Đề thi olympic toán 11 năm 2019 2020 trường lý thánh tông hà nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 11

TRƯỜNG THPT LÝ THÁNH TÔNG

NĂM 2019-2020

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1.(2,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 sin x  cos x  2019 .
Câu 2.(2,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m  1sin x  3 cos x  m  2 có nghiệm.
( m là tham số) .
Câu 3.(4,0 điểm).
a) Giải phương trình 3 cos 2 x  2 cos x  5  0


  3 
b) Tìm nghiệm của phương trình 2 x  1. sin  2 x    0 trên khoảng   ;  ?
4

 2 2 
Câu 4 .(2,0 điểm).
Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ các chữ số lấy trong tập A có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Câu 5. (3,0 điểm).
a)Trong một chiếc hộp đồ chơi có 25 quả bóng nhỏ được đánh số từ 1 đến 25. Một em

bé khi chơi đã lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Tính xác suất để em bé đó chọn được 2 quả có tổng
số ghi trên 2 quả đó là một số lẻ ?
b) Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6.
Vận động viên đó bắn hai viên một cách độc lập. Tính xác suất để vận động viên đó bắn
trúng mục tiêu đúng một viên?
Câu 6. (2,0 điểm).
Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn0  Cn1  Cn2  ....  Cnn1  Cnn  210 . Tìm số hạng
n

 3 2 
không chứa x trong khai triển của biểu thức  x  2  ?
x 


Câu 7. (4,0điểm)
2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;5) và đường tròn C  : x  3   y  4  9
a)Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo véctơ v = (-2;1)
b) Tìm phương trình đường (C’) sao cho (C) là ảnh của (C’) qua phép vị tự tâm O với
tỷ số vị tự bằng -2?
Câu 8.(1,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD ( theo chiều dương) . Điểm I là tâm của hình vuông . Gọi H là
trung điểm AD, K là trung điểm AH, L là trung điểm AI. Tìm ảnh của hình thang IHKL qua
phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm I góc quay - 900 và
phép vị tự tâm D với tỷ số bằng 2.
-----------------HẾT------------------Họ và tên………………………………………………………..SBD……………………..


ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM CHẤM

CÂU

THANG
ĐIỂM

NỘI DUNG CHẤM
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 sin x  cos x  2019 .

x  R
Câu 1.
(2,0 điểm).



3   1  3 sin x  cos x 
2

3   1  2  3 sin x  cos x  2
2

2

 2017  3 sin x  cos x  2019  2021
2
max y  2021 khi x 
 k 2 , k  Z
3



Câu 2.
(2,0 điểm).

2



Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m  1 sin x  3 cos x
( m là tham số) .
Phương trình có nghiệm khi m  12   32  m  22
 6m  6
 m 1
a) Giải phương trình 3 cos 2 x  2 cos x  5  0

0,75
0,5

 m  2 có nghiệm.

3 cos 2 x  2 cos x  5  0  6 cos2 x  2 cos x  8  0
cos x  1

cos x   4 VN 
3

cos x  1  x  k 2 , k  Z
b) Tìm nghiệm của phương trình
Đk: x 
Câu 3.
(4,0 điểm).

0,5
0,75
0,75
0,75
0,75
0,5



 3
2 x  1. sin  2 x    0 trên khoảng   ; 
4

 2 2 

1
2

 2x 1  0



2 x  1. sin  2 x    0   

4
sin  2 x    0

 
4

1   3 
2x 1  0  x     ; 
2  2 2 



 k

sin  2 x    0  2 x   k  x   
4
4
8 2

 3
Với x thuộc khoảng   ;  tìm được k  0,1,2,3 tương ứng các nghiệm

 2 2 
  3 7 11 
x   ; ; ;

 8 8 8 8 
 1 3 7 11 
S  ; ; ;

2 8 8 8 
Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ các chữ số lấy trong tập A có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt ?

Câu 4 .
(2,0 điểm).

