LTĐH P.T.LƯƠNG GIÁC(mới soạn)-có giải

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
LỜI NÓI ĐẦU:
Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:
Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo.
Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể
tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và
cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên
cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được
kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian
dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.
Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ
ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng
kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.
B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.
(Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)
C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví
dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn
tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên
soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập
tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng
với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án
các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh
có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email:
hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở
phần D.

F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.
Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học
sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.
Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh
thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi
những sai sót. Chào thân ái!


A. ÔN LÝ THUYẾT:
• Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có
liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…
• Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu
OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.
↓
(ẩn phụ)
C.ƠN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.
VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.
I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
• Phương trình dạng : a.f
2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a
≠
0.
• Cách giải : + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t ≤

)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
Ví d ụ 1 ) Giải phương trình :
2
2cos 4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
+ + +
=
(1)
Ví d ụ 2 ) Giải phương trình :
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
=
−
−+−
x
xxx
(2)
Ví d ụ 3 ) Giải phương trình :
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − −
(3)
Ví d ụ 4 ) Giải phương trình :

6 6 2
sin 2 1x cos x cos x+ = −
(4)
DẠY ƠN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Nguyễn Cơng Mậu
PTLG cho trước
PT còn một cung
Còn 1 HSLG
PTĐẠI SỐ
Còn 2 hàm
sin và cơsin
PTLG cơ bản
PTLG THƯỜNG GẶP
PT còn hai cung
Áp dụng:
(asinu + bcosu)
PTcơ bản
Sinf(x)=sing(x)
Hoặc
cosf(x)=cosg(x)
P.T.Tích
Cần chú ý sự xuất
hiện các biểu thức:
a.sinx +b.cosx với:
a,b =
2;3;1
±±±
Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví d ụ 5 ) Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;

π
của phương trình :

sin 3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
−
 
− = −
 ÷
−
 
(5)
Ví d ụ 6 ) Cho phương trình :
cos2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m+ + − − =
.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
( )
;2
π π
.
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1) +Đk
π
π
mx

+≠
2
.
(1)
( )
02cos312cos1(312cos22
2
=++++−⇔
xxx







+±=
=
⇔




=
=
⇔=+−⇔
π
π
π
kx

k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
Họ
2
π
k
x
=
thỏa ĐK khi k = 2h
π
hx
=⇒
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là:
Zkhkxhx
∈+±==
,;
6
;
π

π
π
.
Ví dụ 2) + ĐK :
π
21cos mxx ≠⇔≠
(2)
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
=−−−⇔−=−−−⇔
xxxxxx

2sin
2
2
sin02sin2sin2
2
=∨−=⇔=−−⇔
xxxx
(loại)







+=
+−=
⇔







−=−=
π
π
π
π
π
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
Ví dụ 3) +ĐK :
π
mx
≠
(3)

⇔−−=−⇔
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
⇔
−
−−=−
x
x
xx
2
2
cos1
cos
)cos1(322cos3
02coscos6
cos1
cos3
2cos3
2
2
=−+⇔
+
−=−⇔
xx

x
x
x






+−±=
+±=
⇔






−=
=
⇔
π
π
π
2)
3
2
arccos(
2
3

3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
(Thỏa các ĐK)
Ví dụ 4) +Biến đổi:

( )
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266
+=

=−=+−+=
=+=+
x
xxxxxxx
xxxx
DẠY ƠN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Nguyễn Cơng Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
(4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
=+−⇔=+⇔
xxxx





+±=
=
⇔




=

=
⇔
π
π
2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
Ví dụ 5) *Giải PT(5):
+ĐK : sinx







+≠
+≠
⇔≠

π
π
π
π
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
+Ta có
)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin
33
xxxxxxxxxxxx
−+−+=+−−=−
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin
−+=−+=
xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
12sin2
3cos3sin
+=
−
−

⇒
(5)
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx
−−=⇔−=−+⇔
3sin
2
1
sin03sin7sin2
2
=∨=⇔=+−⇔
xxxx
(loại)






+=
+=
⇔=
π
π
π
π
2
6
5

2
6
2
1
sin
kx
kx
x
*Chọn nghiệm trên khoảng
( )
π
;0
ta được hai nghiệm của phương trình là:

6
5
;
6
ππ
==
xx
Ví dụ 6) (*)
01sin)12(sin21
2
=−−++−⇔
mxmx
0sin)12(sin2
2
=++−⇔
mxmx

