Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ”

MỤC LỤC

Nội dung
Phần mở đầu

Trang
1
1

I.Lý do chọn đề tài

1

I. Mục đích nghiên cứu

2

III. Đối tượng nghiên cứu

2

IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Những điểm mới của SKKN

2

Phần nội dung
3

1. Cơ sở lý luận
2. Thực trạng của vấn đề

3. Các giải pháp
3.1 . Khái quát chung
3.2. Bài tập vận dụng

4
4
17

Phần kết luận
I. Một số kết quả của đề tài

25

II. Kết luận và kiến nghị

26

0


A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thay đổi hình thức thi THPT Quốc
Gia môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Đây là một thay đổi lớn đòi hỏi
giáo viên phải đổi mới cách dạy học phù hợp để vừa rèn luyện tư duy của học sinh
đồng thời phải đạt hiệu quả tốt nhất. Qua nghiên cứu đề thi minh họa và đề thử
nghiệm môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tôi nhận thấy đề
thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia có 50 câu trắc nghiệm với thời gian làm
bài 90 phút. Thí sinh có trung bình 108 giây để hoàn thành một câu hỏi. Với cách
thi mới này, học sinh khá giỏi cũng có thể không đạt điểm cao do không đủ thời

gian làm bài, nếu quen tư duy theo cách tự luận. Để có thể làm tốt bài thi Toán trắc
nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được trang bị những kỹ năng
cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ đề một cách đầy đủ, hợp lí.
Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ đề đồ thị của hàm số là một chủ
đề rất quan trọng và các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gây không ít khó
khăn cho học sinh. Trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm môn Toán năm 2017,
2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì các câu hỏi về chủ đề này luôn luôn xuất
hiện và đặc biệt lại có câu hỏi trắc nghiệm nâng cao. Để học sinh có thể làm tốt các
câu hỏi trắc nghiệm này thì giáo viên cần trang bị cho các em kiến thức nền tảng và
hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng dạng toán về dạng, loại đồ thị của hàm số
mà đặc biệt là kỹ năng “Đọc” đồ thị của hàm số. Từ đó giúp các em tự tin hơn,
hứng thú hơn trong việc học và nghiên cứu các bài tập trắc nghiệm môn Toán.
Với những lí do trên, tôi tiến hành hệ thống một số dạng bài tập trắc nghiệm
về hàm số thông qua đề tài: “Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm
nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”
II.

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và đạt hiệu quả cao khi giải
các bài toán trắc nghiệm về hàm số, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê học tập
cho các em trong quá trình học về hàm số và ôn thi THPT Quốc Gia.
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo hướng bám sát các dạng
toán về đồ thị của hàm số theo chuẩn kiến thức kĩ năng để hệ thống câu hỏi trắc
nghiệm, bám sát các dạng câu hỏi theo đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018
1


của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính
tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về hàm số trong
chương trình lớp 12.

III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
- Kiến thức cơ bản và một số dạng toán về đồ thị của hàm số.
- Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về đồ thị của hàm số.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn Hoàng
trong năm học 2016 -2017, 2017-2018.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các dạng toán về hàm số,đồ thị hàm số và đề thi minh họa, đề thử
nghiệm,minh hoạ môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện.
- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh.
- Dạy thực nghiệm trên lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn
Hoàng năm học 2016 – 2017, 2017-2018.
VI.

NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN
Đề tài đã giải quyết những vấn đề sau:

1. Khơi dậy và phát huy tính chủ động, tích cực và sự hứng thú học tập nội dung
này của mọi đối tượng học sinh, từ đó tạo động lực và niềm tin cho các em tự tin
học tập bộ môn toán.
2. Giúp học sinh có được một phương pháp, cách nhìn đồ thị hàm số để thấy được sự
biến thiên của hàm số, từ đó suy ra khoảng đơn điệu, số cực trị, giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số….
3. Phát triển tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá cho học sinh.
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về các dạng toán trắc nghiệm về đồ thị của hàm số, áp dụng
trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12 của trường THPT
Nguyễn Hoàng.

