Chuyên đề: Hệ thống kiến thức và phương pháp giải toán hình học

LỜI MỞ ĐẦU
Trong đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng những năm gần đây đều có bài toán tọa độ phẳng.
Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải quyết bài toán này. Qua tìm hiểu đề thi tuyển
sinh Đại học – Cao đẳng một số năm gần đây tôi muốn đề cập đến một hướng phân tích để tiếp cận
cách giải bài toán tọa độ phẳng.
Chuyên đề gồm 3 phần:
Phần 1: Hệ thống kiến thức cơ bản
Phần 2: Phương pháp giải.
Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12. Thời gian
giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 6 tiết học chuyên đề và 6 tiết học ở
nhà.
Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để
chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.

1


Phần I: CÁC KIẾN THỨC HÌNH PHẲNG LIÊN QUAN
1. Một số kiến thức hình học phẳng
1) TAM GIÁC
Khái niệm
Tổng ba góc của một
tam giác (HH7)
Áp dụng vào tam
giác vuông (HH7)
Góc ngoài của tam
giác (HH7)
Tính chất góc ngoài
của tam giác (HH7)

Nội dung
Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800
Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam
giác ấy.
Định lý: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong
không kề với nó.

Hai tam giác bằng
nhau (HH7)
Ba trường hợp bằng
nhau của hai tam
giác (HH7)

Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng
bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
1/ Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh (cc-c)
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau.
2/ Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c-gc)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
3/ Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc (g-c-g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc
kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Đoạn thẳng tỉ lệ
Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’
và C’D’ nếu có tỉ lệ thức:
hay
AB A ' B '

AB
CD
=
=
Đường thẳng song CD C ' D '
A'B ' C ' D '
song với một cạnh Định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác
của tam giác và cắt và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng
hai cạnh còn lại
tương ứng tỉ lệ.
Đường thẳng cắt hai
cạnh của một tam Định lý Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và
giác và định ra trên định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng
hai cạnh này những đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ (HH8)
Hệ quả của Định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam
Đường thẳng cắt hai giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba
cạnh của một tam cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
giác và song song với
cạnh còn lại (HH8)
Tam giác đồng dạng
(HH8)
Định nghĩa tam giác đồng dạng:
2


Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
Aˆ ' = Aˆ ; Bˆ ' = Bˆ ; Cˆ ' = Cˆ
A ' B ' B 'C ' A 'C '

=
=
AB
BC
AC
Đường thẳng cắt hai
cạnh của tam giác và Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với
song song với cạnh cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã
cho.
còn lại (HH8)
Các trường hợp
đồng dạng của hai 1/ Trường hợp đồng dạng thứ nhất
Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì
tam giác (HH8)
hai tam giác đó đồng dạng.
2/ Trường hợp đồng dạng thứ hai
Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia
và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng
dạng.
3/ Trường hợp đồng dạng thứ ba
Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác
kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Đường trung tuyến Định nghĩa: Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm
của tam giác (HH7)
M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC. Mỗi tam giác
có 3 đường trung tuyến.
Tính chất ba đường Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
trung tuyến của tam Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng
độ dài đường trung tuyến đi
2

giác (HH7)
3
qua đỉnh ấy. Điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.
Đường phân giác Định nghĩa: Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại
của tam giác (HH7)
điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác. Mỗi tam giác
có 3 đường phân giác.
Tính chất ba đường Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này
phân giác của tam cách đều ba cạnh của tam giác đó (HH7) và là tâm đường tròn nội tiếp
giác (HH7)
tam giác (HH9)
Tính chất đường -Tính chất đường phân giác của tam giác
phân giác của tam Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện
giác (HH8)
thành hai đoạn thẳng với hai cạnh kề hai đoạn ấy. (HH8)
Đường trung trực Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là
của tam giác (HH7)
đường trung trực của tam giác đó. Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.
Tính chất ba đường trung trực của tam giác:
Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó và là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác. (HH7)
Đường cao của tam Định nghĩa: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến
giác (HH7)
đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lý: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó
gọi là trực tâm của tam giác (HH7)
3