[ ]
1;1;sin;0)12(2)(
2
−∈==++−=⇔
txtmtmttf
a)Khi m=2:
2
2
1
0252)(
2
=∨=⇔=+−=
tttttf
(loại)







+=
+=
⇔=⇔=
π
π
π
π
2
6

5
2
6
2
1
sin
2
1
kx
kx
xt
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng
( )
;2
π π
:
Khi
( )
012;
<≤−⇒∈
tx
ππ
.
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4 Nguyễn Công Mậu
Chun đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Vậy ta phải có :



<≤−

∅∈
⇔






=−∨<−





<≤−
≥−>≥∆
⇔





<≤−<
<<≤−
<≤≤−
01
0)1(0)1().0(
0
2
1

0)1(;0)0(;0
01
01
01
21
21
21
m
m
fff
S
afaf
tt
tt
tt

[
)
0;1
−∈⇔
m
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình :
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x

+ − −
=
2) Giải phương trình :
( )
2
cos 2 3 2 2 1
1
1 sin 2
x sinx cos x
x
+ − −
=
+
3) Giải phương trình :
2
5 2 3(1 ).tansinx sinx x− = −
4) Giải phương trình :
8 8 2
17
sin 2
16
x cos x cos x+ =
5 Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;2
π
của phương trình :

cos3 sin 3
5 3 cos2

1 2sin 2
x x
sinx x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
6) Cho phương trình :
cos 2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m− + + + =
.
a) Giải phương trình khi m = 3/2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
3
;
2 2
π π
 
 ÷
 
.
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
≠
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2

+ b
2

≥
c
2
.
+ Cách giải :
- Chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được :

2 2 2 2 2 2
cosasinx b x c
a b a b a b
+ =
+ + +
- Đặt
2 2 2 2
sin
a b
cos
a b a b
α α
= ⇒ =
+ +
và đặt
2 2
sin

c
a b
β
=
+
ta có phương
trình:

sin( ) sinx
α β
+ =

Ví dụ 1: Giải phương trình :
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
+=+
(1)
DẠY ƠN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5 Nguyễn Cơng Mậu
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví duï 2: Giaûi phöông trình :
3 1
8sinx
cosx sinx
= +
(2)
Ví duï 3: Giaûi phöông trình :
0sincos2cos2sin
=−−−
xxxx
(3)

Ví duï 4: Giaûi phöông trình :
82cos2sin3cos3sin9
=+−+
xxxx
(4)
Ví duï 5: Giaûi phöông trình :
3
2 cos 2 0cos x x sinx+ + =
(5)
Ví duï 6: Giaûi phöông trình :
3 3
sin x cos x sinx cosx+ = −
(6)
Ví duï 7: Giaûi phöông trình : 4
4 4
(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + =
(7)
Ví d ụ 8 : Giải phương trình :
xxxx sin3cos)cos3(sin3
+=−
(8)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1)
( )
xxxx 4cos26sin32cos32cos4
3
=+−⇔

xxxxxx 4cos6sin
2

3
6cos
2
1
4cos26sin36cos
=+⇔=+⇔

xx 4cos
3
6cos
=






−⇔
π
.
Ví dụ 2: + ĐK :
( )
Zm
m
xx
x
x
∈≠⇔≠⇔




≠
≠
2
02sin
0cos
0sin
π
+ (2)
xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
+=−⇔+=⇔
xxxxx 3cos
3
cos3cossin
2
3
cos
2
1
=






+⇔=−⇔
π
Ví dụ 3: (3)
( )

01coscos2)sincossin2(
2
=−+−−⇔
xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
=−−−⇔
=+−−−⇔
xxx
xxxx
1)
4
sin(2
2
1
cos
=−∨=⇔
π
xx
Ví dụ 4: (4)
( )
( )
09cos2cos3cossin6sin9
2
=−++−⇔
xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3
=+−+−⇔
xxxx

03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2(
=+−⇔=+−−⇔
xxxxx

ααα
sinsinsincoscos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
−=−⇔−=−⇔
xxxx

10
3
sin;
10
1
cos;
2
cos)cos(
==







+=+⇔
ααα
π
α
x
Ví dụ 5: (5)
0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2
223
=−−+⇔=+−+⇔
xxxxxx

0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2
=−−++−⇔
xxxx

[ ]
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
=+++−⇔
=−++−⇔
xxxx
xxx

[ ]
0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
=+++−⇔

xxxxx




=+
=−
⇔=+++−⇔
0cossin
0sin1
0)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
x
xxxxx
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 6 Nguyễn Công Mậu