Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2019


MỤC LỤC

1. Mở đầu 1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………...……………… …….......................…1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………..…………………………………………..1
1.3. Đối tượng nghiên cứu………….…………………………………………..2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….........2
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1.

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2.

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm. 3

2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối
tròn xoay

3

2.3.1. Lý thuyết cơ bản 3
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề 4
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận…………………………………………….5
2.4.

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..
3. Kết luận, kiến nghị
3.1.

Kết luận

18

18

18

3.2. Kiến nghị…………………………………..……………………………...19
TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng
trụ, khối chóp, …gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thức
tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn
giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,
trừu tượng hoá.
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở
chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học
sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay. Khi
học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy
móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị
nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ
để “chia nhỏ” thể tích mới tính được.
Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp
12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc
phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính thể tích của vật thể tròn
xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về thể tích mà học sinh đã học
ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong
chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề
ứng dụng của tích phân. Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức
độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất.
Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện

thi và ôn tập thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai
thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích
phân trong tính thể tích khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức khác nhau.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các
dạng toán của ứng dụng tích phân trong hình học theo các cấp độ thông hiểu,
vận dụng, vận dụng cao. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng
nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp
giải các bài toán của ứng dụng tích phân trong hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Ứng dụng của tích phân trong hình học. Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo
khoa Giải tích 12.

1


Lập ma trận các dạng toán tính thể tích của khối tròn xoay theo các cấp độ
kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học.
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống
của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến
thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán
tính thể tích của khối tròn xoay.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở
chương trình toán Giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp
học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính thể tích của vật
thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. Đây cũng là
một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia.

2


Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)
thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình

phẳng (hay vật thể tròn xoay). Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với
khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây. Học sinh không tận dụng
được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề
này.
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính thể tích vật tròn xoay một cách máy
móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ
thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải.
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối
tròn xoay.
2.3.1. Lý thuyết cơ bản.

a) Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng  P  và
 Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a,
x  b  a  b  . Một mặt phẳng bất kì vuông góc
với
Ox tại điểm x a �x �b cắt C theo một thiết

diện có diện tích S x . Giả sử S x là hàm liên
tục trên
�
a;b�
�
�. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn
bởi hai mp  P  và  Q  được tính theo công
b

S x dx .
thức: V  �
a

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay
miền D được giới hạn bởi các đường
y  f  x ;y  0;x  a;x  b quanh trục Ox.
Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành
độ bằng x là một hình tròn có bán kính
R  f  x  nên diện tích thiết diện bằng
S  x    R 2   f 2  x  . Vậy thể tích khối
tròn xoay được tính theo công thức:
b

b

a

a

V �
S  x  dx   �
f 2  x  dx

3


c) Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các
đường y  f  x ,y  g  x , x  a, x  b

a;b�
(Với f  x .g  x �0 x ��

�
�) thì thể
tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D
quanh trục Ox được tính bởi công thức:
b

V  �
f 2  x  g2  x dx .
a

2.3.2. Lập ma trận chuyên đề.

CÁC
CHỦ
ĐỀ
ỨNG
DỤNG
TÍCH
PHÂN
TÍNH
THỂ
TÍCH

MIÊU TẢ

Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường
y  f  x , y  0 , x  a ,

CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH
GIÁ
Vận
Thông
Vận
dụng
hiểu
dụng
cao

Câu 1

Câu 2,
3

3

Câu 4

Câu 5

2

Câu 6

Câu 7

2

Câu 8

Câu 9

2

x  b quanh Ox . ( f  x 
không đổi dấu trên  a; b  )
Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường
y  f  x  , y  0 quanh Ox .

TỔNG

(thiếu các cận a, b , f  x 
không đổi dấu trên  a; b  )
Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường
y  f  x , y  g  x , x  a ,
x  b quanh Ox ( f  x  ,
g  x  không âm trên  a; b  )
Tính thể tích của một vật
thể dựa vào diện tích thiết
diện mặt cắt

4


Bài toán thực tế liên quan

tính thể tích khối tròn xoay
Bài toán cực trị liên quan
tính thể tích khối tròn xoay.
Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường
y  f  x , y  g  x , x  a ,

Câu
Câu 10,
12, 13, Câu 15
11
14
Câu
Câu 17
16

x  b quanh Ox . ( f  x  ,
g  x  âm trên  a; b  )
Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng (H) có
trục đối xứng là Ox quay
quanh trục Ox.
Tính thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường
y  f  x , y  g  x , x  a ,

6
2

Câu
18

1

Câu
19

1

Câu 20

x  b quanh Ox . ( f  x 

1

dương, g  x  âm trên

 a; b  )
TỔNG
6
11
3
20
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  0 , x  1 quanh trục hoành có
giá trị bằng
8

A.
.
15

B.

