L11 LƯƠNG THẾ VINH hà nội học kỳ II năm học 2017 2018 kho tai lieu THCS THPT

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH

ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: Toán 11
Thời gian làm bài: 90 phút
(50 câu trắc nghiệm)
---------- ξ Ϟ ξ ---------

Mã đề thi
132

Họ, tên thí sinh:.....................................................................
Do các thầy cô tranh thủ nên đã có sản phẩm hơn dư định (sáng mai 30/4/2018 mới có), xin cảm
ơn các thầy cô nhiều. Chúc các thầy cô có những ngày nghỉ lễ thật vui, thật ý nghĩa.
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng.

A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có một cực trị.

B. Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị.

C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại

D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( 0;2 ) .

x = 2.
Lời giải

Chọn A.

Theo hình vẽ: f ' ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt là
Ta có bảng biến thiên:

x = − 1 và x = 2 (nghiệm kép)

Theo BBT thì hàm số có 1 cực trị.
Câu 2:

Giới hạn
A.

0.

lim n

(

n+ 4 − n+3
B.

) bằng
7
C. 2 .

+∞ .
Lời giải

Chọn D.

1

D. 2 .


lim n

Câu 3:

(

)

n + 4 − n + 3 = lim n

1
= lim
n+4 + n+3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
A.

0.

B.

− 1.

1
1+

4

3
+ 1+
n
n

=

1
2
.

y = − x 3 + x 2 − 3x + 4 tại điểm M ( 1;1) là
C. − 4 .
D. − 2 .

Lời giải
Chọn C.
Ta có y = − x + x − 3 x + 4 ⇒ y ' = − 3 x + 2 x − 3 ⇒ y ' ( 1) = − 4 .
3

Câu 4:

2

2

ABCD . Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC

Cho tứ diện đều
là

A. Hình thang.

B. Tam giác vuông.

C. Hình bình hành.

D. Tam giác cân.

Lời giải
Chọn D.

Xét tứ diện đều
Ta có

ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC .

AB = AC; MB = MC; DB = DC nên ( AMD ) là mặt phẳng trung trực của BC đồng

thời thiết diện của tứ diện

∆AMD có
Câu 5:

AM = MD =

ABCD và ( AMD ) là ∆AMD .

a 3
< AD = a
và AM 2 + MD 2 > AD 2 nên ∆AMD cân tại M .

2

Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ... ( x − 2018 ) . Tính f ′ ( 1) .
A.

− 2017! .

B.

0.

C.

2017! .

D.

2018 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có

D = ¡ và f ( 1) = 0

Xét giới hạn:

lim
x →1

f ( x ) − f ( 1)
x −1

= lim
x →1

x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ... ( x − 2018 )
x −1

= lim  x ( x − 2 ) ( x − 3) ... ( x − 2018 )  = 1. ( − 1) . ( − 2 ) . ( − 3) ... ( − 2017 )
= − 2017! .
x→1


Câu 6:

Cho lăng trụ đều

ABC. A′ B′C ′ có AA′ = a , khoảng cách giữa hai đường thẳng A′ B và CC ′

bằng a 3 . Diện tích tam giác
A. a

2

ABC bằng

3a 2 3
B.
4 .

3.

a2 3
C. 4 .

D. 2a

2

3.

Lời giải
Chọn A.

Gọi

H là trung điểm của A′ B′ . Ta có C ′H ⊥ A′ B′ và C ′H ⊥ AA′ nên C ′H ⊥ ( ABB′A′ ) .

′ ′
′ ′
′ ′
 ′
 ′
Vì CC ′ / / ( ABB′A′ ) ⇒ d ( CC ; A B ) = d  CC ; ( ABB A )  = d  C ; ( ABB A )  = C ′H = a 3 .

∆A′ B′C ′ đều có trung tuyến C ′H = a 3 nên
⇒ S ∆A′B′C ′ = A ' B′2 .

Câu 7:

A ' B′ = C ′H :

3
= 2a
2

3
= a2 3 ⇒ S
2
3.
∆ ABC = a
4

Đạo hàm của hàm số y = 4sin 2 x + 7 cos3x + 9 là
A. 8cos 2 x − 21sin 3 x + 9 .
C.

