Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1.

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………..

2

1.1

Lý do chọn đề tài…………………………………………………..

2

.
1.2

Mục đích nghiên cứu………………………………………………

2

.
1.3

Đối tượng ngiên cứu……………………………………………….

3

.
1.4

Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..

3

.
2.
2.1

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………

3
3

.
2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…..

3

.
2.3

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………….

4

.
2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

.
3.
3.1

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………..
Kết luận, kiến nghị………………………………………………..
Kết luận……………………………………………………………

19
20
20

.
3.2

Kiến nghị………………………………………………………….

20

.
3.3

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN

.

Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở lên……………………………………………………………..

20

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT
tỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tập
trong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáo
khoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề.
Cụ thể:
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho
u1 = 2, u2 = 5

(
u
)
un+ 2 = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 1 .Tính giới hạn
n
dãy số
xác định như sau
u 
lim  n ÷.
n
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho
u1 = 2

n

*
un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ . .Tìm số hạng tổng quát
dãy số xác định bởi
2n 2 + 3n + 1
lim
.
un và tính giới hạn
un
Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏi
bậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trong
các đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú với
nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viết
cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ
sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đó
những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ôn
thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp.
Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xây
dựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bám
sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản.
Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sát
chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng
nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc
phục.
Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số
hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết.
2


1.2. Mục đích nghiên cứu:
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau

Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của
học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tập
về dãy số một cách logic từ dễ đến khó.
Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,
nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phép
biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số
chánh sự gượng ép máy móc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân. Để qua đó
hình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sử
dụng cấp số cộng và cấp số nhân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạng
tổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp số
nhân.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.1.Cấp số cộng
( un ) là cấp số cộng
⇔ un+1 = un + d với
∀n ∈ ¥ * , trong
* Dãy số
d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
đó
un = u1 + ( n − 1) d .
( un ) là cấp số cộng thì
* Nếu dãy số
* Nếu dãy số

( un )

là cấp số cộng thì tổng
n
Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) .
2

2.1.2.Cấp số nhân
( un ) là cấp số nhân
⇔ un+1 = un .q với
* Dãy số
q là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số

( un )
( un )

là cấp số nhân thì

∀n ∈ ¥ * , trong đó

un = u1.q n−1

q ≠ 1, q ≠ 0 thì tổng
1 − qn
Sn = u1 + u2 + ... + un = u1.
.
1− q
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như
sau:
* Nếu dãy số

là cấp số nhân vơi

3


Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức là
khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại
số và giải tích 11 chương trình cơ bản. Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05
học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp
11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết
5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21.
Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)
1
Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6)
Sơn (6,5)
H.Phương (5,8)
2
Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)
(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)
Với đề kiểm tra như sau:
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u1 = 1
u1 = 2
a) 
b) 
un+1 = un + 2; n ≥ 1.

un+1 = 3un ; n ≥ 1.

(
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
u1 = 2
u = 2
a)  1
b) 
n
un+1 = un + n; n ≥ 1
un+1 = un + 3 ; n ≥ 1 .
bởi:

un ) xác định

( un )

Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
u = 1
a)  1
un+1 = 2un + 5n; n ≥ 1.

xác định bởi:

u1 = 1
b) 
n
un+1 = 2un + (n − 1).3 ; n ≥ 1.

Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)

Điểm
Lớp
Nhóm 1 (số hs)
Nhóm 2 (số hs)

0–3
1
1

3,5 – 5
2
1

5,5 – 7,0 7,5 – 8,5
2
3

0
0

9-10
0
0

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa
và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
u1 = 1

u

(
)
un = un −1 + 2; n ≥ 2
n
Bài 1. Cho dãy số
xác định bởi công thức:
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
4


( un ) là một cấp số cộng có
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra
d = 2 nên số hạng tổng quát là
và công sai
un = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = 2n − 1. Vậy
un = 2n − 1.
Kết luận.
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số
u1 = a

un = un −1 + b; n ≥ 2.
Ta làm như sau
số hạng thứ nhất

(u )
n

u1 = 1

thỏa mãn

un +1 − un = b nên dãy số
( un ) là cấp số cộng với
u1 = a và công sai b nên
un = a + (n − 1)b.

u1 = 4


1
un+1 = 2 un ; n ≥ 1.

( un ) xác định bởi công thức:
Bài 2. Cho dãy số
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
( un ) là một cấp số nhân có
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra

u1 = 4

và công
bội

1
q=
2 nên số hạng tổng quát là
un = 23−n.

n −1

un = u1.q

n −1

1
⇒ un = 4. ÷ = 23−n.
2

Vậy
Kết luận.

