SKKN một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
------------------------

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG
SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI
DẤU CĂN BẬC HAI

Quảng Bình, tháng 11 năm 2018
1

1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
------------------------

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG
SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI
DẤU CĂN BẬC HAI

Họ và tên: Nguyễn Hồ Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Quý Đôn

Quảng Bình, tháng 11 năm 2018
2

2

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 10 nói riêng thì phần
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài
việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giải phương trình còn
rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận,
chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy
sáng tạo cho học sinh.
Các em học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụ thể
với nội dung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu căn bậc hai
dạng đơn giản. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên
trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho
nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi
và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững
nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có năng lực biến đổi toán học.
Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất
phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi THPT quốc gia; không những thế
học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toán khác như phương
trình mũ và logarit. Do đó học giải phương trình chứa căn không chỉ để giải một lớp
các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các em làm những bài
toán dạng khác, đặc biệt khi giải các phương trình loại này học sinh thường mắc
những sai lầm cơ bản.
Với năng lực của học sinh trong quá trình giảng dạy, tôi cũng không hy vọng
có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà
mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai
lầm trong quá trình làm bài. Qua các năm giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số kinh
nghiệm dạy nội dung kiến thức này.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh
những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”.

3

3


1.2. Điểm mới của đề tài
Trong đề tài này tôi đã đưa ra các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận
thức từ nhận biết - thông hiểu - vận dụng để học sinh dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có
hướng dẫn giải và có nhận xét để học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng
khi tiếp cận bài toán, rèn luyện cách trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic,
không mắc sai lầm khi biến đổi, đồng thời có bài tập tương tự để học sinh tự rèn
luyện. Từ đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán,
góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
của học sinh trong quá trình học tập.
Đề tài của tôi có thể áp dụng cho tất cả học sinh ở bậc THPT, đặc biệt có hiệu
quả đối với học sinh lớp 10 khi tiếp cận và học phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
bậc hai, cũng như đối với học sinh 12 khi ôn thi THPT quốc gia. Rất nhiều giáo viên
và học sinh đôi khi chỉ quan tâm đến cách giải hay các dạng phương trình, còn việc
làm thế nào để tránh được một số sai lầm khi giải phương trình thì ít được trình bày,
đó cũng là một điểm mới của đề tài.
2. NỘI DUNG
2.1. Thực trạng của vấn đề giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
Trước khi thực hiện đề tài tôi tiến hành khảo sát ( trong năm học2016-2017)
Câu hỏi

Số HS làm đúng

Tỉ lệ

1

95

89%

2

85

71,56%

3

9

6.04%

Khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đa số học sinh thường giải sai, giải
không triệt để, kết luận thường thừa hoặc thiếu nghiệm.
Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn là thì học sinh giải sai hoặc lúng túng.
4

4


Trong các đề thi THPT quốc gia thường xuất hiện các phương trình và bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Học sinh lớp 12 thường quên cách giải
hoặc giải sai.
Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vì vậy

tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được sai lầm cơ
bản cho học sinh.
2.2. Các giải pháp thực hiện
2.2.1. Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi
tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số sai lầm
khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả
Phương pháp:

Dạng 1:


g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
2

 f ( x ) =  g ( x ) 

Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định của phương trình là f ( x ) ≥ 0.

Dạng 2:


 f ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 

 f ( x ) = g ( x ) hoặc

Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả

g ( x) ≥ 0


g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 

 f ( x) = g ( x)

và

f ( x) ≥ 0

vì

f ( x) = g ( x)

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng

.

f ( x) = g ( x)

và

trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện

f ( x ) ≥ 0 . Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện được
phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và
loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện

f ( x) ≥ 0

là điều kiện cần và đủ của

phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình

2x − 3 = x − 2

(1)

Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:

5

5


Điều kiện phương trình (1) là

x≥

3
2 (*)

2
2
(1) ⇒ 2 x − 3 = x − 4 x + 4 ⇒ x − 6 x + 7 = 0

Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 − 2 .
Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các

giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 − 2 bị loại.
Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + 2 .
Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ở phương

trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện

x≥

3
2 để lấy nghiệm và nghiệm phương trình

là x = 3 + 2 và x = 3 − 2 .
Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm. Tuy nhiên với cách
giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử
sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai.
2
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − 2 x −1 = 3x + 1 (2)

Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làm theo
phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đó là: Biểu
thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả
2
sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x − 2 x − 1 ≥ 0 và thay giá trị của các

nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
Do đó nên cho học sinh giải đúng theo định hướng ban đầu như sau:
1

x≥−


1
3

3x + 1 ≥ 0

1
x ≥ −
⇔   x = −1 ⇔ x = −
3
( 2) ⇔  2
2 ⇔ 
3
3 x − 2 x − 1 = ( 3x + 1)
3 x 2 + 4 x + 1 = 0

1

 x = −
3

Ta có:

1
x=− .
3
Vậy nghiệm của phương trình (2) là
6

6

Ví dụ 3: Giải phương trình

3 x − 4 = x − 3 (3)

Hướng dẫn học sinh biến đổi tương đương cùng một lúc như sau:
x ≥ 3

9 + 29

 x − 3 ≥ 0
 x ≥ 3
9 + 29
 x =
⇔
⇔ 
⇔ x=
2 ⇔  2
2
2
 x − 9 x + 13 = 0

3x − 4 = ( x − 3)
9
−
29
 x =
 
2
Ta có: (3)

.

Vậy nghiệm của phương trình (3) là
Ví dụ 4: Giải phương trình

x=

9 + 29
.
2

5 x 2 + 6 x − 7 = x + 3 (4)

5 x 2 + 6 x − 7 ≥ 0

Học sinh thường đặt điều kiện  x + 3 ≥ 0
sau đó bình phương hai vế để giải

phương trình.
Học sinh gặp phải một trở ngại là mất thời gian để biểu thị hệ điều kiện của
phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3 ≥ 0 là điều kiện cần và đủ
mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện.
Nên định hướng cho học sinh giải như sau :
 x ≥ −3
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
 x = −2
⇔ 2
⇔ 2
⇔   x = −2 ⇔ 

x =1
5 x + 6 x − 7 = x + 3
5 x + 5 x − 10 = 0
 x = 1


Ta có : (4)

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = −2 và x = 1 .
Việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi
tương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sai lầm
đáng tiếc.
Ví dụ 5: Giải phương trình

2 x 2 + 3x − 4 = 7 x + 2

(5)

Tương tự ví dụ trên học sinh giải như sau:

7

7


2

x≥−
2



7
7 x + 2 ≥ 0
x≥−
⇔  2
⇔ 
⇔ 
⇔ x =3
7
x
=
−
1

 2 x + 3x − 4 = 7 x + 2
2
2x − 4x − 6 = 0


  x = 3
Ta có: (5)
.
Vậy nghiệm của phương trình (5) là x = 3.

Ví dụ 6: Giải phương trình

−3 x + 2 = 2 x + 1

(6)

Để không bị quên kiểm tra lại điều kiện nên yêu cầu học sinh biến đổi tương đương

1

x
≥
−

2 x +1 ≥ 0
2⇔ x=1
⇔ 

5
 −3x + 2 = 2 x + 1
x = 1

5

cùng một lúc: (6) ⇔
Vậy nghiệm của phương trình (6) là

x=

1
5.

Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương pháp
biến đổi hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm rà dẫn đến
dễ mắc sai lầm và thiếu sót. Còn giải theo phương pháp biến đổi tương đương thì đơn
giản và thuận tiện hơn.

2.2.2. Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình dạng
1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp: Chuyển phương trình về dạng
phụ:

f ( x ) = t ( t ≥ 0)

af ( x ) + b f ( x ) + c = 0

Sau đó đặt ẩn

Đưa về phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0.

Ví dụ 7: Khi gặp bài toán

x 2 − 3 x + 5 = − x 2 + 3x + 7 (7)

Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương như sau:
 −3x 2 + 3x + 7 ≥ 0
 2
2
 x − 3x + 5 = − x + 3x + 7
⇔
(7)

(

)