Tỉ số hai đường cao Định lý: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ
tương ứng của hai số đồng dạng.
tam giác đồng dạng
A' H ' h ' A' B '
= =
=k
(HH8)
AH
h
AB
Chú ý: Áp dụng vào việc tính độ lớn của đường cao hoặc cạnh của tam
giác.
Đường thẳng đi qua Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
trung điểm một cạnh song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
của tam giác và song
song với cạnh thứ
hai (HH8)
Đường trung bình Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
của tam giác (HH8)
hai cạnh của tam giác.
Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và
bằng nửa cạnh ấy.
Diện tích tam giác Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với
(HH8)
cạnh đó:
S = BC.AH = ah
1
1
Tỉ số diện tích của

2
2
hai tam giác đồng Định lý: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số
dạng (HH8)
đồng dạng.
2) TAM GIÁC CÂN
Khái niệm
Nội dung
Tam giác cân (HH7) Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tính chất tam giác Tính chất của tam giác cân:
cân (HH7)
Định lý 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Định lý 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam
giác cân.
Đường phân giác Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối
của tam giác cân diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
(HH7)
Đường trung tuyến Định lý: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh
của tam giác cân bên thì bằng nhau.
(HH7)
Định lý đảo: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác
đó cân.
Định lý: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung
trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là tam giác cân.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng
thời là đường phân giác, đường trung tuyến, và đường cao cùng xuất phát từ
đỉnh đối diện với cạnh đó.
Đường trung trực Nhận xét: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung
của tam giác cân tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường
(HH7)

trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là
một tam giác cân.
4


3)TAM GIÁC VUÔNG
Khái niệm
Nội dung
Tam giác vuông Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
(HH7)
Định lý: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền
bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Py-ta-go đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng
tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Các trường hợp Từ trường hợp bằng nhau c-g-c của hai tam giác, ta có các hệ quả:
bằng nhau của tam Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai
giác vuông (HH7)
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Từ trường hợp bằng nhau g-c-g của hai tam giác, ta có các hệ quả:
Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam
giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng
cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông
đó bằng nhau.
Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh
huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông
đó bằng nhau.

Các trường hợp 1/ Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông:
đồng dạng của tam Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
giác vuông (HH8)
a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông
kia.
b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông
của tam giác vuông kia.
Dấu hiệu đặc biệt 2/ Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
nhận biết hai tam Định lý: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ
giác vuông đồng lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
dạng (HH8)
vuông đó đồng dạng.
Đường trung tuyến 1/Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa
của tam giác vuông cạnh huyền.
(HH8)
2/ Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh
ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Diện tích tam giác Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
vuông (HH8)
Hệ thức lượng trong Định lý: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng
tam
giác
vuông tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
(HH9)
Hệ thức giữa cạnh
góc vuông và hình
chiếu của nó trên
cạnh huyền
5

Đường cao ứng với Định lý: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh
cạnh huyền
huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Định lý: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao
ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc
vuông.
Tích hai cạnh góc Định lý: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của
vuông
cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Tỉ số lượng giác của sin : Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc , ký hiệu
α
α
góc nhọn (HH9)
sin .

α

côsin

α

: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc

hiệu cos
tang

α

α

.

: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc

α

α

, ký

, ký hiệu

tg (hay tan ).
α
α
Tỉ số lượng giác của
hai góc phụ nhau côtang α : Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , ký
(HH9)
hiệu cotg (hay cot ).

α

α

Định lý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc
này bằng cô tang góc kia.
Một số hệ thức về Định lý: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
cạnh và góc trong a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
tam giác vuông

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

3) TỨ GIÁC
Khái niệm
Tứ giác (HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA,
trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng năm trên một đường
thẳng.
Tứ giác lồi (HH8)
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phảng có bờ là đường
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
Tổng các góc của tứ Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600
giác (HH8)
4) HÌNH THANG
Khái niệm
Hình thang (HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Theo hình bên, hình thang ABCD có:
6