( un ) thỏa mãn
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số
u1 = a
.

u
=
bu
;
n
≥
2
 n
n −1
( un ) là cấp số cộng với số hạng thứ nhất
u1 = a và công
Ta thấy dãy số

bội b nên

un = a.b n −1.

Bài 3. Cho dãy số
Tìm số hạng tổng quát
Giải

( u ) có
n

u1 = 2
.

u
=
u
+
n
,
∀
n
≥
2
n −1
 n

un của dãy số.

Theo đề bài suy ra

u1 = 2.
u2 = u1 + 2.
u3 = u2 + 3.
...
5


un = un−1 + n.
n đẳng thức trên theo vế suy ra
Cộng
un = 1 + [ 1 + 2 + 3 + ... + n ] .

n ( n + 1)
.
2
Trong đó
n(n + 1) n 2 + n + 1
un = 1 +
=
.
2
2
Vậy:
1 + 2 + 3 + ... + n =

( un ) xác định bởi công thức:
Bài 4. Cho dãy số
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra

u1 = 1.
u2 = u1 + 31.
u3 = u2 + 32.
...
un +1 = un + 3n.
n đẳng thức trên theo vế suy ra
Cộng
un = 1 − 31 + 31 + 32 + ... + 3n  .
3n − 1
3
un = −2 + 3
= −2 + ( 3n − 1) .
3 −1
2
u n = −2 +

u1 = 1

n
un +1 = un + 3 ; n ≥ 1 .

3 n
( 3 − 1) .
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
( un ) xác định bởi công thức:
Bài 5. Cho dãy số

u1 = 1


n
un+1 = un + 3n − 1 − 2.5 ; n ≥ 1.
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra
u1 = 1.
u2 = u1 + 3.1 − 1 − 2.51.
u3 = u2 + 3.2 − 1 − 2.52.
...
un = un −1 + 3.( n − 1) − 1 − 2.5n−1.
n đẳng thức trên theo vế suy ra
Cộng
un = 1 + 3 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1)  − ( n − 1) − 2 51 + 52 + 53 + ... + 5n −1  .

6


Trong đó
Và tổng

1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) =

( n − 1) n .

A = 51 + 52 + ... + 5n−1 là tổng
a1 = 5 , công bội
có số hạng thứ nhất

2

n − 1 số hạng đầu của cấp số nhân
q =5

1 − q n−1
1 − 5n−1
5 5n
⇒ A = S n −1 = a1
⇒ A = 5.
=− + .
1− q
−4
4 4
n
( n − 1) n − 2  − 5 + 5  = 1 3n 2 − 5n + 9 − 5n .
un = 2 − n + 3
)
 4 4  2(
2


1
un = ( 3n 2 − 5n + 9 − 5n ) .
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài
trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản
thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân
u1 = 2
.


u
=
5
u
+
6;
n
≥
2
u
(
)
n
n
−
1

n xác định bởi công thức:
Bài 6. Cho dãy số
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
un + a = 5 ( un −1 + a ) ⇔ un = 5un −1 + 4a.
Ta xét
3
⇒ 4a = 6 ⇔ a = .
2
Kết hợp với đề bài
3
3


un = 5un −1 + 6 ⇔ un + = 5  un −1 + ÷.
2
2

Vậy

Đặt

vn = un +

3
3 7
⇒ v1 = u1 + =
2
2 2 và

vn = 5vn−1.

7
q = 5.
n
2 , công bội
Suy ra dãy số
7
3 7
3
⇒ vn = v1.q n −1 ⇒ vn = .5n −1 ⇒ un = vn − = .5n−1 − .
2
2 2

2
7
3
un = .5n−1 − .
2
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát
của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:
u1 = α

un+1 = qun + f ( n ) ; n ≥ 1.
f ( n ) là đa thức theo biến số n
α , q là các hằng số đã cho,
Trong đó
q = 1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I
* Nếu

( v ) là cấp số nhân có

v1 =

7


g ( n ) có bậc bằng bậc của
q ≠ 1 ta phải tìm một đa thức
* Nếu
f ( n ) sao cho phương trình
un +1 = qun + f ( n ) ⇔ un+1 + g ( n + 1) = q un + g ( n )  .

Khi đó việc tìm
cấp số nhân

un sẽ trở thành tìm

Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 = 3

2
un = un −1 + 6n − 2n; n ≥ 2.
a)

b)

vn trong đó dãy số

(v )
n

là một

( u ) cho bởi công thức truy hồi
n

u1 = 1

un+1 = 3un + 4n − 2; n ≥ 1.
u1 = 5

2

un+1 = 9un + 8n + 14n + 1; n ≥ 1.

c)
Giải
a) Theo đề bài suy ra
u1 = 3.
u2 = u1 + 6.22 − 2.2.
u3 = u2 + 6.32 − 2.3.
u4 = u3 + 6.42 − 2.4.
…
un = un−1 + 6.n 2 − 2.n.
n đẳng thức trên theo vế ta được
Cộng
un = 3 + 6  22 + 32 + ... + n 2  − 2 [ 2 + 3 + ... + n ] .

