(Luận văn thạc sĩ) Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

LÊ THỊ NHUNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN
THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 04/2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

LÊ THỊ NHUNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN
THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2019

1

Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ với hàm kích hoạt tổng quát

17

2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát

27

3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


2

LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7].
Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín
hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15]. Năm 2008,
trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu
tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo
hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi
phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân
phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính
chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15]. Do đó hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân

thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tài
liệu tham khảo trong đó).
Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản và
quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng
không là ngoại lệ. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình
vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảo
trong đó). Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quả
thú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26].
Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàm
phân thứ Caputo, H. Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm


3

cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ. Trong [25], các tác
giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler đối với lớp hệ phương trình mạng
nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt không liên tục. Tính ổn định cho hệ phương
trình mạng nơ ron phân thứ phức được nghiên cứu trong [26]. Bằng cách tiếp
cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [27] nghiên
cứu tính ổn định Mittag–Leffler của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ
không có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Gần đây, tính
ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt
tổng quát được nghiên cứu trong [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức
ma trận tuyến tính và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân
thứ. So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace và tìm nghiệm của đa thức
đặc trưng trong các bài báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma
trận tuyến tính có ưu thế là có thể kiểm tra các điều kiện ổn định bằng phần
mềm MATLAB. Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận
tuyến tính, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ

có thể giải quyết không mấy khó khăn.
Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ
ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp
các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Luận văn gồm có 3
chương. Cụ thể:
Trong chương 1, tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như
tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy
nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 12, 13].
Trong chương 2 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ
phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23].
Trong chương 3 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ
phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội
dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23]


4

Luận văn này được thực hiện tại trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái
Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham gia
giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên

cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường ĐH Khoa Học Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ
mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân
thành cảm ơn.


5

Danh mục ký hiệu

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x

Rn×r

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t 0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α


6

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [9, 10, 12, 13].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α

t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α
t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau

Định lí 1.1. ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi


7

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α
t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([13])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

−α

=λ

j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α

t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)



 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


8

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α

t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
ck =
k!

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville.
Định lí 1.2. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


9

Hệ quả 1.1. ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α

t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
=
+
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α

t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

dn
1
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

dn
µ
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ

Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ
cấp α.


10

Định lí 1.3. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:

C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lí 1.4. ([13]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


11

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây
Định lí 1.5. ([13]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α

t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lí 1.6. [13] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:

n−1
C α
t0 Dt x(t)

=RL
t0

Dtα

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

1.2.

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,
t∈[0,T ]

( trong đó . là chuẩn Euclide trong không gian Rn ).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
C α
0 Dt x(t)

= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(1.1)

12

với điều kiện ban đầu
x(0) = x0 ∈ Rn ,

(1.2)

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn .
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]
nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [9] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy
ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
1
ϕ(t, x0 ) = x0 +
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm
hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 )

không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương
lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên
đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. ([9] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.


13

Đặt M = sup

f (t, x) và

(t,x)∈G

T∗ =



 T, nếu M = 0,

 min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lí 1.8. ([2] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),
(1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.4. [12] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)


14

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
+∞

Eα,β (A) =
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [13].
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.4)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([27]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi

điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
(1.4) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=

C α
t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.5)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.


15

Định nghĩa 1.7. ([27]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

x(t) ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .
Nhận xét 1.3. ([27]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny
đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ.
Định lí 1.9. ([14]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:
(i)

α1 x(t)

(ii)

C α
t0 Dt V

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

(t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa
mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0
trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, Chen B.S và
Chen J.J là những tác giả đầu tiên đưa ra định lý kiểu Razumikhin để nghiên
cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ này.
α
Định lí 1.10. [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ C
t0 Dt x(t) =

h(t, xt ), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, h : [t0 , +∞) ×
C([t0 − τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ) là điều
kiện ban đầu. Giả sử rằng ω1 , ω2 : R −→ R là các hàm liên tục không giảm,


16

ωi (s), i = 1, 2 dương với s > 0 và ωi (0) = 0, i = 1, 2, ω2 là hàm tăng chặt. Nếu

tồn tại hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn
ω1 ( x ) ≤ V (t, x) ≤ ω2 ( x ), t ∈ R, x ∈ Rn
và với bất kỳ t0 ∈ R cho trước, điều kiện dưới đây được thỏa mãn
C α
t0 Dt V

(t, x(t)) < 0 khi mà supt0 −τ ≤θ≤t V (θ, x(θ)) = V (t, x(t)), ∀t ≥ 0.

Khi đó hệ ổn định đều.

1.4.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu



T
X Z

 < 0.
Z −Y

Bổ đề 1.3. [10] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng,
xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm liên tục và có đạo hàm. Khi đó
ta có bất đẳng thức sau đúng
C α
0 Dt

α
xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t),

∀t ≥ 0.