Cạnh đáy: AB và CD, AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn. O là giao điểm hai
đường chéo, EF đi qua O và song song với hai đáy.
Cạnh bên: AD và BC. Đường cao: AH
Định lý 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên và song song với
hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định nghĩa đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình
Đường trung bình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
của
hình
thang Định lý 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và
(HH8)
bằng nửa tổng hai đáy.
Diện tích hình thang Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: S =
(HH8)
1
(a + b).h
2
HÌNH THANG CÂN
Khái niệm
Hình thang cân
(HH8)
Hai cạnh bên hình
thang cân (HH8)
Hai đường chéo hình
thang cân (HH8)
Trục đối xứng của
hình
thang
cân
(HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tính chất:
Định lý: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Định lý: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Định lý: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục
đối xứng của hình thang cân.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
1. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2. Hình thang có đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

HÌNH BÌNH HÀNH
Khái niệm
Nội dung
Hình bình hành Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
(HH8)
Chú ý: Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.
Tính chất:
Định lý: trong hình bình hành:
a) Các cạnh đối bằng nhau.
b) Các góc đối bằng nhau.
Tâm đối xứng của c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
hình bình hành Định lý: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của
(HH8)
hình bình hành đó.
Diện tích hình bình Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng
hành (HH8)
với cạnh đó.
HÌNH CHỮ NHẬT
Khái niệm
Hình chữ nhật (HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Chú ý:
-Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.
-Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình chữ nhật.
7


-Hai đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối diện của hình chữ nhật là trục
đối xứng của hình chữ nhật.
Tính chất:
-Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, của hình thang cân.
-Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường.
Diện tích hình chữ Định lý: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.
nhật (HH8)
HÌNH THOI
Khái niệm
Hình thoi (HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Chú ý:
-Hình thoi cũng là một hình bình hành.
-O là tâm đối xứng của hình thoi ABCD.
-Hai đường chéo là trục đối xứng của hình thoi.
Tính chất:
-Hình thoi có tất cả các tình chất của hình bình hành
-Trong hình thoi:
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Diện tích hình thoi b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
(HH8)

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo
HÌNH VUÔNG
Khái niệm
Hình vuông (HH8)

Nội dung
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Chú ý:
-Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
-Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
-O là tâm đối xứng của hình vuông ABCD.
-Hai đường thẳng m, n đi qua trung điểm các cạnh đối diện, hai đường chéo
AC, BD là trục đối xứng của hình vuông.
Tính chất:
-Hình thoi có tất cả các tình chất của hình bình hành
-Trong hình thoi:
a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.
b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Diện tích hình vuông Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a.a = a2
(HH8)
ĐƯỜNG TRÒN
Khái niệm
Nội dung
Đường tròn (HH6-9) -Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách O một
Cách
xác
định khoảng bằng R.
đường tròn (HH9)
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
8

Đường kính và dây
của đường tròn
(HH9)
Đường kính đi qua
điểm chính giữa của
một cung (HH9)

Liên hệ giữa dây và
khoảng cách từ tâm
đến dây (HH9)

Ba vị trí tương đối
của đường thẳng và
đường tròn (HH9)

Định lý: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Định lý: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua
trung điểm của dây ấy.
Định lý: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây
không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
-Điểm chính giữa của một cung là điểm chia cung đó thành hai cung bằng
nhau.
Định lý: Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một
cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Định lý: Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một
cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại (đường kính vuông góc
với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy).
Định lý: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lý:Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Xét đường tròn (O ; R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ
O đến đường thẳng a, OH a ; OH = d gọi là khoảng cách từ tâm O đến đường
⊥
thẳng a.
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:
.Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung.
.Đường thẳng cắt đường tròn còn gọi là cát tuyến của đường tròn.
. d. Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:
.Đường thẳng và đường tròn có một điểm chung C.
.Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C còn gọi là tiếp
điểm.
. d=R
. Nếu d = R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc
với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường
tròn.
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lý: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
-Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
-Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

-Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi
qua các tiếp điểm.
b)Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:
.Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.
.d>R
9