⇒ un = 3 + 6 12 + 22 + 32 + ... + n 2  − 2 [ 1 + 2 + 3 + ... + n ] − 4.
⇒ un = −1 + n ( n + 1) ( 2n + 1) − n ( n + 1) = 2n3 + 2n 2 − 1.

un = 2n 3 + 2n 2 − 1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
f ( n ) = 4n − 2. là đa thức bậc nhất ẩn
n nên ta xét
b) Từ đề bài suy ra
un+1 + g ( n + 1) = 3 un + g ( n )  .
g ( n ) = an + b sao cho
đa thức
⇒ un+1 + a ( n + 1) + b = 3[ un + an + b ] .
⇒ un+1 = 3un + 2an + 2b − a.
un +1 = 3un + 4n − 2 nên ta phải có
Mà

 2a = 4
a = 2
2an + 2b − a = 4n − 2 ⇒ 
⇔
2b − a = −2
b = 0.

8


Do đó
Đặt
Suy ra

un+1 + 2 ( n + 1) = 3[ un + 2n ] .
vn = un + 2n ⇒ v1 = u1 + 2 = 3 và
vn +1 = 3vn .
( vn ) là cấp số nhân có
v1 = 3 , công bội

⇒ vn = v1 .q n −1 ⇒ vn = 3.3n −1 = 3n mà

q = 3.

vn = un + 2n ⇒ un = 3n − 2n.

un = 3n − 2n.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
f ( n ) = 8n 2 + 14n + 1 là đa thức bậc hai ẩn
c) Từ đề bài suy ra

n nên ta

2
un +1 + g ( n + 1) = 9 un + g ( n )  .
g
n
=
an
+ bn + c sao cho
(
)
xét đa thức
2
⇒ un+1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 9 un + an 2 + bn + c  .

⇒ un+1 = 9un + 8an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a.
un+1 = 9un + 8n 2 + 14n + 1 nên ta phải có
Mà
8an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n 2 + 14n + 1.

8a = 8

8an 2 + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n 2 + 14n + 1 ⇒ 8b − 2a = 14
8c − b − a = 1.

1
1
⇔ a = 1; b = 2; c =
g ( n ) = n 2 + 2n +

2 suy ra
2
1
1
2

⇒ un +1 + ( n + 1) + 2 ( n + 1) + = 9 un + n 2 + 2n + 
2
2

Do đó
1
7 17
vn = un + n 2 + 2n + ⇒ v1 = u1 + =
vn +1 = 9vn .
2
2 2 và
Đặt
17
v
=
1
( vn ) là cấp số nhân có
q =9
2 , công bội
Suy ra
17
17
⇒ vn = v1.q n−1 ⇒ vn = .9n −1 = .32 n− 2.
2

2
1
1  17
1

vn = un + n 2 + 2n + ⇒ un = vn −  n 2 + 2n + ÷ = .32 n−2 − n 2 − 2n − .
2
2 2
2

Mà
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
17
1
un = .32 n− 2 − n 2 − 2n − .
2
2
Bài tập tương tự:
( un ) cho bởi công thức truy hồi
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
a)

u1 = 1

3
un = un −1 + 4n − 6n; n ≥ 2.

9

b)

u1 = 4

un +1 = 5un − 8n + 3; n ≥ 1.

c)

u1 = 3

2
un+1 = 2un + 3n − 4n − 1; n ≥ 1.

Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số

u1 = 1

n
un = un−1 + ( n − 3) 2 ; n ≥ 2.

( u ) cho bới công thức truy hồi
n

Giải
Cách 1. Theo đề bài suy ra
u1 = 1.
u2 = u1 + ( 2 − 3) .22.

u3 = u2 + ( 3 − 3) .23.
u4 = u3 + ( 4 − 3) .24.

…

un = un−1 + ( n − 3) 2n.
n đẳng thức trên theo vế ta được
Cộng
un = 1 + 2.22 + 3.33 + ... + n.3n − 3  2 2 + 23 + ... + 2 n  .