B. 8cos 2 x − 21sin 3 x .

4cos 2 x − 7sin 3x .

D.

4cos 2 x + 7sin 3x .

Lời giải
Chọn B.
Ta có: y′ = 8cos2x − 21sin3x .

Câu 8:

 x+ 3− 2

nÕu x>1
f ( x) =  x − 1
 ax + 2
nÕu x ≤ 1 . Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là

Cho hàm số

1
A. 2 .

B. 1 .

C.
Lời giải

Chọn C.
Tập xác định của hàm số f ( x) : ¡

−

7
4.

D.

0.

f ( 1) = a + 2
lim+ f ( x) = lim+

x→1

x→1

x+ 3− 2
= lim+
x→1
x− 1

(

1

1
x+ 3+ 2 4

)

lim f ( x) = lim− ( ax + 2) = a + 2

x→ 1−

x→ 1

Hàm số đã cho liên tục tại

⇒

Câu 9:

x − 1⇒ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( 1)
x→ 1

x→ 1

1
7
= a+ 2 ⇔ a = −
4
4.

1
y = − x3 − mx2 + ( 2m− 3) x + 2018
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
3
nghịch biến trên
A. m ≤ 1 .

¡ .
B. − 3 ≤ m ≤ 1 .

C. − 3 < m < 1 .

m ≥ 1


D.  m ≤ 3 .

Lời giải
Chọn D.
Tập xác định của hàm số f ( x) : ¡

y′ = − x2 − 2mx + 2m− 3 . Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ ⇒ y′ ≤ 0,∀ x∈ ¡
 −1 < 0
⇒
⇒ m2 − 2m− 3 ≤ 0 ⇔ m∈ [ −1;3]
′
∆ ≤ 0
.

Câu 10. Cho các số thực
A.

2.

a , b , c > 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
10
B. 3 .

T=

5
C. 2 .
Lời giải

Chọn B.

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
3
3
1 a+b+c
a+b+c
abc
abc  8 a + b + c
T= 3
+
=  . 3
+
÷+ .
a+b+c 9
a + b + c ÷ 9 3 abc
abc
abc

≥2

1 a + b + c 3 abc
8
2 8 10
. 3
.
+ .3 = + =
9
3 3 3 .
abc a + b + c 9

Dấu

" = " xảy ra ⇔ a = b = c .

3
a+b+c
abc
+
3
a + b + c là
abc

D.

3.


Câu 11. Tìm mệnh đề sai? Trong không gian
A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng thì đường thẳng
đó vuông góc với mặt phẳng.
B. Hai mặt phẳng cắt nhau và vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song
song với nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó
song song với nhau.
Lời giải
Chọn D.

 d ⊥ AB


Xét ∆ ABC nhọn và trục d của ∆ ABC thì  d ⊥ AC nhưng AB không vuông góc AC .
Câu 12. Biết đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 có hai điểm cực trị là
3

A và B . Phương trình đường thẳng

AB là
A.

y = − 2x + 1 .

B.

y = 2x − 1.

C.

y = x − 2.

D.

y = −x+ 2.

Lời giải
Chọn A.

 x = −1 ⇒ y = 3
y′ = 0 ⇔ 
y′ = 3 x − 3 ;
 x = 1 ⇒ y = −1 .

2

Đường thẳng ( AB ) qua A ( − 1;3) và B ( 1; − 1) có phương trình là

Câu 13: Biết rằng

lim

x → −∞

(

)

2 x 2 − 3x + 1 + x 2 =

a
a
2 a; b∈ ¢,
b ,(
b tối giản) . Tổng a + b có giá trị là

B. 5 .

A. 1 .

y = −2x + 1.

C.

4.

D. 7 .

Lời giải
Chọn D.

lim

x →−∞

(

)

2 x − 3 x + 1 + x 2 = lim
2

x →−∞

2 x 2 − 3x + 1 − 2 x 2
2 x 2 − 3x + 1 − x 2

1

1
x  −3 + ÷
−3 +
x


x
= lim
= lim
x →−∞ 
x →−∞

3 1
3 1
− 2− + 2 − 2 = 3 2
x − 2 − + 2 − 2 ÷
x x
x x


4
Vậy

a = 3; b= 4⇒ a+b= 7.

S . ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC . Biết rằng SG = AB = a . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và GC bằng

Câu 14: Hình chóp


a 5
A. 5 .

a
C. 2 .

a 3
B. 3 .

D. a .

Lời giải
Chọn A.

Trong ( ABC ) , kẻ

Ax song song GC . Đặt ( α ) ≡ ( SA, Ax ) ⇒ GC / / ( α )

(

)

(

Khi đó: d ( GC , SA ) = d GC , ( α ) = d G, ( α )
Trong ( ABC ) , kẻ
Trong ( SGI ) , kẻ

)

GI ⊥ Ax tại I

GO ⊥ SI tại O
Ta chứng minh được : GO ⊥ ( α ) ⇒ d ( G , ( α ) ) = GO
Xét

∆ AGI có

AG =

2
a 3
AM =
3
3

GI
a 3 3 a
⇒ GI = GA.sin 600 =
.
=
GA
3 2 2
1
1
1
1 4 5
a 5
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ GO =
2
Xét tam giác SGI có : GO
SG GI
a a a
5 .
·

sin IAG
=

d ( SA, GC ) =

a 5
5 .

Vậy
Câu 15: Chọn mệnh đề sai ?
A. Phương trình

x 2019 − x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

1
1
−
=m
B. Phương trình sin x cos x
vô nghiệm ∀ m .

x5 − x 2 − 3 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;2 ) .
D. Phương trình 2sin x + 3cos x = 4 vô nghiệm.
C. Phương trình

Lời giải
Chọn B.


1

1
−
=m
Xét phương trình sin x cos x
Với

m= 0 :

( 1) ⇔

⇔ tan x = 1 ⇔ x =

1
1
−
= 0 ⇔ sin x = cos x
sin x cos x

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4
. Vậy ( 1) có nghiệm .

Câu 16. Cho hàm số y = x − 2 x
4

A.

y = 1.

( 1)

( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C )

2

B.

y = 0.

C.

y = −1.

song song với trục hoành là
D.

y = x.

Lời giải
Chọn C.
Tiếp tuyến song song với trục hoành nên có phương trình dạng y = m ( m ≠ 0 ) .

 x 4 − 2 x 2 = m
m = 0
 m = −1
⇔
hoÆc 
 3
x = 0

 x = ±1
Điều kiện tiếp xúc  4 x − 4 x = 0
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình tiếp tuyến là

y = −1.

Câu 17. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây nghịch biên trên

A.

y=

x+2
x −1 .

B.

¡ ?

y = − x 4 − x 2 − 1 . C. y = − x3 + x 2 − 3x + 11 .

D.

y = cot x .

Lời giải
Chọn C.

y = − x3 + x 2 − 3x + 11 ⇒ y′ = − 3x 2 + 2 x − 3 < 0, ∀ x ∈ ¡
Suy ra hàm số nghịch biên trên ¡ .

Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tung là

1
2
y =− x+
6
3.
A.

3
y = − x−2
2
B.
.

y=

.

x+4
x − 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

C.

y=

3
x−2
2

.

3
y =− x+2
2
D.
.

Lời giải
Chọn C.
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là ( 0; − 2 )

y′ =

−6

( x − 2)

2

⇒ y′ ( 0 ) = −

3
2.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là


y=−

3
3
( x − 0) − 2 = − x − 2
2
2
.

 x2 + 1

lim 
+ ax − b ÷ = − 5
x →+∞ x − 2


Câu 19: Biết rằng
. Tính tổng a + b .
A.

6.

B.

7.

C. 8 .
Lời giải

D.

5.

Chọn A.