. Nếu d > R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

Đường tròn nội tiếp
tam giác (HH9)
Đường tròn bàng
tiếp tam giác (HH9)
Ba vị trí tương đối
của hai đường tròn
(HH9)
Đường nối tâm
Hai đường tròn cắt
nhau
Hai đường tròn tiếp
xúc nhau
Góc ở tâm (HH9)
Số đo cung (HH9)

So sánh hai cung
(HH9)
Điểm nằm trên một
cung (HH9)
Liên hệ giữa cung và

dây (HH9)

Hai cung bị chắn
giữa hai dây song
(HH9)
Góc nội tiếp (HH9)

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp
tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần
kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
-Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai
điểm chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây
chung.
-Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc
nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
-Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao
nhau.
Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm
1/ Định nghĩa:
-Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
-Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ.
-Số đo của nửa đường tròn bằng 1800.
Ta chỉ so sánh trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau.
.Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
.Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
2/ Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: Sđ
= Sđ

+ Sđ
»AB
»AC
»
CB
Định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Định lý: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì
bằng nhau.
Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa
hai dây cung của đường tròn đó.
Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung
10


Góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung
(HH9)

Góc có đỉnh
trong đường
(HH9)
Góc có đỉnh
ngoài đường
(HH9)

Cung chứa góc

bên
tròn

bị chắn.
Hệ quả: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng
nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 0) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (và ngược lại, góc vuông nội
tiếp thì chắn nửa đường tròn).
-Cho xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tiếp điểm A là gốc chung của
hai tia đối nhau. Mỗi tia đó là một tia tiếp tuyến. Góc BAx có đỉnh A nằm trên
đường tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyến, còn cạnh kia chứa dây cung AB. Ta
gọi một góc như vậy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Định lý: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của
cung bị chắn.
Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc
nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Định lý: Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.

bên Định lý: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu đo hai
tròn cung bị chắn.
Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc
không đổi là hai cung chứa góc

Tứ giác
(HH9)

α

dựng trên đoạn thẳng đó (00 <

nội

α

< 1800).

α

tiếp Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ
giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì
tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Đường tròn ngoại Định nghĩa:
tiếp (HH9)
1) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn
ngoại tiếp đa giác và đa giác đó được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
2) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường
tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp,
có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường
tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
2. Một số kiến thức về phương pháp tọa độ phẳng

1) Tọa độ điểm: Cho hai điểm
uuur
AB = ( xB − x A ; y B − y A )

A( x A ; y A ) B( xB ; yB )
,
thì
và

AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A )2

2) Phương trình đường thẳng:
11


•

 x = x0 + at
r

y = y0 + bt
A( x0 ; y0 )
Đường thẳng đi qua điểm
và có VTCP u = (a; b) có PTTS là 
r
A( x0 ; y0 )
a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
n
Đường thẳng đi qua điểm
và có VTPT = (a; b) có PTTQ là

•

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

•

A( xA ; y A ), B( xB ; y B )

có phương trình là

x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A
•

x y
+ =1
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với a, b ≠ 0 có phương trình a b

•

Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có phương trình là ax + c = 0, ( a ≠ 0)

•

Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có phương trình là by + c = 0, (b ≠ 0)

•

2
2
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có phương trình là ax + by = 0, (a + b ≠ 0)

•

Nếu (d) vuông góc với d': ax + by + c = 0 thì (d) có phương trình là bx − ay + m = 0

•

Nếu (d) song song với d': ax + by + c = 0 thì (d) có phương trình là ax − by + m = 0, (m ≠ c)

•

Đường thẳng có hệ số góc k có phương trình là y = kx + b

•

Đường thẳng đi qua

•

(d): y = kx + b vuông góc với (d'): y = k ' x + b ' khi và chỉ khi k .k ' = −1

•

(d): y = kx + b song song với (d'): y = k ' x + b ' khi và chỉ khi k = k ', b ≠ b '

A( x0 ; y0 )

, hệ số góc k có phương trình là:

y = k ( x − x0 ) + y0

.