A = 22 + 23 + ... + 2n là tổng
n − 1 số hạng đầu của một
q = 2.
a1 = 22 = 4 , công bội
cấp số nhân có phần tử thứ nhất
Trong đó tổng

1 − q n −1
1 − 2n −1
⇒ A = a1.
⇒ A = 4.
= 2n +1 − 4.
1− q
−1
2
3
4
B = 2.2 + 3.2 + 4.2 + ... + n.2 n.
Xét
⇒ 2 B = 2.23 + 3.24 + 4.25 + ... + n.2 n +1
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra
B − 2 B = 2.22 + 23 + 24 + ... + 2 n − n.2n +1.

⇒ − B = A + 22 − n.2n+1 = 2n+1 − n.2n +1 ⇒ B = ( n − 1) 2n+1.

⇒ un = 1 + B − 3 A = 1 + ( n − 1) 2 n+1 − 3 ( 2 n+1 − 4 ) = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.

un = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là
g ( n ) = ( an + b ) .2n+1. sao cho
Cách 2. Xét hàm số
un + g ( n ) = un −1 + g ( n − 1) .

⇒ un + ( an + b ) 2n+1 = un−1 +  a ( n − 1) + b  2n.
⇒ un = un−1 +  a ( − n − 1) − b  2 n.
10


Mà

un = un−1 + ( n − 3) 2n nên ta phải có
− a = 1
 a = −1
a ( − n − 1) − b = n − 3 ⇒ 
⇔
−a − b = −3 b = 4

⇒
Do đo
Đặt

g ( n ) = ( −n + 4 ) .2n +1.

un + ( −n + 4 ) 2n+1 = un−1 +  − ( n − 1) + 4  2 n.
vn = un + ( − n + 4 ) 2n+1 ⇒ v1 = u1 + ( −1 + 4 ) 22 = 13 và
vn = vn −1.
( vn ) là cấp số nhân có
q = 1.
v1 = 13 , công bội

Suy ra
⇒ vn = v1.q n−1 ⇒ vn = 13 mà
vn = un + ( − n + 4 ) 2n+1 ⇒ un = 13 + ( n − 4 ) 2n+1.
un = ( n − 4 ) 2n +1 + 13.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

( n ) thỏa mãn
Chú ý: Dãy số
u1 = 1
u1 = 1
⇔


n
n +1
un = un−1 + ( n − 3) 2 ; n ≥ 2 un+1 = un + ( n − 2 ) 2 ; n ≥ 1.
u

Tương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quát
của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:
u1 = α

n

un+1 = qun + f ( n ) .β ; n ≥ 1.
Trong đó
số n

α , q, β là các hằng số đã cho,

f ( n ) là một đa thức theo biến

Kết luận:

g ( n ) có bậc bằng bậc của
q = β = 1 ta sẽ tìm đa thức
* Nếu
f ( n ) cộng với 1 sao cho
un+1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) . Khi đó ta sẽ đưa
về bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
q ≠ 1 , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.
β = 1 và
* Nếu
g ( n ) có bậc bằng bậc của
q ≠ β , ta sẽ tìm đa thức
β ≠1 ,
* Nếu

un+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  .
f ( n ) sao cho
g ( n ) có bậc bằng bậc của
q = β ≠ 1 , ta sẽ tìm đa thức
* Nếu
un+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  .

f ( n ) cộng với 1 sao cho
Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự
tương ứng.
11


( un ) cho bởi công thức truy hồi
Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 = 1

2
un+1 = un + 2n − n; n ≥ 1.
Giải
g ( n)
f ( n ) bằng 2
⇒ q = β = 1 , bậc
⇒ bậc
Theo đề bài
bằng 3
3
2
g
n
=
an
+
bn
+ cn + d sao cho
(
)

Xét
un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) .

⇒ un +1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c ( n + 1) + d = u n + an 3 + bn 2 + cn + d .
3

2

⇒ un +1 = un − 3an 2 − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c )
un+1 = un + 2n 2 − n nên ta phải có
Mà

−3a = 2

−3an 2 − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c ) = 2n 2 − n ⇒ 3a + 2b = 1
a + b + c = 0

2
3
5
2
3
5
⇔ a = − ;b = ;c = −
⇒ g ( n ) = − n3 + n 2 − n.
3
2
6
3
2

6
un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) .
Do đó
Đặt

2 3 5
+ − =1
vn +1 = vn
3 2 6
và
q =1
v1 = 1 , công bội

vn = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = 1 −

( vn ) là cấp số nhân có
Suy ra
⇒ vn = v1.q n−1 = 1

2
3
5
vn = un + g ( n ) ⇒ un = vn − g ( n ) = n 3 − n 2 + n + 1
3
2
6
mà
2
3
5

un = n3 − n 2 + n + 1.
3
2
6
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là
Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.