 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
 x2 + 1

lim 
+ ax − b ÷ = lim 
÷ = −5
x →+∞ x − 2
x →+∞
x
−
2




a + 1 = 0
 a = −1
⇔
⇔
 2 a + b = 5 b = 7
Vậy

a+ b= 6

Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây. Tìm khẳng định đúng

x = −1.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .
A. Hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
B. Hàm số đạt cực đại tại

Lời giải

Chọn D.
Câu 21: Tứ diện

OABC có OA = OB = OC và đôi một vuông góc nhau. Gọi α là góc giữa OA và

( ABC ) . Tính tan α .
A.

tan α = 2

Chọn D.

B. tan α = 2

C. tan α
Lời giải

= 1.

D.

tan α =

2
2 .


OG là đường cao trong tam giác OBC ⇒ BC ⊥ ( OAG ) .
OM là đường cao trong tam giác AOG
Do OM ⊥ AG; OM ⊥ BC ⇒ OM ⊥ ( ABC )
Vậy góc giữa
Do

·
OA và ( ABC ) là góc giữa OA và AM hay góc OAG
=α.

OA = OB = OC ⇒ OG =
tan α =

OA
2

OG
OA
2
=
=
OA
2OA 2 .

Ta có
Câu 22. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực tiểu mà không có cực đại?
A. y = − x + x .
.
4

2

B.

y=

x +1
x −1 .

C. y = x + 1 .
4

D. y = x + x + 2 x + 1
3

2

Lời giải
Chọn C
Ta có: y = x + 1 ⇒ y′ = 4 x = 0 ⇔ x = 0
4

3

Vậy hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Câu 23. Cho hình chóp

S . ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?

A. ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
Chọn D

B. SH ⊥ ( ABCD ) . C. ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . D. CD ⊥ ( SAD ) .
Lời giải


Câu 24. Giới hạn

lim

1 + 5 + ... + ( 4n − 3)

A. 1 .

2n − 1
B.

bằng

2
C. 2 .

+∞ .

D.

0.

Lời giải

Chọn B

1 − 4n
4n − 1
1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
1 − 4 = lim
= +∞
lim
= lim
3
2
n
−
1
(
)
Ta có:
.
2n − 1
2n − 1
1.

4
2

Câu 25: Cho hàm số y = x − 2mx + 3m ( Cm ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của ( Cm ) nhỏ hơn
A.

3.

B. vô số.

C.

4.

m

để ( Cm ) có

4?

D. 1 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:

y′ = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m ) .

 x=0
y′ = 0 ⇔  2
x = m .

 m > 0
m > 0

⇔
 m < 4 mà m ∈ ¢ nên m ∈ { 1; 2;3} .
Yêu cầu bài toán tương đương với  2 m < 4
 x3 − 6 x 2 + 11x − 6
khi x ≠ 3

f ( x) = 
x−3
m
khi x = 3 . Tìm giá trị của

Câu 26: Cho hàm số

x = 3?
A. m = 1 .

B.

m= 2.

C.
Lời giải

Chọn B.
Ta có: f ( 3) = m .

m = 3.

m

để hàm số liên tục tại
D.

m = 0.


x3 − 6 x 2 + 11x − 6
lim f ( x ) = lim
= lim ( x 2 − 3 x + 2 ) = 2
x→ 3
x→ 3
x→ 3
x−3
.
Câu 27: Đường thẳng

y = ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + 2 x 2 − x + 2 tại điểm M ( 1;0 ) . Tích

ab có giá trị là
A. ab = − 36 .

B.

ab = − 5 .

ab = 36 .

C.

D.

ab = −6 .

Lời giải
Chọn A.
2
Ta có: y′ = 3 x + 4 x − 1 ⇒ y′ ( 1) = 6 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M ( 1;0 ) là

y = 6 x − 6 . Suy ra a = 6 , b = − 6 . Vậy ab = − 36 .

(

Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 1 − x

2

)

trên khoảng ( 0;1) là:

1
B. 3 .

1
A. 9 .

C.

0.

2 3
D. 9 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có y′ = 1 − 3 x

2

⇒ y′ = 0 ⇔ x = ±

1
3.

Ta có BBT của hàm số:

 1  2 3
max y = y  ÷ =
9 .
 3
Từ BBT suy ra ( 0;1)

Câu 29. Đạo hàm của hàm số

(

1 − 3x

)

2
A. x + 1

x2 + 1 .

y=

x+3
x 2 + 1 là:

(

1 + 3x

)

2
B. x + 1

x2 + 1 .