2

thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc bốn và để giải

được kết quả cuối cùng thì không phải lúc nào cũng thuận lợi.
8

8


Do đó ta phải có phương pháp khác đó là đặt ẩn phụ và từ đó hình thành cho học sinh
một lớp bài toán giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi đó hướng dẫn học sinh biến đổi như sau :
2
2
Ta có: (7) ⇔ x − 3x + 5 + x − 3x + 5 − 12 = 0

t = 3

Đặt

x 2 − 3x + 5 = t (t ≥ 0) . Khi đó phương trình trở thành

t 2 + t − 12 = 0 ⇔ 

t = −4(l )

 x = −1

Với t = 3 ta được

x 2 − 3x + 5 = 9 ⇔ 

x = 4

Vậy nghiệm của phương trình (7) là x = -1 và x = 4.
2
2
Ví dụ 8 : Giải phương trình 5 4 x − 12 x + 11 = 4 x − 12 x + 15 (8)

Theo mạch đó học sinh sẽ giải như sau :
2
2
Ta có : (8) ⇔ 4 x − 12 x + 11 − 5 4 x − 12 x + 11 + 4 = 0

Đặt

4 x 2 − 12 x + 11 = t (t ≥ 0)

t = 1
t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ 
t = 4 (thoả mãn điều kiện của t)
Phương trình trở thành
Với t = 1 ta được

4 x 2 − 12 x + 11 = 1 ⇔ 4 x 2 − 12 x + 10 = 0 (phương trình vô nghiệm).

Với t = 4 ta được


3 + 56

x =
4
4 x 2 − 12 x + 11 = 4 ⇔ 4 x 2 − 12 x − 5 = 0 ⇔ 

3 − 56
x =

4

x=

Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 9: Giải phương trình:

( 2x

2

3 + 56
3 + 56
; x=
4
4

+ 1) 2 x 2 + 1 = 4 ( x2 − 1) + 3 2 x 2 + 1

Ta biến đổi để trong phương trình có những biểu thức giống nhau như sau:

( 2x

2

+ 1) 2 x 2 + 1 = 2 ( 2 x 2 + 1) + 3 2 x 2 + 1 − 6

2
Đặt 2 x + 1 = t (t ≥ 1).
9

9


3
2
Khi đó ta được một phương trình bậc ba với ẩn t: t − 2t − 3t + 6 = 0

⇔ ( t – 2 )(t2 – 3 ) = 0 ⇔t = 2 hoặc t = 3 hoặc t = – 3 ( loại )

Với t = 2 ⇒

2x +1 = 2 ⇔ x =

3 ⇒

Với t =

2

2x2 +1 =

±

6
2

3 ⇔ x = ±1

Vậy phương trình có bốn nghiêm là: x =
Nhận xét:

±

6
2 ,x= ±1

Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp thi ta nên
nghĩ đến việc biến đổi để trong phương trình có những biểu thức chứa biến giống
nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ.
Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:

α ( ax 2 + bx ) + β = γ ( ax 2 + bx ) + δ

⇒

( ax

2

+ bx ) =

, khi đó ta đổi biến

α ( ax 2 + bx ) + β = t

t2 − β
,α ≠ 0
α
(t ≥ 0).

Tuy nhiên trong một vài trường hợp, nếu phương trình trên có nghiệm từ hai
nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta vẫn có thể giải bằng cách bình phương hai
vế của phương trình.
Ví dụ 10: Giải phương trình:

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 (ĐH Khối D – 2006)

Ta có:
(10) ⇒

2 x − 1 = − x 2 + 3x − 1 ⇒ x4 − 6 x3 + 11x 2 − 8 x + 2 = 0

x =1

2
⇒ ( x − 1) ( x 2 − 4 x + 2 ) ⇒  x = 2 + 2
x = 2 − 2

Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 + 2.
10

10

2.2.3. Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải các
phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác nhau để
tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình
Phương pháp: Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều kiện
trước khi giải.
a. Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương,
bình phương nhiều lần
Ví dụ 11: Giải phương trình
3x + 7 ≥ 0

Điều kiện:  x + 1 ≥ 0

3 x + 7 − x + 1 = 2 (11)

7

x ≥ −
3


x
≥
−
1
⇔
⇔ x ≥ −1 (11’)

Với điều kiện (11’) ta có: (11) ⇔ 3x + 7 = 2 + x + 1 ⇔ 3x + 7 = x + 5 + 4 x + 1

⇔ 2 x +1 = x + 1

(với điều kiện (11’) ta tiếp tục bình phương hai vế)

⇔ 4x + 4 = x2 + 2x + 1
⇔ x2 -2x - 3 = 0

 x = −1

⇔ x = 3

(thoả mãn điều kiện (11’)

Vậy nghiệm của phương trình (11) là

x = -1 và x = 3.