( un ) cho bởi công thức truy
Bài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi
u1 = 0

2
un +1 = 2un + n − 3n + 1; n ≥ 1.
Giải
f ( n ) bằng 2 suy ra bậc của
⇒ q = 2, β = 1 , bậc của
Theo đề
g ( n ) bằng 2

12


Xét

g ( n ) = an 2 + bn + c sao cho:

un +1 + g ( n + 1) = 2 un + g ( n )  .

⇒ un+1 + a ( n + 1) + bn + c = 2 un + an 2 + bn + c  .

2

⇒ un+1 = 2un + an 2 + ( b − 2a ) n + c − a.

a = 1
a = 1


b − 2a = −3 ⇔ b = −1
c − a = 1
c = 2



un +1 = 2un + n 2 − 3n + 1 nên ta phải có
un +1 + g ( n + 1) = 2 un + g ( n ) 
⇒ g ( n ) = n 2 − n + 2 và
vn = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = 2 và
vn+1 = 2vn
Đặt
( vn ) là cấp số nhân có công bội
q = 2 nên
Do đó
vn = v1.q n −1 = 2.2n −1 = 2n
⇒ un = vn − g ( n ) = 2n − n 2 + n − 2.

Mà

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

un = 2n − n 2 + n − 2.

( un ) cho bởi công thức truy
Bài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi

u1 = 1

2
n

un+1 = un + ( n + 1) 3 ; n ≥ 1.
Giải
f ( n ) bằng 2 suy ra bậc của
⇒ q = 1, β = 3 , bậc của
Theo đề
g ( n ) bằng 2
g ( n ) = an 2 + bn + c sao cho
Xét hàm số
un+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n

2
⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  3n +1 = un +  an 2 + bn + c  3n.


2
⇒ un+1 = un +  −2an + ( −2b − 6a ) n + −2c − 3b − 3a  3n.

Mà

un +1 = un + ( n 2 + 1) 3n

nên ta phải có

−2a = 1
1
3

⇔ a = − ; b = ; c = −2.
−2b − 6a = 0
2
2
−2c − 3b − 3a = 1

1
3
⇒ g ( n ) = − n2 + n − 2
un+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n.
2
2
và
n
1
v
=
u
+
g
n
3

⇒
v
=
u
+
g
1
3
= −2 và
vn +1 = vn
(
)
(
)
n
n
1
1
Đặt
( vn ) là cấp số nhân có công bội
q = 1 nên
vn = v1 = −2
Do đó
13


3
1

⇒ −2 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = −2 − g ( n ) 3n = −2 +  n 2 − n + 2 ÷3n.

2
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
3
1

un = −2 +  n 2 − n + 2 ÷3n.
2
2

( un ) cho bởi công thức truy
Bài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi
u1 = 0

n
un+1 = 2un + ( n + 1) 3 ; n ≥ 1.
Giải

⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc của
Theo đề
g ( n ) là 1
g ( n ) = an + b sao cho
Xét hàm số

f ( n ) là 1 suy ra bậc của

un+1 + g ( n + 1) 3n+1 = 2 un + g ( n ) 3n  .

⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  3n+1 = 2un + 2 ( an + b ) 3n.
⇒ un+1 = 2un + [ − an − b − 3a ] 3n.
−a = 1
a = −1
⇔

−b − 3a = 1 b = 2

un +1 = 2un + ( n + 1) 3n nên ta phải có
⇒ g ( n ) = −n + 2.
vn = un + g ( n ) 3n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 31 = 3 và
vn +1 = 2vn .
Đặt
( vn ) là cấp số nhân có công bội
q = 2 nên
Do đó
vn = v1.q n−1 = 3.2 n−1
⇒ 3.2n −1 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = 3.2n−1 + ( n − 2 ) 3n.
un = 3.2 n−1 + ( n − 2 ) 3n.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Mà

Bài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi
u1 = 3

n
un+1 = 2un + ( n + 5 ) 2 ; n ≥ 1.

( u ) cho bởi công thức truy

n

Giải

f ( n ) là 1 suy ra bậc của
⇒ q = β = 2 , bậc của
2
g
n
=
an
+ bn + c sao cho
(
)
Xét hàm số
un+1 + g ( n + 1) 2n+1 = 2 un + g ( n ) 2n  .
Theo đề

g ( n ) là 2

2
⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  2 n +1 = 2 un + ( an 2 + bn + c ) 2n  .