Bổ đề 1.4. [23] Giả sử rằng các ma trận Qi ∈ Rn×n (i = 0, 1, . . . , p) là các
ma trận thực, đối xứng. Khi đó điều kiện η T Q0 η > 0, ∀η = 0 sao cho η T Qi η ≥
0, (i = 1, 2, . . . , p) đúng nếu tồn tại các số τi ≥ 0(i = 1, 2, . . . , p) sao cho
p

Q0 −

τi Qi > 0.
i=1


17

Chương 2

Tính ổn định của hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ với hàm

kích hoạt tổng quát
2.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát


 C Dα x(t) = −Cx(t) + Bg(x(t)) + I, t ≥ t0 ,
t0 t
(2.1)

 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t))

T

∈ Rn là véc tơ trạng thái

của mạng nơ ron, C = diag{c1 , c2 , . . . , cn } với ci > 0, B = (bij ) là ma
trận hằng số, véc tơ I = [I1 , I2 , . . . , In ]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào, g(x(t)) =
[g1 (x1 (t)), g2 (x2 (t)), . . . , gn (xn (t))]T ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron.
Hàm kích hoạt được giả thiết thỏa mãn điều kiện dưới đây:
Giả thiết 2.1. Hàm kích hoạt gi (.), i = 1, 2, . . . , n thỏa mãn điều kiện dưới
đây
ki− ≤

gi (u) − gi (v)
≤ ki+ ,
u−v

∀u, v ∈ R, u = v,

(2.2)

ở đó ki− , ki+ (i = 1, 2, . . . , n) là hằng số cho trước.
Nhận xét 2.1. Trong Giả thiết 2.1, các hằng số ki+ và ki− có thể là số dương,
số âm hoặc bằng 0. Đặc biệt, khi ki− = 0 và ki+ > 0, Giả thiết 2.1 suy ra
rằng gi (.), i = 1, 2, . . . , n là các hàm đơn điệu không tăng thỏa mãn điều kiện


18

Lipschitz toàn cục. Khi ki+ > ki− > 0, ta có hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơn
điệu tăng với đạo hàm có cận trên và cận dưới. Trong hầu hết các kết quả đã
có (chẳng hạn trong [1, 27]), các hàm kích hoạt gi (.) đều thỏa mãn điều kiện
|gi (u) − gi (v)| ≤ ki |u − v|, với mọi u, v ∈ R. Dưới giả thiết này, các giá trị tuyệt
đối của ki+ và ki− đều bằng nhau. Như vậy, so với các điều kiện hàm kích hoạt
thuộc lớp hàm đơn điệu không giảm hoặc thuộc lớp hàm liên tục Lipschitz,
điều kiện (2.2) là ít bảo thủ hơn.
Nhận xét 2.2. Trong [1], luận văn của Nguyễn Văn Cường đã nghiên cứu
tính ổn định cho lớp mạng nơ ron phân thứ (2.2). Tuy nhiên, trong [1] mới chỉ
nghiên cứu tính ổn định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thuộc
lớp hàm liên tục Lipschitz. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính ổn
định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện (2.2)
dựa trên việc đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống bài báo [23]. Vì
vậy, các nội dung chính trong luận văn này khác với kết quả trong [1].
Định nghĩa 2.1. Một ánh xạ H : Rn −→ Rn là một phép đồng phôi trên Rn
nếu H là một ánh xạ liên tục, một song ánh và H −1 là một ánh xạ liên tục.
Bổ đề dưới đây cho ta một điều kiện đủ để một ánh xạ là một phép đồng

phôi.
Bổ đề 2.1. [16] Nếu ánh xạ liên tục H : Rn −→ Rn thỏa mãn hai điều kiện
dưới đây:
(i) H là một đơn ánh trên Rn ;
(ii) H(x) → ∞ khi x → ∞
thì H là một phép đồng phôi trên Rn .
Bổ đề 2.2. [23] Nếu H là một phép đồng phôi trên Rn thì tồn tại duy nhất
một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0.
Chứng minh. Vì H là một phép đồng phôi nên H là một song ánh. Do H là
một toàn ánh nên tồn tại một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0. Ngoài ra, vì H
là một đơn ánh nên điểm ω nói trên phải là duy nhất.


