5] ?
A. m ∈ ( 0;1)
C. m ∈ [ 0;1]

B. m ∈ ( 1; +∞ )

D. m ∈ (0;1]

Cách giải:
Từ đồ thị hàm số đã cho ta dựng được
đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau hình
vẽ. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, trên
đoạn [ 0;5] thì đường thẳng y = m cắt
đồ thị hàm số y = f ( x ) tại đúng 5
điểm phân biệt nếu và chỉ nếu
0 < m < 1 . Chọn đáp án A
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x )
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9.

B. 7.
C. 6.

D. 8.

Cách giải:
19


3
2
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) .
Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2; −1) , ( −1;3) , ( 1; −1) , ( 2;3 )

−1 = −8a + 4b − 2c + d
3 = −a + b − c + d

⇒
 −1 = a + b + c + d
3 = 8a + 4b + 2c + d
a = 1
b = 0

⇔
⇒ y = x3 − 3x + 1.
 c = −3
d = 1
3
Khi đó ta có đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 như hình vẽ bên. Dựa vào đồ thị

hàm số ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số
giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là:
A.2
C. 1
Cách giải:

B. Vô số
D. 0

Đồ thị hàm số f ( x + m ) được tạo thành bằng cách.

+) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra đồ thị hàm số f ( x )

+) Từ đồ thị hàm số f ( x ) suy ra đồ thị hàm số f ( x + m )

Quá trình tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) dọc theo trục
Ox sang bên trái m đơn vị không làm thay đổi số
tương giao, do đó phương trình f ( x + m ) = m có 4
4
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = −1 hoặc m = .
3
Mà m ∈ ¢ ⇒ m = −1 .Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu
cầu bài toán. Chọn đáp án C
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A2.
Kết quả kiểm tra phần bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số y = f ( x )
như sau:
Trước khi tiến hành thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
20


12 A1 45
3 ( = 6,7%)
12 A2 44
4 ( = 9,1%)
Sau khi thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
12 A1 45
17 (= 37,8%)
12 A2 44
26 (= 59,1%)
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy: số lượng học
sinh giải được dạng bài tập này đã tăng lên, mặc dù chưa nhiều và số học sinh
có tư duy về dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng)
nhưng đối với tôi điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn
trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào
tiết dạy của tôi.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
+ Để áp dụng có hiệu quả đề tài việc đầu tiên cần làm là phải giúp các
em nắm vững lí thuyết chương 2 Đại số 10 và chương 1 sách giáo khoa Giải

tích 12 cơ bản. Sau đó tôi hướng dẫn các em:
- Xác định rõ từng bước làm các dạng bài tập.
- Xây dựng hệ thống công thức tổng quát, nhận dạng nhanh các dạng
bài tập.
+ Căn cứ vào mục tiêu của bài học xây dựng giáo án chi tiết cho từng
nội dung kiến thức.
+ Vận dụng linh hoạt hệ thống các phương pháp giảng dạy. Chú trọng
việc tạo tình huống có vấn đề và cách giải quyết các bài tập tình huống.
3.2. Kiến nghị.
Thời gian tiến hành làm đề tài không nhiều, còn hạn chế về trình độ
chuyên môn và số lượng tài liệu tham khảo (vì đây là mảng bài tập còn rất mới)
nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được sự
đóng góp của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Mặt khác tôi cũng
mong muốn các bạn đồng nghiệp tiếp tục viết thêm các skkn liên quan đến
chuyên đề này của tôi để hoàn thiện bổ sung thêm các phương pháp dạy học
giúp các em lĩnh hội tốt chuyên đề này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Nguyễn Thị Thu Thủy

Nguyễn Thị Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao.

2. Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản và nâng cao.
21


3. Báo toán học tuổi trẻ.
4. Các đề thi TNTHPT Quốc gia năm 2017, 2018
5. Các đề thi mẫu của Bộ giáo dục và đào tạo từ năm 2017 đến nay.
6. Đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc.

22


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán trường THPT Đông Sơn 2

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Sử dụng phương pháp đọc đồ
thị hàm số giúp học sinh lớp 12

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

Sở GD & ĐT
Thanh hóa

C

2017-2018

giải một số bài toán liên quan
'
đến đồ thị y = f (x)

----------------------------------------------------

23