3) Khoảng cách và góc:
•

Khoảng cách từ điểm

d ( A, ∆) =
•

M,

A( x0 ; y0 )

đến đường thẳng ∆ :ax + by + c = 0 tính bởi công thức:

ax 0 + by0 + c
a2 + b2
N

ở

cùng

phía

so

với

đường

thẳng

∆ :ax + by + c = 0

⇔ ( ax M + byM + c)( ax N + byN + c) > 0
•

⇔ ( ax M + byM + c)( ax N + by N + c) < 0
M, N ở khác phía so với đường thẳng ∆ :ax + by + c = 0

•

Cho hai đường thẳng ∆ :ax + by + c = 0 và ∆ ' :a'x + b ' y + c ' = 0 thì:

12


+ Góc giữa hai đường thẳng là ϕ thì

cosϕ =

aa '+ bb '
a 2 + b 2 a '2 + b '2

+ ∆ ⊥ ∆ ' ⇔ a a'+bb ' = 0
+ Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆ ' là

ax + by + c
a 2 + b2

=±

a'x +b' y + c'
a '2 + b '2

Phần II: PHƯƠNG PHAP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂ SINH ĐẠI HỌC,
CAO ĐẲNG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY.
Phương pháp tọa độ giúp xem xét các quan hệ hình phẳng được rõ rang và nhanh hơn. Tuy
nhiên, trong một số bài toán thì việc sử dụng thuần túy phương pháp tọa độ sẽ dẫn đến việc giải các hệ
phương trình rất khó, và học sinh thường không thể giải được. Trong đề thi tuyển sinh một số năm gần
đây, bài toán hình tọa độ phẳng thường được ra theo hướng này, làm cho một số học sinh học bị mất
phương hướng để giải quyết bài toán. Trong chuyên đề này, tôi muốn giúp học sinh một hướng tiếp cận
bài toán này, đó là tiếp cận bài toán theo góc độ hình phẳng thuần túy. Muốn làm được tốt điều này các
học sinh phải khai thác tốt những giả thiết hình phẳng đã cho trong đề, và phải biết chuyển quan hệ tọa
độ về quan hệ hình phẳng. Việc giải quyết tốt vấn đề này sẽ giúp chúng ta đưa bài toán về những bài
toán tọa độ nhỏ có thể giải quyết dễ dàng.

1. Một số ví dụ
Ví dụ 1(Đề thi THPT Quốc gia năm 2015):
Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H, K là hình chiếu vuông góc của C trên AD.Giả sử
H(-5;-5), K(9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
C

K

D
H
*Phân tích
Ta có HK = = .
13

A

B


C, A, K, K thuộc đường tròn đường kính AC.
Gọi I là trung điểm của AC, I thuộc x – y + 10 = 0 và I cách đều K, H nên suy ra tọa độ của I.
Suy ra độ dài IH, IK. Suy ra độ dài IA.
D và B đối xứng qua H nên . Mặt khác . Suy ra tam giác AHK cân tại H. Suy ra AH = HK.
Vậy biết độ dài AH, AI. Từ đó tìm tọa độ của A.
*Lời giải.
Ta có HK = = .
Gọi I(x; x+10). IH = IK  (x - 9)2 + (x + 13)2 = (x+5)2 + (x + 15)2 => I(0;10)
 IA = IH =
D và B đối xứng qua H nên (tam giác ABD cân tại A).
Mặt khác, do tam giác ABC vuông tại A, nên AB là tiếp tuyến của đường tròn trên. Do đó . Suy
ra tam giác AHK cân tại H.
Suy ra AH = HK = .
Gọi A(x,y). Ta có:
Vậy A(-15;5)
Ví dụ 2(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2014):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và
N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết rằng M(1;2) và
N(2;-1).
*Phân tích.
Ta có M(1;2) và N(2;-1). Tính được MN = 10 ;

A

B

M

AN = 3NC. Tính được cạnh hình vuông a=4.
AN = 3NC. Tính được NP, suy ra tọa độ của P.
AN = 3NC. Tính được cos
Bài toán quay trở về viết phương trình đường thẳng đi qua
một điểm và hợp với đường thẳng cho trước một góc cho trước.

N

Lời giải:
Gọi P là giao điểm của MN, DC.
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD.