Ví dụ 12: Giải phương trình 2 x − 4 + x − 1 = 2 x − 3 + 4 x − 16 (12)
Khi gặp bài toán này nhiều học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
Ta có : (12) ⇔ 2 x − 4 + x − 1 = 2 x − 3 + 4 x − 16
⇔ 2 x − 4 + x − 1 = 2 x − 3 + 4( x − 4)
 x −1 ≥ 0

x ≥1
⇔ x=2

 x −1 = 2 x − 3  x = 2

⇔ x −1 = 2 x − 3 ⇔ 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho do
học sinh không tìm điều kiện của phương trình
11

11


x − 4 ≥ 0

 x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4
2 x − 3 ≥ 0
Lời giải đúng là: Điều kiện 
(12’)

Với điều kiện (12’) ta có: (12) ⇔ 2 x − 4 + x − 1 = 2 x − 3 + 2 x − 4
⇔ x − 1 = 2 x − 3 ⇔ x = 2 ( không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
A+ B =

Chú ý:

A ≥ 0
A+ C ⇔
 B= C

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng cố đi tìm cho được điều kiện cụ thể của
phương trình, chẳng hạn như ví dụ sau:
Ví dụ 13: Giải phương trình

7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2 x − x2

(13)

7 − x 2 + x x + 5 ≥ 0

2
3 − 2 x − x ≥ 0
x + 5 ≥ 0
Hướng dẫn : Điều kiện 
(13’)

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.
Với điều kiện (13’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được
 x ( 2 x + 4 ) ≤ 0
(13) ⇔ 7 − x 2 + x x + 5 = 3 − 2 x − x 2 ⇔ x x + 5 = −2 x − 4 ⇔  2
2
 x ( x + 5 ) = 4 x + 16 x + 16

 −2 ≤ x ≤ 0
 −2 ≤ x ≤ 0

⇔ 3
⇔   x = −1
2
 x + x − 16 x − 16 = 0   x = ±4 ⇔ x = −1

( thỏa mãn điều kiện (13’))
Vậy nghiệm của phương trình (13) là x = -1

Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x + 7 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 (14)
Điều kiện của phương trình là x ≥ 1
Ta thấy: Biểu thức dưới dấu căn

(14’)

x + 7 + 2 x + 1 có dạng hằng đẳng thức

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau:
12

12


( 14 ) ⇔ 2

(

)

2

x +1 +1 − x +1 = 4⇔ 2 x +1 + 2 − x +1 = 4
⇔ x +1 = 2 ⇔ x +1= 4 ⇔ x = 3

x = 3 thỏa mãn điều kiện (14’). Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
b. Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 15: Giải phương trình:

2

( x − 2) ( 7 − x ) − x − 2 − 7 − x = 1

Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:

(

) (
2

x−2 +

t2 −5 = 2

)

2

7− x =5

( hằng số ), do đó nếu ta đặt

x − 2 + 7 − x = t thì ta có:

( x − 2 ) ( 7 − x ) , cần chú ý đến điều kiện của biến trung gian để việc giải bài

toán có nhiều thuận lợi.
Điều kiện −2 ≤ x ≤ 7
Đặt t =

x − 2 + 7 − x (t ≥ 0)

Ta suy ra

t2 = 5 + 2

( x − 2) ( 7 − x )

t = 3

Ta được phương trình: t2 – 5 – t = 1 ⇔ t2 – t – 6 = 0 ⇔ t = −2 (l )

Với t = 3 ta được

x = 6
( x − 2 ) ( 7 − x ) = 2 ⇔ x2 – 9x + 18 = 0 ⇔  x = 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và x = 3.
Tuy nhiên có những bài như sau:
2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 (16)

Ví dụ 16: Giải phương trình

2 x + 3 ≥ 0
⇔ x ≥ −1

x
+
1
≥

0

HD: Điều kiện
(16’)
Ta thấy

( 2 x + 3)2 +

(

)