7
.
8

C.

15
.
8

D.

8
.
7

Lời giải
Chọn A
1

�x5
�
2
4

3
2
Ta có: V   �
 x  2 x  dx   �
 x  4 x  4 x  dx   �5  x4  34 x3 �  815 .
�
�0
0
0
1

2

1

5


Câu 2. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  1  sin 4 x  cos 4 x ,


, x   . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H
2
quanh trục hoành Ox bằng
7 2
32
7 2
32
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
8
8
4
4
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox là
y  0, x 





7
1
� 7 2
V �
 1  sin x  cos x  dx   �
.
x

sin
4
x

�
� 
4
16

�
�
8
4

2

4

2

2x 1
Câu 3. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
, trục
2x  1
hoành, hai đường thẳng x  1 , x  2 . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo
thành khi cho hình  H  quay xung quanh trục Ox bằng
� a
�
V  �
ln
 b�
, (trong đó a , b là các số hữu tỷ). Khi đó a.b bằng
3
�

�
10
10
A.
.
B.  .
C. 2 .
D. 2 .
3
3
Lời giải
Chọn D
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi  H  quay xung quanh trục Ox là
2
2
2�
�
2x 1
� 2x 1 �
1
2


d
x



dx
�

V �
2
�
�dx
�
2�
�
2
x

1
2
x

1
2
x

1
2
x

1



 �
1
�
�

1�
1�
�
2

2
� 15 2 �
2
1 �
�1


ln
 �� a  15, b   � a.b  2 .
  � ln  2 x  1 
�
�
15 �
15
2x  1 �
�2
� 3
1

Câu 4. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 4  1 và trục
hoành. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay  H  quanh trục hoành là:
8
16
64
4

.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
5
25
45
5
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  1 và trục hoành là
6


x  1
�
x4  1  0 � �
.
�x  1

Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay khi quay  H  quanh trục hoành là:
1

V  �
 x 4  1 dx 
2

1

64
 (đvtt).
45

Câu 5. Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y  2 x, y 

1 x
, y  0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
x

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành
bằng.
5
�3

5
�3

�
�
A. V   �  2 ln 2 �.

�
�
B. V   �  2 ln 2 �.

2�
�

C. V   �2 ln 2  �.

2�
�
D. V   �2 ln 2  �.

�

�

3�

�

�

3�

Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 x và y 

1 x
là:
x

�x �0
�x �0
1 x
�

1
�� 2
��
2x 
1 � x .
x
x  1; x 
2x  x 1  0
2
�
�
�
2
Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 x và y  0 là: 2 x  0
�x �0
�� 2
� x  0.
2x  x 1  0
�
1 x
Phương trình hoành độ giao điểm của y  0 và y 
là:
x
�x �0
�x �0
1 x
��
0 ��
� x  1.
1


x

0
x

1
x
�
�

7


1
2

1

2

4x
1 x �
�
V �
4 x dx   �
� �dx   . 3
1� x �
0
2

1
3 2
0

2

1

�1 �
�
�  1�dx
x �
1�
2

2
1

1
1
�1 2 � 1
1
�
�
  �
dx     �  2ln x  x �   �5  2ln 2 �.
� 2   1�
�
�

6
x
x
� 6
1�
�x
�1
�3
�
2

2

Câu 6. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , y  x 3  1 quanh trục Ox .
A. V 

47
.
210

B. V 

47
.
210

C. V 

2

.
35

D. V 

2
.
35

Lời giải
Chọn B
Vẽ đồ thị các hàm số y  x 2  1 , y  x 3  1 và trục Ox trên cùng hệ trục tọa độ

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  1  x3  1 � x   0;1 .
1
1
1
�1 2
� �
2
2
�x 5
� �x 7
�� 47
x3
x4
3
V   ��
.
 x  1 dx  �

 x  1 dx �  �
�  2  x �  �  2  x ��
3
4
210
�
�5
�0 �7
�0 �
0
�0
� �
�

Câu 7. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  f  x   cos x và y  g  x   x  2 , x  0 , x 
gần nhất với kết quả nào sau đây
A. 36 .
B. 26 .
C. 30 .
Lời giải
Chọn A


quanh trục Ox
2
D. 10 .