2


B. NỘI DUNG
Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12, sáng kiến kinh
nghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề đồ thị của hàm số. Giáo
viên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến hệ
thống câu hỏi trắc nghiệm. Trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát là
các câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thi thử nghiệm môn Toán của Bộ Giáo dục
và Đào tạo năm 2016 – 2017,2017-2018 sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp học
sinh rèn luyện kiến thức kĩ năng của chủ đề. Từ đó giúp học sinh có kiến thức vững
vàng và tạo cho các em phản xạ nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bài
tập trắc nghiệm về đồ thị của hàm số.
1. Cơ sở lý luận của đề tài
1.1. Cơ sở thực tế
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung, đặc biệt là học
sinh trường THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào rất thấp), tư duy
hệ thống, logic và khái quát của các em học sinh còn rất hạn chế, bởi vậy ảnh
hưởng rất lớn đến giảng dạy phần Hàm số.
Kiến thức về đạo hàm của các em đã đuợc học ở cuối chương trình Đại số và
Giải tích 11, những kiến thức đạo hàm cần cho triển khai thực hiện đề tài là rất cơ
bản và việc sử dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề đặt ra đáp ứng tính hệ thống
trong kiến thức bậc THPT, từ đó tạo nên sự hứng thú tìm tòi nghiên cứu cho học
sinh.
Những tri thức khoa học mà người thầy dẫn dắt, định hướng cho các em
khám phá phải luôn mang tính vừa sức, khơi dậy trong các em hứng thú khám phá
và bước đầu các em thấy dễ hiểu và tin vào khả năng của bản thân. Từ đó tạo động
lực và kích thích các em tò mò khoa học, say mê, hứng thú học tập và khám phá.
1.2. Cơ sở khoa học
Học sinh phải tính thành thạo đạo hàm, sử dụng đạo hàm trong xét tính đơn

điệu của các hàm số đã học trong chương trình như: y = ax3 + bx2 +cx +d;
y = ax4 +bx2 + c ...
Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số để suy ra khoảng đơn điệu của hàm số, cực
trị, số giao điểm của đồ thị và đường thẳng …để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số. Từ đồ thị hàm số f’(x) suy ra tính chất của y = f(x).
3


2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
Năm học 2016 - 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12 của trường THPT
Nguyễn Hoàng, tôi nhận thấy đa số học sinh đều nắm được các kiến thức cơ bản về
hàm số, nhưng khi tiếp xúc với các bài tập trắc nghiệm về đọc đồ thị của hàm số
thì các em tỏ ra lúng túng và lo lắng do chưa có phản xạ nhanh và chưa đủ thời
gian để làm hết các bài theo định mức trung bình 108 giây/ câu hỏi. Chính điều này
phần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
“Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét
các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”.

C . CÁC GIẢI PHÁP.
1. Khái quát chung
Dựa trên những kết quả nghiên cứu về lí thuyết toán học bậc THPT, tôi đã áp
dụng các khâu của quá trình dạy học như sau :
1.1. Nội dung của phương pháp và hệ thống các bài tập minh hoạ được chọn
lọc có tính bao quát các dạng thường gặp ở các mức độ khác nhau, phù hợp với các
đối tượng học sinh, được định hướng và dẫn dắt cho học sinh tự hình thành, chiếm
lĩnh trong khâu “Hình thành kiến thức, kỹ năng mới”;
1.2. Hệ thống các bài tập thực hành có tính chất và nội dung tương tự với hệ
thống các bài tập thực nghiệm, được áp dụng trong khâu “ Củng cố, hoàn thiện ” và
khâu “kiểm tra đánh giá ” để cho học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức
được hình thành, đồng thời đánh giá hiệu quả thực nghiệm.

