TS247 DT thi online bai toan tim diem co loi giai chi tiet 14724 1510818821

ĐỀ THI ONLINE
BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN OXYZ – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. Mục tiêu đề thi
Đề thi giúp cho học sinh củng cố kiến thức: sử dụng các quan hệ trong không gian: hai đoạn thẳng vuông góc,
hai đoạn thẳng bằng nhau, hai vecto bằng nhau… để biểu diễn các mối quan hệ theo giả thiết. Từ đó, tìm được
điểm trong không gian thỏa mãn yêu cầu bài toán.
II. Nội dung đề thi
Nhận biết
6

Thông hiểu
6

Vận dụng
6

Vận dụng cao
2

Phần 1: Nhận biết
Câu 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(1;3;1) . Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM
vuông tại M .
A. M (0;1;0) hoặc M (0;4;0)

B. M (0; 2;0) hoặc M (0;3;0)

C. M (0; 1;0) hoặc M (0; 4;0)

D. M (0; 2;0) hoặc M (0; 3;0)

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(3; 4;0) ; B(1;1;3) và C (3;1;0) . Tìm tọa độ

điểm D trên trục hoành sao cho AD  BC .
A. D(2;0;0) hoặc D(4;0;0)

B. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0)

C. D(6;0;0) hoặc D(12;0;0)

D. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0)

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(3;1;0) , B(1; 1;0) . Gọi M là điểm trên trục
tung và cách đều hai điểm A và B thì:
A. M (2;0;0)

B. M (0; 2;0)

C. M (0;2;0)

D. M (0;0; 2)

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm điểm M trên trục tọa độ Ox cách đều hai điểm A(1; 2; 1)
và B(2;1; 2) .
A. M (1;0;0)

B. M (2;0;0)

1

C. M  ;0;0 
2


3

D. M  ;0;0 
2


Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1), B(1; 1;0) và C (3;1; 1) . Tìm tọa độ điểm

M thuộc  Oxy  và cách đều các điểm A, B, C .
 7 
A. M  0; ; 2 
 4 

 7 
B. M  2; ;0 
 4 

7 

C. M  2;  ;0 
4 


7 

D. M  2;  ;0 
4 


Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1), B(1; 1;0) và C (3;1; 1) . Tìm tọa độ điểm

M thuộc  Oxz  và cách đều các điểm A, B, C .
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 7 5 
A. M  ;0; 
6
 6

5 7
B. M  ;0; 
6 6

 5 7
C. M  0; ;  
 6 6

7
5
D. M  ;0;  
6
6

Phần II: Thông hiểu
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 4; 2) , B(1; 2; 4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc
trục Oz sao cho : MA2  MB2  32 .
A. M (0;0;1) hoặc M (0;0;5)

B. M (0;0; 1) hoặc M (0;0;5)

C. M (0;0; 1) hoặc M (0;0;6)

D. M (0;0;1) hoặc M (0;0; 5)

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2;0;1) . Tìm tọa độ điểm M nằm
trên trục Ox sao cho : MA2  MB2 đạt giá trị bé nhất.
A. M (0;1;0)

B. M (1;0;0)

C. M (0;1;2)

D. M (1;0;0)

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2;0;1) . Tìm tọa độ điểm M thuộc
trong mặt phẳng  Oyz  sao cho : MA2  MB2 đạt giá trị bé nhất.
A. M (0;1;0)

B. M (0;2;1)

C. M (0;1;2)

D. M (0; 1;1)

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2;0;1) . Tìm tọa độ điểm M trong
không gian sao cho : MA2  MB2 đạt giá trị bé nhất.
A. M (0;1;0)

B. M (0;2;1)

C. M (0;1;2)

D. M (1;1;0)

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  2; 1;3 , C  3;5;1 . Tìm tọa
độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. D  2;8; 3

B. D  4;8; 5

C. D  2; 2;5

D. D  4;8; 3

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A 1;0;1 , B  2;1; 2  ,

D 1; 1;1 và C(4;5; 5) . Tìm tọa độ đỉnh C của hộp.
A. C (2;2;0)

B. C (2;0; 2)

C. C (2;0; 2)

D. C (0;2;2)

Phần III: Vận dụng
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(0; 2; 1) và B(1; 1; 2) . Tọa độ điểm M
thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA  2MB là:

1 3 1
A. M  ;  ; 
2 2 2

B. M (2;0;5)

2 4 
C. M  ;  ;1
3 3 

D. M (1; 3; 4)

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;0;0  , C  0; 4;0  . Biết điểm B(a; b; c) là
điểm sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Tính giá trị của biểu thức P  a  4b  c .
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


A. 14

C. 14

B. 12

D. 12

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1; 2; 1 , B  2;3; 2  , C 1;0;1 .
Trong các điểm M (4;3; 2), N (1; 2;3) và P(2;1;0) , điểm nào là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là
A, B, C .
A. Cả điểm M và N

B. Chỉ có điểm M

C. Chỉ có điểm N

D. Chỉ có điểm P

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm điểm M trên trục tọa độ Oy cách đều hai mặt phẳng có
phương trình x  2 y  2 z  1  0 và 2 x  y  2 z  1  0 .
A. M (0; 1;0)

B. M (0;1;0)

 1 
C. M  0; ;0 
 2 

D. M  O(0;0;0) hoặc M (0; 2;0)

1
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B( ;0;1) và C (2;0;1) . Tọa độ chân
4
đường phân giác trong góc A của tam giác ABC là

A. (1;0;1)

B. (1;0;1)

C. (1;1;1)

D. (1;0; 1)

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;0;0) , B(0;1;0) và C (0;0;1) thì
tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là:

1 1 1
A.  ; ; 
2 2 2

1 1 1
C.  ; ; 
3 3 3

B.  0;0;0

D. 1;1;1

Phần IV: Vận dụng cao
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A 1;0;1 , B  2;1; 2  ,

D 1; 1;1 và C(4;5; 5) . Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:
A. V  9

B. V  7

C. V  10

D. V  13

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2; 1;1) , B(3;0; 1) , C (2; 1;3) và

D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D , biết thể tích tứ diện bằng 5 .
A. 6

B. 2

D. 4

C. 7
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1A

2D

3C

4D

5C

6D

7A

8B

9A

10D

11D

12B

13C

14C

15D

16D

17A

18C

19A

20A

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vec tơ:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )
- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vec tơ AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có: AB.CD  a1b1  a 2 b2  a 3b3
Cách làm:

M nằm trên trục tung, giả sử M (0; m;0) . Ta có
MA  (1;2  m; 1) và MB  (1;3  m;1)
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có MA.MB  0

m  1
 1.(1)  (2  m)(3  m)  (1).1  0  m2  5m  4  0  
m  4
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc Ox,Oy,Oz
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhầm lẫn công thức tích vô hướng với tích có hướng.
Câu 2.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

D nằm trên trục hoành, giả sử D(d ;0;0) . Vì AD  BC nên ta có:

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 (d  3) 2  42  02  (3  1) 2  (1  1) 2  (0  3) 2
 (d  3) 2  16  16  9
 (d  3) 2  16  25
 d 2  6d  9  16  25

d  0
 d 2  6d  0  
d  6
Vậy D(0;0;0) hoặc D(6;0;0) .
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc Ox,Oy,Oz
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 3.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M nằm trên trục tung, giả sử M (0; m;0) .
Vì M cách đều hai điểm A và B nên ta có MA  MB .

 32  (1  m) 2  02  12  (1  m) 2  0 2
 9  (1  m) 2  1  (1  m) 2
 9  (1  m) 2  1  (1  m) 2
 9  m 2  2m  1  1  m 2  2m  1
 4m  8
m2
Vậy M (0;2;0)
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc Ox,Oy,Oz
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 4.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M nằm trên trục Ox , giả sử M (m;0;0) .
Vì M cách đều hai điểm A và B nên ta có MA  MB .

 (m  1) 2  (0  2) 2  (0  1) 2  ( m  2) 2  (0  1) 2  (0  2) 2
 (m  1) 2  4  1  ( m  2) 2  1  4
 (m  1) 2  5  (m  2) 2  5
 (m  1) 2  ( m  2) 2
 m 1  2  m
3
m
2

3

Vậy M  ;0;0 
2

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc Ox,Oy,Oz
- Tính sai tọa độ các véc tơ.

- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 5.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M thuộc mặt phẳng  Oxy  , giả sử M (m; n;0) .
Ta có
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


MA  (m  1) 2  (n  1) 2  (0  1) 2  (m  1) 2  ( n  1) 2  1
MB  (m  1) 2  (n  1) 2  (0  0) 2  (m  1) 2  ( n  1) 2
MC  (m  3) 2  (n  1) 2  (0  1) 2  ( m  3) 2  ( n  1) 2  1

Vì M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA  MB  MC .

MA2  MB 2
 MA  MB


 2
2

 MA  MC
 MA  MC
(m  1) 2  (n  1) 2  1  (m  1) 2  ( n  1) 2

2

2
2
2
(m  1)  (n  1)  1  (m  3)  ( n  1)  1
 4m  4n  1

 4m  8
m  2


7
n   4

7 

Vậy M  2;  ;0 
4 

Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc  Oxy  ,  Oyz  , Ozx 
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 6.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M thuộc mặt phẳng  Oxz  , giả sử M (m;0; n) .

Ta có

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


MA  (m  1) 2  (0  1) 2  (n  1) 2  (m  1) 2  ( n  1) 2  1
MB  (m  1) 2  (0  1) 2  (n  0) 2  (m  1) 2  n 2  1
MC  (m  3) 2  (0  1) 2  (n  1) 2  ( m  3) 2  ( n  1) 2  1

Vì M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA  MB  MC .

MA2  MB 2
 MA  MB


 2
2

 MA  MC
 MA  MC
(m  1) 2  (n  1) 2  1  (m  1) 2  n 2  1

2
2
2
2
(m  1)  (n  1)  1  (m  3)  ( n  1)  1
4m  2n  1  0

 4m  4n  8  0

5

m  6

n  7

6

7
5
Vậy M  ;0;  
6
6
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc  Oxy  ,  Oyz  , Ozx 
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 7.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M nằm trên trục Oz , giả sử M (0;0; m) .
Ta có

MA  (0  1) 2  (0  4) 2  (m  2) 2  (m  2) 2  17
MB  (0  1) 2  (0  2) 2  (m  4) 2  (m  4) 2  5
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Theo giả thiết MA2  MB2  32 suy ra ta có
(m  2) 2  17  (m  4) 2  5  32
 (m  2) 2  (m  4) 2  10
 2m 2  12m  20  10
 2m 2  12m  10  0
m  1

m  5

Vậy M (0;0;1) hoặc M (0;0;5)
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc  Oxy  ,  Oyz  , Ozx 
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 8.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M nằm trên trục Ox , giả sử M (m;0;0) .
Ta có

MA  (m  0) 2  (0  2) 2  (0  1) 2  m2  5
MB  (m  2)2  (0  0) 2  (0  1) 2  (m  2) 2  1
Suy ra
MA2  MB2  m2  5  (m  2)2  1  2m2  4m  10  2(m2  2m  1)  8  2(m  1)2  8  8

min(MA2  MB2 )  8  m  1  0  m  1 .

Vậy M (1;0;0)
Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc Ox,Oy,Oz
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 9.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:

M thuộc trong mặt phẳng  Oyz  , giả sử M (0; m; n) .
Ta có:

MA  (0  0) 2  (m  2) 2  (n  1) 2  (m  2) 2  (n  1) 2
MB  (0  2) 2  (m  0) 2  (n  1) 2  m2  (n  1) 2  4
Suy ra
MA2  MB 2  (m  2) 2  (n  1) 2  m2  (n  1) 2  4
 2m2  4m  2n 2  10  2(m2  2m  1)  2n 2  8
 2(m  1) 2  2n 2  8  8
m  1  0
m  1
.
 min  MA2  MB 2   8  


n  0
n  0

Vậy M (0;1;0)
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ các điểm thuộc  Oxy  ,  Oyz  , Ozx 
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 10.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  AB  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 )2
Cách làm:
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giả sử M (a; b; c) ta có:

MA  (a  0)2  (b  2)2  (c  1) 2  a 2  (b  2) 2  (c  1) 2
MB  (a  2)2  (b  0)2  (c  1) 2  (a  2) 2  b 2  (c  1) 2
Suy ra
MA2  MB 2  a 2  (b  2) 2  (c  1) 2  (a  2) 2  b 2  (c  1) 2
 2a 2  4a  2b 2  4b  2c 2  10
 2(a 2  2a  1)  2(b 2  2b  1)  2c 2  6
 2(a  1) 2  2(b  1) 2  2c 2  6  6

a  1  0
a  1



 min  MA  MB   6  b  1  0  b  1 .
c  0
c  0


2

2

Vậy M (1;1;0)
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhớ sai công thức tính khoảng cách.
Câu 11.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  CD  a2  b2
a  b
 3 3
Cách làm:

ABCD là hình bình hành. Khi đó ta có AD  BC
Giả sử D( x; y; z ) . Ta có:

\

 x  1  5  x  4


AD  BC   y  2  6   y  8  D(4;8; 3)
 z  1  2
 z  3


11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ bằng nhau.
Câu 12.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  CD  a2  b2
a  b
 3 3
Cách làm:

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp. Suy ra ABCD là hình bình hành. Khi đó ta có AD  BC

Giả sử C ( x; y; z ) . Ta có:

BC  ( x  2; y  1; z  2)
AD  (0; 1;0)
x  2  0
x  2


AD  BC   y  1  1   y  0  C (2;0; 2)
z  2  0
z  2


Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ bằng nhau.
Câu 13.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  k .b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  k .CD  a2  k .b2
a  k .b
3
 3
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Cách làm:

M thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA  2MB tức là ta có AM 

2
AB
3

Giả sử M (a; b; c) , ta có:

AM  (a; b  2; c  1)
AB  (1;1;3)
2
2


a  3 .1
a  3


2
2
4


2 4 
Do đó: AM  AB  b  2  .1  b    M  ;  ;1
3
3

3
3 3 


2

c  1
c  1  3 .3




Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ cùng phương, cùng hướng.
Câu 14.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  CD  a2  b2
a  b
 3 3
Cách làm:
Dễ thấy OA.OC  2.0 0.4 0.0 0 nên OA  OC .
Do đó để OABC là hình chữ nhật thì OA  CB
Ta có:

CB  (a; b  4; c)
OA  (2;0;0)

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a  2
a  2


OA  CB  b  4  0  b  4
c  0
c  0


Suy ra P  a  4b  c  2  4.4  0  14
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ bằng nhau.
Câu 15.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  CD  a2  b2
a  b

 3 3
Cách làm:
Giả sử D( x; y; z ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C .

 AD  BC

Khi đó ta có  DA  BC

 AB  CD
Ta có:

BC  (1; 3;3), AB  (1;1; 1)
AD  ( x  1; y  2; z  1)
DA  (1  x; 2  y; 1  z )
CD  ( x  1; y; z  1)

 x  1  1
x  0


TH1: AD  BC   y  2  3   y  1  D(0; 1; 2)
z 1  3
z  2



14 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 x  1  1

x  2


TH2: DA  BC   y  2  3   y  5  D(2;5; 4)
 z  1  3
 z  4


x 1  1
x  2


  y  1  D(2;1;0)  D  P
TH3: AB  CD   y  1
 z  1  1  z  0


Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ bằng nhau.
- Chưa tìm được điều kiện để một tứ giác là hình bình hành.
Câu 16.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng  P  có phương trình
ax  by  cz  d  0 là:

d ( M , ( P)) 

|ax 0  by0  cz0  d |

a 2  b2  c 2

Cách làm:

M nằm trên trục tung, giả sử M (0; m;0) . Ta có
Vì M cách đều hai mặt phẳng có phương trình x  2 y  2 z  1  0 và 2 x  y  2 z  1  0 nên ta có:

0  2m  2.0  1
1  2  (2)
2

2

2



2.0  m  2.0  1
22  12  22

 2m  1  m  1
 2m  1  m  1

 2m  1   m  1
 m  2

3m  0
 m  2

m  0

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
15 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


- Nhầm lẫn tọa độ điểm thuộc các trục tọa độ.
- Áp dụng sai công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Câu 17.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  k .b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  k .CD  a2  k .b2
a  k .b
3
 3
- D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Khi đó, ta có: BD 

AB
.DC
AC

Cách làm:
Giả sử D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
Ta có:

15
9


AB   ; 3;0   AB 
4
4

AC   4; 3;0   AC  5
1


BD   x  ; y; z  1
4


DC   2  x;  y;  z  1
 1 3
 x  4  4 .(2  x)
x  1

AB
3
3


Ta có BD 
.DC  BD  .DC   y  ( y )
  y  0  D(1;0;1)
AC
4
4


z  1

3

z

1

(1

z
)

4


Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Chưa nắm được tính chất đường phân giác trong của tam giác.
Câu 18.
Phương pháp:
16 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 AH .BC  0

H là trực tâm của tam giác ABC khi:  BH . AC  0

  AB, AC  . AH  0

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )
- Sử dụng công thức tính vô hướng
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có: AB.CD  a1b1  a2b2  a3b3
- Sử dụng công thức tính tích có hướng:
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có:

 AB, CD    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 


Cách làm:
Giả sử H ( x; y; z ) ta có:
AB   1;1;0  , AC   1;0;1 , BC   0; 1;1
AH   x  1; y; z  , BH   x; y  1; z 
  AB, AC   1;1;1
 AH .BC  0
 y  z  0

1


H là trực tâm của tam giác ABC khi ta có  BH . AC  0
  x  z  0  x  y  z 
3

x  y  z  1




AB
,
AC
.
AH

0




Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Chưa phát hiện được điều kiện để một điểm là trực tâm của tam giác.
Học sinh thường bỏ quên điều kiệ để bốn điểm A, B,C, H đồng phẳng.
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhầm lẫn công thức tích vô hướng với tích có hướng.
Câu 19.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
17 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )

a1  b1

- Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) . Khi đó: AB  CD  a2  b2
a  b
 3 3

- Sử dụng công thức tính vô hướng
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có: AB.CD  a1b1  a2b2  a3b3
- Sử dụng công thức tính tích có hướng:
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có:

 AB, CD    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 


- Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp
VABCD. A' B 'C ' D   AB, AD  . AA '

Cách làm:
Ta có AB  (1;1;1), AD  (0; 1;0)

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp  ABCD là hình bình hành. Khi đó ta có AD  BC
Giả sử C ( x; y; z ) . Ta có: BC  ( x  2; y  1; z  2)

x  2  0
x  2


AD  BC   y  1  1   y  0  C (2;0; 2)
z  2  0
z  2


Ta có AA '  CC '   2;5; 7  ,  AB, AD  =(1;0; 1)
Theo công thức tính thể tích ta có
VABCD. A' B 'C ' D   AB, AD  . AA '  1.2  0.5   1 .  7   9

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ
- Nhầm lẫn hai công thức tích có hướng và vô hướng.
- Áp dụng sai điều kiện để hai véc tơ bằng nhau.
- Nhớ sai công thức tính thể tích khối hộp.
18 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 20.
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:
Cho hai điểm A(a1; a2 ; a3 ) và B(b1; b2 ; b3 ) ta có: AB  (b1  a1; b2  a2 ; b3  a3 )
- Sử dụng công thức tính vô hướng
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có: AB.CD  a1b1  a2b2  a3b3
- Sử dụng công thức tính tích có hướng:
Cho hai vecto AB  (a1; a2 ; a3 ) và CD  (b1; b2 ; b3 ) ta có:

 AB, CD    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 


- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện
1
VABCD  .  AB, AC  . AD
6

Cách làm:
Giả sử D  0; y;0   Oy ta có:

AB  (1;1; 2), AC  (0;0;2), AD  (2; y  1; 1)

Ta có  AB, AC    2; 2;0 
Theo công thức tính thể tích ta có
1
1
1
VABCD  .  AB, AC  . AD   2.(2)  2.( y  1)  0.(1)   6  2 y
6
6
6

Theo giả thiết ta có VABCD  5 , suy ra ta có:

 2 y  6  30
 y  12
1
6  2 y  5  6  2 y  30  

6
 2 y  6  30
 y  18
Suy ra D(0;12;0) hoặc D(0; 18;0)
Do đó tổng tung độ của các điểm D là 12  (18)  6
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai tọa độ các véc tơ.
- Nhầm lẫn các công thức tính tích có hướng và vô hướng. Nhớ sai công thức tính thể tích tứ diện.
19 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!