8

Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y  f  x  , trục hoành


2

2
Ox , x  0 , x 
quanh trục Ox là 
cos
x
dx   .
�
2
0





Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y  g  x  , trục hoành


3
4
2

Ox , x  0 , x 
quanh trục Ox là   x  2  2dx  2 2     .

�
2
2 24
0

3 4
Vậy V  2 

  �36 .
2 24
Câu 8. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và
x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x  1 �x �3 thì được thiết diện là một hình
2

chữ nhật có hai cạnh là 3x và
A. V 

3x 2  2 .

124
.
3





B. V  32  2 15  .
D. V 

C. V  32  2 15 .

124
.
3

Lời giải
Chọn D
Diện tích của thiết diện là S  x   3x 3 x 2  2 .
3

3

1

1

S  x  dx  �
3x 3 x 2  2 dx
Thể tích phần vật thể đã cho là V  �
3

3 3
1
124 .
1
2
2
2

 �3 x  2d  3 x  2    3x  2  2 
3
21
3
1


,
4
biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox

Câu 9. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x 

9


�
�
0 �x � �làm một tam giác đều có cạnh là
tại điểm có hoành độ x �
4�
�
2 cos 2x
A. V  3 .

B. V 

Chọn B
Diện tích tam giác đều S  x  


4

1
3
.
C. V  .
2
2
Lời giải



3 2 cos 2 x
4



D. V 

2
.
2

2

 3 cos 2 x .

4



4

Vậy thể tích V  S  x  dx  3 cos 2 xdx  3 sin 2 x  3 .
�
�
2
2
0
0
0
Câu 10. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với
trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là
1 m . Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu
là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao
nhiêu ?

A. 425162 lít.
lít.

B. 212581 lít.

C. 212, 6 lít.

D. 425,2

Lời giải
Chọn D

10

Đơn vị tính là dm . Gọi

 P  : x  ay 2  by  c

qua A  4;0  , B  3;5 , C  3; 5  .

a  4, b  0
�
2
5
1 2
�
� 1 2
�
��
�  P : x   y  4 . �V   �
 y  4 �dy �425, 2  l  .
1
�
25
c


25
�
�
�
5
25

�
Câu 11. Một hình cầu có bán kính 6dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt
phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung
quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích V mà
chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm .

A. V 

368
.
3

B. V  192 .

C. V 

736
.
3

D. V  288

.
Lời giải
Chọn C

Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn  C  có phương trình x 2  y 2  36 .
Khi đó nửa phần trên trục hoành của  C  quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu
tâm O bán kính bằng 6 . Mặt khác ta tạo hình phẳng  H  giới hạn bởi nửa phần
trên trục hoành của  C  , trục Ox và các đường thẳng x  4, x  4 ; sau đó quay

 H

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay chính là chiếc lu trong đề bài.

11


Ta có x 2  y 2  36 � y  � 36  x 2 � nửa phần trên trục hoành của  C  là
y  36  x 2 . Thể tích V của chiếc lu được tính bởi công thức:
4



V   � 36  x 2
4



2

4

4

�
x3 � 736
2
dx   �
36


x
d
x


36
x




�
� 
3
3
�
�4
4

 dm  .
3

Câu 12. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên
dưới. Diện tích hoa văn trang trí (phần tô đậm) bằng

A.

1600
cm 2 .

3

B.

800
C. 250 cm 2 .
cm 2 .
3
Lời giải

D.800 cm 2 .

Chọn A
Diện tích hoa văn trang trí bằng bốn lần diện tích một cánh hoa được tính theo
công thức sau:
20

20

1 2�
2
1 � 1600
�
cm 2  .
S  4�
x �
dx  4 �
. 20. x 3  x 3 � 

� 20 x 

�
20 �
3
60 �0
�3
0 �

Câu 13. Cho hai đường tròn  O1;5 và  O2 ;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao
cho AB là một đường kính của đường tròn  O2 ;3 . Gọi  D  là hình
phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần
được gạch chéo như hình vẽ). Quay  D  quanh trục O1O2 ta được một
khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

A. V  36 .

B. V 

68
14
.
C. V 
.
3
3
Lời giải

D. V 

40
.