Trước hết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của đồ thị các hàm số :
y=

ax + b
cx + d

y = ax3 + bx2 + cx + d, y = ax4 + bx2 + c,
…để rồi từ đó trên cơ sở của hình
dáng đồ thị, học sinh đọc được các tính chất của hàm số như: tính đồng biến, nghịch
biến, cực trị , tương giao, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền.
y  ax 3  bx 2  cx  d
đ
ồ
th
ị
hàm
s
ố
b
ậ
c
3:
1. Định hình
4


a>0
y'  0

a<0

có

hai
nghiệm
phân biệt
hay

 y/  0

y'  0

có

hai
nghiệm
kép
hay
 y/  0

y '  0 vô

nghiệm
hay

 y/  0

Bài toán 1. Nhận biết hệ số của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị
Hàm bậc 3:

y  ax3  bx 2  cx  d (a �0)
y ,  3ax 2  2bx  c;  ,y,  b 2  3ac

 Hàm số không có cực trị

5

�  ,y, �0


 Hàm số có hai cực trị

�  ,y,  0

 Gọi x1; x2 là hai điểm cực trị của hàm số, Theo Viet ta có:
2b
�
x1  x2  
�
�
3a
�
c
� xx 
� 1 2 3a
x1  x2
b

3a chính là hoành độ của điểm uốn.
Với 2

Cách nhận biết dấu của các hệ số dựa vào đồ thị.

 Đồ thị đi lên khi x tiến xa vô cực � a  0
 Đồ thị đi xuống khi x tiến xa vô cực � a  0

Hệ số a

 Điểm uốn “lệch phải “ so với Oy hoặc hai điểm cực trị “lệch
Hệ số b.

phải” so với Oy � ab  0
 Điểm uốn “lệch trái “ so với Oy hoặc hai điểm cực trị “lệch
trái” so với Oy � ab  0
 Điểm uốn thuộc Oy hoặc hai điểm cực trị cách đều trục Oy
�b  0
� ac  0

 Không có cực trị

hoặc c  0

 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung Oy � ac  0
� c0
 Có 1 điểm cực trị nằm trên Oy
� d 0
 Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O
� d 0
 Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O
Hệ số d

� d 0
 Giao điểm với trục tung trùng với điểm O
Cách nhận biết dấu của các hệ số
Hệ số c

Hệ
số

Tiêu chí Điều kiện

Minh h ọa

Đi lên
6


� a0

a

d

Dựa vào
xu
hướng đi
lên hay
đi xuống
của phần
Đi xuống
cuối đồ

� a0
thị nằm
bên phải

Dựa vào
vị trí
Nằm phía trên
giao
gốc tọa độ O
điểm của � d  0
đồ thị
hàm số
với trục
tung
(Oy)

Nằm phía dưới
gốc tọa độ O
� d 0

Giao điểm với trục Oy nằm trên điểm O (
d 0
)

Giao điểm với trục Oy nằm dưới điểm O ( d  0 )

7


Đi qua gốc tọa độ

O

Giao điểm với trục Oy trùng với điểm O ( d  0 )

� d 0

Điểm uốn nằm bên “phải”Oy � ab  0
Trong trường hợp này a  0 � b  0
b

Dựa vào Điểm uốn nằm
vị trí
bên phải Oy
của điểm x  x   2b  0
2
2
3a
uốn so
ab

0
�
với trục
tung
(Oy)