14


⇒ un+1 = 2un + [ −4an − 2b − 2a ] 2n.
un +1 = 2un + ( n + 5 ) 2n nên ta phải có

Mà
−4a = 1
1
9
1 2 9
⇔ a = − ;b = −

⇒
g
n
=
−
n − n.
(
)
4
4
−2b − 2a = 5
4
4
n +1
n
un +1 + g ( n + 1) 2 = 2 un + g ( n ) 2  .
Và
vn = un + g ( n ) 2n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 21 = −2 và
vn+1 = 2vn .
Đặt

( vn ) là cấp số nhân có công bội
Do đó

vn = v1.q n −1 = −2.2n −1 = −2 n

q = 2 nên

9 
 1
⇒ −2n = un + g ( n ) 2n ⇒ un = −2n −  − n 2 − n ÷2n = −2 n + ( n2 + 9n ) 2 n −2.
4 
 4
un = −2n + ( n 2 + 9n ) 2n−2.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Bài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi
u1 = 1

n
un +1 = 3un + 2n + 1 − ( n − 1) .3 ; n ≥ 1.
Giải
Theo đề
1
Xét

⇒ q = 3, β = 3 , bậc của

( u ) cho bởi công thức truy
n

2n + 1 bằng 1 bậc của

n − 1 bằng

g ( n ) = an + b + n ( cn + d ) 3n sao cho:
un +1 + g ( n + 1) = 3 u n + g ( n )  .

un+1 + a ( n + 1) + b + ( n + 1) c ( n + 1) + d  3n+1 = 3 u n + an + b + n ( cn + d ) 3n  .
⇒ un+1 = 3u n +2an + 2b − a + ( −6cn − 3d − 3c ) 3n.
n
u
=
3
u
+
2
n
+
1
−
n
−
1
.3
(
)
n
+
1
n
Mà
nên ta phải có :

 2a = 2
 2b − a = 1
1
1

⇔ a = 1; b = 1; c = ; d = −

6
2
 −6c = −1
 −3d − 3c = 1
1
1
⇒ g ( n ) = n + 1 + n  n − ÷3n
un +1 + g ( n + 1) = 3 u n + g ( n )  .
2  và
6
vn = u n + g ( n ) ⇒ v1 = u 1 + g ( 1) = 2 và
vn +1 = 3vn .
Đặt
15


( vn ) là cấp số nhân có công bội
q = 3 nên
Do đó
⇒ 2.3n−1 = u n + g ( n ) ⇒ un = 2.3n−1 − g ( n ) .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
1
1

u n = 2.3n −1 − n − 1 − n  n − ÷3n.
2
6

vn = v1q n −1 = 2.3n −1

Bài 15. (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số
xác định bởi
Giải

u1 = 2

n
*
un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ . .Tìm số hạng tổng quát

⇒ q = β = 4 ≠ 1 , bậc của

Theo đề
là 1

f ( n ) là 0 suy ra bậc của

un

g ( n)

g ( n ) = an + b, (a ≠ 0) sao cho
Xét hàm số
un+1 + g ( n + 1) 4n+1 = 4 un + g ( n ) 4n  .

⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  4n+1 = 4 un + ( an + b ) 4n  .
⇒ un+1 = 4un + ( −4a ) 4n.
3
a
=
−
n
un+1 = 4un + 3.4 nên ta phải có
4 và b tùy ý, nên ta chọn
Mà
3
⇒ g ( n ) = − n.
b=0
4
3(n + 1) n+1
3n 

un +1 −
.4 = 4 un − 4 n  .
4
4 

Và
3n
3
vn = un − .4n ⇒ v1 = u1 − .41 = −1
vn +1 = 4vn .
4
4

Đặt
và
( vn ) là cấp số nhân có công bội
q = 4 nên
Do đó
vn = v1.q n−1 = −1.4n −1 = −4n −1

3n
3n
( 3n − 1) 4 .
⇒ −4 = un − .4n ⇒ un = −4n−1 + .4n =
4
4
4
(3n − 1).4n
un =
.
4
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
n

n −1

Bài 16. cho dãy số
un .
.Tìm

(un ) xác định như sau

u1 = 2, u2 = 5


un+ 2 = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 1

16


Giải
Theo đề bài suy ra
un + 2 − 2un+1 = 3(un +1 − 2un ).
vn = un +1 − 2un .
Đặt
⇒ v1 = u2 − 2u1 = 1.
vn +1 = 3vn nên dãy
Và
vn = v1.q n −1 = 3n−1.