2

x + 1 = 3x + 4

khác hằng số

Tuy nhiên ta vẫn có thể giải bằng phương pháp trên
13

13


Đặt

2 x + 3 + x + 1 = t , (Điều kiện t ≥ 0)
⇔ 3x + 2 2 x + 5x + 3 = t − 4
2

2

t = 5

Phương trình (16) trở thành : t2 - t - 20 = 0 ⇔ t = −4 (l )
2
Với t = 5 ta được 2 2 x + 5 x + 3 = 21 − 3 x ( là phương trình thuộc dạng 1)

21 − 3 x ≥ 0
⇔
2
2
4 ( 2 x + 5 x + 3) = 41 − 216 x + 9 x
x ≤ 7
⇔ 2
⇔ x = 118 − 1345
x
−
236
x
+
429
=
0

So sánh với điều kiện (16’) ta có nghiệm của phương trình là x = 118 − 1345
x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2

Ví dụ 17 : Giải phương trình :
Hướng dẫn : đặt điều kiện x ≥ 2

2
2
Cũng với hướng giải đó ta đặt : x + 2 − x − 2 = t (t ≥ 0) ⇔ t = 2 x − 2 x − 4

t = 1

Phương trình trở thành
Với

t2 + t − 2 = 0 ⇔ 

t = −2(l )

t = 1 ⇔ 2 x 2 − 4 = 2 x − 1 ⇔ 4( x 2 − 4) = 4 x 2 − 4 x + 1 ⇔ x =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x=

17
4

17
4

Có thể tổng quát cho những phương trình đặt ẩn phụ dạng này như sau:

m

(

đặt

)

f ( x ) ± g ( x ) ± 2n f ( x ) g ( x ) + n ( f ( x ) + g ( x ) ) + p = 0

f ( x ) ± g ( x ) = t (t ≥ 0)

,

, bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn

lại qua ẩn t.
c. Phương trình chứa nhiều căn khác bậc giải bằng phương pháp đặt hai ẩn phụ :
14

14


3

Ví dụ 18: Giải phương trình:

24 + x + 12 − x = 6

Với phưong trình này có chứa hai loại căn là căn bậc hai và căn bậc ba, do đó
phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế đều không đem lại kết quả thuận
lợi cho việc giải, còn nếu đặt một ẩn phụ thì không thể đưa phương trình về

dạng không chứa căn. Đó là lí do để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ.
Ta chỉ cần đặt điều kiện cho căn bậc hai là x ≤ 12
 3 24 + x = u
, ( v ≥ 0)

3
2
Đặt  12 − x = v
. Ta nhận thấy rằng u + v = 36 ( hằng số)

u = 0 u = 3 u = −4

u + v = 6
⇔
∨
∨
 3
2
u + v = 36
v
=
6
v
=
3




v = 10

Do đó ta có hệ

Với

u = 0  3 24 + x = 0
⇔
⇔ x = −24

v
=
6

 12 − x = 6

Với

u = 3  3 24 + x = 3
⇔
⇔ x=3

v = 3
 12 − x = 3

Với

u = −4  3 24 + x = −4
⇔
⇔ x = −88

12

−
x
=
10
v = 10


Vậy phương phương trình có 3 nghiệm là x = -24; x = 3; x = -88
Ví dụ 19: Giải phương trình:

3

x −1 + 3 x − 3 = 3 2

Với phương trình này chỉ chứa một loại căn nhưng để mất căn ta phải mũ ba hai
vế nhưng việc làm này sẽ dẫn đến một phương trình khá phức tạp và khó giải.
Nhưng ta lại thấy rằng

(

3

) (
3

x −1 −

3

)

3

x−3 =2

( hằng số).

u = 3 x − 1

v = 3 x−3
Do đó ta đặt 
15

15


 v = 0

3
 u = − 2
⇔
u + v = 3 2
3
 v = − 2
 3 3

 u =0
 
Khi đó ta có hệ u − v = 2

Giải ra ta có các nghiệm là (3; 0) và (0; 3)
Ta tổng quát dạng này như sau:

(

)

F f ( x ) , n a + f ( x ) , m b − f ( x ) = 0.