8


Điểm uốn nằm bên”trái “ Oy � ab  0

Trong trường hợp này a  0 � b  0

Điểm uốn nằm
bên trái Oy
x2  x2  

� ab  0

2b
0
3a

Điểm uốn trùng với gốc tọa độ O � b  0

Điểm uốn nằm
phía trên trục Oy
x2  x2  

� b0

2b
0
3a

2 điểm cực trị
nằm lệch về phía
bên phải Oy

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “phải” Oy
x1  x2  0 � ab  0

Trong trường hợp này a  0 � b  0

( x1  x2  0)
� ab  0

Dựa vào
vị trí của
2 điểm
cực trị so
với trục
Oy

9


2 điểm cực trị
nằm lệch về phía
bên trái Oy

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “trái” Oy
x1  x2  0

� ab  0

Trong trường hợp này a  0 � b  0

( x1  x2  0)
� ab  0

Hai điểm cực trị cách đều trục Oy
x1  x2  0 � b  0

Khoảng cách 2
điểm cực trị đến
Oy bằng nhau
( x1  x2  0)
�b  0

Đồ thị hàm số không có cực trị c  0 hoặc ac  0
Không có cực trị
c  0 hoặc ac  0
Cực trị

c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía trục
Oy � ac  0 Trong trường hợp này a  0 � c  0
Có 2 điểm cực trị
nằm 2 phía trục
Oy � ac  0
10


Có 2 điểm cực trị
nằm cùng phía
trục Oy � ac  0

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùngphía
trục Oy � ac  0 Trong trường hợp này
a 0�c 0

Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị thuộc trục tung
�c 0
Oy.
Có 1 điểm cực trị
thuộc trục tung
Oy.
x1.x2 

c
0�c 0
3a

4
2
2. Định hình hàm số bậc 4: y  ax  bx  c

11


a>0

a<0

y'  0

có 3
nghiệm
phân biệt
hay ab  0

y'  0

có
đúng
1
nghiệm hay
ab �0

Bài toán 2: Nhận biết các hệ số hàm số bậc 4 (trùng phương) dựa vào đồ thị
4
2
Hàm số: y  ax  bx  c(a �0)

� x0
y  4ax  2bx  0 � �2
b
�
x 
2a
�
,

3

Nhận biết dấu các hệ số.

Hệ số a

Đồ thi đi lên khi x tiến ra dương vô cực
Đồ thi đi xuống khi x tiến ra dương vô cực

Hệ số b

Đồ thi hàm số có 3 điểm cực trị
Đồ thi hàm số có 1 điểm cực trị

Hệ số c

Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O
Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O
Giao điểm với trục tung trùng với điểm O

Minh hoạ Nhận biết dấu các hệ số.
Hệ số

Tiêu chí Điều kiện

Minh họa

12

�a 0
�a0
� ab  0
� ab  0
�c 0
�c0
�c 0

a

Đi lên
Dựa vào � a  0
xu thế đi
lên hay
đi xuống
của
phần
cuối đồ Đi lên
�a 0
thị nằm
bên phải

b

Có 1 điểm
Dựa vào cực trị
ab 0 
số điểm
cực trị
của hàm
số
Có 3 điểm
cực trị
� ab  0

c

Nằm phía

Dựa vào trên gốc
số giao tọa độ O
�c 0
điểm
của đồ
thị hàm Nằm phía
dưới gốc
số với
trục Oy tọa độ O
�c0

13


Đi qua
gốc tọa độ
O �c 0

y

3. Định hình hàm số

ax  b
cx  d

� d�
D  R \ � �
�c

+) Tập xác định:

y

+) Đạo hàm:

ad  bc  0

 Hàm số:

 Đạo hàm:


 cx  d 

2

ad  bc  0

Bài toán 3: Nhận biết các hệ số hàm số
y

ad  bc

y

ax  b
; ad  bc �0; c �0
cx  d
dựa vào đồ thị

ax  b
; ad  bc �0; c �0
cx  d

y, 

ad  bc
(cx  d ) 2

d
x ;
c ( d  0 � tiệm cận đứng là trục Oy; x  0 )
Tiệm cận đứng:

14


 Tiệm cận ngang:
 Giao với trục Ox
 Giao với trục Oy

y

a
;
c ( a  0 � tiệm cận ngang là trục Ox; y  0 )

x
y

b
a với a �0 ;Nếu a  0 thì không cắ Ox

b
d

Với các hàm số có tham số là các giá trị cụ thể. Ta dựa vào các tiêu chí để
nhận dạng:
 Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang
 Dựa vào giao Ox, Oy
 Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến
Với các hàm số có tham số.
Ta nhận biết dấu của 6 cặp tích số sau:
x

 ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Ox:
 ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

y

a
c

 bd: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Oy:
 cd: Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

b
a

x

y

b
d

d
c

 ad: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ hoặc các
đường tiệm cận.
 bc: Dựa vào vị trí giao Ox và tiệm cận ngang hoặc giao Oy và tiệm cận đứng.

ab

� ab  0
Giao Ox nằm phía “phải” điểm O
� ab  0
Giao Ox nằm phía “trái” điểm O
�a 0
Không cắt Ox
Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox � ac  0
Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox � ac  0
15


ac

bd

cd

�a 0

Tiệm cận ngang trùng Ox
Giao Oy nằm phía “trên” điểm O
Giao Oy nằm phía “dưới” điểm O
Giao Oy trùng gốc tọa độ
Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy
Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy
Tiệm cận đứng trùng Oy

� bd  0
� bd  0
�b  0
� cd  0
� cd  0
�d 0

Bài toán 4: Nhận biết đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
f ( x)

Dạng 1. Từ đồ thi hàm số f ( x) suy ra đồ thị hàm số
Cách nhớ: Trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng. Nghĩa là toàn bộ đồ thị
nằm phía trên Ox của hàm số f ( x) được giữ nguyên. Toàn bộ đồ thị nằm dưới
Ox của hàm số f ( x) được lấy đối xứng lên trên.

Dạng 2. Từ đồ thị hàm số f ( x) suy ra đồ thị hàm số  
Cách nhớ: Phải giữ nguyên, lấy đối xứng sang trái. Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị
nằm bên phải trục Oy của hàm số f ( x) được giữ nguyên, đồ thị nằm bên trái

trục Oy bỏ đi. Lấy đối xứng phần bên phải sang trái
f x

16


x  a g ( x)
Dạng 3. Từ đồ thi hàm số f ( x) suy ra đồ thị hàm số
với
( x  a) g ( x)  f ( x )

Cách nhớ: Phải a giữ nguyên, trái a lấy đối xứng qua Ox. Nghĩa là: Toàn bộ
đồ thị ứng với x  a của f ( x) ( Nằm phía bên phải đường thẳng x  a ) được giữ
nguyên. Toàn bộ đồ thị ứng với x  a của f ( x) ( Nằm phía bên trái đường thẳng
x  a ) được lấy đối xứng qua Ox.
Toàn bộ đồ thị ứng với x  a của f ( x) ( Nằm phía bên trái đường thẳng x  a )
lấy đối xứng qua Ox.

'

Bài toán 5: Nhận biết hàm số dựa vào đồ thị hàm số f ( x)
'
*Số giao điểm với trục hoành � số lần đổi dấu của f ( x) � số điểm cực trị
'
'
*Nằm trên hay dưới trục hoành � f ( x)  0 hoặc f ( x )  0 trên một miền � Tính
đơn điệu của hàm số.

17

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f ( x )
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(1; 2) .

C. (�; 0)

B. (0; 2) .

D. (2; �) .

Căn cứ đồ thị ta có ngay hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Vậy đáp án là B.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên � thoả f ( - 1) = f ( 3) = 0 và đồ thị
y = f '( x)

của hàm số
có dạng như hình bên. Hàm số
khoảng nào trong các khoảng sau ?

4
3
2
1

f(x)=-X^3+3X^2+X-3
-3

A.

( - 2;1) .

B.

-2

-1

y = ( f ( x) )

2

nghịch biến trên

y

-1
-2
-3
-4

( 1; 2) .

x
1

C.

2

3

( 0; 4) .

�
x =- 1
�
f '( x ) = 0 � �
x =1 .
�
�
x =3
�
Hướng dẫn: Ta có
và f ( - 1) = f ( 3) = 0 .