(v )
n

là cấp số nhân với công bội

q=3

1
⇒ 3n−1 = un+1 − 2un ⇒ un+1 = 2un + 3n−1 = 2un + .3n.
3
Vậy
f ( n ) là 0 suy ra bậc của
⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc của
Theo đề

g ( n ) là 0

un+1 + g ( n + 1) 3n+1 = 2 un + g ( n ) 3n  .
g
n
=
a
(
)
Xét hàm hằng
sao cho
n +1
⇒ un+1 + a.3 = 2(un + a3n ).
⇒ un+1 = 2un + (−a )3n.
1
1
−1
un+1 = 2un + .3n
−a = ⇔ a =
3 nên ta phải có
3
3
Mà
−1
⇒ g ( n) = .
3
1
1
w n = un − .3n ⇒ w1 = u1 − 31 = 1
w n+1 = 2w n .

3
3
Đặt
và
( w n ) là cấp số nhân có công bội
q = 2 nên
Do đó
w n = w 1.q n −1 = 2n−1
1
⇒ 2n −1 = un − 3n ⇒ un = 2n−1 + 3n−1.
3

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

un = 2n −1 + 3n −1.

( un ) cho bởi công thức truy
Kết luận: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
u1 = a1 , u2 = a2

un + 2 = aun +1 + bun + c; n ≥ 1.
hồi sau:
un + 2 − xun +1 = y (un+1 − xun ) + c
Cách làm như sau: phân tích
⇔ un+ 2 = ( x + y )un +1 − xyun + c

x + y = a
⇒
 xy = −b nên

x, y là hai nghiệm phương trình

X 2 − aX − b = 0.
Giả sử phương trình có hai nghiệm là

α, β .
17


Khi đó
. Đặt

un + 2 − α un +1 = β (un +1 − α un ) + c
vn +1 = u n+1 − α u n thì

vn+1 = β vn ⇒ vn = v1β n−1 ⇒ un+1 = α un + v1β n−1.

(un).
Bài toán này đã được giải quyết ở trên, từ đó tìm được
Bài tập tương tự
( un ) cho bởi công thức truy hồi sau:
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
a)

c)

e)

u1 = 0


2
un = un−1 + n − 2n; n ≥ 2.

u1 = 2

n
un = un −1 + ( n + 1) 3 ; n ≥ 2.

u1 = 10

2
n

un+1 = 3un − ( 2n + 1) 2 ; n ≥ 1.
u1 = 1, u2 = 3

un+ 2 = 3un +1 − 2un ; n ≥ 1.

b)

u1 = 3

un+1 = −2un + 3n + 1; n ≥ 1.

d)

f)

u1 = 1, u2 = 3


un+ 2 = 3un+1 − 2un + 4; n ≥ 1.

Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách
quy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác.
( un ) cho bởi công thức truy
Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi

Giải

u1 = 1

un
u =
; n ≥ 1.
n
+
1

1
+
2
n
+
3
u
(
)
n


Từ giả thiết suy ra
1
= 1.
u
1
Do đó

1 + ( 2n + 3 ) un
1
1
1
=
⇒
= + 2n + 3; n ≥ 1.
un+1
un
un +1 un

1 1
= + 2.1 + 3.
u2 u1
1 1
= + 2.2 + 3.
u3 u 2
1 1
= + 2.3 + 3.
u4 u3
…
18

1
1
=
+ 2.( n − 1) + 3.
un un−1
n đẳng thức trên ta được
Cộng theo vế
1
= 1 + 2 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1)  + 3 ( n − 1) .
un
1
1
⇒ = 1 + ( n − 1) n + 3 ( n − 1) = n 2 + 2n − 2 ⇒ un = 2
.
un
n + 2n − 2
1
un = 2
.
n
+
2
n
−
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi

u1 = −1

2un
u =
; n ≥ 1.
n
+
1

1
+
3
n
+
5
u
(
)
n

Giải

n

1 + ( 3n + 5 ) un
1
1
1
3
5

=
⇒
=
+ n + ; n ≥ 1.
un+1
2un
un+1 2un 2
2

Theo đề bài suy ra
1
1
vn = ⇒ v1 =
= −1.
u
−
1
n
Đặt
và
Xét

( u ) cho bới công thức truy

1
3
5
vn+1 = vn + n + ; n ≥ 1.
2
2

2
1
vn +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  .
2

g ( n ) = an + b sao cho
1
⇒ vn+1 + a ( n + 1) + b = [ vn + an + b ] .
2
1
1
1
⇒ vn+1 = vn − an − a − b.
2
2
2

3
 1
−
a
=
 2
a = −3
2
⇔
.