0,75

0,25

0,25

0,5
0,5

0,25

0,25

Số cần tìm có dạng a1a2 a3a4

0,25

a1  0 Có 8 lựa chọn
a2 có 8 lựa chọn
a3 có 7 lựa chọn

0,25

a4 có 6 lựa chọn

0,25
0,75

Theo quy tắc nhân có 8.8.7.6= 2688 số

0,25
0,25


a)Trong một chiếc hộp đồ chơi có 25 quả bóng nhỏ được đánh số từ 1 đến 25. Một em bé khi
chơi đã lấy ngẫu nhiên ra 2 quả. Tính xác suất để em bé đó chọn được 2 quả có tổng số ghi
trên 2 quả đó là một số lẻ ?

n  C252  300

Câu 5.
(3,0 điểm).

0,5

A “2 quả có tổng số ghi trên 2 quả đó là một số lẻ” , n A  C .C  156

0,5

P A 

1,0

1
12

n A 156 13



n 300 25

1
13

b) Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Vận động
viên đó bắn hai viên một cách độc lập. Tính xác suất để vận động viên đó bắn trúng mục tiêu
đúng một viên?

 
A là biến cố viên thứ hai bắn trúng , P A   0,6; PA   0,4
A: “Vận động viên đó bắn trúng đúng một viên”
P A  P A .PA   P A .PA   2.0,6.0,4  0,48

Ký hiệu A1 là biến cố viên thứ nhất bắn trúng, P A1   0,6; P A1  0,4
2

2

1

2

2

0,5

2

0,5

1

n 1

Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  Cn  ....  Cn
0

1

2

 Cnn  210 . Tìm số hạng

n

 3 2 
không chứa x trong khai triển của biểu thức  x  2  ?
x 

Ta có 2  1  1  Cn  Cn  Cn  ....  Cn
n

n

Câu 6.
(2,0 điểm).

0

1

2

Xét số hạng tổng quát Tk 1  C

k
10

x 

3 10  k

n 1

 Cnn  210  n  10

0,5

k

 2
. 2   C10k 2k.x 30 5 k
x 

0,5

Khai triển không chứa x  30  5k  0  k  6

0,5

 T7  C106 26

0,5

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;5) và đường tròn C  : x  3   y  4  9
2

a)Tìm ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo véctơ

2

v = (-2;1)

Tv  A  A' x; y   AA'  v (*)

0,75

AA'  x  3; y  5

0,5

x  3  2  x  1

 A' 1;6
y  5 1
y  6

*  

0,75

b) Tìm phương trình đường (C’) sao cho (C) là ảnh của (C’) qua phép vị tự tâm O với tỷ số
Câu 7.
(4,0điểm)

vị tự bằng -2?
G/S M  x; y   C , M '  x' ; y '  C '
Theo giả thiết VO; 2  C '  C   VO; 2  M '  M  OM  2OM '

0,5

 x  2 x'

; thay vào phương trình đường tròn (C)
 y  2 y '

0,5

  2 x'3   2 y'4  9

0,5

2

2


2

3
9

2
  x'    y '2  
2
4


0,5

Cho hình vuông ABCD ( theo chiều dương) . Điểm I là tâm của hình vuông . Gọi H
là trung điểm AD, K là trung điểm AH, L là trung điểm AI. Tìm ảnh của hình thang
IHKL qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm I
góc quay - 900 và phép vị tự tâm D với tỷ số bằng 2.

Câu 8.
(1,0điểm).

H’ là trung điểm của DC, K’ là trung điểm của DH’, L’ là trung điểm của ID
QO; 90 0  IHKL   IH ' K ' L'

0,5

V D;2  ( IH ' K ' L' )  BCH ' I

0,5

Vậy, ảnh của hình thang IHKL qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm I góc quay - 900 và phép vị tự tâm D với tỷ số bằng 2 là hình

thang BCH’I.