Ta có bảng biến thiên :
18

D.

( - 2;2) .


1

-1

+

0

3

-

0

+

0

0

-

0

� f ( x ) < 0; " x �{ - 1;3} .

�
f x =0
�
x =- 1; x = 3
�( )
�
y
'

=
0
�
�
2
�
x = �1; x = 3
y = ( f ( x ) ) � y ' = 2 f ( x ) . f '( x )
f '( x ) = 0 �
�
�
Xét
;

1

-1

'

2
y=�
(�f ( x) ) �
�
�
�

3

+

0

-

0

+

0

-

-

0

-

|

-

0

-

-

0

+

0

+

0

-

Chọn đáp án B.
Câu 3. Cho hàm số

y = ax3 + bx 2 + cx + d

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.

a < 0, b > 0, c = 0, d = 0.

B.

a < 0, b < 0, c = 0, d = 0.

C.

a > 0, b < 0, c = 0, d = 0.

D.

a > 0, b > 0, c = 0, d = 0.

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có ngay a < 0 và đồ thị hàm số đi qua O nên c = 0, d =
0, điểm uốn của đồ thị nằm bên phải Oy nên có b > 0. Vậy chọn đáp án A
Câu 4. Cho hàm số

y = ax3 + bx 2 + cx + d

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

19


Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.

a > 0, b > 0, c = 0, d > 0.

B.

a > 0, b < 0, c = 0, d > 0.

C.

a < 0, b < 0, c = 0, d > 0.

D.

a < 0, b > 0, c = 0, d > 0.

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có ngay đáp án B.
Câu 5. (Trích đề thi thử THPT QG năm 2017)
Cho hàm số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên đoạn [-

2; 2]

và có

đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f ( x) đạt cực tiểu
tại điểm nào dưới đây?
A.

x = 1.

B.

x =- 4.

C.

x =- 1.

D.

x = 4.

Căn cứ hình dáng đồ thị ta có ngay đáp án C.
Câu 6. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau.

x

�

f ' x 

1

+

0

-

0

f  x

�

y  f  x-2018   2017

2017

có bao nhiêu điểm cực trị?
20

+
�

2017

Đồ thị hàm số

�

3


A. 3 .

C. 4

B. 5 .

HD.Ta có đồ thị hàm số

D. 2 .

y  f  x  2018   2017

có dạng như

hình bên:

Dễ thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
4
2
Câu 7:Cho hàm số f ( x)  a.x  b.x  c với a  0, c  2018 và a  b  c  2018 . Số điểm

cực trị của hàm s ố
A. 1.

B.

y  f ( x )  2018

3.

là:
C. 5.

D. 7.

Lời giải

Từ giả thiết ta có a  0, c  2018 và a  b  c  2018 � b  0 � a.b  0 nên hàm số
f ( x )  a.x  b.x  c có 3 cực tri trong đó
4

2

đó hàm số f ( x)  2018 có 3 điểm cự trị
;C( 0; c  2018)

A(

b

b

;  ); B( 
; )
2a
4a
2a
4a ;C( 0; c) . Khi

A( 

b

b

;
 2018); B( 
;
 2018)
2a
4a
2a
4a

Vì c > 2018 nên c nằm trên trục hoành
Xét hàm số g(x) = f(x) – 2018. Có g(0) = f(0) – 2018 = c – 2018 >0

g(1) = a +
b + c – 2018 < 0 nên điểm cực tiểu của g(x) n ằm d ưới Ox
Lấy đối xứng phần g(x) phía dưới Ox qua Ox và bỏ ph ần đồ th ị g(x) phía
dưới Ox ta được đồ thị hàm số y  f ( x)  2018 . Từ đồ thị y  f ( x )  2018 ta
thấy hàm số này có 7 cực trị
Câu 8. Cho hàm số bậc ba

y  f  x

y  f  x  m

tham số m để hàm số
A. m �1 hoặc m �3 .
C. m  1 hoặc m  3 .

có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị của

có ba điểm cực trị là
B. m �3 hoặc m �1 .
D. 1 �m �3 .