D
3a 2

AM = a/2; MN = 10 ; AN = 3AC/4 = 4
MN² = AM² + AN² – 2AM.AN cos MAN
Do đó 10 = a²/4 + 9a²/8 – 3a²/4 → a = 4.

14

E

P

C


MP = , EP = => cos
Gọi vecto chỉ phương của CD là =>
Chọn thì PT của CD là y+2 = 0
Chọn thì PT của CD là 3x – 4y -15 = 0
Ví dụ 3(Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2014):
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD.
Điểm M(-3;0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0;-1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và
4
điểm G( 3 ;3) là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.
ĐS: B(−2;3), D(2;0)
*Phân tích
4
Cho M(-3;0), H(0;-1), G( 3 ;3) => MH = , HG =

Gọi E, F lần lượt là giao điểm của HG và HM với BC.
Ta có ME = MH => E(-6;1).
GF/GH = GC/GA = 1/2 => F(2;5).
B thuộc EF và BM = MH nên tìm được tọa độ của B.
Tính tọa độ của A, của I,suy ra tọa độ của D.
*Lời giải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của

E
Suy ra M là trung điểm HE → E(–6;
Gọi I là tâm của hình bình hành
Ta có: GF/GH = GC/GA = 1/2.
uuu
r 1 uuur
GF = HG
2
Nên
= (2/3; 2) → F(2;

B

F

I
M

C

HG và HM với BC.
1)
ABCD.

G

5)

Đường thẳng BC đi qua F(2; 5)
vector chỉ phương, có phương trình

H
D
Gọi B(2y-8;y). Ta có BM = HM => A
Suy ra B(–2; 3) (B(-6;1) loại)
A đối xứng với B qua M → A(–4; –3).
uur 1 uuur
GI = GA
4
= (–4/3; –3/2) → I(0; 3/2).
(0,25 đ)
D đối xứng với B qua I suy ra D(2; 0)
(0,25 đ)
Ví dụ 4(Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2014):

uur
nhận EF = (8; 4) làm
là x – 2y + 8 = 0.
(2y-5)2 + y2 = 10

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là
điểm D (1; -1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – 9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
15


*Phân tích
- Tính được cos của góc
BCA. Suy ra cos của góc

A

EAB, góc BAD. Suy ra cos góc DAC,
EDA.

Đưa bài toán về viết
điểm cho trước và tạo với
trước.
*Lời giải

phương trình đường thẳng đi qua một
một đường thẳng cho trước một góc cho
E

B

D

C

Tọa độ điểm A là nghiệm
3x + 2y − 9 = 0

 x + 2y − 7 = 0 ⇔ A (1; 3) suy ra
Đường thẳng AD có phương trình x = 1.
Ta có cos = suy ra =
cos suy ra cos
Ta có cos
=.Gọi vecto chi phương của BC là thì


của hệ phương trình :

Nếu ta chọn a = 22, b = 19 thì phương trình của BC là: 22x + 19y + 3 = 0.
Nếu ta chọn a = 22, b = -19 thì phương trình của BC là: 22x – 19 y – 41 =0
Vậy phương trình của BC là: 22x + 19y + 3 = 0 hoặc 22x – 19 y – 41 =0.
2. Bài tập luyện tập

1

(ĐH A2013−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
d : 2x + y + 5 = 0 và A( −4;8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B
trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N (5;-4).
ĐS : B(−4; −7); C (1; −7)

2

(ĐH B2013−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau
và AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm làH(-3 ;
2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D
ĐS : C (−1;6); D (4;1) hoặc C (−1;6); D (−8;7)

3

(ĐH B2013−NC)

17 1
( ;− )
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A là H 5 5 , chân

đường phân giác trong của góc A là D(5 ; 3) và trung điểm của cạnh AB là M (0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh C
.
ĐS : C (9;11)

16


4

(ĐH D2013−CB)

9 3
M( − ; )
2 2 là trung điểm của cạnh
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm
AB , điểm H(−2; 4) và điểm I(−1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .
ĐS : C (4;1); C (−1; 6)

5

(ĐH D2013−NC)