1 − 3x
C. x 2 + 1 .

Lời giải
Chọn A.

(

2x2 − x − 1

)

2
D. x + 1

x2 + 1 .


x2 + 1 −
Ta có

y′ =

( x + 3) x

x2 + 1

x2 + 1 =

(x

1 − 3x

2

+ 1) x 2 + 1 .

3x 2 − 2 x − 5
Câu 30. Giới hạn x →−1 x 2 − 1
bằng:.
lim

B. +∞ .

A. 3 .

C.

0.

D.

4.

Lời giải
Chọn D.

( x + 1) ( 3x − 5 ) = lim 3x − 5 = 4
3x 2 − 2 x − 5
lim
=
lim
x →−1
x →−1 x − 1
Ta có x →−1 x 2 − 1
.

x2 −1
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số f '( x) = ( x − 1) ( x − 2 ) 2 ( x − 3) 3 ( x − 4 ) 4 . Hỏi hàm
số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị
A. 1 .

B. 3 .

C.

4.

D.

2.

Bài giải
Chọn D.

f '( x) = ( x − 1) ( x − 2 )

2

( x − 3) ( x − 4 )
3

4

= 0 ⇔ x ∈ { 1;2;3; 4}

Nhận thấy f '( x) chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ là

x = 1; x = 3

Vậy hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực trị
Câu 32. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = 2t 3 − 3t 2 + 4t , trong đó

s

bằng giây và

t được tính

được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng 0 là

A. − 2,5m / s .

B. 4m / s .

C. 2,5m / s .
Bài giải

Chọn C.
Ta có ( AD ' B ' ) v (t ) = s '(t ) = 6t 2 − 6t + 4,a(t) = v'(t) = 12 t − 6
tại thời điểm gia tốc bằng

0

nên a (t ) = 0 ⇒ t =

1

2

1
2

Suy ra vận tốc tức thời tại thời điểm đó là v( ) = 6.0,52 − 6.0,5 + 4 = 2,5
Câu 33. Tìm mệnh đề đúng?
A. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau.
B. Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông.
C. Hình hộp có đáy là hình chữ nhật.

D. 8,5m / s .


D. Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều.
Bài giải
Chọn B.
Dựa vào định nghĩa và tính chất các loại hình, đáp án đúng là hình lập phương có 6 mặt là hình
vuông.
Câu 34: Cho hình lập phương
A.

30° .

ABCD. A′ B′C′D′ . Góc giữa hai đường thẳng CD′ và AC ′ bằng
B. 90° .
C. 60° .
D. 45° .
Lời giải

Chọn B.

 CD′ ⊥ C ′D
⇒ CD′ ⊥ AC ′

Ta có:  CD′ ⊥ AD
suy ra góc giữa hai đường thẳng CD′ và AC ′ là 90° .
cos3 x − cos 7 x
lim
Câu 35: Giới hạn x → 0
x2
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3 ?
A.

40 .

B.

0.

C.

−4 .

D.

20 .

D.

45° .

Lời giải
Chọn B.

cos 3x − cos 7 x
2sin 5 x sin 2 x
= lim
2
x →0
= 2.5.2 = 20 .
Ta có: x → 0
x
x2
lim

Câu 35: Tứ diện đều có góc tạo bởi hai cạnh đối diện bằng
A.

90° .

B.

60° .

C.
Lời giải

Chọn B.

30° .


Giả sử tứ diện đều

ABCD có I là trung điểm của CD , H là tâm của tam giác BCD suy ra

AH ⊥ ( BCD ) .
 CD ⊥ BH
⇒ CD ⊥ AB

Khi đó ta có: CD ⊥ AH
.
Vậy góc giữa
Câu 7:

CD và AB là 90° .

ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai?
A. Góc giữa AB và mặt phẳng ( BCD ) là góc ·ABC.
Tứ diện

B.

AB ⊥ CD .