1
5

b
=
1
1
3
5

−a − b =
vn+1 = vn + n +

2
2
2
2
2 nên ta phải có
Mà
1
v
+
g
n
+
1
=
 vn + g ( n )  .
(
)
n
+
1

⇒ g ( n ) = −3n + 1 và
2
1
x
=
xn .
n
+
1
x
=
v
+
g
n
⇒
x
=
v
+
g
1
=
−
3
( ) 1 1 ( )
n
n
2
Đặt

và
1
q
=
( xn ) là cấp số nhân có công bội
2 nên
Do đó
n −1
1− n
xn = x1.q = −3.2 .
19


⇒ vn = xn − g ( n ) = −3.21−n + 3n − 1 ⇒ un =

1
.
−3.2 + 3n − 1
1− n

1
.
−
3.2
+
3
n
−
1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng
tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:
u1 = α

aun
u =
; n ≥ 1.
 n+1 b +  f ( n ) + g ( n ) .β n  u
n



f ( n ) và
a, b,α , β là các số thực cho trước,
α ≠0;
Trong đó
un =

g ( n ) là các đa thức theo biến số tự nhiên

a)

n.

( u ) cho bởi công thức truy

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi:
u1 = 2


un

un+1 = 1 + 2n.u ; n ≥ 1.
n


1− n

n

b)

u1 = 1

un−1
u =
; n ≥ 2.
 n 1 + ( n 2 − n + 3n ) u
n −1


c)

u1 = 5

3un
u =
; n ≥ 1.
n +1
2


2
+
n
−
2
n
+
3
u
(
)
n


e)

u1 = 2

un −1
u =
; n ≥ 2.
n
n

3
+
2
n
−

1
.3
.
u
(
)
n
−
1


d)

Bài 19. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số
hồi
u1 = −1

2un
u =
; n ≥ 1.
n
+
1

1
+
3
n
+
5

u
(
)
n

Giải

u1 = 1

un
u =
; n ≥ 1.
n
+
1

3 + ( n + 1) 2n.un


( u ) cho bởi công thức truy
n

20


1 + ( 3n + 5 ) un
1
1
1
3

5
=
⇒
=
+ n + ; n ≥ 1.
un+1
2un
un+1 2un 2
2

Theo đề bài suy ra
1
1
vn = ⇒ v1 =
= −1.
u
−
1
n
Đặt
và

Xét

g ( n ) = an + b sao cho

1
3
5
vn+1 = vn + n + ; n ≥ 1.

2
2
2
1
vn +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  .
2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số
bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận
toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đã học
song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa được học, sau
đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùng làm bài
kiểm tra 45 phút . Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quá trình triển
khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việc triển khai
đề tài.
Nội dung đề kiểm tra
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u1 = 2
u1 = 3
a) 
b) 
un +1 = un + 1; n ≥ 1.
un+1 = 2un ; n ≥ 1.

( n ) xác định
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
u1 = 3
u1 = 3

a) 
b) 
n
un +1 = un + 2n; n ≥ 1
un+1 = un + 2 ; n ≥ 1 .
bởi:
u

Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
u = 2
a)  1
un+1 = 3un + 4n; n ≥ 1

( un )

xác định bởi:

u1 = 1
b) 
n
un+1 = 3un + ( n + 1).2 ; n ≥ 1

Nhóm thực nghiệm: Nhóm 1 (05 học sinh)
Nhóm đối chứng: Nhóm 2 (05 học sinh)
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
Điểm
0–3
3,5 – 5
5,5 – 7,0 7,5 – 8,5
9-10

Lớp
Nhóm 1 (số hs)
0
1
1
2
1
Nhóm 2 (số hs)
1
1
3
0
0
21


Căn cứ vào kết quả kiểm tra và đối chiếu so sánh kết quả làm bài của
nhóm thực nghiệm và nhóm còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy
với các nội dung đã trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh ở nhóm 1
giải quyết được vấn đề đặt ra trong đề kiểm tra, đồng thời các học sinh nhóm 1
tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khá
trở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướng
dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh
đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy
số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiết
đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một

số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấm
sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trong
ngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trường
THPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
của giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến này
được, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo. Bên cạnh đó
tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi
dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường để
các đồng nghiệp và học sinh tham khảo.
3.3. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

T
T

1
2

Tên đề tài SKKN

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và
phát triển một bài toán.
Hướng dẫn học sinh THPT

Cấp đánh

giá xếp loại
(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết
quả
đánh
giá xếp
loại
(A, B,
hoặc C)

Ngành GD

C

2006-2007

Ngành GD

C

2012-2013

Năm
học
đánh
giá

xếp
loại

22


Thường Xuân 2 sử dụng máy
tính Casio FX-570ES trong
giải toán.
Hướng dẫn học sinh THPT sử
dụng đường thẳng và đường
3

tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ

Ngành GD

C

2015-2016

phương trình và hệ bất
phương trình đại số.

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm
này do tôi tự viết chứ không phải đi sao

chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
Tác giả

Đỗ Văn Hào

23