3

12


Chọn D

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 �O , O2C �Ox , O2 A �Oy .
2
Cạnh O1O2  O1 A2  O2 A2  4 � O1   4;0  �  O1  :  x  4   y 2  25 .

Phương trình đường tròn  O2  : x 2  y 2  9 .

2
Kí hiệu  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  25   x  4  , trục Ox ,

x  0 , x  1.

Kí hiệu  H 2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  9  x 2 , trục Ox , x  0
, x  3.
Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục Ox , khi
đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi
quay hình  H 2  xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu
được khi quay hình  H1  xung quanh trục Ox.
1 4 3 2 3
Ta có V2  .  r   .3  18 .
2 3
3
3
�

x  4  �1 14

�
y dx   �
25  x  4  �
dx   �
25 x 
�
Lại có V1   �
.
� 
�
3
3
�
�
0
0
0
�
�
14 40

Do đó V  V2  V1  18 
.
3
3
Câu 14. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có
đường kính lần lượt là 2 và 4 . Mặt xung quanh của bình là một phần
1

1

2

2

của mặt tròn xoay khi quay đường cong y  x  1 quay quanh trục Ox
. Thể tích của bình cắm hoa đó bằng
14
15
A. 8 .
B.
.
C.
.
3
2
Lời giải
Chọn B

D.

14
.
3

13

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính của
đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2.
Ta có x  1  1 � x  2 và x  1  2 � x  5 .
Vậy thể tích của bình cắm hoa là
5

�x 2
� 15
V   � x  1 dx   �
.
 x  1 dx   �  x � 
2
2
�
�2
2
2
5





2

5

Câu 15. Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu  S1  ,  S2  có cùng bán kính

R thỏa mãn tính chất: tâm của  S1  thuộc  S 2  và ngược lại (xem hình

vẽ). Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ( S1 ) và ( S2 ) .

A.  R .
3

 R3
B.
.
2

5 R 3
C.
.
12

2 R 3
D.
.
5

Lời giải
Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P  vuông góc
với trục Ox và mặt cầu tâm  O, R  là hình tròn. Diện tích thiết diện là

S  x     R 2  x 2  (Trong đó x là khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P  ).

14

Thể tích cần tính là:
R
�2
x 3 � 5 R 3
V  2�
S  x  dx  2 �
 R  x  dx  2 �R x  3 �R  12 .
R
R
�
�
2
2
2
Câu 16. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số
R

R

2

2

y  x a và y  a  2  a  x , 0  a  2 , khi quay quanh trục Ox . Giá trị

của a để V đạt giá trị lớn nhất là
1
3
A. a  1 .

B. a  .
C. a  .
2
2
Lời giải
Chọn B
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

D. a 

3
.
4

a  2  a  x  x a � x  0 �x  2  a
V 

2 a

�ax

2

 a  2  a  x dx  

0

2 a

 ax

�

2

0

 a  2  a  x  dx .

�a 3
x 2 �2a 
3
V   � x  a  2  a  �
 a 2  a , 0  a  2 .
|
2 �0
6
�3

Xét hàm số f ( a)  a  2  a  , 0  a  2 .
3

f '(a)   2  a  2  4a  0 � a 
2

1
�a  2 loaïi 
2

Bảng biến thiên

Hàm số có 1 cực trị duy nhất tại a 

1
và là điểm cực đại. Do đó giá trị lớn nhất
2

1
.
2
Câu 17. Cho Parabol ( P ) : y  16  x 2 và hai điểm A  a;0  , B  a;0  ; 0  a  4 .
Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và trục ox , ( H1 ) là hình chữ

của hàm số đạt được tại a 

nhật ABCD ( C , D là 2 điểm thuộc ( P) ). Gọi V là thể tích hình tròn

15


xoay có được khi xoay ( H ) quanh Oy và V1 là thể tích hình tròn xoay có
được khi xoay ( H1 ) quanh Oy . Tính giá trị lớn nhất của tỉ số
A.

2
.
3

B.

1

.
4
Lời giải

C.

1
.
2

V1
.
V

D.