C. AG ⊥ ( BCD ) .

uuur uuur uuur

uuur

D. AB + AC + AD = 3 AG .

Lời giải

Chọn A.

Gọi

O là hình chiếu của A lên ( BCD ) ta có ( AB, ( BCD ) ) = ( AB, OB ) = ABO.
·


·
·
Và ABO, ABC có số đo khác nhau do đó câu A sai.
Câu 8:

Cho hình chóp đều
đáy bằng

3
A. 3 .

S . ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Cosin của góc giữa mặt bên và mặt
6
B. 3 .

2

C. 2 .

1
D. 2 .

Lời giải
Chọn A.

CD ⊥ OM
⇒ CD ⊥ SM

Gọi M là trung điểm CD . Ta có CD ⊥ SO
·
.
( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( SM , OM ) = SMO
Suy ra

Xét tam giác vuông

SOM có

a
a2 a 3
2
OM = , SM = a −
=
.
2
4
2

a
OM
3
·
cos SMO
=
= 2 =
.
SM a 3
3
2

Câu 9:

Hình chóp

S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

2a .

Chọn D.

B.

a.

C. a 2 .

Lời giải

a 2
D. 2 .


H là trung điểm SB ⇒ AH ⊥ SB do tam giác SAB cân tại A.

Gọi

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

BC
⊥
SA


( SBC ) ∩ ( SAB ) = SB
Mà

AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH =

a 2
.
2

Câu 40: Tìm mệnh đề đúng? Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng
A. Độ dài đoạn thẳng nối một điểm thuộc đường thẳng này với một điểm
của đường thẳng kí.

B. Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
C. Khoảng cách từ một điểm của đường thẳng này tới mặt phẳng chứa
đường kia.
D. Khoảng cách giữa hai mặt phửng lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau của sách giáo khoa hình học 11 ta
chọn đáp án B.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
A.

3.

B. 1 .

a

để

lim

)

(

C.

n 2 − 4n + 7 + a − n = 0

2.

D.

?

0.

Lời giải
Chọn C

lim

(

7 − a2
−4n + 7 + 2an − a
n
n 2 − 4n + 7 + a − n = lim
= lim
= a−2
2
4
7
a
n − 4n + 7 − ( a − n )
1− + 2 − +1
n n n

)

2

2a − 4 +


Để

lim

(

)

n 2 − 4n + 7 + a − n = 0

thì

a− 2= 0⇔ a = 2.

S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AC = a 2 . Tam giác
SAC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 42: Hình chóp

( ABC )

. Khoảng cách từ điểm

a 6
3 .

A.

B.

A đến mặt phẳng ( SBC ) .
a 6
C. 6 .

a.

a
D. 2 .

Lời giải
Chọn A

Gọi

H là trung điểm AC , khi đó SH ⊥ ( ABC ) .

(

)

(

)

Vì AC = 2 HC ⇒ d A, ( SBC ) = 2d H , ( SBC ) .

Kẻ HG ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHG ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SHG ) theo giao tuyến

SG . Kẻ

HK ⊥ SG ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HK .
1
a
1
a 2
HG = BA =
SH = AC =
Ta có BA = BC = a 2 ,
2
2,
2
2 .
1
1
1
2 4 6
a 6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ SK =
⇒ d ( A, ( SBC ) ) =
2
2
2
SK

SH
HG
a a a
6
3
Câu 43. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

7.

B.

y=

−6 .

Chọn D

y′ =
Ta có:

−6

( x − 2)

2

< 0, ∀x ≠ 2

x+ 4

x − 2 trên đoạn [ 3;4] là
C. 3 .
Lời giải

D.

4.


⇒

Hàm số nghịch biến trên ( 2; +∞ )

⇒

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là f ( 4 ) = 4 .

r uuur uuuur
′
′
′
′
a
ABCD
.
A
B
C
D
Câu 44. Hình lập phương

cạnh . Tính độ dài véctơ x = AA′ + AC ′ theo a
A. a 2 .

B.

(

)

1+ 3 a

C. a 6 .
Lời giải

.

a 6
D. 2 .