19

Để thuận tiện cho việc trình bày tiếp theo, ta ký hiệu
K1 = diag{k1+ , k2+ , . . . , kn+ }, K2 = diag{k1− , k2− , . . . , kn− },
K = diag{max{|k1+ |, |k1− |}, max{|k2+ |, |k2− |}, . . . , max{|kn+ |, |kn− |}}
= diag{k1 , . . . , kn }.
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của hệ (2.1).
Định lí 2.1. [23] Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Hệ (2.1) có duy
nhất một điểm cân bằng x∗ nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương
P , hai ma trận đường chéo chính xác định không âm T = diag{t1 , . . . , tn }, S =
diag{s1 , . . . , sn } sao cho điều kiện dưới đây được thỏa mãn


Φ11
Φ12
 < 0,

Φ=
∗ −2S − T

(2.3)

ở đó
Φ11 = −CP − P C − 2K1 SK2 + KT K,
Φ12 = P B + K1 S + K2 S.
Chứng minh. Giả sử rằng x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n )T ∈ Rn là một điểm cân bằng của
hệ (2.1), tức là
− Cx∗ + Bg(x∗ ) + I = 0.

(2.4)

Xét ánh xạ H : Rn −→ Rn được xác định như sau:
H(x) = −Cx + Bg(x) + I.

(2.5)

Chú ý rằng x∗ là nghiệm của hệ (2.1) thì H(x∗ ) = 0. Do đó để chứng tỏ hệ
(2.1) có duy nhất một điểm cân bằng, ta chỉ cần chứng tỏ H là một phép đồng
phôi trên Rn . Rõ ràng H là một ánh xạ liên tục trên Rn . Trước hết, ta chứng
tỏ H là một đơn ánh, tức là H(u) = H(v) với bất kỳ u = (u1 , . . . , un )T , v =
(v1 , . . . , vn )T ∈ Rn , u = v. Theo Giả thiết 2.1, u = v ta xét hai trường hợp dưới
đây.


20

Trường hợp 1: Với u = v và g(u) − g(v) = 0, ta có

H(u) − H(v) = −C(u − v) = 0.
Suy ra H(u) = H(v).
Trường hợp 2: Nếu u = v và g(u) − g(v) = 0 thì với bất kỳ hai ma trận đường
chéo chính xác định không âm T = diag{t1 , . . . , tn }, S = diag{s1 , . . . , sn }, từ
Giả thiết 2.1, ta có
n

si (gi (u) − gi (v)) − ki+ (ui − vi )

0 ≤ −2

(gi (ui ) − gi (vi )) − ki− (ui − vi )

i=1
T

= −2 ((g(u) − g(v)) − K1 (u − v)) S ((g(u) − g(v)) − K2 (u − v)) ,
(2.6)
và
n

0≤−

ti ((gi (u) − gi (v)) + ki (ui − vi )) ((gi (ui ) − gi (vi )) − ki (ui − vi ))
i=1

= − (g(u) − g(v)) − K1 (u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v) .
(2.7)
Từ (2.6) và (2.7), ta thu được
2(u − v)T P (H(u) − H(v))

T

− 2 ((g(u) − g(v)) − K1 (u − v)) S ((g(u) − g(v)) − K2 (u − v))
− (g(u) − g(v)) − K1 (u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)
= 2(u − v)T P (−Cu + Bg(u) + Cv − Bg(v))
T

− 2 ((g(u) − g(v)) − K1 (u − v)) S ((g(u) − g(v)) − K2 (u − v))
− (g(u) − g(v)) − K1 (u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)
= (u − v)T (−CP − P C) (u − v) + 2(u − v)T P B (g(u) − g(v))
T

− 2 ((g(u) − g(v)) − K1 (u − v)) S ((g(u) − g(v)) − K2 (u − v))
− (g(u) − g(v)) − K1 (u − v)T T (g(u) − g(v)) − (u − v)T KT K(u − v)


T 
u−v
u−v
 Φ
 = ζ1T Φζ1 ,
=
g(u) − g(v)
g(u) − g(v)
(2.8)


21

ở đó


ζ1 = 

u−v



.
g(u) − g(v)

Vì u = v nên g(u) − g(v) = 0. Do đó nếu điều kiện (2.3) được thỏa mãn thì
ζ1T Φζ1 < 0. Theo Bổ đề 1.4 (S-procedure), ta có 2(u − v)T P (H(u) − H(v)) ≤
ζ1T Φζ < 0 với u − v = 0. Điều này suy ra H(u) = H(v). Suy ra H là một đơn
ánh.
ˆ
Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng H(x) −→ ∞ khi x −→ ∞. Đặt H(u)
= H(u)−
ˆ
H(0), ta có H(u)
= −Cu + B (g(u) − g(0)). Để chứng tỏ rằng H(u) −→ ∞
ˆ
khi u −→ ∞, ta chỉ cần chứng tỏ H(u)
−→ ∞ khi u −→ ∞.
Trong (2.8), cho v = 0, ta thu được
T
2uT P ˆ(H)(u) − 2 ((g(u) − g(0)) − K1 u) S ((g(u) − g(0)) − K2 u)

− (g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku
= 2uT P (−Cu + Bg(u) − Bg(0))
T

− 2 ((g(u) − g(0)) − K1 u) S ((g(u) − g(0)) − K2 u)
− (g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku
uT (−CP − P C)u + 2uT P B(g(u) − g(0))