2.2.4. Giải pháp 4: Tránh sai lầm cho học sinh khi khai căn của bình phương một
biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai

Phương pháp:

 A, A ≥ 0
A2 = A = 
 − A, A < 0

Ví dụ 20: Khi gặp phương trình:

( x − 3) ( x

x 2 − 7 x + 12 =

2

− x − 6)

(20)

Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:
Lời giải sai:

(20) ⇔ x 2 − 7 x + 12 =

( x + 3) ( x 2 − x − 6 ) ⇔ ( x − 3) ( x − 4 ) = ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 2 )

⇔ ( x − 3) ( x − 4 ) = ( x − 3 ) x + 2 ⇔ ( x − 3)

Giải ( ∗) ta có:

(

x = 3
x+2 −x+4 =0⇔ 
 x + 2 = x − 4 (*)

)

 x − 4 ≥ 0
x ≥ 4
x+2 = x−4⇔
⇔ x=7
2 ⇔  2
x
−
9
x
+
14

=
0
x
+
2
=
x
−
4
(
)



Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7.
HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình.
Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả
mãn.
Lời giải đúng phải là: Ta có
16

16


(20) ⇔ x 2 − 7 x + 12 =
⇔ ( x − 3) ( x − 4 ) =

Giải (1):

( x + 3) ( x 2 − x − 6 )

( x − 3) ( x − 2 )
2

⇔ ( x − 3) ( x − 4 ) =

( x − 3) ( x − 3) ( x − 2 )

( x − 3) x + 2 = ( x − 3) ( x + 4 ) ( 1)
⇔
−
 ( x − 3) x + 2 = ( x − 3) ( x + 4 ) ( 2 )

(1) ⇔ ( x − 3) x + 2 = ( x − 3) ( x − 4 ) ⇔ ( x − 3)

(

)

x+2−x+4 =0

x = 3
x = 3
⇔
⇔
x = 7
 x+2 = x−4

Giải (2):

(2) ⇔ − ( x − 3) x + 2 = ( x − 3) ( x − 4 ) ⇔ ( x − 3)

(

)

x+2 +x−4 =0

x = 3
x = 3
⇔
⇔
x = 2
 x+2 =4− x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2; x = 3; x = 7.

Lưu ý:

0 khi A = 0

A2 B = A B =  A B khi A > 0

 − A B khi A < 0

Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0.
Ví dụ 21: Giải phương trình:
Phương trình có dạng:

x2 + 2x2 − 1 − x2 − 2x2 − 1 = 2x + 2

2 x 2 + 2 2 x 2 − 1 − 2 x 2 − 2 2 x 2 − 1 = 2( x + 2)

Đến đây nếu để học sinh tự làm tiếp thì nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm như sau: đưa
2
2
phương trình về dạng : 1 + 2 x − 1 + 1 − 2 x − 1 = 2( x + 2) ⇔ x = 1 − 2

Và kết luận nghiệm của pt là x = 1 − 2
Tuy nhiên lời giải đúng thì x = 1 − 2 lại không là nghiệm của phương trình
Lời giải đúng như sau:
Phương trình ⇔
17

1 + 2 x 2 − 1 + 1 − 2 x 2 − 1 = 2( x + 2)

(*)
17


- Nếu

1 − 2x2 − 1 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 2x2 − 1 ≤ 1 ⇔

1
≤ x ≤1
2
(a)

Khi đó (*) trở thành x + 2 = 1 ⇔ x = 1 − 2 không thỏa mãn (a)
2

- Nếu 1 − 2 x − 1 < 0 ⇔ x > 1 (b). Khi đó (*) trở thành:




x ≥ − 2
x ≥ − 2
x = 2 + 5
2x2 − 1 = x + 2 ⇔ 
⇔
⇔
2
2
2
2 x − 1 = ( x + 2)

x = 2 − 5

x − 2 2x − 3 = 0


Do (b) nên ta chỉ nhận được x = 2 + 5
Do vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 + 5 .

Ví dụ 22 : Giải phương trình

( x + 5)

x−2
= x+2

x+5

Một số HS đã có lời giải sai như sau:

Ta có:

x−2
= x+2⇔
x+5

( x + 5)

( x + 5) ( x − 2 )

=x+2

 x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2
 x ≥ −2
⇔
⇔
 2
⇔
2
2
 x + 3 x − 10 = x + 4 x + 4
( x + 5 ) ( x − 2 ) = ( x + 2 )
 x = −14
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Rỏ ràng x = - 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài

toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.
B.