Chọn D
Gọi

O′ là tâm hình vuông A′ B′C ′D′ .
r

uuuur

r uuur uuuur uuuur ⇒ x = 2 AO′ = 2 AO′ = 2 AA′2 + AO 2 = a 6
Ta có: x = AA′ + AC ′ = 2 AO′
2

a

Câu 45. Thể tích của tứ diện đều cạnh

a3 2
A. 12 .

bằng

a3 3
B. 12 .

a3 2
C. 4 .

a3 3
D. 4 .

Lời giải
Chọn A
2

a 3 a 6
SH = SA − AH = a − 
÷÷ =
3
3



Ta có:
2

2

2

1 a2 3 a 6 a3 3
VSABC = .
.
=
Thể tích khối tứ diện:
3 4
3
12 .
Câu 46: Lăng trụ đều ABC. A′ B′C ′ có AB =
Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 3a

3

3.

B. a

3

3.

2a , góc giữa hai mặt phẳng ( C ′AB ) và ( CAB ) bằng 60° .

3a 3 3
C.
4 .
Lời giải

Chọn A.

9a 3
D. 8 .


Gọi

D là trung điểm của AB . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( C ′AB ) và ( CAB ) là góc

C· ′DC = 60° .
Ta có

CC ′ = CD.tan 60° =

Thể tích cần tìm:
Câu 47: Cho tứ diện

2a 3
. 3 = 3a
2

V = CC ′. AB 2 .

3

3
= 3a.4a 2 .
= 3a 3 3
.
4
4

S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a; BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng

AB và SC bằng
A. 0° .

B. 120° .

C. 60° .
Lời giải

D.

90° .

Chọn C.

M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , SB, SA .
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN .
Gọi

MN =

a

= NP
2
2

2

a 3 a 2
a
a 3
−
=
2
2 = 
÷

÷
PC = BP =
⇒ PM = PC − CM
 2 ÷  2 ÷ 2

 

2

·
MNP là tam giác đều ⇒ MNP
= 60° .
Vậy góc giữa AB và SC bằng 60° .
Suy ra tam giác

Câu 48:

H

àm số y = x − 3x + 4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây
3

A. ( − 2;2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( − 3; − 2 ) .
Lời giải

Chọn C

D. ( − 1;1) .


y = x3 − 3 x + 4 ⇒ y′ = 3 x 2 − 3
Ta có y′ > 0 ⇔ 3 x − 3 > 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ ( 1; + ∞ )
2

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ; − 1) và ( 1;+ ∞ ) .

⇒

Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 3; − 2 ) .

Câu 49:

C

ho hàm số

y=

x+2
x − 1 . Tính y′ ( 3)

5
A. 2 .

B.

−

3
4.

−

C.

3
2.

3
D. 4 .

Lời giải
Chọn B

y=
Ta có

y′ ( 3) =

x+2
−3
⇒ y′ =
2
x −1
( x − 1)
−3

( 3 − 1)

2

=−

3
4.

Câu 50:

T

ừ tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 40 cm và

góc để gập lại được một cái hộp không nắp.

60 cm người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn

Để thể tích hộp đó lớn nhất thì cạnh của hình vuông cắt bỏ có giá trị gần với
A.

7,85cm .

B. 15cm .

C.

3,92cm .

Lời giải
Chọn A

D. 18cm .


Gọi

x

là độ dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ.

Khối hộp có đáy là hình chữ nhật với độ dài hai cạnh là
cao là x nên có thể tích là

60 − 2 x; 40 − 2 x và độ dài chiều

V = x ( 40 − 2 x ) ( 60 − 2 x ) = 4 x 3 − 200 x 2 + 2400 x
Xét hàm số f ( x ) = 4 x − 200 x + 2400 x với x ∈ ( 0;20 ) .
3

2

f ′ ( x ) = 12 x 2 − 400 x + 2400

50 − 10 7
 x1 =
3
f ′( x) = 0 ⇔ 

50 + 10 7
 x2 =
3

Vẽ bảng biến thiên, từ bảng biến thiên suy ra thể tích khối hộp lớn nhất khi

x=

50 − 10 7
≈ 7,85cm
.
3