(2.9)

T

− 2 ((g(u) − g(0)) − K1 u) S ((g(u) − g(0)) − K2 u)
− (g(u) − g(0))T T (g(u) − g(0)) − uT KT Ku

T 

u
u
 Φ

=
g(u) − g(0)
g(u) − g(0)
= ζ2T Φζ2 ,
ở đó




u
.
ζ2 = 

g(u) − g(0)
Từ điều kiện (2.3), ta suy ra ζ2T Φζ2 < 0 với mọi ζ2 = 0. Sử dụng Bổ đề 1.4
(S-procedure), điều này suy ra
ˆ
2uT P H(u)
≤ ζ2T Φζ2 < λmax (Φ) u 2 .

(2.10)


22

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có
− λmax (Φ) u

2

≤2 u P

ˆ
H(u)
.

(2.11)

Do đó khi u = 0, ta có
−λmax (Φ)
ˆ
u ≤ H(u)
.

2 P

(2.12)

ˆ
Từ đó suy ra H(u)
−→ ∞ khi u −→ ∞. Suy ra H(u) −→ ∞ khi
u −→ ∞. Theo Bổ đề 2.1, H là một phép đồng phôi trên Rn . Theo Bổ đề
2.2, tồn tại duy nhất một điểm cân bằng cho hệ (2.1).

2.2.

Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục

Mục này, chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag-Leffler
toàn cục của hệ (2.1).
Cho x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n )T ∈ Rn là một điểm cân bằng của hệ (2.1). Ta có thể
chuyển x∗ về điểm gốc bằng cách đổi biến x(t) = x(t) − x∗ , và viết lại hệ (2.1)
về dạng
C α
t0 Dt x(t)

= −Cx(t) + Bg(x(t)),

(2.13)

T

ở đó g(x(t)) = (g 1 (x1 (t)), g 2 (x2 (t)), . . . , g n (xn (t))) ∈ Rn và g i (xi (t)) = gi (xi (t)+
x∗i ) − gi (x∗i ) với g i (0) = 0, (i = 1, 2, . . . , n). Chú ý rằng các hàm g i (.), i =

1, 2, . . . , n thỏa mãn điều kiện
ki− ≤

g i (xi (t))
≤ ki+ , g i (0) = 0, ∀xi (t) = 0, i = 1, 2, . . . , n,
xi (t)

(2.14)

ở đó ki− , ki+ (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước. Rõ ràng (2.14) tương
đương với điều kiện dưới đây
xi (t) g i (xi (t)) − ki− xi (t) ≥ 0, xi (t) ki+ xi (t) − g i (xi (t)) ≥ 0.

(2.15)

xi (t) (g i (xi (t)) + ki xi (t)) ≥ 0, xi (t) (ki xi (t) − g i (xi (t))) ≥ 0,

(2.16)

và

với gi (0) = 0 (i = 1, 2, . . . , n).


23

Định lí 2.2. [23] Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Điểm cân bằng
duy nhất của hệ (2.13) ổn định Mittag-Leffler toàn cục nếu tồn tại ma trận
đối xứng, xác định dương P , hai ma trận đường chéo chính, xác định dương
T = diag{t1 , t2 , . . . , tn }, S = diag{s1 , s2 , . . . , sn } sao cho bất đẳng thức ma trận

tuyến tính (2.3) được thỏa mãn.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau đây
V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Vì P là một ma trận đối xứng, xác định dương nên ta có đánh giá dưới đây
λmin (P ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) 2 .

Từ các điều kiện (2.15) và (2.16), ta có đánh giá dưới đây
n

si g i (xi (t)) − ki+ xi (t)

0 ≤ −2

g i (xi (t)) − ki− xi (t)

i=1

(2.17)

T

= −2 (g(x) − K1 x(t)) S (g(x) − K2 x(t)) ,
và
n

0≤−

ti (g i (xi (t)) + ki xi (t)) (g i (xi (t)) − ki xi (t))
(2.18)

i=1

= − g T (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t) .
Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α(0 < α < 1) của hàm
V (.) như sau
C α
t0 Dt V

α
(t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C
t0 Dt x(t)
T

T

(2.19)

= x (t) (−CP − P C) x(t) + 2x (t)P Bg(x(t)).
Kết hợp (2.17), (2.18) vào (2.19), ta thu được đánh giá dưới đây
C α
t0 Dt V

T

(t, x(t)) − 2 (g(x) − K1 x(t)) S (g(x) − K2 x(t))

− g T (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t)
≤ xT (t) (−CP − P C) x(t) + 2xT (t)P Bg(x(t))
T

− 2 (g(x) − K1 x(t)) S (g(x) − K2 x(t))
− g T (x(t))T g(x(t)) − xT (t)KT Kx(t)
= ξ T (t)Φξ(t),

(2.20)