Lưu ý:

A  AB khi A ≥ 0; B > 0
=
B − AB khi A < 0; B < 0

Do đó lời giải đúng phải là:

( x + 5).
Trường hợp 1:

18

x ≥ 2
x−2
= x + 2 ⇔ 
x+5
 ( x + 5)( x − 2) = x + 2

18


x ≥ 2

⇔ 

( x + 5) ( x + 2 ) = ( x + 2 )

( x + 5).
Trường hợp 2:

x ≥ 2

2

⇔

 x = −14

hệ vô nghiệm

 x < −5
x−2
= x+2 ⇔ 
x+5
 ( x + 5)( x − 2) = − x − 2

 x < −5
 x < −5
⇔ 
⇔
⇔ x = −14

2
 x = −14
( x + 5) ( x + 2 ) = ( x + 2 )

Vậy phương trình có nghiệm là x = -14.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: ( Giải theo một trong hai dạng cơ bản)
a)

2x + 3 = x

2
c) − x + 2 x + 4 = x − 2

b)
d)

x2 − 6 x = 6 = 2 x −1
x2 − 2 x − 8 = 3 ( x − 4)

.

Bài tập 2 : (Giải bằng cách đặt 1 ẩn phụ)
2
2
a) . x + 2 x = −2 x − 4 x + 3

b)

( x + 1) ( x + 2) = x 2 + 3x − 4

c)

5 x 2 + 10 x + 1 = 7 − x 2 − 2 x

d)

x + 1 − 12 − x = − x 2 + 11x − 23

e)

x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2

f)

2 x + 3 + x + 1 = 3x − 16 + 2 x 2 + 5 x + 3.

Bài tập 3 : ( Giải bằng cách biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần )
a) x + x − 5 = 5
b)

x + 4 − 1− x = 1− 2 x

c)

5 x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0

d)

x +1 − 3 − 4x = 2 x + 2 .

Bài tập 4 : ( Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ)
19

19


3
a) 2 x + 1 − 2 x − 5 = 3

3

c)

1+x+
2

1 − x =1
2

b)
d)

4

18 − x + 4 x − 1 = 3

1 − x2 + 2 3 1 − x 2 = 3 .

3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài
Như vậy, qua một số giải pháp mà tôi đưa ra nhằm giúp cho học sinh có cái
nhìn tổng quát hơn, sâu rộng hơn và tránh được nhiều sai lầm đáng tiếc hơn khi giải
các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.

Giúp cho học sinh lớp 10 có kiến thức chắc chắn hơn, kỷ năng thành thạo và tự
tin hơn khi học phần này và giúp cho học sinh lớp 12 có thêm kinh nghiệm để chuẩn
bị tốt cho kỳ thi THPT quốc gia.
Đề tài của tôi sẽ được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10 và
trong quá ôn thi THPT quốc gia, chắc chắn học sinh đạt được kết quả cao hơn, đề tài
sẽ góp phần nâng cao cho học sinh khả năng giải các phương trình cũng như vận dụng
để giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Sẽ gây được sự hứng thú cho
học sinh học tập hơn. Năm học 2016-2017 tôi đã áp dụng đề tài này cho học sinh các
lớp 10A5 ; 10A6 ; 10A10 trong các tiết chính khóa, các tiết tự chọn và năm học 20182019 tôi sẽ sử dụng để ôn thi THPT cho học sinh lớp 12 sắp tới.
Kết quả so với trước khi chưa áp dụng đề tài ( năm học 2016-2017)
Câu hỏi

Số HS làm đúng

Tỉ lệ

1

104

93.56%

2

95

87.16%

3

69

61.47%

3.2. Kiến nghị, đề xuất

20

20


Kính mong tổ chuyên môn thảo luận thêm về đề tài này trong các buổi sinh
hoạt chuyên môn của tổ, tăng thêm thời lượng trong các tiết tự chọn cũng như tạo mọi
điều kiện để tôi thực hiện đề tài này một cách có hiệu quả nhất đến với học sinh.
Kính đề nghị nhà trường cũng tạo mọi điều kiện để tôi thực hiện tốt đề tài của
mình.
Nội dung kiến thức về phương trình chứa căn rất sâu rộng và phong phú. Tôi
đã cố gắng tìm tòi và vận dụng với thực tế là học sinh chủ yếu ở mức độ dưới khá.
Chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các đồng
nghiệp góp ý để đề tài tôi sẽ có hiệu quả hơn nữa trong quá trình giảng dạy. Tôi xin
chân thành cảm ơn !

21

21