2
2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1) + (y − 1) = 4 và đường thẳng
∆ : y − 3 = 0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C) , các đỉnh N và P thuộc ∆ , đỉnh M và

trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P .
ĐS : P(−1;3); P(3;3)

6

(ĐH A2012−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm
 11 1 
M ; ÷
 2 2  và đường thẳng AN có phương trình 2x – y–3=0.
trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử
Tìm tọa độ điểm A.
ĐS : A(1; −1); A(4;5)

7

(ĐH B2012−CB)

2
2
2
2
Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1) : x + y = 4 , (C2): x + y − 12 x + 18 = 0
và đường thẳng d: x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C ), tiếp xúc với d và cắt
2

(C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
2
2
ĐS : ( x − 3) + ( y − 3) = 8

8

(ĐH D2012−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có
1
phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M ( 3 ; 1). Tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
ĐS : A(−3;1); B(1; −3); C (3; −1); D (−1;3)
−

9

(ĐH D2012−NC)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn
có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
2
2
2
2
ĐS : (C ) : ( x + 1) + ( y − 1) = 2;(C ) : ( x + 3) + ( y + 3) = 10

10

(ĐH A2011−CB)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x − 2y =
17


0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp
điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

ĐS : M (2; −4); M ( −3;1)

11

(ĐH B2011−CB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x - y - 4 = 0 và d: 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ điểm
N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
6 2
N (0; −2); N ( ; )
5 5
ĐS :

12

(ĐH B2011−NC)

1
B ( ;1)
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có

phương trình y - 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
13
A(3; )
3
ĐS :

13

(ĐH D2011−CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng
chứa phân giác trong của góc A có phương trình x - y - 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
ĐS : A(4;3); C (3; −1)

14

(ĐH D2011−NC)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0. Viết
phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
ĐS : ∆ : y = 1; ∆ : y = −3

15

(ĐH A2010−CB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3 x + y = 0 và d2: 3 x − y = 0 . Gọi (T) là
đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết
3
phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 2 và điểm A có hoành độ dương.
1 2
3
(T ) : ( x +
) + ( y + )2 = 1
2
2 3
ĐS :

16

(ĐH A2010−NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;
−3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
ĐS : B(0; −4); C (−4;0) hoặc B(−6; 2);(2; −6)
18


17

(ĐH B2010−CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24
và đỉnh A có hoành độ dương.
ĐS : BC : 3x − 4 y + 16 = 0

18

(ĐH D2010−CB)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn
ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
ĐS : C (−2 + 65;3)

19

(ĐH B2009−NC)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C

thuộc đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC
bằng 18.
11 3
3 5
3 5 11 3
B( ; ); C ( ; − )
B( ; − ); ( ; )
2 2
2 2 hoặc
2 2 2 2
ĐS :

20

(ĐH B2008−CB)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu
vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương
trình x − y+ 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x +3y−1= 0.
10 3
C (− ; )
3 4
ĐS :

21

(ĐH A2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1: x − y = 0 và d2: 2 x + y − 1 = 0 Tìm tọa
.
độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, C thuộc d2, và các đỉnh B, D thuộc trục

hoành.
ĐS :

22

A ( 1;1) ; B ( 0;0 ) ; C ( 1; −1) ; D ( 2;0 )

hoặc

A ( 1;1) ; B ( 2;0 ) ; C ( 1; −1) ; D ( 0;0 )

(ĐH B2003)

·
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC , BAD = 900. Biết
2 
 ;0÷
M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G  3  là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

ĐS :

A ( 0; 2 ) ; B ( 4;0 ) ; C ( −2; −2 )

23

(ĐH A2002)
Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường
thẳng BC là 3 x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2. tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
19

 7 + 4 3 6 + 2 3   −1 − 4 3 −6 − 2 3 
G 
;
;
÷
÷
÷; G 
÷
3
3
3
3




ĐS :

24

(ĐH B2002)

1 
 ;0÷
Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm  2  , phương trình
đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng A có hoành độ
âm.

ĐS :

A ( −2;0 ) ; B ( 2; 2 ) ; C ( 3;0 ) ; D ( −1; −2 )

20