21


Hướng dẫn giải
Chọn A.
Nhận xét: Đồ thị hàm số

y  f  x  m

Phần 1 là phần đồ thị hàm số

gồm hai phần:

y  f  x  m

nằm phía trên trục hoành;

Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số
qua trục hoành.
Dựa vào đồ thị của hàm số
số

y  f  x  m

nằm phía dưới trục hoành

đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm

.

Khi đó hàm số
y  f  x  m

y  f  x

y  f  x  m

y  f  x  m

có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số

và trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung

m �1
�1  m �0
�
��
��
3  m �0
�
�m �3 .

Cách 2: Ta có

22


 f  x   m
f�
 x  . f  x   m
 f  x   m

y  f  x  m 
y�


2

Để tìm cực trị của hàm số

�f �
 x  0
��
f x  m
định �  

2

y  f  x  m

, ta tìm x thỏa mãn y� 0 hoặc y�không xác

 1
 2

1
Dựa vào đồ thị ta có   có hai điểm cực trị x1 , x2 trái dấu. Vậy để đồ thị hàm số có
2
3 cực trị thì   có một nghiệm khác x1 , x2 .
m �1
m �1
�
�
�
�
m �3 �
m �3 nên chọn đáp án A.
�
Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: �

Câu 9. Cho hàm số y  f (x) liên tục và có đạo
hàm cấp hai trên �. Đồ thị của các hàm số
y  f (x), y  f '(x), y  f ''(x) lần lượt là các đường
cong nào trong hình vẽ bên.
A.

(C3),(C1),(C2)

B.

(C1),(C2 ),(C3)

C.

(C3),(C2),(C1)

D.

(C1),(C3),(C2)

Hướng dẫn giải.Trước hết ta có nhận xét sau:
Nếu M(x0;f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) thì hình chiếu của
điểm M trên trục hoành Ox là giao điểm của đồ thị y = f’(x) và trục Ox.
Từ đồ thị ở hình vẽ ta thấy hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị (C 3) trên Ox
trùng với giao điểm của đồ thị (C 1) và Ox , hình chiếu của điểm cực trị của đồ thị
(C1) trên Ox trùng với giao điểm của đồ thị (C2) và Ox .Do đó (C3) là đồ thị của
y = f(x), (C1) là đồ thị của y = f’(x), (C2) là đồ thị của y = f’’(x)
23

Câu 10: Hàm số

y  f  x

có đồ thị

y  f ' x 

như hình vẽ.

1
3
3
g  x   f  x   x 3  x 2  x  2017
3
4
2
Xét hàm số

Trong các mệnh đề dưới đây:

 I  g  0   g  1
 II 

min g  x   g  1

x� 3;1

 III  Hàm số g  x  nghịch biến trên  3; 1
g  x   max  g  3  , g  1 

 IV  xmax
� 3;1

Số mệnh đề đúng là:
A. 2

C. 3

B. 1

D. 4

HƯỚNG DẪN
3
3
3�
�2 3
g ' x   f ' x   x2  x   f ' x   �
x  x �
.
2
2
2 � Căn cứ vào đồ thị ta có:
� 2
Ta có

�
f '  1  2 �
g '  1 '  0
�

�
f '  1  1 � �
g '  1  0
�
�
�
f '  3   3
g '  3  0
�
�

Vẽ Parabol

 P : y  x2 

3
3
x
2
2 trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số y  f '  x 
3

3

f ' x   x2  x 
3; 1

2
2 nên g '  x   0x � 3; 1
Ta có: Trên

thì

Trên

 1;1

3
3
f ' x   x2  x 
2
2 nên g '  x   0x � 1;1
thì

g x
3;1
Khi đó BBT của hàm số   trên đoạn 
:

24