3
.
4

Chọn C

16

 16  y  dy 128 . Vì D �( P) nên D(a;16  a 2 ); AD  16  a 2 .
Ta có V   �
0

Do đó khi xoay ( H1 ) quanh Oy ta được hình trụ tròn có bán kính R  a và
2

2
2
4
chiều cao h  16  a 2 . Suy ra V1   a (16  a )    16a  a 
2
4
Xét hàm số f ( x)    16 x  x  trên  0;4 ta thấy:

x0
�
f '( x)    32 x  4 x3   0 � �
nên max [0;4] f ( x)  f 2 2  64 .
x

�
2
2
�
V
64 1
 khi a  2 2 .
Suy ra 1 đạt giá trị lớn nhất là
V
128 2
Câu 18. Gọi H là phần hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y  sin x, y  cos x,
3
x   ; x 
. Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay H quanh trục
4
Ox


2
A. V   .
B. V 
.
C. V  .
D. V   2 .
2
2
Lời giải
Chọn A





16


Gọi V1 là thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  sin x, y  0, x   ;

3
x
quanh Ox : V1  
4

3 /4

3 /4

 � sin 2 x �
sin xdx  �x 
�
�
2�
2 �

2

2 


4 2

Gọi V2 là thể tich sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y  cos x, y  0, x   ; x 

3
quanh Ox :
4
3 /4

3 /4

 � sin 2 x �
V2   �cos xdx  �x 
�
2�
2 �


2



2 
 . Suy ra V  V2  V1   .
4 2

Câu 19. Cho hình H giới hạn bởi các đường y 2  2 x và x 2  y 2  8 ( phần gạch
sọc trong hình). Khối tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thể
tích bằng bao nhiêu?

A.



2 8 2  7
3

.

B.



4 13  8 2
3

.

�32 2
�
 8�
.
�
3
�
�

C. �
�

D.



4 8 2  7
3

.

Lời giải
Chọn D
�
�x 2  2 x  8  0
8  x2  2 x
��
� x2 .
Phương trình hoành độ giao điểm: �
�x �0

�x �0
2





2

2 2

Thể tích của khối tròn xoay: V   � 2 x dx   �
0

2



8  x2



2

dx

17






2 2 �
� 2 �
3
4 8 2  7
�
x
2
�
�
�V  x �
8x  � 
.
� 0 �
3 �2 �
3
�
�
2
Câu 20. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  f  x   x  8 x  12 và

y  g  x    x  6 (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành
khi quay H xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

A.

216
.

5

B.

949
.
15

C.

817
.
15

D.

836
.
15

Lời giải
Chọn D

Hình 1 biểu diễn thiết diện của mặt phẳng chứa trục hoành và khối tròn xoay tạo
thành khi quay H xung quanh trục hoành.
2
Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi các đường f  x   x  8 x  12 , g  x    x  6
2
, y   f  x    x  8 x  12 , y  0 như phần tô đậm ở hình 2.

Khối tròn xoay tạo thành khi quay H xung quanh trục hoành cũng là khối tròn
xoay tạo thành khi quay K xung quanh trục hoành.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  g  x  và y   f  x  là nghiệm của
2
2
phương trình:  x  6   x  8 x  12 � x  9 x  18  0 � x   3;6 .

18


Chia K thành 3 phần K1 , K 2 , K 3 như hình 3. Khi đó thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay K xung quanh trục hoành là:
3
6
�2 �
�
2
2
2
2
2
�
V   ��
� x  6    x  8 x  12  �dx  �
  x  6  dx  �
  x 2  8 x  12  dx �
2
3
�1
�

836
836

. Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tìm là: V 
.
15
15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính thể tích
khối tròn xoay. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các
em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập.
Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng
kiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các
dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học

Lớp

2018
-2019

12
B4
12
B7

Tổng

số

Điểm 8
trở lên
Số
Tỷ
lượng
lệ

Điểm từ 5 đến 8

Điểm dưới 5

Số
lượng

Tỷ lệ

Số
lượng

Tỷ lệ

42

12

29%

20

48 %

10

23 %

37

7

19 %

20

54 %

10

27 %

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 3.
Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng là một nội dung
quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói
chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần
nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi

dạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay giáo
19


viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài
tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Nguyễn Hữu Nam
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3]. Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &
Đào tạo.
[4]. Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT
trên toàn quốc.

20